5.5: Dividindo polinômios
Ao final desta seção, você poderá:
- Dividindo monômios
- Dividindo um polinômio por um monômio
- Divisão de polinômios usando divisão longa
- Divisão de polinômios usando divisão sintética
- Dividindo funções polinomiais
- Use os teoremas do restante e dos fatores
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Dividindo monômios
Agora estamos familiarizados com todas as propriedades dos expoentes e as usamos para multiplicar polinômios. Em seguida, usaremos essas propriedades para dividir monômios e polinômios.
Encontre o quociente:54a2b3÷(−6ab5).
Solução
Quando dividimos monômios com mais de uma variável, escrevemos uma fração para cada variável.
54a2b3÷(−6ab5)Rewrite as a fraction.54a2b3−6ab5Use fraction multiplication.54−6·a2a·b3b5Simplify and use the Quotient Property.−9·a·1b2Multiply.−9ab2
Encontre o quociente:−72a7b3÷(8a12b4).
- Resposta
-
−9a5b
Encontre o quociente:−63c8d3÷(7c12d2).
- Resposta
-
−9dc4
Depois de se familiarizar com o processo e praticá-lo passo a passo várias vezes, você poderá simplificar uma fração em uma etapa.
Encontre o quociente:14x7y1221x11y6.
Solução
Tenha muito cuidado para simplificar1421 dividindo um fator comum e simplificar as variáveis subtraindo seus expoentes.
14x7y1221x11y6Simplify and use the Quotient Property.2y63x4
Encontre o quociente:28x5y1449x9y12.
- Resposta
-
4y27x4
Encontre o quociente:30m5n1148m10n14.
- Resposta
-
58m5n3
Divida um polinômio por um monômio
Agora que sabemos como dividir um monômio por um monômio, o próximo procedimento é dividir um polinômio de dois ou mais termos por um monômio. O método que usaremos para dividir um polinômio por um monômio é baseado nas propriedades da adição de frações. Então, começaremos com um exemplo para revisar a adição de frações. A somay5+25 se simplifica paray+25. Agora faremos isso ao contrário para dividir uma única fração em frações separadas. Por exemplo,y+25 pode ser escritoy5+25.
Esse é o “inverso” da adição de frações e afirma que se a, b e c são números ondec≠0, entãoa+bc=ac+bc. Usaremos isso para dividir polinômios por monômios.
Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.
Encontre o quociente:(18x3y−36xy2)÷(−3xy).
Solução
(18x3y−36xy2)÷(−3xy)Rewrite as a fraction.18x3y−36xy2−3xyDivide each term by the divisor. Be careful with the signs!18x3y−3xy−36xy2−3xySimplify.−6x2+12y
Encontre o quociente:(32a2b−16ab2)÷(−8ab).
- Resposta
-
−4a+2b
Encontre o quociente:(−48a8b4−36a6b5)÷(−6a3b3).
- Resposta
-
8a5b+6a3b2
Divida polinômios usando divisão longa
Dividindo um polinômio por um binômio, seguimos um procedimento muito semelhante à divisão longa de números. Então, vamos examinar cuidadosamente os passos que tomamos quando dividimos um número de 3 dígitos, 875, por um número de 2 dígitos, 25.
Verificamos a divisão multiplicando o quociente pelo divisor. Se fizermos a divisão corretamente, o produto deve ser igual ao dividendo.
35·25875✓
Agora vamos dividir um trinômio por um binômio. Ao ler o exemplo, observe como as etapas são semelhantes às do exemplo numérico acima.
Encontre o quociente:(x2+9x+20)÷(x+5).
Solução
(x2+9x+20)÷(x+5) | |
Escreva isso como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão. |
x+5x2+9x+200 |
Dividax2 porx. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “xPor que |
xx+5x2+9x+200 |
Coloque a respostax,, no quociente sobre ox termo. Multipliquex vezesx+5. Alinhe os termos similares sob o dividendo. |
xx+5x2+9x+200x2+5x_ |
Subtraiax2+5x dex2+9x. Você pode achar mais fácil alterar os sinais e depois adicionar. Em seguida, derrube o último termo,20. |
xx+5x2+009x+200−x2+(−5x)_4x+20 |
Divida4x porx. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “xPor que preciso multiplicar para conseguir4x?” Coloque a resposta4,, no quociente sobre o termo constante. |
x+04x+5x2+009x+200−x2+(−5x)_4x+20 |
Multiplique 4 vezesx+5. |
x+04x+5x2+009x+200−x2+(−5x)_4x+204x+20_ |
Subtraia4x+20 de4x+20. |
x+04x+5x2+009x+200−x2+(−5x)_4x+20−4x+(−20)_0 |
Confira: Multiply the quotient by the divisor.(x+4)(x+5)You should get the dividend.x2+9x+20✓ |
Encontre o quociente:(y2+10y+21)÷(y+3).
- Resposta
-
y+7
Encontre o quociente:(m2+9m+20)÷(m+4).
- Resposta
-
m+5
Quando dividimos 875 por 25, não tínhamos resto. Mas às vezes a divisão de números deixa um resto. O mesmo acontece quando dividimos polinômios. No próximo exemplo, teremos uma divisão que deixa um restante. Escrevemos o restante como uma fração com o divisor como denominador.
Examine os dividendos nos exemplos anteriores. Os termos foram escritos em ordem decrescente de graus e não faltavam graus. O dividendo neste exemplo seráx4−x2+5x−6. Está faltando umx3 termo. Vamos adicionar0x3 como um espaço reservado.
Encontre o quociente:(x4−x2+5x−6)÷(x+2).
Solução
Observe que não háx3 prazo no dividendo. Vamos adicionar0x3 como um espaço reservado.
Escreva isso como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão com espaços reservados para termos ausentes. | |
Dividax4 porx. Coloque a respostax3,, no quociente sobre ox3 termo. Multipliquex3 vezesx+2. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e, em seguida, reduza o próximo termo. |
|
Divida−2x3 porx. Coloque a resposta−2x2,, no quociente sobre ox2 termo. Multiplique−2x2 vezesx+1. Alinhe os termos semelhantes Subtrair e reduza o próximo termo. |
|
Divida3x2 porx. Coloque a resposta3x,, no quociente sobre ox termo. Multiplique3x vezesx+1. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e reduza o próximo termo. |
|
Divida−x porx. Coloque a resposta−1,, no quociente sobre o termo constante. Multiplique−1 vezesx+1. Alinhe os termos semelhantes. Mude os sinais, adicione. Escreva o restante como uma fração com o divisor como denominador. |
|
Para verificar, multiplique(x+2)(x3−2x2+3x−1−4x+2). O resultado deve serx4−x2+5x−6. |
Encontre o quociente:(x4−7x2+7x+6)÷(x+3).
- Resposta
-
x3−3x2+2x+1+3x+3
Encontre o quociente:(x4−11x2−7x−6)÷(x+3).
- Resposta
-
x3−3x2−2x−1−3x+3
No próximo exemplo, dividiremos por2a−3. À medida que dividimos, teremos que considerar as constantes e as variáveis.
Encontre o quociente:(8a3+27)÷(2a+3).
Solução
Desta vez, mostraremos a divisão em uma única etapa. Precisamos adicionar dois espaços reservados para dividi-los.
Para verificar, multiplique(2a+3)(4a2−6a+9).
O resultado deve ser8a3+27.
Encontre o quociente:(x3−64)÷(x−4).
- Resposta
-
x2+4x+16
Encontre o quociente:(125x3−8)÷(5x−2).
- Resposta
-
25x2+10x+4
Divida polinômios usando divisão sintética
Como mencionamos anteriormente, os matemáticos gostam de encontrar padrões para facilitar seu trabalho. Como a divisão longa pode ser entediante, vamos analisar a divisão longa que fizemos no Example e procurar alguns padrões. Usaremos isso como base para o que é chamado de divisão sintética. O mesmo problema no formato de divisão sintética é mostrado a seguir.
A divisão sintética basicamente remove variáveis e números repetidos desnecessários. Aqui, todos osx ex2 são removidos. bem como os−x2 e−4x, pois são opostos ao termo acima.
- A primeira linha da divisão sintética são os coeficientes do dividendo. O−5 é o oposto do 5 no divisor.
- A segunda linha da divisão sintética são os números mostrados em vermelho no problema da divisão.
- A terceira linha da divisão sintética são os números mostrados em azul no problema da divisão.
Observe que o quociente e o restante são mostrados na terceira linha.
Synthetic division only works when the divisor is of the form x−c.
O exemplo a seguir explicará o processo.
Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando2x3+3x2+x+8 é dividido porx+2.
Solução
Escreva o dividendo com poderes decrescentes dex. | |
Escreva os coeficientes dos termos como a primeira linha da divisão sintética. |
|
Escreva o divisor comox−c e coloque c na divisão sintética na caixa do divisor. |
|
Reduza o primeiro coeficiente para a terceira linha. | |
Multiplique esse coeficiente pelo divisor e coloque o resultado na segunda linha abaixo do segundo coeficiente. |
|
Adicione a segunda coluna, colocando o resultado na terceira linha. | |
Multiplique esse resultado pelo divisor e coloque o resultado na segunda linha abaixo do terceiro coeficiente. |
|
Adicione a terceira coluna, colocando o resultado na terceira linha. | |
Multiplique esse resultado pelo divisor e coloque o resultado na terceira linha abaixo do terceiro coeficiente. |
|
Adicione a coluna final, colocando o resultado na terceira linha. | |
O quociente é2x2−1x+3 e o restante é 2. |
A divisão está completa. Os números na terceira linha nos dão o resultado. 2 −1 3São os coeficientes do quociente. O quociente é2x2−1x+3. O 2 na caixa na terceira linha é o restante.
Confira:
(quotient)(divisor)+remainder=dividend(2x2−1x+3)(x+2)+2?=2x3+3x2+x+82x3−x2+3x+4x2−2x+6+2?=2x3+3x2+x+82x3+3x2+x+8=2x3+3x2+x+8✓
Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando3x3+10x2+6x−2 é dividido porx+2.
- Resposta
-
3x2+4x−2; 2
Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando4x3+5x2−5x+3 é dividido porx+2.
- Resposta
-
4x2−3x+1;1
No próximo exemplo, faremos todas as etapas juntos.
Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quandox4−16x2+3x+12 é dividido porx+4.
Solução
O polinômiox4−16x2+3x+12 tem seu termo em ordem decrescente, mas notamos que não há nenhumx3 termo. Adicionaremos um 0 como espaço reservado para ox3 termo. Nax−c forma, o divisor éx−(−4).
Dividimos um4th polinômio de1st grau por um polinômio de grau para que o quociente seja um polinômio de3rd grau.
Lendo a partir da terceira linha, o quociente tem os coeficientes1 −4 0 3, que éx3−4x2+3. O restante
é 0.
Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quandox4−16x2+5x+20 é dividido porx+4.
- Resposta
-
x3−4x2+5; 0
Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quandox4−9x2+2x+6 é dividido porx+3.
- Resposta
-
x3−3x2+2; 0
Divida funções polinomiais
Assim como os polinômios podem ser divididos, as funções polinomiais também podem ser divididas.
Para funçõesf(x) eg(x), ondeg(x)≠0,
(fg)(x)=f(x)g(x)
Para funçõesf(x)=x2−5x−14 eg(x)=x+2, encontre:
- (fg)(x)
- (fg)(−4).
Solução
ⓐ
Substitute for f(x) and g(x).(fg)(x)=x2−5x−14x+2Divide the polynomials.(fg)(x)=x−7
ⓑ Em parte ⓐ encontramos(fg)(x) e agora somos convidados a encontrar(fg)(−4).
(fg)(x)=x−7To find (fg)(−4), substitute x=−4.(fg)(−4)=−4−7(fg)(−4)=−11
Para funçõesf(x)=x2−5x−24 eg(x)=x+3, encontre:
- (fg)(x)
- (fg)(−3).
- Responda a
-
(fg)(x)=x−8
- Resposta b
-
(fg)(−3)=−11
Para funçõesf(x)=x2−5x−36 eg(x)=x+4, encontre:
- (fg)(x)
- (fg)(−5).
- Responda a
-
(fg)(x)=x−9
- Resposta b
-
(fg)(x)=x−9
Use o Teorema do Resto e do Fator
Vamos dar uma olhada nos problemas de divisão que acabamos de resolver e que acabaram com o restante. Eles estão resumidos no gráfico abaixo. Se pegarmos o dividendo de cada problema de divisão e o usarmos para definir uma função, obteremos as funções mostradas no gráfico. Quando o divisor é escrito comox−c, o valor da função atc,f(c), é o mesmo que o restante do problema de divisão.
Dividendo | Divisorx−c | Restante | Função | f(c) |
---|---|---|---|---|
x4−x2+5x−6 | \ (x−c\)” data-valign="top">x−(−2) | −4 | f(x)=x4−x2+5x−6 | \ (f (c)\)” data-valign="top">−4 |
3x3−2x2−10x+8 | \ (x−c\)” data-valign="top">x−2 | 4 | f(x)=3x3−2x2−10x+8 | \ (f (c)\)” data-valign="top">4 |
x4−16x2+3x+15 | \ (x−c\)” data-valign="top">x−(−4) | 3 | f(x)=x4−16x2+3x+15 | \ (f (c)\)” data-valign="top">3 |
Para ver isso de forma mais geral, percebemos que podemos verificar um problema de divisão multiplicando o quociente pelo divisor e adicionando o restante. Na notação de função, poderíamos dizer quef(x), para obter o dividendo, multiplicamos o quociente,q(x) vezes o divisorx−c, e adicionamos o restanter.
Se avaliarmos isso emc, obteremos: | |
Isso nos leva ao Teorema do Restante.
Se a função polinomialf(x) for dividida porx−c, o restante seráf(c).
Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quandof(x)=x3+3x+19 é dividido porx+2.
Solução
Para usar o Teorema do Restante, devemos usar o divisor nox−c formulário. Podemos escrever o divisorx+2 comox−(−2). Então, o nossoc é−2.
Para encontrar o restante, avaliamosf(c) qual éf(−2).
Para avaliarf(−2), substituax=−2. | |
Simplifique. | |
O restante é 5 quandof(x)=x3+3x+19 é dividido porx+2. | |
Verificação: Use divisão sintética para verificar. |
|
O restante é 5. |
Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quandof(x)=x3+4x+15 é dividido porx+2.
- Resposta
-
−1
Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quandof(x)=x3−7x+12 é dividido porx+3.
- Resposta
-
6
Quando dividimos8a3+27 por2a+3 em Exemplo, o resultado foi4a2−6a+9. Para conferir nosso trabalho, multiplicamos4a2−6a+9 por2a+3 para obter8a3+27.
(4a2−6a+9)(2a+3)=8a3+27
Escrito dessa forma, podemos ver isso4a2−6a+9 e2a+3 são fatores de8a3+27. Quando fizemos a divisão, o restante foi zero.
Sempre que um divisorx−c,, divide uma função polinomial,f(x), e resulta em um restante de zero, dizemos quex−c é um fator def(x).
O inverso também é verdadeiro. Sex−c for um fator def(x), entãox−c dividirá a função polinomial, resultando em um restante de zero.
Vamos afirmar isso no Teorema do Fator.
Para qualquer função polinomialf(x),
- sex−c é um fator def(x), entãof(c)=0
- sef(c)=0, entãox−c é um fator def(x)
Use o Teorema do Restante para determinar sex−4 é um fator def(x)=x3−64.
Solução
O Teorema do Fator nos diz que issox−4 é um fator def(x)=x3−64 sef(4)=0.
f(x)=x3−64To evaluate f(4) substitute x=4.f(4)=43−64Simplify.f(4)=64−64Subtract.f(4)=0
Uma vez quef(4)=0,x−4 é um fator def(x)=x3−64.
Use o Teorema do Fator para determinar sex−5 é um fator def(x)=x3−125.
- Resposta
-
sim
Use o Teorema do Fator para determinar sex−6 é um fator def(x)=x3−216.
- Resposta
-
sim
Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar a divisão de polinômios.
- Dividindo um polinômio por um binômio
- Divisão sintética e teorema do resto
Conceitos-chave
- Divisão de um polinômio por um monômio
- Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.
- Divisão de funções polinomiais
- Para funçõesf(x) eg(x), ondeg(x)≠0,
(fg)(x)=f(x)g(x)
- Para funçõesf(x) eg(x), ondeg(x)≠0,
- Teorema do Restante
- Se a função polinomialf(x) for dividida porx−c, o restante seráf(c).
- Teorema do fator: Para qualquer função polinomialf(x),
- sex−c é um fator def(x), entãof(c)=0
- sef(c)=0, entãox−c é um fator def(x)