18.13 : Gravitation

Vérifiez votre compréhension

13.1. La force de gravité sur chaque objet augmente avec le carré de la distance inverse lorsqu'ils tombent ensemble, et donc l'accélération augmente également. Par exemple, si la distance est divisée par deux, la force et l'accélération sont quadruplées. Notre moyenne n'est précise que pour une accélération qui augmente linéairement, alors que l'accélération augmente en fait à un rythme plus élevé. Notre vitesse calculée est donc trop faible. Selon la troisième loi de Newton (forces d'action-réaction), la force de gravité entre deux objets doit être la même. Mais les accélérations ne le seront pas si elles ont des masses différentes.

13.2. Les bâtiments les plus hauts du monde se situent tous à moins de 1 km. Comme g est proportionnel à la distance au carré depuis le centre de la Terre, un simple ratio indique que la variation de g à 1 km au-dessus de la surface de la Terre est inférieure à 0,0001 %. Il ne serait pas nécessaire d'en tenir compte dans la conception structurelle.

13.3. La valeur de g diminue d'environ 10 % au cours de ce changement de hauteur. Donc,\(\Delta\) U = mg (y ₂ − y ₁) donnera une valeur trop grande. Si nous utilisons g = 9,80 m/s, nous obtenons\(\Delta\) U = mg (y ₂ − y ₁) = 3,53 x 10 ¹⁰ J, soit environ 6 % de plus que ce que l'on a trouvé avec la méthode correcte.

13,4. La sonde doit surmonter à la fois l'attraction gravitationnelle de la Terre et celle du Soleil. Dans le deuxième calcul de notre exemple, nous avons déterminé la vitesse nécessaire pour échapper au Soleil à une certaine distance de l'orbite de la Terre, et non de la Terre elle-même. La bonne façon de trouver cette valeur est de commencer par l'équation énergétique, Équation 13.3.2, dans laquelle vous devez inclure un terme énergétique potentiel pour la Terre et le Soleil.

13,5. Vous modifiez la direction de votre vélocité à l'aide d'une force perpendiculaire à la vélocité en tous points. En effet, vous devez constamment ajuster les propulseurs pour créer une force centripète jusqu'à ce que votre élan passe de tangentiel à radial. Un diagramme vectoriel simple montre que la variation nette de la quantité de mouvement est 2 fois supérieure à l'ampleur de la quantité de mouvement elle-même. Cela s'avère être un moyen très inefficace d'atteindre Mars. Nous discutons de la méthode la plus efficace utilisée dans les lois du mouvement planétaire de Kepler.

13,6. Dans l'équation 13.7, le rayon apparaît dans le dénominateur situé à l'intérieur de la racine carrée. Le rayon doit donc augmenter d'un facteur 4, pour diminuer la vitesse orbitale d'un facteur 2. La circonférence de l'orbite a également augmenté de ce facteur 4, de sorte qu'avec la moitié de la vitesse orbitale, la période doit être 8 fois plus longue. Cela peut également être vu directement à partir de l'équation 13.4.1.

13,7. L'hypothèse est que l'objet en orbite est beaucoup moins massif que le corps sur lequel il orbite. Cela n'est pas vraiment justifié dans le cas de la Lune et de la Terre. La Terre et la Lune gravitent autour de leur centre de gravité commun. Nous aborderons ce problème dans l'exemple suivant.

13,8. Les étoiles situées « à l'intérieur » de chaque galaxie seront plus proches de l'autre galaxie et ressentiront donc une force gravitationnelle plus importante que celles situées à l'extérieur. Par conséquent, ils connaîtront une accélération plus importante. Même sans cette différence de force, les étoiles intérieures tourneraient autour d'un rayon plus petit et, par conséquent, il se développerait un allongement ou un étirement de chaque galaxie. La différence de force ne fait qu'augmenter cet effet.

13,9. Le demi-grand axe de l'orbite hautement elliptique de la comète de Halley est de 17,8 UA et représente la moyenne du périhélie et de l'aphélie. Ce rayon se situe entre les rayons orbitaux de 9,5 UA et 19 UA pour Saturne et Uranus, respectivement. Le rayon d'une orbite circulaire est le même que celui du demi-grand axe, et comme la période augmente avec l'augmentation du demi-grand axe, on s'attend à ce que la période de Halley se situe entre les périodes de Saturne et d'Uranus.

13.10. Considérez la dernière équation ci-dessus. Les valeurs de r ₁ et r ₂ restent quasiment les mêmes, mais le diamètre de la Lune (r ₂ − r ₁) est un quart de celui de la Terre. Les forces de marée sur la Lune sont donc environ un quart plus importantes que sur Terre.

13.11. Compte tenu de l'incroyable densité requise pour forcer un corps de la taille de la Terre à devenir un trou noir, nous ne nous attendons pas à voir de tels petits trous noirs. Même un corps ayant la masse de notre Soleil devrait être comprimé d'un facteur 80 supérieur à celui d'une étoile à neutrons. On pense que les étoiles de cette taille ne peuvent pas devenir des trous noirs. Cependant, pour les étoiles ayant peu de masses solaires, on pense que l'effondrement gravitationnel à la fin de la vie d'une étoile pourrait former un trou noir. Comme nous le verrons plus tard, on pense maintenant que les trous noirs sont courants au centre des galaxies. Ces trous noirs galactiques contiennent généralement la masse de plusieurs millions d'étoiles.

Questions conceptuelles

1. La vérité ultime est la vérification expérimentale. La théorie des champs a été développée pour aider à expliquer comment la force s'exerce sans que des objets ne soient en contact à la fois sous l'effet de la gravité et des forces électromagnétiques agissant à la vitesse de la lumière. Ce n'est que depuis le XXe siècle que nous avons pu mesurer que la force n'est pas transmise immédiatement.

3. L'accélération centripète n'est pas dirigée selon la force gravitationnelle et, par conséquent, la ligne correcte du bâtiment (c'est-à-dire le fil à plomb) n'est pas dirigée vers le centre de la Terre. Mais les ingénieurs utilisent soit un fil à plomb, soit un transit, qui répondent tous deux à la fois à la direction de la gravité et à l'accélération. Aucune considération particulière ne doit être accordée à leur emplacement sur Terre.

5. À mesure que nous nous dirigeons vers des orbites plus grandes, le changement d'énergie potentielle augmente, tandis que la vitesse orbitale diminue. Par conséquent, le ratio est le plus élevé près de la surface de la Terre (techniquement infini si nous orbitons à la surface de la Terre sans changement d'altitude), passant à zéro lorsque nous nous éloignons de l'infini.

7. La durée de l'orbite doit être de 24 heures. Mais en outre, le satellite doit être situé sur une orbite équatoriale et orbitant dans le même sens que la rotation de la Terre. Les trois critères doivent être respectés pour que le satellite reste dans la même position par rapport à la surface de la Terre. Au moins trois satellites sont nécessaires, car deux satellites situés de part et d'autre de la Terre ne peuvent pas communiquer entre eux. (Ce n'est pas techniquement vrai, car il est possible de choisir une longueur d'onde qui fournit une diffraction suffisante. Mais ce serait totalement irréalisable.)

9. La vitesse est maximale là où le satellite est le plus proche de la grande masse et la plus faible là où elle est plus éloignée, soit au niveau du périapsis et de l'apoapsis, respectivement. C'est la conservation du moment cinétique qui régit cette relation. Mais elle peut également être obtenue grâce à la conservation de l'énergie, l'énergie cinétique doit être maximale là où l'énergie potentielle gravitationnelle est la plus faible (la plus négative). La force, et donc l'accélération, est toujours dirigée vers M sur le diagramme, et la vitesse est toujours tangente à la trajectoire en tout point. Le vecteur d'accélération possède une composante tangentielle le long de la direction de la vitesse à l'endroit le plus élevé sur l'axe y ; le satellite accélère donc. C'est tout le contraire qui se produit en position basse.

11. Le faisceau laser atteindra le mur le plus éloigné à une altitude inférieure à celle qu'il avait laissée, alors que le sol s'accélérait vers le haut. Par rapport au laboratoire, le faisceau laser « tombe ». On peut donc s'attendre à ce que cela se produise dans un champ gravitationnel. La masse de lumière, ou même un objet ayant une masse, n'est pas pertinente.

Problèmes

13. 7,4 x 10 ⁻⁸ N

15. environ 7,01 x 10 ⁻⁷ N

b. La masse de Jupiter est m _J = 1,90 x 10 ²⁷ kg, F _J = 1,35 x 10 ⁻⁶ N,\(\frac{F_{f}}{F_{J}}\) = 0,521

17. environ 9,25 x 10 ⁻⁶ N

b. Pas très, car l'ISS n'est même pas symétrique, encore moins sphérique.

19. environ 1,41 x 10 ⁻¹⁵ m/s ²

b. 1,69 x 10 ⁻⁴ m/s ²

21. environ 1,62 m/s ²

b. 3,75 m/s ²

23. environ 147 N

b. 25,5 N

environ 15 kg

d. 0

e. 15 kg

25. 12 m/s ²

27. \(\frac{3}{2}\)R _E

29. 5 000 m/s

31. 1440 m/s

33. 11 km/s

35. environ 5,85 x 10 ¹⁰ J

b. −5,85 x 10 ¹⁰ J ; Non Il suppose que l'énergie cinétique est récupérable. Ce ne serait même pas raisonnable si nous avions un ascenseur entre la Terre et la Lune.

37. a. 0,25

b. 0,125

39. environ 5,08 x 10 ³ km

b. C'est moins que le rayon de la Terre.

41. 1,89 x 10 ²⁷ kg

43. env. 4,01 x 10 ¹³ kg

b. Le satellite doit se trouver en dehors du rayon de l'astéroïde, il ne peut donc pas être plus grand que cela. Si elle était de cette taille, sa densité serait d'environ 1200 kg/m ³. C'est juste au-dessus de celui de l'eau, donc cela semble tout à fait raisonnable.

45. a. 1,66 x 10 ⁻¹⁰ m/s ² ; Oui, l'accélération centripète est si faible qu'elle soutient l'hypothèse selon laquelle un référentiel quasi inertiel peut être localisé au niveau du Soleil. b. 2,17 x 10 ⁵ m/s

47. 1,98 x 10 ³⁰ kg ; les valeurs sont les mêmes à 0,05 % près.

49. Comparez l'équation 13.7 et l'équation 13.5.5 pour voir qu'elles ne diffèrent que par le fait que le rayon circulaire, r, est remplacé par le demi-grand axe, a. Par conséquent, le rayon moyen est la moitié de la somme de l'aphélie et du périhélie, identique au demi-grand axe.

51. Le demi-grand axe, 3,78 UA, est déterminé à partir de l'équation de la période. C'est la moitié de la somme de l'aphélie et du périhélie, ce qui donne une distance entre aphélies de 4,95 UA.

53. 1,75 ans

55. 19 800 N ; cette zone n'est clairement pas viable

57. 1,19 x 10 ⁷ km

Problèmes supplémentaires

59. environ 1,85 x 10 ¹⁴ N

b. Ne le faites pas !

61. 1,49 x 10 ⁸ km

63. La valeur de g pour cette planète est de 2,4 m/s ², soit environ un quart de celle de la Terre. Ce sont donc de faibles sauteurs en hauteur.

65. Au pôle Nord, 983 N ; à l'équateur, 980 N

67. a. La vitesse d'échappement est toujours de 43,6 km/s. Pour lancer depuis la Terre dans le sens de la vitesse tangentielle de la Terre, il faut 43,4 − 29,8 = 13,8 km/s par rapport à la Terre.

b. L'énergie totale est nulle et la trajectoire est une parabole.

69. 44,9 km/s

71. environ 1,3 x 10 x ⁷ m

b. 1,56 x 10 ¹⁰ J ; −3,12 x 10 ¹⁰ J ; −1,56 x 10 ¹⁰ J

73. a. 6,24 x 10 ³ s, soit environ 1,7 heure. Il s'agissait d'un diamètre moyen de 520 km.

b. Vesta n'est clairement pas très sphérique, il faudrait donc se trouver au-dessus de la plus grande dimension, soit près de 580 km. Plus important encore, la nature non sphérique perturberait l'orbite très rapidement, de sorte que ce calcul ne serait pas très précis, même pour une orbite.

75. environ 323 km/s

b. Non, vous n'avez besoin que de la différence entre la vitesse orbitale et la vitesse d'échappement du système solaire, soit environ 323 − 228 = 95 km/s.

77. En réglant e = 1, nous avons\(\frac{\alpha}{r}\) = 1 + cos\(\theta\) →\(\alpha\) = r + rcos\(\theta\) = r + x ; par conséquent, r ² = x ² + y ² = (\(\alpha\)− x) ². Développez et collectez pour afficher x =\(\frac{1}{−2 \alpha}\) y ² +\(\frac{\alpha}{2}\).

79. Substituez directement dans l'équation énergétique en utilisant pv _p = qv _q à partir de la conservation du moment cinétique, et résolvez pour v _p.

Problèmes liés au défi

81. g =\(\frac{4}{3}\) G\(\rho \pi\) r → F = mg = [\(\frac{4}{3}\)Gm\(\rho \pi\)] r, et à partir de F = m\(\frac{d^{2} r}{dt^{2}}\), on obtient\(\frac{d^{2} r}{dt^{2}}\) = [\(\frac{4}{3}\)G\(\rho \pi\)] r où se trouve le premier terme\(\omega^{2}\). Alors T =\(\frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4G \rho \pi}}\) et si on remplace\(\rho\) =\(\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}\), on obtient la même expression que pour la période de l'orbite R.

83. En utilisant la masse du Soleil et le rayon orbital de la Terre, l'équation donne 2,24 x 10 ¹⁵ m ² /s. La valeur de\(\frac{\pi R_{ES}^{2}}{1\; year}\) donne la même valeur.

85. \(\Delta\)U = U _f − U _i = −\(\frac{GM_{E} m}{r_{f}} + \frac{GM_{E} m}{r_{i}}\) = GM _E m\(\left(\dfrac{r_{f} − r_{i}}{r_{f} r_{i}}\right)\) où h = r _f − r _i. Si h << R _E, alors r _f r _i ≈ R _E ², et lors de la substitution, nous avons\(\Delta\) U = GM _E m\(\left(\dfrac{h}{R_{E}^{2}}\right)\) = mh\(\left(\dfrac{GM_{E}}{R_{E}^{2}}\right)\) où nous reconnaissons l'expression entre parenthèses comme la définition de g.

87. a. Détermine la différence de force, $$F_ {tidal} = \ frac {2Gmm} {R^ {3}} \ Delta r ; \]

b. Dans le cas présent, en utilisant le rayon de Schwarzschild d'un problème précédent, nous avons une force de marée de 9,5 x 10 ^-3 N. Cela ne se remarquera même pas !

Contributeurs et attributions

• Template:ContribOpenStaxUni