1.6: Propriedades dos números reais
- Page ID
- 183356
Ao final desta seção, você poderá:
- Use as propriedades comutativas e associativas
- Use as propriedades de identidade, inverso e zero
- Simplifique expressões usando a propriedade distributiva
Use as propriedades comutativas e associativas
A ordem em que adicionamos dois números não afeta o resultado. Se somarmos\(8+9\) ou\(9+8\), os resultados serão os mesmos — ambos equivalem a 17. Então,\(8+9=9+8\). A ordem em que adicionamos não importa!
Da mesma forma, ao multiplicar dois números, a ordem não afeta o resultado. Se multiplicarmos\(9·8\) ou se\(8·9\) os resultados forem os mesmos, ambos serão iguais a 72. Então,\(9·8=8·9\). A ordem em que multiplicamos não importa! Esses exemplos ilustram a propriedade comutativa.
\[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array} \]
Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem dá o mesmo resultado.
A propriedade comutativa tem a ver com a ordem. Nós subtraímos\(9−8\) e\(8−9\), e vemos isso\(9−8\neq 8−9\). Como alterar a ordem da subtração não dá o mesmo resultado, sabemos que a subtração não é comutativa.
A divisão também não é comutativa. \(12÷3\neq 3÷12\)Pois, mudar a ordem da divisão não deu o mesmo resultado. As propriedades comutativas se aplicam somente à adição e multiplicação!
- A adição e a multiplicação são comutativas.
- A subtração e a divisão não são comutativas.
Ao adicionar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado. Por exemplo\((7+8)+2=7+(8+2)\), já que cada lado da equação é igual a 17.
Isso também vale para a multiplicação. Por exemplo\(\left(5·\frac{1}{3}\right)·3=5·\left(\frac{1}{3}·3\right)\), já que cada lado da equação é igual a 5.
Esses exemplos ilustram a propriedade associativa.
\[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array} \]
Ao adicionar ou multiplicar, alterar o agrupamento dá o mesmo resultado.
A propriedade associativa tem a ver com agrupamento. Se mudarmos a forma como os números são agrupados, o resultado será o mesmo. Observe que são os mesmos três números na mesma ordem — a única diferença é o agrupamento.
Vimos que a subtração e a divisão não eram comutativas. Eles também não são associativos.
\[\begin{array}{cc} (10−3)−2\neq 10−(3−2) & (24÷4)÷2\neq 24÷(4÷2) \\ 7−2\neq 10−1 & 6÷2\neq 24÷2 \\ 5\neq 9 & 3\neq 12 \end{array}\]
Ao simplificar uma expressão, é sempre uma boa ideia planejar quais serão as etapas. Para combinar termos semelhantes no próximo exemplo, usaremos a propriedade comutativa da adição para escrever os termos semelhantes juntos.
Simplifique:\(18p+6q+15p+5q\).
- Responda
-
\[\begin{array}{lc} \text{} & 18p+6q+15p+5q \\ \text{Use the Commutative Property of addition to} & 18p+15p+6q+5q \\ \text{reorder so that like terms are together.} & {} \\ \text{Add like terms.} & 33p+11q \end{array}\]
Simplifique:\(23r+14s+9r+15s\).
- Responda
-
\(32r+29s\)
Simplifique:\(37m+21n+4m−15n\).
- Responda
-
\(41m+6n\)
Quando precisamos simplificar expressões algébricas, muitas vezes podemos facilitar o trabalho aplicando primeiro a propriedade comutativa ou a propriedade associativa.
Simplifique:\((\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4}\).
- Responda
-
\( \begin{array}{lc} \text{} & (\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4} \\ {\text{Notice that the last 2 terms have a common} \\ \text{denominator, so change the grouping.} } & \frac{5}{13}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) \\ \text{Add in parentheses first.} & \frac{5}{13}+(\frac{4}{4}) \\ \text{Simplify the fraction.} & \frac{5}{13}+1 \\ \text{Add.} & 1\frac{5}{13} \\ \text{Convert to an improper fraction.} & \frac{18}{13} \end{array}\)
Simplifique:\((\frac{7}{15}+\frac{5}{8})+\frac{3}{8}.\)
- Responda
-
\(1 \frac{7}{15}\)
Simplifique:\((\frac{2}{9}+\frac{7}{12})+\frac{5}{12}\).
- Responda
-
\(1\frac{2}{9}\)
Use as propriedades de identidade, inverso e zero
O que acontece quando adicionamos 0 a qualquer número? Adicionar 0 não altera o valor. Por esse motivo, chamamos 0 de identidade aditiva. A propriedade de adição de identidade que afirma que, para qualquer número real\(a,a+0=a\) e\(0+a=a.\)
O que acontece quando multiplicamos qualquer número por um? Multiplicar por 1 não altera o valor. Então, chamamos 1 de identidade multiplicativa. A propriedade de multiplicação de identidade que afirma que para qualquer número real\(a,a·1=a\) e\(1⋅a=a.\)
Resumimos as propriedades de identidade aqui.
\[\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \\ \\ \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \\ \\ \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}\]
Qual número adicionado a 5 dá a identidade aditiva, 0? Nós sabemos
.jpg)
O número que faltava era o oposto do número!
Chamamos\(−a\) o inverso aditivo de\(a\). O oposto de um número é seu inverso aditivo. Um número e seu oposto se somam a zero, que é a identidade aditiva. Isso leva à Propriedade Inversa de Adição, que indica para qualquer número real.\(a,a+(−a)=0.\)
Qual número multiplicado por\(\frac{2}{3}\) dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras,\(\frac{2}{3}\) vezes o que resulta em 1? Nós sabemos
O número que faltava era o recíproco do número!
Chamamos\(\frac{1}{a}\) o inverso multiplicativo de a. O inverso de um número é seu inverso multiplicativo. Isso leva à Propriedade Inversa de Multiplicação, que afirma que, para qualquer número real\(a,a\neq 0,a·\frac{1}{a}=1.\)
Vamos declarar formalmente as propriedades inversas aqui.
\[\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}\]
A propriedade de identidade da adição diz que quando adicionamos 0 a qualquer número, o resultado é o mesmo número. O que acontece quando multiplicamos um número por 0? Multiplicar por 0 torna o produto igual a zero.
E quanto à divisão envolvendo zero? O que é\(0÷3\)? Pense em um exemplo real: se não houver biscoitos no pote de biscoitos e 3 pessoas quiserem compartilhá-los, quantos biscoitos cada pessoa recebe? Não há cookies para compartilhar, então cada pessoa recebe 0 cookies. Então,\(0÷3=0.\)
Podemos verificar a divisão com o fato de multiplicação relacionado. Então, sabemos\(0÷3=0\) porque\(0·3=0\).
Agora pense em dividir por zero. Qual é o resultado da divisão de 4 por 0? Pense no fato de multiplicação relacionado:
Existe um número que multiplicado por 0 dá 4? Como qualquer número real multiplicado por 0 dá 0, não há número real que possa ser multiplicado por 0 para obter 4. Concluímos que não há resposta para\(4÷0\) e, portanto, dizemos que a divisão por 0 é indefinida.
Resumimos as propriedades de zero aqui.
Multiplicação por Zero: Para qualquer número real a,
\[a⋅0=0 \; \; \; 0⋅a=0 \; \; \; \; \text{The product of any number and 0 is 0.}\]
Divisão por Zero: Para qualquer número real a,\(a\neq 0\)
\[\begin{array}{cl} \dfrac{0}{a}=0 & \text{Zero divided by any real number, except itself, is zero.} \\ \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} & \text{Division by zero is undefined.} \end{array}\]
Agora praticaremos o uso das propriedades de identidades, inversas e zero para simplificar expressões.
Simplifique:\(−84n+(−73n)+84n.\)
- Responda
-
\(\begin{array}{lc} \text{} & −84n+(−73n)+84n \\ \text{Notice that the first and third terms are} \\ \text{opposites; use the Commutative Property of} & −84n+84n+(−73n) \\ \text{addition to re-order the terms.} \\ \text{Add left to right.} & 0+(−73n) \\ \text{Add.} & −73n \end{array}\)
Simplifique:\(−27a+(−48a)+27a\).
- Responda
-
\(−48a\)
Simplifique:\(39x+(−92x)+(−39x)\).
- Responda
-
\(−92x\)
Agora veremos como reconhecer os recíprocos é útil. Antes de multiplicar da esquerda para a direita, procure por recíprocos — o produto deles é 1.
Simplifique:\(\frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7}\).
- Responda
-
\(\begin{array}{lc} \text{} & \frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7} \\ \text{Notice the first and third terms} \\ {\text{are reciprocals, so use the Commutative} \\ \text{Property of multiplication to re-order the} \\ \text{factors.}} & \frac{7}{15}·\frac{15}{7}·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply left to right.} & 1·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply.} & \frac{8}{23} \end{array}\)
Simplifique:\(\frac{9}{16}⋅\frac{5}{49}⋅\frac{16}{9}\).
- Responda
-
\(\frac{5}{49}\)
Simplifique:\(\frac{6}{17}⋅\frac{11}{25}⋅\frac{17}{6}\).
- Responda
-
\(\frac{11}{25}\)
O próximo exemplo nos torna cientes da distinção entre dividir 0 por algum número ou algum número ser dividido por 0.
Simplifique: a.\(\frac{0}{n+5}\), onde\(n\neq −5\) b.\(\frac{10−3p}{0}\) onde\(10−3p\neq 0.\)
- Responda
-
uma.
\(\begin{array}{lc} {} & \dfrac{0}{n+5} \\ \text{Zero divided by any real number except itself is 0.} & 0 \end{array}\)
b.
\(\begin{array}{lc} {} & \dfrac{10−3p}{0} \\ \text{Division by 0 is undefined.} & \text{undefined} \end{array}\)
Simplifique: a.\(\frac{0}{m+7}\), onde\(m\neq −7\) b.\(\frac{18−6c}{0}\), onde\(18−6c\neq 0\).
- Responda
-
a. 0
b. indefinido
Simplifique: a.\(\frac{0}{d−4}\), onde\(d\neq 4\) b.\(\frac{15−4q}{0}\), onde\(15−4q\neq 0\).
- Responda
-
a. 0
b. indefinido
Simplifique as expressões usando a propriedade distributiva
Suponha que três amigos estejam indo ao cinema. Cada um deles precisa de $9,25, ou seja, 9 dólares e 1 quarto, para pagar seus ingressos. De quanto dinheiro eles precisam juntos?
Você pode pensar nos dólares separadamente dos trimestres. Eles precisam de 3 vezes $9, então $27 e 3 vezes 1 trimestre, então 75 centavos. No total, eles precisam de $27,75. Se você pensa em fazer as contas dessa maneira, você está usando a Propriedade Distributiva.
\(\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}\)
Em álgebra, usamos a propriedade distributiva para remover parênteses à medida que simplificamos as expressões.
Simplifique:\(3(x+4)\).
- Responda
-
\(\begin{array} {} & 3(x+4) \\ \text{Distribute.} \; \; \; \; \; \; \; \; & 3·x+3·4 \\ \text{Multiply.} & 3x+12 \end{array}\)
Simplifique:\(4(x+2)\).
- Responda
-
\(4x8\)
Simplifique:\(6(x+7)\).
- Responda
-
\(6x42\)
Alguns estudantes acham útil desenhar setas para lembrá-los de como usar a Propriedade Distributiva. Então, a primeira etapa no Exemplo ficaria assim:
Simplifique:\(8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})\).
- Responda
-
Distribuir. 
Multiplique. 
Simplifique:\(6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})\).
- Responda
-
\(5y+3\)
Simplifique:\(12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})\)
- Responda
-
\(4n+9\)
Usar a propriedade distributiva, conforme mostrado no próximo exemplo, será muito útil quando resolvermos aplicações de dinheiro em capítulos posteriores.
Simplifique:\(100(0.3+0.25q)\).
- Responda
-
Distribuir. 
Multiplique. 
Simplifique:\(100(0.7+0.15p).\)
- Responda
-
\(70+15p\)
Simplifique:\(100(0.04+0.35d)\).
- Responda
-
\(4+35d\)
Quando distribuímos um número negativo, precisamos ter muito cuidado para corrigir os sinais!
Simplifique:\(−11(4−3a).\)
- Responda
-
\(\begin{array}{lc} {} & −11(4−3a) \\ \text{Distribute. } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;& −11·4−(−11)·3a \\ \text{Multiply.} & −44−(−33a) \\ \text{Simplify.} & −44+33a \end{array}\)
Observe que você também pode escrever o resultado como\(33a−44.\) Você sabe por quê?
Simplifique:\(−5(2−3a)\).
- Responda
-
\(−10+15a\)
Simplifique:\(−7(8−15y).\)
- Responda
-
\(−56+105y\)
No próximo exemplo, mostraremos como usar a propriedade distributiva para encontrar o oposto de uma expressão.
Simplifique:\(−(y+5)\).
- Responda
-
\(\begin{array}{lc} {} & −(y+5) \\ \text{Multiplying by }−1 \text{ results in the opposite.}& −1(y+5) \\ \text{Distribute.} & −1·y+(−1)·5 \\ \text{Simplify.} & −y+(−5) \\ \text{Simplify.} & −y−5 \end{array} \)
Simplifique:\(−(z−11)\).
- Responda
-
\(−z+11\)
Simplifique:\(−(x−4)\).
- Responda
-
\(−x+4\)
Haverá momentos em que precisaremos usar a Propriedade Distributiva como parte da ordem das operações. Comece examinando os parênteses. Se a expressão dentro dos parênteses não puder ser simplificada, a próxima etapa seria multiplicar usando a Propriedade Distributiva, que remove os parênteses. Os próximos dois exemplos ilustrarão isso.
Simplifique:\(8−2(x+3)\)
- Responda
-
Nós seguimos a ordem das operações. A multiplicação vem antes da subtração, então vamos distribuir o 2 primeiro e depois subtrair.
\(\begin{array}{lc} {} & \text{8−2(x+3)} \\ \text{Distribute.} & 8−2·x−2·3 \\ \text{Multiply.} & 8−2x−6 \\ \text{Combine like terms.} &−2x+2 \end{array}\)
Simplifique:\(9−3(x+2)\).
- Responda
-
\(3−3x\)
Simplifique:\(7x−5(x+4)\).
- Responda
-
\(2x−20\)
Simplifique:\(4(x−8)−(x+3)\).
- Responda
-
\(\begin{array}{lc} {} & 4(x−8)−(x+3) \\ \text{Distribute.} & 4x−32−x−3 \\ \text{Combine like terms.} & 3x−35 \end{array}\)
Simplifique:\(6(x−9)−(x+12)\).
- Responda
-
\(5x−66\)
Simplifique:\(8(x−1)−(x+5)\).
- Responda
-
\(7x−13\)
Todas as propriedades dos números reais que usamos neste capítulo estão resumidas aqui.
| Propriedade comutativa
Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem dá o mesmo resultado \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array} \] |
| Propriedade associativa
Ao adicionar ou multiplicar, alterar o agrupamento dá o mesmo resultado. \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array} \] |
| Propriedade distributiva
\[\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}\] |
| Propriedade de identidade \[\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}\] |
| Propriedade inversa
\[\begin{array}{lc} \textbf{of addition } \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}\] |
| Propriedades do Zero \[\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}\] |
Conceitos-chave
| Propriedade comutativa Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem dá o mesmo resultado \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array} \] |
| Propriedade associativa Ao adicionar ou multiplicar, alterar o agrupamento dá o mesmo resultado. \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array} \] |
| Propriedade distributiva
\[\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}\] |
| Propriedade de identidade
\[\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}\] |
| Propriedade inversa
\[\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}\] |
| Propriedades do Zero
\[\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}\] |
Glossário
- identidade aditiva
- O número 0 é a identidade aditiva porque adicionar 0 a qualquer número não altera seu valor.
- inverso aditivo
- O oposto de um número é seu inverso aditivo.
- identidade multiplicativa
- O número 1 é a identidade multiplicativa porque multiplicar 1 por qualquer número não altera seu valor.
- inverso multiplicativo
- O inverso de um número é seu inverso multiplicativo.