14.9 : Viscosité et turbulence

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Objectifs d'apprentissage

Expliquez ce qu'est la viscosité
Calculez le débit et la résistance avec la loi de Poiseuille
Expliquer comment la pression chute en raison de la résistance
Calculez le nombre de Reynolds pour un objet se déplaçant dans un fluide
Utiliser le nombre de Reynolds pour un système afin de déterminer s'il est laminaire ou turbulent
Décrire les conditions dans lesquelles un objet a une vitesse terminale

Dans Applications des lois de Newton, qui a introduit le concept de friction, nous avons vu qu'un objet glissant sur le sol avec une vitesse initiale sans qu'aucune force appliquée ne s'arrête à cause de la force de friction. Le frottement dépend du type de matériau en contact et est proportionnel à la force normale. Nous avons également discuté de la résistance à la traînée et de l'air dans ce même chapitre Nous avons expliqué qu'à basse vitesse, la traînée est proportionnelle à la vitesse, alors qu'à haute vitesse, elle est proportionnelle à la vitesse au carré. Dans cette section, nous présentons les forces de friction qui agissent sur les fluides en mouvement. Par exemple, un fluide s'écoulant dans un tuyau est soumis à une résistance, un type de frottement, entre le fluide et les parois. Des frottements se produisent également entre les différentes couches de fluide. Ces forces de résistance influent sur la façon dont le fluide s'écoule dans le tuyau.

Viscosité et flux laminaire

Lorsque vous vous servez un verre de jus, le liquide s'écoule librement et rapidement. Mais si vous versez du sirop d'érable sur vos crêpes, ce liquide coule lentement et adhère au pichet. La différence réside dans la friction du fluide, à la fois à l'intérieur du fluide lui-même et entre le fluide et son environnement. C'est ce que nous appelons la viscosité des fluides. Le jus a une faible viscosité, tandis que le sirop a une viscosité élevée.

La définition précise de la viscosité est basée sur un écoulement laminaire ou non turbulent. La figure$\PageIndex{1}$ montre schématiquement les différences entre un écoulement laminaire et un écoulement turbulent. Lorsque le flux est laminaire, les couches s'écoulent sans se mélanger. Lorsque l'écoulement est turbulent, les couches se mélangent et des vitesses importantes se produisent dans des directions autres que la direction générale de l'écoulement.

La figure A est le schéma d'un flux laminaire qui se produit en couches sans mélange. La vitesse du fluide est différente pour les différentes couches. La figure B est le schéma d'un écoulement turbulent provoqué par l'obstruction. Un écoulement turbulent mélange le fluide, ce qui permet d'obtenir une vitesse uniforme du fluide. — Figure$\PageIndex{1}$ : (a) L'écoulement laminaire se produit en couches sans mélange. Notez que la viscosité provoque une traînée entre les couches ainsi qu'avec la surface fixe. La vitesse à proximité du bas du flux (v _b) est inférieure à la vitesse à proximité du sommet (v _t) car dans ce cas, la surface du récipient se trouve en bas. (b) Un obstacle dans le navire provoque un écoulement turbulent. Un flux turbulent mélange le fluide. Il y a plus d'interaction, plus d'échauffement et plus de résistance que dans le flux laminaire.

La turbulence est un flux de fluide dans lequel les couches se mélangent par des tourbillons et des tourbillons. Elle a deux causes principales. Tout d'abord, tout obstacle ou angle pointu, comme dans un robinet, crée de la turbulence en conférant des vitesses perpendiculaires à l'écoulement. Deuxièmement, les vitesses élevées provoquent des turbulences. La traînée entre des couches de fluide adjacentes et entre le fluide et son environnement peut former des tourbillons et des tourbillons si la vitesse est suffisamment élevée. Sur la figure$\PageIndex{2}$, la vitesse de la fumée en accélération atteint le point où elle commence à tourbillonner en raison de la traînée entre la fumée et l'air ambiant.

La figure est une photo de fumée qui s'élève doucement vers le bas et forme des tourbillons et des tourbillons au sommet. — Figure$\PageIndex{2}$ : La fumée s'élève doucement pendant un certain temps, puis commence à former des tourbillons et des tourbillons. L'écoulement régulier est appelé flux laminaire, tandis que les tourbillons et les tourbillons caractérisent un écoulement turbulent. La fumée s'élève plus rapidement lorsqu'elle s'écoule doucement que lorsqu'elle devient turbulente, ce qui suggère que la turbulence est plus résistante à l'écoulement. (crédit : « Creativity103 » /Flickr)

La figure$\PageIndex{3}$ montre comment la viscosité est mesurée pour un fluide. Le fluide à mesurer est placé entre deux plaques parallèles. La plaque inférieure est maintenue fixe, tandis que la plaque supérieure est déplacée vers la droite, entraînant le fluide avec elle. La couche (ou lame) de fluide en contact avec l'une ou l'autre des plaques ne bouge pas par rapport à la plaque, de sorte que la couche supérieure se déplace à la vitesse v tandis que la couche inférieure reste au repos. Chaque couche successive du haut vers le bas exerce une force sur celle qui se trouve en dessous, en essayant de la faire glisser, produisant une variation continue de vitesse de v à 0, comme indiqué. On veille à ce que le flux soit laminaire, c'est-à-dire que les couches ne se mélangent pas. Le mouvement de la figure ressemble à un mouvement de cisaillement continu. Les fluides ont une résistance au cisaillement nulle, mais la vitesse à laquelle ils sont cisaillés est liée aux mêmes facteurs géométriques A et L que la déformation au cisaillement des solides. Sur le schéma, le fluide est initialement au repos. La couche de fluide en contact avec la plaque mobile est accélérée et commence à se déplacer en raison du frottement interne entre la plaque mobile et le fluide. La couche suivante est en contact avec la couche mobile ; comme il y a friction interne entre les deux couches, elle accélère également, et ainsi de suite à travers la profondeur du fluide. Il existe également un frottement interne entre la plaque fixe et la couche de fluide la plus basse, à côté de la plaque de raccordement. La force est nécessaire pour maintenir la plaque en mouvement à une vitesse constante en raison du frottement interne.

La figure est un schéma du montage pour la mesure de la viscosité pour un écoulement laminaire de fluide entre deux plaques de la zone A. L est la séparation entre deux plaques. La plaque inférieure est fixe. Lorsque la plaque supérieure est poussée vers la droite, elle entraîne le fluide avec elle. — Figure$\PageIndex{3}$ : Mesure de la viscosité pour un écoulement laminaire de fluide entre deux plaques de la zone A. La plaque inférieure est fixe. Lorsque la plaque supérieure est poussée vers la droite, elle entraîne le fluide avec elle.

Une force F est requise pour maintenir la plaque supérieure de la figure en$\PageIndex{3}$ mouvement à une vitesse constante v, et des expériences ont montré que cette force dépend de quatre facteurs. Tout d'abord, F est directement proportionnel à v (jusqu'à ce que la vitesse soit si élevée qu'une turbulence se produise, alors une force beaucoup plus importante est nécessaire et dépend plus complexe de v). Deuxièmement, F est proportionnel à l'aire A de la plaque. Cette relation semble raisonnable, car A est directement proportionnel à la quantité de fluide déplacée. Troisièmement, F est inversement proportionnel à la distance entre les plaques L. Cette relation est également raisonnable ; L est comme un bras de levier, et plus le bras de levier est grand, moins la force requise est importante. Quatrièmement, F est directement proportionnel au coefficient de viscosité. Plus$\eta$ la viscosité est élevée, plus la force requise est importante. Ces dépendances sont combinées dans l'équation

\[F = \eta \frac{vA}{L} \ldotp\]

Cette équation nous donne une définition pratique de la viscosité du fluide$\eta$. Résoudre pour$\eta$ donner

\[\eta = \frac{FL}{vA} \label{14.17}\]

qui définit la viscosité en fonction de la façon dont elle est mesurée. L'unité de viscosité SI est$\frac{N\; \cdotp m}{[(m/s)m^{2}]}$ = (N/m ²) s ou Pa • s. Le tableau$\PageIndex{1}$ répertorie les coefficients de viscosité pour différents fluides. La viscosité varie d'un fluide à l'autre de plusieurs ordres de grandeur. Comme on peut s'y attendre, les viscosités des gaz sont bien inférieures à celles des liquides, et ces viscosités dépendent souvent de la température.

Tableau$\PageIndex{1}$ : Coefficients de viscosité de divers fluides
Fluide	Température (°C)	viscosité$\eta \times 10^{3}$
Air	0	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0171
	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0181
	40	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0190
	100	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0.0218
ammoniaque	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,00974
Dioxyde de carbone	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0147
Hélium	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0196
Hydrogène	0	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0090
Mercure	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0450
L'oxygène	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0.0203
Steam	100	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,0130
Eau liquide	0	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">1,792
	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">1.002
	37	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,6947
	40	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,653
	100	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,282
Du sang total	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">3.015
	37	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">2.084
Plasma sanguin	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">1.810
	37	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">1,257
Alcool éthylique	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">1,20
Méthanol	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">0,584
Pétrole (machine lourde)	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">660
Huile (moteur, SAE 10)	30	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">200
Huile (olive)	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">138
Glycérine	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">1500
Miel	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">2000-10000
sirop d'érable	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">2000-3000
Lait	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">3.0
Huile (maïs)	20	\ (\ eta \ times 10^ {3} \) » style="text-align:center ; » class="lt-phys-4714">65

Flux laminaire confiné aux tubes : loi de Poiseuille

Quelles sont les causes du flux ? Il n'est pas surprenant que la réponse soit une différence de pression. En fait, il existe une relation très simple entre le débit horizontal et la pression. Le débit$Q$ est dans le sens de la haute à la basse pression. Plus la différence de pression entre deux points est grande, plus le débit est important. Cette relation peut être définie comme suit :

\[Q = \frac{p_{2} - p_{1}}{R}\]

où$p_1$ et$p_2$ sont les pressions en deux points, par exemple à chaque extrémité d'un tube, et$R$ est la résistance à l'écoulement. La résistance$R$ inclut tout ce qui influe sur le débit, sauf la pression. Par exemple,$R$ est plus grand pour un tube long que pour un tube court. Plus la viscosité d'un fluide est élevée, plus la valeur de$R$. La turbulence augmente fortement R, tandis que l'augmentation du diamètre d'un tube diminue$R$.

Si la viscosité est nulle, le fluide est sans friction et la résistance à l'écoulement est également nulle. En comparant l'écoulement sans friction dans un tube à l'écoulement visqueux, comme sur la figure$\PageIndex{4}$, nous voyons que pour un fluide visqueux, la vitesse est maximale au milieu du cours en raison de la traînée aux limites. Nous pouvons observer l'effet de la viscosité dans la flamme d'un brûleur Bunsen [partie (c)], même si la viscosité du gaz naturel est faible.

La figure A est un schéma de l'écoulement non visqueux d'un fluide dans un tube. Toutes les couches de liquide se déplacent à la même vitesse. La figure B est un schéma de l'écoulement non visqueux d'un fluide dans un tube. Les couches situées au centre du tube se déplacent à une vitesse plus élevée. La figure C est une photo d'un brûleur Bunsen surmonté d'une flamme conique. — Figure$\PageIndex{4}$ : (a) Si l'écoulement du fluide dans un tube présente une résistance négligeable, la vitesse est la même sur tout le tube. (b) Lorsqu'un fluide visqueux s'écoule dans un tube, sa vitesse au niveau des parois est nulle et augmente régulièrement jusqu'à son maximum au centre du tube. (c) La forme de la flamme d'un brûleur Bunsen est due au profil de vitesse à travers le tube. (crédit c : modification d'une œuvre de Jason Woodhead)

La résistance R à l'écoulement laminaire d'un fluide incompressible de viscosité$\eta$ à travers un tube horizontal de rayon r et de longueur l uniformes est donnée par

\[R = \frac{8 \eta l}{\pi r^{4}} \ldotp \label{14.18}\]

Cette équation est appelée loi de résistance de Poiseuille, du nom du scientifique français J. L. Poiseuille (1799—1869), qui l'a dérivée pour tenter de comprendre le flux sanguin dans le corps.

Examinons l'expression R de Poiseuille pour voir si elle a un sens intuitif. Nous voyons que la résistance est directement proportionnelle à la fois à la viscosité du fluide$\eta$ et à la longueur l d'un tube. Après tout, ces deux facteurs influent directement sur la quantité de friction rencontrée : plus l'un ou l'autre est élevé, plus la résistance est élevée et plus le débit est faible. Le rayon r d'un tube affecte la résistance, ce qui est également logique, car plus le rayon est grand, plus le débit est important (tous les autres facteurs restant les mêmes). Mais il est surprenant que r soit élevé à la quatrième puissance de la loi de Poiseuille. Cet exposant signifie que toute modification du rayon d'un tube a un effet très important sur la résistance. Par exemple, le fait de doubler le rayon d'un tube diminue la résistance d'un facteur 2 ⁴ = 16.

Pris ensemble$Q = \frac{p_{2} - p_{1}}{R}$,$R = \frac{8 \eta l}{\pi r^{4}}$ donnez l'expression suivante pour le débit :

\[Q = \frac{(p_{2} - p_{1}) \pi r^{4}}{8 \eta l} \ldotp \label{14.19}\]

Cette équation décrit l'écoulement laminaire à travers un tube. Elle est parfois appelée loi de Poiseuille pour l'écoulement laminaire, ou simplement loi de Poiseuille (Figure$\PageIndex{5}$).

La figure est le schéma d'un tube de longueur l et de rayon r. Le fluide s'écoule à travers le tube dans le sens allant de la pression supérieure p2 à la pression inférieure p1. Le débit est laminaire et est plus élevé au centre d'un tube. — Figure$\PageIndex{5}$ : La loi de Poiseuille s'applique à l'écoulement laminaire d'un fluide incompressible de viscosité η à travers un tube de longueur l et de rayon r. Le sens de l'écoulement va de la pression la plus élevée à la plus basse. Le débit Q est directement proportionnel à la différence de pression p ₂ − p ₁, et inversement proportionnel à la longueur l du tube et à la viscosité$\eta$ du fluide. Le débit augmente avec le rayon d'un facteur r ⁴.

Exemple 14.8 : Utilisation de systèmes de climatisation à débit

Un système de climatisation est conçu pour fournir de l'air à une pression manométrique de 0,054 Pa à une température de 20 °C. L'air est envoyé par un conduit rond isolé d'un diamètre de 18 cm. Le conduit mesure 20 mètres de long et débouche sur une pièce à la pression atmosphérique de 101,30 kPa. La pièce a une longueur de 12 mètres, une largeur de 6 mètres et une hauteur de 3 mètres. a) Quel est le débit volumique à travers le tuyau, en supposant un écoulement laminaire ? (b) Estimez le temps nécessaire pour remplacer complètement l'air de la pièce. (c) Les constructeurs décident d'économiser de l'argent en utilisant un conduit d'un diamètre de 9,00 cm. Qu'est-ce que le nouveau débit ?

Stratégie

En supposant un flux laminaire, la loi de Poiseuille stipule que

\[Q = \frac{(p_{2} - p_{1}) \pi r^{4}}{8 \eta l} = \frac{dV}{dt} \ldotp \nonumber\]

Nous devons comparer le rayon de l'artère avant et après la réduction du débit. Notez qu'on nous donne le diamètre du conduit, il faut donc le diviser par deux pour obtenir le rayon.

Solution

En supposant une différence de pression constante et en utilisant la viscosité$\eta = 0.0181\; mPa\; \cdotp s$, $$Q = \ frac {(0,054 \ ; Pa) (3,14) (0,09 \ ; m) ^ {4}} {8 (0,0181 \ times 10^ {-3} \ ; Pa \ ; \ cdotp s) (20 \ ; m)} = 3,84 \ times 10^ {-3} \ ; m^ {3} /s \ ldotp$
En supposant un débit constant$Q = \frac{dV}{dt} \approx \frac{\Delta V}{\Delta t}$ $$ \ Delta t = \ frac {\ Delta V} {Q} = \ frac {(12 \ ; m) (6 \ ; m) (3 \ ; m)} {3,84 \ times 10^ {-3} \ ; m^ {3} /s} = 5,63 \ times 10^ {4} \ ; s = 15,63 \ ; hr \ ldotp \ nonumber$$
En utilisant le flux laminaire, la loi de Poiseuille donne $$Q = \ frac {(0,054 \ ; Pa) (3,14) (0,045 \ ; m) {4}} {8 (0,0181 \ times 10^ {-3} \ ; Pa \ ; \ cdotp s) (20 \ ; m)} = 22,40 \ fois 10^ {-4} \ ; m^ {3} /s \ LDotp$$ Ainsi, le rayon du conduit diminue de moitié, ce qui réduit le débit à 6,25 % de la valeur initiale.

L'importance

En général, en supposant un écoulement laminaire, la diminution du rayon a un effet plus important que la modification de la longueur. Si la longueur est augmentée et que toutes les autres variables restent constantes, le débit diminue :

\[\begin{split} \frac{Q_{A}}{Q_{B}} & = \frac{\frac{(p_{2} - p_{1}) \pi r_{A}^{4}}{8 \eta l_{A}}}{\frac{(p_{2} - p_{1}) \pi r_{B}^{4}}{8 \eta l_{B}}} = \frac{l_{B}}{l_{A}} \\ Q_{B} & = \frac{l_{A}}{l_{B}} Q_{A} \ldotp \end{split} \nonumber\]

En doublant la longueur, le débit est réduit de moitié par rapport au débit initial.

Si le rayon diminue et que toutes les autres variables restent constantes, le débit volumique diminue d'un facteur beaucoup plus important.

\[\begin{split} \frac{Q_{A}}{Q_{B}} & = \frac{\frac{(p_{2} - p_{1}) \pi r_{A}^{4}}{8 \eta l_{A}}}{\frac{(p_{2} - p_{1}) \pi r_{B}^{4}}{8 \eta l_{B}}} = \left(\dfrac{r_{A}}{r_{B}}\right)^{4} \\ Q_{B} & = \left(\dfrac{r_{B}}{r_{A}}\right)^{4} Q_{A} \end{split}\]

Couper le rayon de moitié fait baisser le débit jusqu'à un seizième du débit initial.

Débit et résistance en tant que causes des chutes de pression

La pression de l'eau dans les maisons est parfois inférieure à la normale pendant les périodes d'utilisation intensive, comme les chaudes journées d'été. La baisse de pression se produit dans la conduite d'eau principale avant qu'elle n'atteigne les maisons individuelles. Examinons le débit dans la conduite d'eau principale, comme illustré à la figure$\PageIndex{6}$. Nous pouvons comprendre pourquoi la pression p ₁ vers la maison baisse en période d'utilisation intensive en réorganisant l'équation du débit :

\[\begin{align} Q & = \frac{p_{2} - p_{1}}{R} \\[4pt] p_{2} - p_{1} & = RQ . \label{EQ5} \end{align}\]

Dans ce cas,$p_2$ est-ce que la pression à l'eau fonctionne et$R$ est la résistance de la conduite d'eau principale. En période d'utilisation intensive, le débit$Q$ est important. Cela signifie qu'$p_2 − p_1$il doit également être grand. Cela$p_1$ doit diminuer. Il est correct de penser que le débit et la résistance font chuter la pression de p ₂ à p ₁. L'équation p ₂ − p ₁ = RQ est valable à la fois pour les écoulements laminaires et turbulents.

La figure est le dessin schématique de quelques petites conduites d'eau menant aux maisons individuelles qui se rejoignent dans la conduite d'eau principale. — Figure$\PageIndex{6}$ : En période d'utilisation intensive, il se produit une chute de pression significative dans une conduite d'eau, et la valeur p ₁ fournie aux utilisateurs est nettement inférieure à la p ₂ créée par l'usine de distribution d'eau. Si le débit est très faible, alors la perte de charge est négligeable, et p ₂ ≈ p ₁.

Nous pouvons également utiliser l'équation \ ref {EQ5} pour analyser les pertes de charge survenant dans des systèmes plus complexes dans lesquels le rayon du tube n'est pas le même partout. La résistance est beaucoup plus grande dans les endroits étroits, comme dans une artère coronaire obstruée. Pour un débit Q donné, la perte de charge est maximale là où le tube est le plus étroit. C'est ainsi que les robinets d'eau contrôlent le débit. De plus, R est fortement augmenté par la turbulence, et une constriction qui crée de la turbulence réduit considérablement la pression en aval. La plaque dans une artère réduit la pression et donc le débit, à la fois par sa résistance et par la turbulence qu'elle crée.

Mesure de la turbulence

Un indicateur appelé nombre de Reynolds$N_R$ peut révéler si l'écoulement est laminaire ou turbulent. Pour l'écoulement dans un tube de diamètre uniforme, le nombre de Reynolds est défini comme

\[N_{R} = \frac{2 \rho vr}{\eta}\; (flow\; in\; tube) \label{14.20}\]

où$\rho$ sont la densité du fluide, v sa vitesse,$\eta$ sa viscosité et$r$ le rayon du tube. Le nombre de Reynolds est une quantité sans dimension. Des expériences ont révélé que cela$N_R$ est lié à l'apparition de turbulences. Pour N _R inférieur à environ 2000, le flux est laminaire. Au-delà$N_R$ de 3000, le débit est turbulent.

Pour des valeurs comprises$N_R$ entre environ 2 000 et 3 000, l'écoulement est instable, c'est-à-dire qu'il peut être laminaire, mais de petites obstructions et une rugosité de surface peuvent le rendre turbulent et il peut osciller de manière aléatoire entre laminaire et turbulent. En fait, l'écoulement d'un fluide dont le nombre de Reynolds est compris entre 2000 et 3000 est un bon exemple de comportement chaotique. Un système est défini comme étant chaotique lorsque son comportement est tellement sensible à certains facteurs qu'il est extrêmement difficile de le prévoir. Il est difficile, mais pas impossible, de prédire si l'écoulement est turbulent ou non lorsque le nombre de Reynold d'un fluide se situe dans cette plage en raison de la dépendance extrêmement sensible à des facteurs tels que la rugosité et les obstructions sur la nature de l'écoulement. Une petite variation d'un facteur a un effet exagéré (ou non linéaire) sur le débit.

Exemple 14.9 : Utilisation du débit : écoulement turbulent ou flux laminaire

Dans l'exemple 14.8, nous avons trouvé que le débit volumique d'un système de climatisation était Q = 3,84 x 10 ⁻³ m ³ /s. Ce calcul supposait un débit laminaire.

Etait-ce une bonne supposition ?
À quelle vitesse le flux deviendrait-il turbulent ?

Stratégie

Pour déterminer si le flux d'air à travers le système de climatisation est laminaire, nous devons d'abord déterminer la vitesse, qui peut être déterminée par

\[Q = Av = \pi r^{2} v \ldotp \nonumber\]

Ensuite, nous pouvons calculer le nombre de Reynold, à l'aide de l'équation ci-dessous, et déterminer s'il se situe dans la plage de l'écoulement laminaire

\[R = \frac{2 \rho vr}{\eta} \ldotp \nonumber \]

Solution

En utilisant les valeurs indiquées : $$ \ begin {split} v & = \ frac {Q} {\ pi r^ {2}} = \ frac {3,84 \ times 10^ {-3} \ ; m^ {3} /s} {3,14 (0,09 \ ; m) ^ {2}} = 0,15 \ ; m/s \ \ R & = \ frac {2 \ rho vr} {\ eta} = frac {2 (1,23 \ ; kg/m^ {3}) (0,15 \ ; m/s) (0,09 \ ; m)} {0,0181 \ times 10^ {-3} \ ; Pa \ ; \ cdotp s} = 1835 \ ldotp \ end {split} $$Depuis les Reynolds le nombre est de 1835 < 2000, le flux est laminaire et non turbulent. L'hypothèse selon laquelle le flux était laminaire est valide.
Pour déterminer la vitesse maximale de l'air afin de maintenir le flux laminaire, considérez le nombre de Reynold. $$ \ begin {split} R & = \ frac {2 \ rho vr} {\ eta} \ leq 2000 \ \ v & = \ frac {2000 (0,0181 \ fois 10 ^ {-3} \ ; Pa \ ; \ cdotp s)} {2 (1,23 \ ; kg/m^ {3}) (0,09 \ ; m)} = 0,16 \ ; m/s \ ldotp \ {end divisé} $$

L'importance

Lors du transfert d'un fluide d'un point à un autre, il est souhaitable de limiter les turbulences. La turbulence entraîne une perte d'énergie, car une partie de l'énergie destinée à déplacer le fluide est dissipée lorsque des tourbillons se forment. Dans ce cas, le système de climatisation devient moins efficace lorsque la vitesse dépasse 0,16 m/s, car c'est à ce moment que les turbulences commencent à se produire.