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15.4 : Comparaison du mouvement harmonique simple et du mouvement circulaire

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    Objectifs d'apprentissage
    • Décrire la relation entre les fonctions sinus et cosinus et les concepts de mouvement circulaire
    • Décrire le lien entre le mouvement harmonique simple et le mouvement circulaire

    Un moyen simple de modéliser le mouvement harmonique simple (SHM) consiste à envisager un mouvement circulaire uniforme. La figure\(\PageIndex{1}\) montre une façon d'utiliser cette méthode. Une cheville (un cylindre de bois) est fixée à un disque vertical et tourne à une fréquence angulaire constante.

    Une illustration de la méthode décrite dans le texte pour projeter une ombre oscillante. Une cheville fait saillie à partir d'un disque rotatif vertical qui est monté verticalement sur un mur. Un ensemble de lumières s'illumine, illuminant le piquet par le haut. L'ombre de la cheville est illustrée ci-dessous, telle qu'elle est vue à plusieurs reprises pendant l'oscillation, formant une série de points le long d'une ligne parallèle au mur. La distance entre le centre de la ligne et l'emplacement de l'ombre est x.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Le SHM peut être modélisé comme un mouvement de rotation en observant l'ombre d'un piquet sur une roue tournant à une fréquence angulaire constante.

    La figure\(\PageIndex{2}\) montre une vue latérale du disque et de la cheville. Si une lampe est placée au-dessus du disque et de la cheville, la cheville produit une ombre. Supposons que le disque ait un rayon de r = A et définissez la position de l'ombre qui coïncide avec l'axe du disque comme suit : x = 0,00 m. Lorsque le disque tourne à une vitesse constante, l'ombre oscille entre x = + A et x = −A. Imaginez maintenant un bloc sur un ressort sous le plancher, comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\).

    Comparaison de la position angulaire d'un piquet sur un disque rotatif, de la position de son ombre et de la position d'une masse oscillant sur un ressort horizontal. Sur chaque figure, la cheville est éclairée par le haut par un ensemble de lumières projetant une ombre sur une ligne horizontale. Le disque a un rayon r = A et tourne dans le sens antihoraire avec la vitesse angulaire oméga. La position angulaire de la cheville, thêta, est nulle lorsque la cheville se trouve directement à droite du centre du disque. Le ressort est fixé à un mur à gauche et à une masse à droite. La position de la masse et de l'ombre est x, où x=0 se trouve directement en dessous du centre du disque, X=-a est directement en dessous du bord gauche du disque et X=+A est directement en dessous du bord droit du disque. Dans la figure a, t=0,0. La cheville se trouve directement à droite du centre du disque. Son ombre et sa masse se situent toutes deux à x = +A. Dans la figure b, la cheville se trouve à l'angle thêta égal à oméga t, dans le premier quadrant. Son ombre et sa masse se trouvent toutes deux directement en dessous de la cheville, à ce qui semble être x = +A/2. L'heure n'est pas spécifiée. Dans la figure c, t=T/4. La cheville se trouve directement au-dessus du centre du disque. Sa position angulaire theta est égale à oméga t. Son ombre et sa masse sont toutes deux à x =0. Dans la figure d, la cheville se trouve à l'angle thêta égal à oméga t, maintenant dans le deuxième quadrant. Son ombre et sa masse se trouvent toutes deux directement en dessous de la cheville, à ce qui semble être x = -A/2. L'heure n'est pas spécifiée.

    Comparaison de la position angulaire d'un piquet sur un disque rotatif, de la position de son ombre et de la position d'une masse oscillant sur un ressort horizontal. Sur chaque figure, la cheville est éclairée par le haut par un ensemble de lumières projetant une ombre sur une ligne horizontale. Le disque a un rayon r = A et tourne dans le sens antihoraire avec la vitesse angulaire oméga. La position angulaire de la cheville, thêta, est nulle lorsque la cheville se trouve directement à droite du centre du disque. Le ressort est fixé à un mur à gauche et à une masse à droite. La position de la masse et de l'ombre est x, où x=0 se trouve directement en dessous du centre du disque, X=-a est directement en dessous du bord gauche du disque et X=+A est directement en dessous du bord droit du disque. Dans la figure a, t=0,0. La cheville se trouve directement à droite du centre du disque. Son ombre et sa masse se situent toutes deux à x = +A. Dans la figure b, la cheville se trouve à l'angle thêta égal à oméga t, dans le premier quadrant. Son ombre et sa masse se trouvent toutes deux directement en dessous de la cheville, à ce qui semble être x = +A/2. L'heure n'est pas spécifiée. Dans la figure c, t=T/4. La cheville se trouve directement au-dessus du centre du disque. Sa position angulaire theta est égale à oméga t. Son ombre et sa masse sont toutes deux à x =0. Dans la figure d, la cheville se trouve à l'angle thêta égal à oméga t, maintenant dans le deuxième quadrant. Son ombre et sa masse se trouvent toutes deux directement en dessous de la cheville, à ce qui semble être x = -A/2. L'heure n'est pas spécifiée.
    Figure\(\PageIndex{2}\) : La lumière brille sur le disque de telle sorte que la cheville forme une ombre. Si le disque tourne exactement à la bonne fréquence angulaire, l'ombre suit le mouvement du bloc sur un ressort. Si aucune énergie n'est dissipée à cause de forces non conservatrices, le bloc et l'ombre oscilleront d'avant en arrière à l'unisson. Dans cette figure, quatre clichés sont pris à quatre moments différents. (a) La roue commence à\(\theta\) = 0° et l'ombre du piquet est à x = + A, représentant la masse à la position x = + A. (b) Lorsque le disque tourne d'un angle\(\theta\) =\(\omega\) t, l'ombre du piquet se situe entre x = + A et x = 0. (c) Le disque continue de tourner jusqu'à\(\theta\) = 90°, date à laquelle l'ombre suit la masse jusqu'à x = 0. (d) Le disque continue de tourner, l'ombre suit la position de la masse.

    Si le disque tourne à la fréquence angulaire appropriée, l'ombre suit le bloc. La position de l'ombre peut être modélisée à l'aide de l'équation

    \[x(t) = A \cos (\omega t) \ldotp \label{15.14}\]

    Rappelons que le bloc attaché au ressort ne se déplace pas à vitesse constante. À quelle fréquence la roue doit-elle tourner pour que l'ombre du piquet soit toujours sur le bloc ? Le disque doit tourner à une fréquence angulaire constante égale à 2\(\pi\) fois la fréquence d'oscillation (\(\omega\)= 2\(\pi\) f).

    La figure\(\PageIndex{3}\) montre la relation de base entre le mouvement circulaire uniforme et le SHM. La cheville se trouve à l'extrémité du rayon, à une distance A du centre du disque. L'axe X est défini par une ligne tracée parallèlement au sol, coupant le disque en deux. L'axe Y (non représenté) est défini par une ligne perpendiculaire au sol, coupant le disque en une moitié gauche et une moitié droite. Le centre du disque est le point (x = 0, y = 0). La projection de la position de la cheville sur l'axe X fixe donne la position de l'ombre, qui subit une SHM analogue au système du bloc et du ressort. Au moment indiqué sur la figure, la projection a la position x et se déplace vers la gauche avec la vélocité\(v\). La vitesse tangentielle du piquet autour du cercle est égale à celle\(\bar{v}_{max}\) du bloc sur le ressort. La composante X de la vitesse est égale à la vitesse du bloc sur le ressort.

    Comparaison de la position angulaire d'un piquet sur un disque rotatif, de la position de son ombre et de la position d'une masse oscillant sur un ressort horizontal. Le disque a un rayon r = A et tourne dans le sens antihoraire avec la vitesse angulaire oméga. La position angulaire de la cheville, thêta, est nulle lorsque la cheville se trouve directement à droite du centre du disque et est égale à l'oméga t à l'heure indiquée. La vitesse linéaire de la cheville est représentée sous la forme d'un vecteur tangent au cercle situé au bord du disque. Il a une magnitude v sub max qui est égale à A oméga. Sa composante x est un vecteur horizontal vers la gauche — v sub max fois sinus omega t. La cheville projette une ombre sur une ligne horizontale. Le ressort est fixé à un mur à gauche et à une masse à droite. La position de la masse et de l'ombre est x, où x=0 se trouve directement en dessous du centre du disque, X=-a est directement en dessous du bord gauche du disque et X=+A est directement en dessous du bord droit du disque. Sur la figure, la cheville se trouve dans le premier quadrant. Son ombre et sa masse se situent toutes deux à une position x comprise entre 0 et plus A (elle semble être à x = A/2 sur la figure).
    Figure\(\PageIndex{3}\) : - Un piquet se déplaçant sur une trajectoire circulaire avec une vitesse angulaire constante ω subit un mouvement circulaire uniforme. Sa projection sur l'axe X est soumise à SHM. La vitesse de la cheville autour du cercle, v max, et sa projection, qui est v. Notez que ces vitesses forment un triangle similaire au triangle de déplacement.

    Nous pouvons utiliser Figure\(\PageIndex{3}\) pour analyser la vitesse de l'ombre lorsque le disque tourne. La cheville se déplace en cercle avec une vitesse de v max =\(\omega\) A. L'ombre se déplace à une vitesse égale à la composante de la vitesse de la cheville qui est parallèle à la surface où l'ombre est produite :

    \[v = -v_{max} \sin (\omega t) \ldotp \label{15.15}\]

    Il s'ensuit que l'accélération est

    \[a = -a_{max} \cos (\omega t) \ldotp \label{15.16}\]

    Exercice 15.3

    Identifiez un objet qui subit un mouvement circulaire uniforme. Décrivez comment vous pourriez tracer le SHM de cet objet.