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5.5: Dividindo polinômios

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

  • Dividindo monômios
  • Dividindo um polinômio por um monômio
  • Divisão de polinômios usando divisão longa
  • Divisão de polinômios usando divisão sintética
  • Dividindo funções polinomiais
  • Use os teoremas do restante e dos fatores

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Adicionar:3d+xd.
    Se você perdeu esse problema, revise [link].
  2. Simplifique:30xy35xy.
    Se você perdeu esse problema, revise [link].
  3. Combine termos semelhantes:8a2+12a+1+3a25a+4.
    Se você perdeu esse problema, revise [link].

Dividindo monômios

Agora estamos familiarizados com todas as propriedades dos expoentes e as usamos para multiplicar polinômios. Em seguida, usaremos essas propriedades para dividir monômios e polinômios.

Exemplo5.5.1

Encontre o quociente:54a2b3÷(6ab5).

Solução

Quando dividimos monômios com mais de uma variável, escrevemos uma fração para cada variável.

54a2b3÷(6ab5)Rewrite as a fraction.54a2b36ab5Use fraction multiplication.546·a2a·b3b5Simplify and use the Quotient Property.9·a·1b2Multiply.9ab2

Experimente! 5.5.1

Encontre o quociente:72a7b3÷(8a12b4).

Resposta

9a5b

Experimente! 5.5.2

Encontre o quociente:63c8d3÷(7c12d2).

Resposta

9dc4

Depois de se familiarizar com o processo e praticá-lo passo a passo várias vezes, você poderá simplificar uma fração em uma etapa.

Exemplo5.5.2

Encontre o quociente:14x7y1221x11y6.

Solução

Tenha muito cuidado para simplificar1421 dividindo um fator comum e simplificar as variáveis subtraindo seus expoentes.

14x7y1221x11y6Simplify and use the Quotient Property.2y63x4

Experimente! 5.5.3

Encontre o quociente:28x5y1449x9y12.

Resposta

4y27x4

Experimente! 5.5.4

Encontre o quociente:30m5n1148m10n14.

Resposta

58m5n3

Divida um polinômio por um monômio

Agora que sabemos como dividir um monômio por um monômio, o próximo procedimento é dividir um polinômio de dois ou mais termos por um monômio. O método que usaremos para dividir um polinômio por um monômio é baseado nas propriedades da adição de frações. Então, começaremos com um exemplo para revisar a adição de frações. A somay5+25 se simplifica paray+25. Agora faremos isso ao contrário para dividir uma única fração em frações separadas. Por exemplo,y+25 pode ser escritoy5+25.

Esse é o “inverso” da adição de frações e afirma que se a, b e c são números ondec0, entãoa+bc=ac+bc. Usaremos isso para dividir polinômios por monômios.

definição: DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO

Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplo5.5.3

Encontre o quociente:(18x3y36xy2)÷(3xy).

Solução

(18x3y36xy2)÷(3xy)Rewrite as a fraction.18x3y36xy23xyDivide each term by the divisor. Be careful with the signs!18x3y3xy36xy23xySimplify.6x2+12y

Experimente! 5.5.5

Encontre o quociente:(32a2b16ab2)÷(8ab).

Resposta

4a+2b

Experimente! 5.5.6

Encontre o quociente:(48a8b436a6b5)÷(6a3b3).

Resposta

8a5b+6a3b2

Divida polinômios usando divisão longa

Dividindo um polinômio por um binômio, seguimos um procedimento muito semelhante à divisão longa de números. Então, vamos examinar cuidadosamente os passos que tomamos quando dividimos um número de 3 dígitos, 875, por um número de 2 dígitos, 25.

Esta figura mostra a divisão longa de 875 dividida por 25. 875 é rotulado como dividendo e 25 é rotulado como divisor. O resultado de 35 é rotulado como quociente. O 3 em 35 é determinado pelo número de vezes que podemos dividir 25 em 87. Multiplicar 25 e 3 resulta em 75. 75 é subtraído de 87 para obter 12. O 5 de 875 é reduzido para transformar 12 em 125. O 5 em 35 é determinado a partir do número de vezes que foi possível dividir 25 em 125. Como 25 vai para 125 uniformemente, não há resto. O resultado da subtração de 125 de 125 é 0, que é rotulado como resto.

Verificamos a divisão multiplicando o quociente pelo divisor. Se fizermos a divisão corretamente, o produto deve ser igual ao dividendo.

35·25875

Agora vamos dividir um trinômio por um binômio. Ao ler o exemplo, observe como as etapas são semelhantes às do exemplo numérico acima.

Exemplo5.5.4

Encontre o quociente:(x2+9x+20)÷(x+5).

Solução

(x2+9x+20)÷(x+5)
Escreva isso como um problema de divisão longa.
Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão.

x+5x2+9x+200

Dividax2 porx. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “xPor que
preciso multiplicar para conseguirx2?”

xx+5x2+9x+200

Coloque a respostax,, no quociente sobre ox termo.
Multipliquex vezesx+5. Alinhe os termos similares sob o dividendo.

xx+5x2+9x+200x2+5x_

Subtraiax2+5x dex2+9x.
Você pode achar mais fácil alterar os sinais e depois adicionar.
Em seguida, derrube o último termo,20.

xx+5x2+009x+200x2+(5x)_4x+20


Divida4x porx. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “xPor que
preciso multiplicar para conseguir4x?”
Coloque a resposta4,, no quociente sobre o termo constante.

x+04x+5x2+009x+200x2+(5x)_4x+20

Multiplique 4 vezesx+5.

x+04x+5x2+009x+200x2+(5x)_4x+204x+20_

Subtraia4x+20 de4x+20.

x+04x+5x2+009x+200x2+(5x)_4x+204x+(20)_0

Confira:

Multiply the quotient by the divisor.(x+4)(x+5)You should get the dividend.x2+9x+20

 
Experimente! 5.5.7

Encontre o quociente:(y2+10y+21)÷(y+3).

Resposta

y+7

Experimente! 5.5.8

Encontre o quociente:(m2+9m+20)÷(m+4).

Resposta

m+5

Quando dividimos 875 por 25, não tínhamos resto. Mas às vezes a divisão de números deixa um resto. O mesmo acontece quando dividimos polinômios. No próximo exemplo, teremos uma divisão que deixa um restante. Escrevemos o restante como uma fração com o divisor como denominador.

Examine os dividendos nos exemplos anteriores. Os termos foram escritos em ordem decrescente de graus e não faltavam graus. O dividendo neste exemplo seráx4x2+5x6. Está faltando umx3 termo. Vamos adicionar0x3 como um espaço reservado.

Exemplo5.5.5

Encontre o quociente:(x4x2+5x6)÷(x+2).

Solução

Observe que não háx3 prazo no dividendo. Vamos adicionar0x3 como um espaço reservado.

  .
Escreva isso como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão com espaços reservados para termos ausentes. .
Dividax4 porx.
Coloque a respostax3,, no quociente sobre ox3 termo.
Multipliquex3 vezesx+2. Alinhe os termos semelhantes.
Subtraia e, em seguida, reduza o próximo termo.
.
Divida2x3 porx.
Coloque a resposta2x2,, no quociente sobre ox2 termo.
Multiplique2x2 vezesx+1. Alinhe os termos semelhantes
Subtrair e reduza o próximo termo.
.
Divida3x2 porx.
Coloque a resposta3x,, no quociente sobre ox termo.
Multiplique3x vezesx+1. Alinhe os termos semelhantes.
Subtraia e reduza o próximo termo.
.
Dividax porx.
Coloque a resposta1,, no quociente sobre o termo constante.
Multiplique1 vezesx+1. Alinhe os termos semelhantes.
Mude os sinais, adicione.

Escreva o restante como uma fração com o divisor como denominador.
.
Para verificar, multiplique(x+2)(x32x2+3x14x+2).
O resultado deve serx4x2+5x6.
 
Experimente! 5.5.9

Encontre o quociente:(x47x2+7x+6)÷(x+3).

Resposta

x33x2+2x+1+3x+3

Experimente! 5.5.10

Encontre o quociente:(x411x27x6)÷(x+3).

Resposta

x33x22x13x+3

No próximo exemplo, dividiremos por2a3. À medida que dividimos, teremos que considerar as constantes e as variáveis.

Exemplo5.5.6

Encontre o quociente:(8a3+27)÷(2a+3).

Solução

Desta vez, mostraremos a divisão em uma única etapa. Precisamos adicionar dois espaços reservados para dividi-los.

  .
  .

Para verificar, multiplique(2a+3)(4a26a+9).

O resultado deve ser8a3+27.

Experimente! 5.5.11

Encontre o quociente:(x364)÷(x4).

Resposta

x2+4x+16

Experimente! 5.5.12

Encontre o quociente:(125x38)÷(5x2).

Resposta

25x2+10x+4

Divida polinômios usando divisão sintética

Como mencionamos anteriormente, os matemáticos gostam de encontrar padrões para facilitar seu trabalho. Como a divisão longa pode ser entediante, vamos analisar a divisão longa que fizemos no Example e procurar alguns padrões. Usaremos isso como base para o que é chamado de divisão sintética. O mesmo problema no formato de divisão sintética é mostrado a seguir.

A figura mostra a divisão longa de 1 x ao quadrado mais 9 x mais 20 dividida por x mais 5 ao lado do mesmo problema feito com a divisão sintética. No problema da divisão longa, os coeficientes do dividendo são 1 e 9 e 20 e o zero do divisor é menos 5. No problema da divisão sintética, apenas escrevemos os números menos 5 1 9 20 com uma linha separando o menos 5. No problema da divisão longa, os termos subtraídos são 5 x e 20. No problema da divisão sintética, a segunda linha são os números menos 5 e menos 20. O restante do problema é 0 e o quociente é x mais 4. A divisão sintética coloca esses coeficientes como a última linha 1 4 0.

A divisão sintética basicamente remove variáveis e números repetidos desnecessários. Aqui, todos osx ex2 são removidos. bem como osx2 e4x, pois são opostos ao termo acima.

  • A primeira linha da divisão sintética são os coeficientes do dividendo. O5 é o oposto do 5 no divisor.
  • A segunda linha da divisão sintética são os números mostrados em vermelho no problema da divisão.
  • A terceira linha da divisão sintética são os números mostrados em azul no problema da divisão.

Observe que o quociente e o restante são mostrados na terceira linha.

Synthetic division only works when the divisor is of the form xc.

O exemplo a seguir explicará o processo.

Exemplo5.5.7

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando2x3+3x2+x+8 é dividido porx+2.

Solução

Escreva o dividendo com poderes decrescentes dex. .
Escreva os coeficientes dos termos como a primeira
linha da divisão sintética.
.
Escreva o divisor comoxc e coloque c
na divisão sintética na caixa do divisor.
.
Reduza o primeiro coeficiente para a terceira linha. .
Multiplique esse coeficiente pelo divisor e coloque o
resultado na segunda linha abaixo do segundo coeficiente.
.
Adicione a segunda coluna, colocando o resultado na terceira linha. .
Multiplique esse resultado pelo divisor e coloque o
resultado na segunda linha abaixo do terceiro coeficiente.
.
Adicione a terceira coluna, colocando o resultado na terceira linha. .
Multiplique esse resultado pelo divisor e coloque o
resultado na terceira linha abaixo do terceiro coeficiente.
.
Adicione a coluna final, colocando o resultado na terceira linha. .
O quociente é2x21x+3 e o restante é 2.  

A divisão está completa. Os números na terceira linha nos dão o resultado. 2   1   3São os coeficientes do quociente. O quociente é2x21x+3. O 2 na caixa na terceira linha é o restante.

Confira:

(quotient)(divisor)+remainder=dividend(2x21x+3)(x+2)+2?=2x3+3x2+x+82x3x2+3x+4x22x+6+2?=2x3+3x2+x+82x3+3x2+x+8=2x3+3x2+x+8

Experimente! 5.5.13

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando3x3+10x2+6x2 é dividido porx+2.

Resposta

3x2+4x2; 2

Experimente! 5.5.14

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quando4x3+5x25x+3 é dividido porx+2.

Resposta

4x23x+1;1

No próximo exemplo, faremos todas as etapas juntos.

Exemplo5.5.8

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quandox416x2+3x+12 é dividido porx+4.

Solução

O polinômiox416x2+3x+12 tem seu termo em ordem decrescente, mas notamos que não há nenhumx3 termo. Adicionaremos um 0 como espaço reservado para ox3 termo. Naxc forma, o divisor éx(4).

A figura mostra os resultados do uso da divisão sintética com o exemplo do polinômio x elevado à quarta potência menos 16 x ao quadrado mais 3 x mais 12 dividido por x mais 4. O número do divisor, se for negativo 4. A primeira linha é 1 0 menos 16 3 12. A primeira coluna é 1 em branco 1. A segunda coluna é menos 16 16 0. A terceira coluna é 3 0 3. A quarta coluna é 12 menos 12 0.

Dividimos um4th polinômio de1st grau por um polinômio de grau para que o quociente seja um polinômio de3rd grau.

Lendo a partir da terceira linha, o quociente tem os coeficientes1   4   0   3, que éx34x2+3. O restante
é 0.

Experimente! 5.5.15

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quandox416x2+5x+20 é dividido porx+4.

Resposta

x34x2+5; 0

Experimente! 5.5.16

Use a divisão sintética para encontrar o quociente e o restante quandox49x2+2x+6 é dividido porx+3.

Resposta

x33x2+2; 0

Divida funções polinomiais

Assim como os polinômios podem ser divididos, as funções polinomiais também podem ser divididas.

definição: DIVISÃO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS

Para funçõesf(x) eg(x), ondeg(x)0,

(fg)(x)=f(x)g(x)

Exemplo5.5.9

Para funçõesf(x)=x25x14 eg(x)=x+2, encontre:

  1. (fg)(x)
  2. (fg)(4).

Solução

A equação mostra que f sobre g de x é igual a f de x dividido por g de x. Isso é traduzido em um problema de divisão mostrando x ao quadrado menos 5x menos 14 dividido por x mais 2. O quociente é x menos 7.

Substitute for f(x) and g(x).(fg)(x)=x25x14x+2Divide the polynomials.(fg)(x)=x7

ⓑ Em parte ⓐ encontramos(fg)(x) e agora somos convidados a encontrar(fg)(4).

(fg)(x)=x7To find (fg)(4), substitute x=4.(fg)(4)=47(fg)(4)=11

Experimente! 5.5.17

Para funçõesf(x)=x25x24 eg(x)=x+3, encontre:

  1. (fg)(x)
  2. (fg)(3).
Responda a

(fg)(x)=x8

Resposta b

(fg)(3)=11

Experimente! 5.5.18

Para funçõesf(x)=x25x36 eg(x)=x+4, encontre:

  1. (fg)(x)
  2. (fg)(5).
Responda a

(fg)(x)=x9

Resposta b

(fg)(x)=x9

Use o Teorema do Resto e do Fator

Vamos dar uma olhada nos problemas de divisão que acabamos de resolver e que acabaram com o restante. Eles estão resumidos no gráfico abaixo. Se pegarmos o dividendo de cada problema de divisão e o usarmos para definir uma função, obteremos as funções mostradas no gráfico. Quando o divisor é escrito comoxc, o valor da função atc,f(c), é o mesmo que o restante do problema de divisão.

Dividendo Divisorxc Restante Função f(c)
x4x2+5x6 \ (x−c\)” data-valign="top">x(2) 4 f(x)=x4x2+5x6 \ (f (c)\)” data-valign="top">4
3x32x210x+8 \ (x−c\)” data-valign="top">x2 4 f(x)=3x32x210x+8 \ (f (c)\)” data-valign="top">4
x416x2+3x+15 \ (x−c\)” data-valign="top">x(4) 3 f(x)=x416x2+3x+15 \ (f (c)\)” data-valign="top">3

Para ver isso de forma mais geral, percebemos que podemos verificar um problema de divisão multiplicando o quociente pelo divisor e adicionando o restante. Na notação de função, poderíamos dizer quef(x), para obter o dividendo, multiplicamos o quociente,q(x) vezes o divisorxc, e adicionamos o restanter.

  .
Se avaliarmos isso emc, obteremos: .
  .
  .

Isso nos leva ao Teorema do Restante.

Definição: TEOREMA DO RESTANTE

Se a função polinomialf(x) for dividida porxc, o restante seráf(c).

Exemplo5.5.10

Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quandof(x)=x3+3x+19 é dividido porx+2.

Solução

Para usar o Teorema do Restante, devemos usar o divisor noxc formulário. Podemos escrever o divisorx+2 comox(2). Então, o nossoc é2.

Para encontrar o restante, avaliamosf(c) qual éf(2).

  .
Para avaliarf(2), substituax=2. .
Simplifique. .
  .
  O restante é 5 quandof(x)=x3+3x+19 é dividido porx+2.
Verificação:
Use divisão sintética para verificar.
 
.  
O restante é 5.  
Experimente! 5.5.19

Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quandof(x)=x3+4x+15 é dividido porx+2.

Resposta

1

Experimente! 5.5.20

Use o Teorema do Restante para encontrar o restante quandof(x)=x37x+12 é dividido porx+3.

Resposta

6

Quando dividimos8a3+27 por2a+3 em Exemplo, o resultado foi4a26a+9. Para conferir nosso trabalho, multiplicamos4a26a+9 por2a+3 para obter8a3+27.

(4a26a+9)(2a+3)=8a3+27

Escrito dessa forma, podemos ver isso4a26a+9 e2a+3 são fatores de8a3+27. Quando fizemos a divisão, o restante foi zero.

Sempre que um divisorxc,, divide uma função polinomial,f(x), e resulta em um restante de zero, dizemos quexc é um fator def(x).

O inverso também é verdadeiro. Sexc for um fator def(x), entãoxc dividirá a função polinomial, resultando em um restante de zero.

Vamos afirmar isso no Teorema do Fator.

Definição: TEOREMA DO FATOR

Para qualquer função polinomialf(x),

  • sexc é um fator def(x), entãof(c)=0
  • sef(c)=0, entãoxc é um fator def(x)
Exemplo5.5.11

Use o Teorema do Restante para determinar sex4 é um fator def(x)=x364.

Solução

O Teorema do Fator nos diz que issox4 é um fator def(x)=x364 sef(4)=0.

f(x)=x364To evaluate f(4) substitute x=4.f(4)=4364Simplify.f(4)=6464Subtract.f(4)=0

Uma vez quef(4)=0,x4 é um fator def(x)=x364.

Experimente! 5.5.21

Use o Teorema do Fator para determinar sex5 é um fator def(x)=x3125.

Resposta

sim

Experimente! 5.5.22

Use o Teorema do Fator para determinar sex6 é um fator def(x)=x3216.

Resposta

sim

Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar a divisão de polinômios.

  • Dividindo um polinômio por um binômio
  • Divisão sintética e teorema do resto

Conceitos-chave

  • Divisão de um polinômio por um monômio
    • Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.
  • Divisão de funções polinomiais
    • Para funçõesf(x) eg(x), ondeg(x)0,
      (fg)(x)=f(x)g(x)
  • Teorema do Restante
    • Se a função polinomialf(x) for dividida porxc, o restante seráf(c).
  • Teorema do fator: Para qualquer função polinomialf(x),
    • sexc é um fator def(x), entãof(c)=0
    • sef(c)=0, entãoxc é um fator def(x)