9.8 : Collisions en plusieurs dimensions
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- Exprimer l'élan sous forme de vecteur bidimensionnel
- Ecrire des équations pour la conservation de la quantité de mouvement
- Calculez le moment en deux dimensions, sous forme de quantité vectorielle
Il est beaucoup plus fréquent que les collisions se produisent en deux dimensions, c'est-à-dire que l'angle entre les vecteurs de vitesse initiaux n'est ni nul ni 180°. Voyons quelles complications en découlent.
La première idée dont nous avons besoin est que le moment est un vecteur ; comme tous les vecteurs, il peut être exprimé sous la forme d'une somme de composantes perpendiculaires (généralement, mais pas toujours, une composante x et une composante y, et une composante z si nécessaire). Ainsi, lorsque nous notons la déclaration de conservation de l'élan pour un problème, nos vecteurs d'impulsion peuvent être, et seront généralement, exprimés sous forme de composants.
La deuxième idée dont nous avons besoin vient du fait que l'élan est lié à la force :
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]
Exprimant à la fois la force et la quantité de mouvement sous forme de composants,
\[F_{x} = \frac{dp_{x}}{dt}, F_{y} = \frac{dp_{y}}{dt}, F_{z} = \frac{dp_{z}}{dt} \ldotp\]
N'oubliez pas que ces équations sont simplement la deuxième loi de Newton, sous forme vectorielle et sous forme de composante. Nous savons que la deuxième loi de Newton est vraie dans tous les sens, indépendamment des autres. Il s'ensuit donc (via la troisième loi de Newton) que la conservation de la quantité de mouvement est également vraie dans chaque direction indépendamment.
Ces deux idées motivent la solution à des problèmes bidimensionnels : nous écrivons l'expression pour la conservation de l'élan deux fois : une fois dans la direction x et une fois dans la direction y.
\[p_{f,x} = p_{1,i,x} + p_{2,i,x} \label{9.18}\]
\[p_{f,y} = p_{1,i,y} + p_{2,i,y}\]
Cette procédure est illustrée graphiquement sur la figure\(\PageIndex{1}\).
Nous résolvons chacune de ces deux équations de composantes indépendamment pour obtenir les composantes x et y du vecteur de vitesse souhaité :
\[v_{f,x} = \frac{m_{1} v_{1,i,x} + m_{2} v_{2,i,x}}{m}\]
\[v_{f,y} = \frac{m_{1} v_{1,i,y} + m_{2} v_{2,i,y}}{m}\]
(Ici, m représente la masse totale du système.) Enfin, combinez ces composants en utilisant le théorème de Pythagore,
\[v_{f} = |\vec{v}_{f}| = \sqrt{v_{f,x}^{2} + v_{f,y}^{2}} \ldotp\]
La méthode de résolution d'un problème de conservation de l'élan bidimensionnel (ou même tridimensionnel) est généralement la même que la méthode de résolution d'un problème unidimensionnel, sauf que vous devez conserver l'élan dans les deux (ou les trois) dimensions simultanément :
- Identifiez un système fermé.
- Notez l'équation qui représente la conservation de la quantité de mouvement dans la direction X et résolvez-la pour obtenir la quantité souhaitée. Si vous calculez une quantité vectorielle (généralement la vitesse), cela vous donnera la composante X du vecteur.
- Écrivez l'équation qui représente la conservation de l'élan dans la direction y et résolvez. Cela vous donnera la composante y de votre quantité vectorielle.
- En supposant que vous calculez une quantité vectorielle, utilisez le théorème de Pythagore pour calculer sa magnitude en utilisant les résultats des étapes 3 et 4.
Une petite voiture de 1 200 kg qui roule vers l'est à 60 km/h entre en collision à une intersection avec un camion de 3 000 kg qui roule plein nord à 40 km/h (Figure\(\PageIndex{2}\)). Les deux véhicules sont verrouillés ensemble. Quelle est la vitesse de l'épave combinée ?
Stratégie
Tout d'abord, nous avons besoin d'un système fermé. Le système naturel à choisir est le (voiture+camion), mais ce système n'est pas fermé ; la friction de la route agit sur les deux véhicules. Nous évitons ce problème en nous limitant à déterminer la vitesse à l'instant suivant la collision, afin que la friction n'ait pas encore eu d'effet sur le système. Avec cette restriction, l'élan est conservé pour ce système.
Comme il y a deux directions impliquées, nous conservons l'élan deux fois : une fois dans la direction x et une fois dans la direction y.
Solution
Avant la collision, l'élan total est
\[\vec{p} = m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} \ldotp\]
Après la collision, l'épave prend de l'ampleur
\[\vec{p} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
Puisque le système est fermé, l'élan doit être conservé, nous avons donc
\[m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
Il faut faire attention ; les deux moments initiaux ne sont pas parallèles. Nous devons ajouter de manière vectorielle (Figure\(\PageIndex{3}\)).
Si nous définissons la direction +x pour pointer vers l'est et la direction +y pour le point nord, comme sur la figure, alors (commodément),
\[\vec{p}_{c} = p_{c}\; \hat{i} = m_{c} v_{c}\; \hat{i}\]
\[\vec{p}_{T} = p_{T}\; \hat{j} = m_{T} v_{T}\; \hat{j} \ldotp\]
Par conséquent, dans la direction X :
\[m_{c} v_{c} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,x}\]
\[v_{w,x} = \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c}\]
et dans la direction Y :
\[m_{T} v_{T} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,y}\]
\[v_{w,y} = \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{T} \ldotp\]
L'application du théorème de Pythagore donne
\[\begin{split} |\vec{v}_{w}| & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c} \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}} \right) v_{T} \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{1200\; kg}{4200\; kg}\right) (16.67\; m/s) \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{3000\; kg}{4200\; kg}\right) (11.1\; m/s) \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{(4.76\; m/s)^{2} + (7.93\; m/s)^{2}} \\ & = 9.25\; m/s \approx 33.3\; km/hr \ldotp \end{split}\]
Quant à sa direction, en utilisant l'angle indiqué sur la figure,
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v_{w,x}}{v_{w,y}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{7.93\; m/s}{4.76\; m/s}\right) = 59^{o} \ldotp\]
Cet angle se situe à l'est du nord, soit 31° dans le sens antihoraire par rapport à la direction +x.
L'importance
Concrètement, les enquêteurs travaillent généralement dans la « direction opposée » ; ils mesurent la distance entre les marques de dérapage sur la route (qui donne la distance d'arrêt) et utilisent le théorème de l'énergie de travail ainsi que la conservation de l'élan pour déterminer la vitesse et la direction des voitures avant le collision. Nous avons vu cette analyse dans une section précédente.
Supposons que les vitesses initiales ne soient pas perpendiculaires les unes aux autres. Comment cela changerait-il à la fois le résultat physique et l'analyse mathématique de la collision ?
Un réservoir de plongée classique est un cylindre en aluminium qui pèse 31,7 livres à vide (Figure\(\PageIndex{4}\)). Lorsqu'il est plein d'air comprimé, la pression interne se situe entre 2 500 et 3 000 psi (livres par pouce carré). Supposons qu'un tel char, qui était resté immobile, explose soudainement en trois morceaux. La première pièce, pesant 10 livres, part horizontalement à 235 miles par heure ; la seconde pièce (7 livres) part à 172 miles par heure, également dans le plan horizontal, mais à un angle de 19° par rapport à la première pièce. Quelles sont la masse et la vitesse initiale de la troisième pièce ? (Faites tout le travail et exprimez votre réponse finale en unités SI.)
Stratégie
Pour utiliser la conservation de l'élan, nous avons besoin d'un système fermé. Si nous définissons le système comme étant le réservoir de plongée, il ne s'agit pas d'un système fermé, puisque la gravité est une force externe. Cependant, le problème ne concerne que la vitesse initiale de la troisième pièce, de sorte que nous pouvons négliger l'effet de la gravité et considérer le réservoir en lui-même comme un système fermé. Notez que, pour ce système, le vecteur de moment initial est nul.
Nous choisissons un système de coordonnées où tout le mouvement se produit dans le plan xy. Nous écrivons ensuite les équations de conservation du moment dans chaque direction, obtenant ainsi les composantes x et y de la quantité de mouvement de la troisième pièce, à partir de laquelle nous obtenons sa magnitude (via le théorème de Pythagore) et sa direction. Enfin, en divisant cet élan par la masse de la troisième pièce, nous obtenons la vitesse.
Solution
Tout d'abord, éliminons toutes les conversions en unités SI :
\[31.7\; lb \times \frac{1\; kg}{2.2\; lb} \rightarrow 14.4\; kg\]
\[10\; lb \rightarrow 4.5\; kg\]
\[235\; \frac{miles}{hour} \times \frac{1\; hour}{3600\; s} \times \frac{1609\; m}{mile} = 105\; m/s\]
\[7\; lb \rightarrow 3.2\; kg\]
\[172 \frac{mile}{hour} = 77\; m/s\]
\[m_{3} = 14.4\; kg - (4.5\; kg + 3.2\; kg) = 6.7\; kg \ldotp\]
Appliquez maintenant la conservation de l'élan dans chaque direction.
Direction X :
\[\begin{split} p_{f,x} & = p_{0,x} \\ p_{1,x} + p_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ m_{1} v_{1,x} + m_{2} v_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ p_{3,x} & = -m_{1} v_{1,x} - m_{2} v_{2,x} \end{split}\]
Direction Y :
\[\begin{split} p_{f,y} & = p_{0,y} \\ p_{1,y} + p_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ m_{1} v_{1,y} + m_{2} v_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ p_{3,y} & = -m_{1} v_{1,y} - m_{2} v_{2,y} \end{split}\]
À partir du système de coordonnées que nous avons choisi, nous écrivons les composantes x comme
\[\begin{split} p_{3,x} & = - m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} \cos \theta \\ & = - (4.5\; kg)(105\; m/s) - (3.2\; kg)(77\; m/s) \cos (19^{o}) \\ & = -705\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Pour la direction Y, nous avons
\[\begin{split} p_{3,y} & = 0 - m_{2} v_{2} \sin \theta \\ & = - (3.2\; kg)(77\; m/s) \sin (19^{o}) \\ & = -80.2\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Cela donne la magnitude de p 3 :
\[\begin{split} p_{3} & = \sqrt{p_{3,x}^{2} + p_{3,y}^{2}} \\ & = \sqrt{(-705\; kg\; \cdotp m/s)^{2} + (-80.2\; kg\; \cdotp m/s)} \\ & = 710\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
La vitesse de la troisième pièce est donc
\[v_{3} = \frac{p_{3}}{m_{3}} = \frac{710\; kg\; \cdotp m/s}{6.7\; kg} = 106\; m/s \ldotp\]
La direction de son vecteur de vitesse est la même que celle de son vecteur de moment :
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{p_{3,y}}{p_{3,x}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{80.2\; kg\; \cdotp m/s}{705\; kg\; \cdotp m/s}\right) = 6.49^{o} \ldotp\]
Comme\(\phi\) il se trouve en dessous de l'axe −x, l'angle réel est de 186,49° par rapport à la direction +x.
L'importance
Les vitesses énormes qui s'y produisent sont typiques ; un réservoir de gaz comprimé qui explose peut facilement percer le mur d'une maison et provoquer des blessures graves, voire la mort. Heureusement, de telles explosions sont extrêmement rares, en pourcentage.
Notez que la masse d'air dans le réservoir a été négligée dans l'analyse et la solution. Comment la méthode de solution changerait-elle si l'air était inclus ? Quelle différence pensez-vous que cela ferait dans la réponse finale ?