11.S : Moment cinétique (résumé)
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Termes clés
| moment cinétique | analogue rotationnel du moment linéaire, obtenu en prenant le produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire |
| loi de conservation du moment cinétique | le moment cinétique est conservé, c'est-à-dire que le moment cinétique initial est égal au moment cinétique final lorsqu'aucun couple externe n'est appliqué au système |
| précession | mouvement circulaire du pôle de l'axe d'un objet en rotation autour d'un autre axe sous l'effet d'un couple |
| mouvement de roulement | combinaison de mouvements de rotation et de translation avec ou sans glissement |
Équations clés
| Vitesse du centre de masse de l'objet roulant | $$v_ {CM} = R \ oméga$$ |
| Accélération du centre de masse d'un objet roulant | $$a_ {CM} = R \ alpha$$ |
| Déplacement du centre de gravité d'un objet roulant | $$d_ {CM} = R\ thète$$ |
| Accélération d'un objet qui roule sans glisser | $$a_ {CM} = \ frac {mg \ sin \ thêta} {m + \ left (\ dfrac {I_ {CM}} {r^ {2}} \ right)} $$ |
| Moment cinétique | $$ \ vec {l} = \ vec {r} \ times \ vec {p} $$ |
| Dérivée du moment cinétique égale le couple | $$ \ frac {d \ vec {l}} {dt} = \ somme \ vec {\ tau} $$ |
| Moment cinétique d'un système de particules | $$ \ vec {L} = \ vec {l} _ {1} + \ vec {l} _ {2} + \ cpoints + \ vec {l} _ {N} $$ |
| Pour un système de particules, la dérivée du moment cinétique est égale au couple | $$ \ frac {d \ vec {L}} {dt} = \ somme \ vec {\ tau} $$ |
| Moment cinétique d'un corps rigide rotatif | $$L = I \ oméga$$ |
| Conservation du moment cinétique | $$ \ frac {d \ vec {L}} {dt} = 0$$ |
| Conservation du moment cinétique | $$ \ vec {L} = \ vec {l} _ {1} + \ vec {l} _ {2} + \ cdots + \ vec {l} _ {N} = constante$$ |
| Vitesse angulaire précessionnelle | $$ \ omega_ {P} = \ frac {RMG} {I \ oméga} $$ |
Résumé
11.1 Mouvement de roulement
- Lors d'un mouvement de roulement sans glissement, une force de friction statique est présente entre l'objet roulant et la surface. Les relations v CM = R\(\omega\), a CM = R\(\alpha\) et d CM = R s'appliquent\(\theta\) toutes, de telle sorte que la vitesse linéaire, l'accélération et la distance du centre de masse sont les variables angulaires multipliées par le rayon de l'objet.
- Lors d'un mouvement de roulement avec glissement, une force de friction cinétique apparaît entre l'objet roulant et la surface. Dans ce cas, v CM /min R\(\omega\), a CM\(\alpha\), R et d CM,\(\theta\) r.
- Les économies d'énergie peuvent être utilisées pour analyser le mouvement de roulement. L'énergie est conservée lors du mouvement de roulement sans glisser. L'énergie n'est pas conservée lors du mouvement de roulement avec glissement en raison de la chaleur générée par le frottement cinétique.
11.2 Moment cinétique
- Le moment cinétique\(\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}\) d'une seule particule autour d'une origine désignée est le produit vectoriel du vecteur de position dans le système de coordonnées donné et du moment linéaire de la particule.
- Le moment cinétique\(\vec{l} = \sum_{i} \vec{l}_{i}\) d'un système de particules autour d'une origine désignée est la somme vectorielle des moments individuels des particules qui composent le système.
- Le couple net sur un système autour d'une origine donnée est la dérivée temporelle du moment cinétique autour de cette origine :\(\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}\)
- Un corps rotatif rigide possède un moment cinétique L = I\(\omega\) dirigé le long de l'axe de rotation. La dérivée temporelle du moment cinétique\(\frac{dL}{dt} = \sum \tau\) donne le couple net sur un corps rigide et est dirigée le long de l'axe de rotation.
11.3 Conservation du moment cinétique
- En l'absence de couples externes, le moment cinétique total d'un système est conservé. Il s'agit de la contrepartie rotationnelle de la conservation du moment linéaire lorsque la force externe sur un système est nulle.
- Pour un corps rigide qui modifie son moment cinétique en l'absence de couple externe net, la conservation du moment cinétique donne I f\(\omega_{f}\) = I i\(\omega_{i}\). Cette équation indique que la vitesse angulaire est inversement proportionnelle au moment d'inertie. Ainsi, si le moment d'inertie diminue, la vitesse angulaire doit augmenter pour conserver le moment cinétique.
- Les systèmes contenant à la fois des particules ponctuelles et des corps rigides peuvent être analysés en conservant le moment cinétique. Le moment cinétique de tous les corps du système doit être mesuré autour d'un axe commun.
11.4 Précession d'un gyroscope
- Lorsqu'un gyroscope est placé sur un pivot près de la surface de la Terre, il se déplace autour d'un axe vertical, car le couple est toujours horizontal et perpendiculaire à\(\vec{L}\). Si le gyroscope ne tourne pas, il acquiert un moment cinétique dans le sens du couple, et il tourne autour d'un axe horizontal, tombant exactement comme prévu.
- La vitesse angulaire précessionnelle est donnée par\(\omega_{P} = \frac{rMg}{I \omega}\), où r est la distance entre le pivot et le centre de masse du gyroscope, I est le moment d'inertie du disque rotatif du gyroscope, M est sa masse et\(\omega\) est la fréquence angulaire du disque gyroscopique.