5.5: Dividindo polinômios

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Dividindo monômios
• Dividindo um polinômio por um monômio
• Divisão de polinômios usando divisão longa
• Divisão de polinômios usando divisão sintética
• Dividindo funções polinomiais
• Use os teoremas do restante e dos fatores

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

1. Adicionar:$\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}$.
   Se você perdeu esse problema, revise [link].
2. Simplifique:$\dfrac{30xy}{35xy}$.
   Se você perdeu esse problema, revise [link].
3. Combine termos semelhantes:$8a^2+12a+1+3a^2−5a+4$.
   Se você perdeu esse problema, revise [link].

Dividindo monômios

Agora estamos familiarizados com todas as propriedades dos expoentes e as usamos para multiplicar polinômios. Em seguida, usaremos essas propriedades para dividir monômios e polinômios.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Encontre o quociente:$54a^2b^3÷ (−6ab^5)$.

Solução

Quando dividimos monômios com mais de uma variável, escrevemos uma fração para cada variável.

$\begin{array} {ll} {} &{54a^2b^3÷(−6ab^5)} \\[5pt] {\text{Rewrite as a fraction.}} &{\dfrac{54a^2b^3}{−6ab^5}} \\[5pt] {\text{Use fraction multiplication.}} &{\dfrac{54}{−6}·\dfrac{a^2}{a}·\dfrac{b^3}{b^5}} \\[5pt] {\text{Simplify and use the Quotient Property.}} &{−9·a·\dfrac{1}{b^2}} \\[5pt] {\text{Multiply.}} &{−\dfrac{9a}{b^2}} \end{array}$

Experimente! $\PageIndex{1}$

Encontre o quociente:$−72a^7b^3÷(8a^{12}b^4)$.

Resposta

$−\dfrac{9}{a^5b}$

Experimente! $\PageIndex{2}$

Encontre o quociente:$−63c^8d^3÷(7c^{12}d^2)$.

Resposta

$\dfrac{−9d}{c^4}$

Depois de se familiarizar com o processo e praticá-lo passo a passo várias vezes, você poderá simplificar uma fração em uma etapa.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Encontre o quociente:$\dfrac{14x^7y^{12}}{21x^{11}y^6}$.

Solução

Tenha muito cuidado para simplificar$\dfrac{14}{21}$ dividindo um fator comum e simplificar as variáveis subtraindo seus expoentes.

$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{14x^7y^{12}}{21x^{11}y^6}} \\ {\text{Simplify and use the Quotient Property.}} &{\dfrac{2y^6}{3x^4}} \\ \end{array}$

Experimente! $\PageIndex{3}$

Encontre o quociente:$\dfrac{28x^5y^{14}}{49x^9y^{12}}$.

Resposta

$\dfrac{4y^2}{7x^4}$

Experimente! $\PageIndex{4}$

Encontre o quociente:$\dfrac{30m^5n^{11}}{48m^{10}n^{14}}$.

Resposta

$\dfrac{5}{8m^5n^3}$

Divida um polinômio por um monômio

Agora que sabemos como dividir um monômio por um monômio, o próximo procedimento é dividir um polinômio de dois ou mais termos por um monômio. O método que usaremos para dividir um polinômio por um monômio é baseado nas propriedades da adição de frações. Então, começaremos com um exemplo para revisar a adição de frações. A soma$\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}$ se simplifica para$\dfrac{y+2}{5}$. Agora faremos isso ao contrário para dividir uma única fração em frações separadas. Por exemplo,$\dfrac{y+2}{5}$ pode ser escrito$\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}$.

Esse é o “inverso” da adição de frações e afirma que se a, b e c são números onde$c\neq 0$, então$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$. Usaremos isso para dividir polinômios por monômios.

definição: DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO

Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplo$\PageIndex{3}$

Encontre o quociente:$(18x^3y−36xy^2)÷(−3xy)$.

Solução

$\begin{array} {ll} {} &{(18x^3y−36xy^2)÷(−3xy)} \\[5pt] {\text{Rewrite as a fraction.}} &{\dfrac{18x^3y−36xy^2}{−3xy}} \\[5pt] {\text{Divide each term by the divisor. Be careful with the signs!}} &{\dfrac{18x^3y}{−3xy}−\dfrac{36xy^2}{−3xy}} \\[5pt] {\text{Simplify.}} &{−6x^2+12y} \end{array}$

Experimente! $\PageIndex{5}$

Encontre o quociente:$(32a^2b−16ab^2)÷(−8ab)$.

Resposta

$−4a+2b$

Experimente! $\PageIndex{6}$

Encontre o quociente:$(−48a^8b^4−36a^6b^5)÷(−6a^3b^3)$.

Resposta

$8a^5b+6a^3b^2$

Divida polinômios usando divisão longa

Dividindo um polinômio por um binômio, seguimos um procedimento muito semelhante à divisão longa de números. Então, vamos examinar cuidadosamente os passos que tomamos quando dividimos um número de 3 dígitos, 875, por um número de 2 dígitos, 25.

Verificamos a divisão multiplicando o quociente pelo divisor. Se fizermos a divisão corretamente, o produto deve ser igual ao dividendo.

$$\begin{array} {l} {35·25} \\ {875\checkmark} \\ \nonumber \end{array}$$

Agora vamos dividir um trinômio por um binômio. Ao ler o exemplo, observe como as etapas são semelhantes às do exemplo numérico acima.

Exemplo$\PageIndex{4}$

Encontre o quociente:$(x^2+9x+20)÷(x+5)$.

Solução

$\require{enclose}$	$\qquad (x^2+9x+20) \div (x+5)$
Escreva isso como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão.	$\qquad  x+5\enclose{longdiv}{ x^2+9x+20\phantom{0}}$
Divida$x^2$ por$x$. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “$x$Por que preciso multiplicar para conseguir$x^2$?”	$\qquad \begin{array}{r} {\color{red}x}\hspace{2.3em}\\[-3pt] {\color{red}x}+5\enclose{longdiv}{ {\color{red}x^2}+9x+20\phantom{0}} \end{array}$
Coloque a resposta$x$,, no quociente sobre o$x$ termo. Multiplique$x$ vezes$x+5$. Alinhe os termos similares sob o dividendo.	$\qquad \begin{array}{r}x\hspace{2.3em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{\color{red}x^2+5x}\hspace{2.4em} \end{array}$
Subtraia$x^2+5x$ de$x^2+9x$. Você pode achar mais fácil alterar os sinais e depois adicionar. Em seguida, derrube o último termo,$20.$	$\qquad \begin{array}{r}x\hspace{2.3em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] {\color{red}4x+20}\hspace{0.5em} \end{array}$
Divida$4x$ por$x$. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “$x$Por que preciso multiplicar para conseguir$4x$?” Coloque a resposta$4$,, no quociente sobre o termo constante.	$\qquad \begin{array}{r}x+\phantom{0}{\color{red}4}\hspace{.5em}\\[-3pt] {\color{red}x}+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] {\color{red}4x}+20\hspace{0.5em} \end{array}$
Multiplique 4 vezes$x+5$.	$\qquad \begin{array}{r}x+\phantom{0}4\hspace{.5em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] 4x+20\hspace{0.5em}\\[-3pt] \underline{ \color{red}4x+20}\hspace{.5em} \end{array}$
Subtraia$4x+20$ de$4x+20$.	$\qquad \begin{array}{r}x+\phantom{0}4\hspace{.5em}\\[-3pt] x+5\enclose{longdiv}{x^2+\phantom{00}9x+20\phantom{0}}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}x^2+({\color{red}-}5x)}\hspace{2.1em}\\[-3pt] 4x+20\hspace{.5em}\\[-3pt] \underline{{\color{red}-}4x+({\color{red}-}20)}\\[-3pt] 0\hspace{.33em}\end{array}$
Confira: $\begin{array} {ll} {\text{Multiply the quotient by the divisor.}} &{(x+4)(x+5)} \\ {\text{You should get the dividend.}} &{x^2+9x+20\checkmark}\\ \end{array}$

Experimente! $\PageIndex{7}$

Encontre o quociente:$(y^2+10y+21)÷(y+3)$.

Resposta

$y+7$

Experimente! $\PageIndex{8}$

Encontre o quociente:$(m^2+9m+20)÷(m+4)$.

Resposta

$m+5$

Quando dividimos 875 por 25, não tínhamos resto. Mas às vezes a divisão de números deixa um resto. O mesmo acontece quando dividimos polinômios. No próximo exemplo, teremos uma divisão que deixa um restante. Escrevemos o restante como uma fração com o divisor como denominador.

Examine os dividendos nos exemplos anteriores. Os termos foram escritos em ordem decrescente de graus e não faltavam graus. O dividendo neste exemplo será$x^4−x^2+5x−6$. Está faltando um$x^3$ termo. Vamos adicionar$0x^3$ como um espaço reservado.

Exemplo$\PageIndex{5}$

Encontre o quociente:$(x^4−x^2+5x−6)÷(x+2)$.

Solução

Observe que não há$x^3$ prazo no dividendo. Vamos adicionar$0x^3$ como um espaço reservado.

Escreva isso como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão com espaços reservados para termos ausentes.
Divida$x^4$ por$x$. Coloque a resposta$x^3$,, no quociente sobre o$x^3$ termo. Multiplique$x^3$ vezes$x+2$. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e, em seguida, reduza o próximo termo.
Divida$−2x^3$ por$x$. Coloque a resposta$−2x^2$,, no quociente sobre o$x^2$ termo. Multiplique$−2x^2$ vezes$x+1$. Alinhe os termos semelhantes Subtrair e reduza o próximo termo.
Divida$3x^2$ por$x$. Coloque a resposta$3x$,, no quociente sobre o$x$ termo. Multiplique$3x$ vezes$x+1$. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e reduza o próximo termo.
Divida$−x$ por$x$. Coloque a resposta$−1$,, no quociente sobre o termo constante. Multiplique$−1$ vezes$x+1$. Alinhe os termos semelhantes. Mude os sinais, adicione. Escreva o restante como uma fração com o divisor como denominador.
Para verificar, multiplique$(x+2)(x^3−2x^2+3x−1−4x+2)$. O resultado deve ser$x^4−x^2+5x−6$.

Experimente! $\PageIndex{9}$

Encontre o quociente:$(x^4−7x^2+7x+6)÷(x+3)$.

Resposta

$x^3−3x^2+2x+1+3x+3$

Experimente! $\PageIndex{10}$

Encontre o quociente:$(x^4−11x^2−7x−6)÷(x+3)$.

Resposta

$x^3−3x^2−2x−1−3x+3$

No próximo exemplo, dividiremos por$2a−3$. À medida que dividimos, teremos que considerar as constantes e as variáveis.

Exemplo$\PageIndex{6}$

Encontre o quociente:$(8a^3+27)÷(2a+3)$.

Solução

Desta vez, mostraremos a divisão em uma única etapa. Precisamos adicionar dois espaços reservados para dividi-los.

Para verificar, multiplique$(2a+3)(4a^2−6a+9)$.

O resultado deve ser$8a^3+27$.

Experimente! $\PageIndex{11}$

Encontre o quociente:$(x^3−64)÷(x−4)$.

Resposta

$x^2+4x+16$

Experimente! $\PageIndex{12}$

Encontre o quociente:$(125x^3−8)÷(5x−2)$.

Resposta

$25x^2+10x+4$

Divida polinômios usando divisão sintética

Como mencionamos anteriormente, os matemáticos gostam de encontrar padrões para facilitar seu trabalho. Como a divisão longa pode ser entediante, vamos analisar a divisão longa que fizemos no Example e procurar alguns padrões. Usaremos isso como base para o que é chamado de divisão sintética. O mesmo problema no formato de divisão sintética é mostrado a seguir.

A divisão sintética basicamente remove variáveis e números repetidos desnecessários. Aqui, todos os$x$ e$x^2$ são removidos. bem como os$−x^2$ e$−4x$, pois são opostos ao termo acima.

• A primeira linha da divisão sintética são os coeficientes do dividendo. O$−5$ é o oposto do 5 no divisor.
• A segunda linha da divisão sintética são os números mostrados em vermelho no problema da divisão.
• A terceira linha da divisão sintética são os números mostrados em azul no problema da divisão.

Observe que o quociente e o restante são mostrados na terceira linha.

$$\text{Synthetic division only works when the divisor is of the form }x−c. \nonumber$$

O exemplo a seguir explicará o processo.

Exemplo$\PageIndex{7}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando$2x^3+3x^2+x+8$ é dividido por$x+2$.

Solução

Escreva o dividendo com poderes decrescentes de$x$.
Escreva os coeficientes dos termos como a primeira linha da divisão sintética.
Escreva o divisor como$x−c$ e coloque c na divisão sintética na caixa do divisor.
Reduza o primeiro coeficiente para a terceira linha.
Multiplique esse coeficiente pelo divisor e coloque o resultado na segunda linha abaixo do segundo coeficiente.
Adicione a segunda coluna, colocando o resultado na terceira linha.
Multiplique esse resultado pelo divisor e coloque o resultado na segunda linha abaixo do terceiro coeficiente.
Adicione a terceira coluna, colocando o resultado na terceira linha.
Multiplique esse resultado pelo divisor e coloque o resultado na terceira linha abaixo do terceiro coeficiente.
Adicione a coluna final, colocando o resultado na terceira linha.
O quociente é$2x^2−1x+3$ e o restante é 2.

A divisão está completa. Os números na terceira linha nos dão o resultado. $2\space\space\space−1\space\space\space3$São os coeficientes do quociente. O quociente é$2x^2−1x+3$. O 2 na caixa na terceira linha é o restante.

Confira:

$\begin{align} (\text{quotient})(\text{divisor}) + \text{remainder} &= \text{dividend} \nonumber\\ (2x^2−1x+3)(x+2)+2 &\overset{?}{=} 2x^3+3x^2+x+8 \nonumber\\ 2x^3−x^2+3x+4x^2−2x+6+2 &\overset{?}{=} 2x^3+3x^2+x+8 \nonumber\\ 2x^3+3x^2+x+8 &= 2x^3+3x^2+x+8\checkmark \nonumber \end{align}$

Experimente! $\PageIndex{13}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando$3x^3+10x^2+6x−2$ é dividido por$x+2$.

Resposta

$3x^2+4x−2;\space 2$

Experimente! $\PageIndex{14}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando$4x^3+5x^2−5x+3$ é dividido por$x+2$.

Resposta

$4x^2−3x+1; 1$

No próximo exemplo, faremos todas as etapas juntos.

Exemplo$\PageIndex{8}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando$x^4−16x^2+3x+12$ é dividido por$x+4$.

Solução

O polinômio$x^4−16x^2+3x+12$ tem seu termo em ordem decrescente, mas notamos que não há nenhum$x^3$ termo. Adicionaremos um 0 como espaço reservado para o$x^3$ termo. Na$x−c$ forma, o divisor é$x−(−4)$.

Dividimos um$4^{\text{th}}$ polinômio de$1^{\text{st}}$ grau por um polinômio de grau para que o quociente seja um polinômio de$3^{\text{rd}}$ grau.

Lendo a partir da terceira linha, o quociente tem os coeficientes$1\space\space\space−4\space\space\space0\space\space\space3$, que é$x^3−4x^2+3$. O restante
é 0.

Experimente! $\PageIndex{15}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando$x^4−16x^2+5x+20$ é dividido por$x+4$.

Resposta

$x^3−4x^2+5;\space 0$

Experimente! $\PageIndex{16}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando$x^4−9x^2+2x+6$ é dividido por$x+3$.

Resposta

$x^3−3x^2+2;\space 0$

Divida funções polinomiais

Assim como os polinômios podem ser divididos, as funções polinomiais também podem ser divididas.

definição: DIVISÃO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS

Para funções$f(x)$ e$g(x)$, onde$g(x)\neq 0$,

$$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} \nonumber$$

Exemplo$\PageIndex{9}$

Para funções$f(x)=x^2−5x−14$ e$g(x)=x+2$, encontre:

1. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$
2. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)$.

Solução

ⓐ

$\begin{array} {ll} {\text{Substitute for }f(x)\text{ and }g(x).} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{x^2−5x−14}{x+2}} \\[5pt] {\text{Divide the polynomials.}} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−7} \end{array}$

ⓑ Em parte ⓐ encontramos$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ e agora somos convidados a encontrar$\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)$.

$\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−7} \\[5pt] {\text{To find }\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4), \text{ substitute }x=−4.} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)=−4−7} \\[5pt] {} &{\left(\dfrac{f}{g}\right)(−4)=−11} \end{array}$

Experimente! $\PageIndex{17}$

Para funções$f(x)=x^2−5x−24$ e$g(x)=x+3$, encontre:

1. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$
2. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(−3)$.

Responda a

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−8$

Resposta b

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(−3)=−11$

Experimente! $\PageIndex{18}$

Para funções$f(x)=x2−5x−36$ e$g(x)=x+4$, encontre:

1. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$
2. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)$.

Responda a

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−9$

Resposta b

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−9$

Use o Teorema do Resto e do Fator

Vamos dar uma olhada nos problemas de divisão que acabamos de resolver e que acabaram com o restante. Eles estão resumidos no gráfico abaixo. Se pegarmos o dividendo de cada problema de divisão e o usarmos para definir uma função, obteremos as funções mostradas no gráfico. Quando o divisor é escrito como$x−c$, o valor da função at$c$,$f(c)$, é o mesmo que o restante do problema de divisão.

Dividendo	Divisor$x−c$	Restante	Função	$f(c)$
$x^4−x^2+5x−6$	\ (x−c\)” data-valign="top">$x−(−2)$	$−4$	$f(x)=x^4−x^2+5x−6$	\ (f (c)\)” data-valign="top">$−4$
$3x^3−2x^2−10x+8$	\ (x−c\)” data-valign="top">$x−2$	4	$f(x)=3x^3−2x^2−10x+8$	\ (f (c)\)” data-valign="top">4
$x^4−16x^2+3x+15$	\ (x−c\)” data-valign="top">$x−(−4)$	3	$f(x)=x^4−16x^2+3x+15$	\ (f (c)\)” data-valign="top">3

Para ver isso de forma mais geral, percebemos que podemos verificar um problema de divisão multiplicando o quociente pelo divisor e adicionando o restante. Na notação de função, poderíamos dizer que$f(x)$, para obter o dividendo, multiplicamos o quociente,$q(x)$ vezes o divisor$x−c$, e adicionamos o restante$r$.

Se avaliarmos isso em$c$, obteremos:

Isso nos leva ao Teorema do Restante.

Definição: TEOREMA DO RESTANTE

Se a função polinomial$f(x)$ for dividida por$x−c$, o restante será$f(c)$.

Exemplo$\PageIndex{10}$

Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quando$f(x)=x^3+3x+19$ é dividido por$x+2$.

Solução

Para usar o Teorema do Restante, devemos usar o divisor no$x−c$ formulário. Podemos escrever o divisor$x+2$ como$x−(−2)$. Então, o nosso$c$ é$−2$.

Para encontrar o restante, avaliamos$f(c)$ qual é$f(−2)$.

Para avaliar$f(−2)$, substitua$x=−2$.
Simplifique.
	O restante é 5 quando$f(x)=x^3+3x+19$ é dividido por$x+2$.
Verificação: Use divisão sintética para verificar.
O restante é 5.

Experimente! $\PageIndex{19}$

Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quando$f(x)=x^3+4x+15$ é dividido por$x+2$.

Resposta

$−1$

Experimente! $\PageIndex{20}$

Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quando$f(x)=x^3−7x+12$ é dividido por$x+3$.

Resposta

$6$

Quando dividimos$8a^3+27$ por$2a+3$ em Exemplo, o resultado foi$4a^2−6a+9$. Para conferir nosso trabalho, multiplicamos$4a2−6a+9$ por$2a+3$ para obter$8a^3+27$.

$$(4a^2−6a+9)(2a+3)=8a^3+27 \nonumber$$

Escrito dessa forma, podemos ver isso$4a^2−6a+9$ e$2a+3$ são fatores de$8a^3+27$. Quando fizemos a divisão, o restante foi zero.

Sempre que um divisor$x−c$,, divide uma função polinomial,$f(x)$, e resulta em um restante de zero, dizemos que$x−c$ é um fator de$f(x)$.

O inverso também é verdadeiro. Se$x−c$ for um fator de$f(x)$, então$x−c$ dividirá a função polinomial, resultando em um restante de zero.

Vamos afirmar isso no Teorema do Fator.

Definição: TEOREMA DO FATOR

Para qualquer função polinomial$f(x)$,

• se$x−c$ é um fator de$f(x)$, então$f(c)=0$
• se$f(c)=0$, então$x−c$ é um fator de$f(x)$

Exemplo$\PageIndex{11}$

Use o Teorema do Restante para determinar se$x−4$ é um fator de$f(x)=x^3−64$.

Solução

O Teorema do Fator nos diz que isso$x−4$ é um fator de$f(x)=x^3−64$ se$f(4)=0$.

$\begin{array} {ll} {} &{f(x)=x^3−64} \\[5pt] {\text{To evaluate }f(4) \text{ substitute } x=4.} &{f(4)=4^3−64} \\[5pt] {\text{Simplify.}} &{f(4)=64−64} \\[5pt]{\text{Subtract.}} &{f(4)=0} \end{array}$

Uma vez que$f(4)=0, x−4$ é um fator de$f(x)=x^3−64$.

Experimente! $\PageIndex{21}$

Use o Teorema do Fator para determinar se$x−5$ é um fator de$f(x)=x^3−125$.

Resposta

sim

Experimente! $\PageIndex{22}$

Use o Teorema do Fator para determinar se$x−6$ é um fator de$f(x)=x^3−216$.

Resposta

sim

Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar a divisão de polinômios.

• Dividindo um polinômio por um binômio
• Divisão sintética e teorema do resto

Conceitos-chave

• Divisão de um polinômio por um monômio
  • Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.
• Divisão de funções polinomiais
  • Para funções$f(x)$ e$g(x)$, onde$g(x)\neq 0$,
    $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
• Teorema do Restante
  • Se a função polinomial$f(x)$ for dividida por$x−c$, o restante será$f(c)$.
• Teorema do fator: Para qualquer função polinomial$f(x)$,
  • se$x−c$ é um fator de$f(x)$, então$f(c)=0$
  • se$f(c)=0$, então$x−c$ é um fator de$f(x)$