9.7 : Types de collisions
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- Identifier le type de collision
- Étiqueter correctement une collision comme étant élastique ou inélastique
- Utilisez l'énergie cinétique ainsi que le moment et l'impulsion pour analyser une collision
Bien que l'élan soit conservé dans toutes les interactions, toutes les interactions (collisions ou explosions) ne sont pas identiques. Les possibilités incluent :
- Un seul objet peut se transformer en plusieurs objets (explosions).
- Plusieurs objets peuvent entrer en collision et se coller les uns aux autres, formant un seul objet (inélastique).
- Plusieurs objets peuvent entrer en collision et rebondir les uns sur les autres, restant ainsi des objets multiples (élastiques). S'ils rebondissent l'un sur l'autre, ils peuvent reculer à la même vitesse que celle à laquelle ils se sont approchés l'un de l'autre avant la collision, ou ils peuvent repartir plus lentement.
Il est donc utile de classer les différents types d'interactions, en fonction de la façon dont les objets en interaction se déplacent avant et après l'interaction.
Explosions
La première possibilité est qu'un seul objet se décompose en deux ou plusieurs morceaux. Un pétard, un arc et des flèches ou une fusée s'élevant dans les airs vers l'espace en sont un exemple. Ils peuvent être difficiles à analyser si le nombre de fragments après la collision est supérieur à environ trois ou quatre ; mais la quantité totale de mouvement du système avant et après l'explosion est néanmoins identique.
Notez que si l'objet est initialement immobile, alors le système (qui n'est que l'objet) n'a ni impulsion ni énergie cinétique. Après l'explosion, la quantité nette de mouvement de toutes les pièces de l'objet doit être nulle (car la quantité de mouvement de ce système fermé ne peut pas changer). Cependant, le système disposera d'une grande quantité d'énergie cinétique après l'explosion, alors qu'il n'en avait aucune auparavant. Ainsi, nous voyons que, bien que l'impulsion du système soit conservée lors d'une explosion, l'énergie cinétique du système ne l'est certainement pas ; elle augmente. Cette interaction — un objet devenant de plus en plus nombreux, avec une augmentation de l'énergie cinétique du système — s'appelle une explosion.
D'où vient l'énergie ? La conservation de l'énergie est-elle toujours d'actualité ? Oui, une certaine forme d'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique. Dans le cas de la combustion de poudre à canon et de la poussée d'une balle, l'énergie potentielle chimique est convertie en énergie cinétique de la balle et du canon qui recule. Pour un arc et une flèche, il s'agit de l'énergie potentielle élastique de la corde.
Inélastique
La deuxième possibilité est l'inverse : deux objets ou plus entrent en collision et se collent les uns aux autres, formant ainsi (après la collision) un seul objet composite. La masse totale de cet objet composite est la somme des masses des objets d'origine, et le nouvel objet unique se déplace à une vitesse dictée par la conservation de l'élan. Cependant, il s'avère à nouveau que, bien que la quantité totale de mouvement du système d'objets reste constante, l'énergie cinétique ne le fait pas ; mais cette fois, l'énergie cinétique diminue. Ce type de collision est appelé inélastique.
Toute collision au cours de laquelle les objets se collent entraînera la perte maximale d'énergie cinétique (c'est-à-dire que K f sera un minimum).
Une telle collision est dite parfaitement inélastique. Dans les cas extrêmes, plusieurs objets entrent en collision, se collent les uns aux autres et restent immobiles après la collision. Comme les objets sont tous immobiles après la collision, l'énergie cinétique finale est également nulle ; par conséquent, la perte d'énergie cinétique est maximale.
- Si 0 < K f < K i, la collision est inélastique.
- Si K f est l'énergie la plus faible ou si l'énergie perdue par les deux objets est la plus importante, la collision est parfaitement inélastique (les objets collent l'un contre l'autre).
- Si K f = K i, la collision est élastique.
élastique
Le cas extrême est celui où deux objets ou plus s'approchent l'un de l'autre, entrent en collision et rebondissent l'un sur l'autre, s'éloignant l'un de l'autre à la même vitesse relative à laquelle ils se sont approchés l'un de l'autre. Dans ce cas, l'énergie cinétique totale du système est conservée. Une telle interaction est appelée élastique.
Lors de toute interaction entre un système fermé d'objets, la quantité de mouvement totale du système est conservée (\(\vec{p}_{f}\)=\(\vec{p}_{i}\)) mais l'énergie cinétique ne doit pas être :
- Si 0 < K f < K i, la collision est inélastique.
- Si K f = 0, la collision est parfaitement inélastique.
- Si K f = K i, la collision est élastique.
- Si K f > K i, l'interaction est une explosion.
Le but de tout cela est que, pour analyser une collision ou une explosion, vous pouvez utiliser à la fois le moment et l'énergie cinétique.
Un système fermé conserve toujours l'élan ; il peut aussi conserver de l'énergie cinétique, mais très souvent ce n'est pas le cas. Les problèmes d'énergie-impulsion confinés à un plan (comme les nôtres) comportent généralement deux inconnues. En général, cette approche fonctionne bien :
- Définissez un système fermé.
- Écrivez l'expression pour conserver l'élan.
- Si l'énergie cinétique est conservée, notez l'expression pour la conservation de l'énergie cinétique ; sinon, notez l'expression pour le changement d'énergie cinétique.
- Vous avez maintenant deux équations dans deux inconnues, que vous pouvez résoudre par des méthodes standard.
Un proton (masse 1,67 x 10 −27 kg) entre en collision avec un neutron (ayant essentiellement la même masse que le proton) pour former une particule appelée deutéron. Quelle est la vitesse du deutéron s'il est formé d'un proton se déplaçant à une vitesse de 7,0 x 10 6 m/s vers la gauche et d'un neutron se déplaçant à une vitesse de 4,0 x 10 6 m/s vers la droite ?
Stratégie
Définissez le système comme étant constitué de deux particules. Il s'agit d'une collision, nous devons donc d'abord identifier de quel type. Comme on nous dit que les deux particules ne forment qu'une seule particule après la collision, cela signifie que la collision est parfaitement inélastique. Ainsi, l'énergie cinétique n'est pas conservée, mais l'impulsion l'est. Ainsi, nous utilisons la conservation de la quantité de mouvement pour déterminer la vitesse finale du système.
Solution
Traitez les deux particules comme ayant des masses identiques M. Utilisez les indices p, n et d pour le proton, le neutron et le deutéron, respectivement. Il s'agit d'un problème unidimensionnel, donc nous avons
\[Mv_{p} - Mv_{n} = 2Mv_{d} \ldotp\]
Les masses se divisent :
\[\begin{split} v_{p} - v_{n} & = 2v_{d} \\ (7.0 \times 10^{6}\; m/s) - (4.0 \times 10^{6}\; m/s) & = 2v_{d} \\ v_{d} & = 1.5 \times 10^{6}\; m/s \ldotp \end{split}\]
La vitesse est donc\(\vec{v}_{d} = (1.5 \times 10^{6}\; m/s) \hat{i}\).
L'importance
C'est essentiellement ainsi que fonctionnent les collisionneurs de particules tels que le Grand collisionneur de hadrons : ils accélèrent les particules à des vitesses très élevées (grands moments), mais dans des directions opposées. Cela maximise la création de ce que l'on appelle des « particules filles ».
(Il s'agit d'une variante d'un exemple précédent.)
Deux palets de hockey sur glace de masses différentes se trouvent sur une patinoire horizontale plate. Le palet rouge a une masse de 15 grammes et est immobile ; le palet bleu a une masse de 12 grammes et se déplace à 2,5 m/s vers la gauche. Il entre en collision avec le palet rouge immobile (Figure\(\PageIndex{1}\)). Si la collision est parfaitement élastique, quelles sont les vitesses finales des deux palets ?
Stratégie
On nous dit que nous avons deux objets qui entrent en collision, et on nous indique leur masse et leur vitesse initiale, ainsi qu'une vitesse finale ; on nous demande les deux vitesses finales. La conservation de l'élan semble être une bonne stratégie ; définissez le système comme étant composé de deux palets. Il n'y a pas de friction, nous avons donc un système fermé. Nous avons deux inconnues (les deux vitesses finales), mais une seule équation. Le commentaire selon lequel la collision est parfaitement élastique est un indice ; cela suggère que l'énergie cinétique est également conservée lors de cette collision. Cela nous donne notre deuxième équation.
L'impulsion initiale et l'énergie cinétique initiale du système résident entièrement et uniquement dans la deuxième rondelle (la bleue) ; la collision transfère une partie de cet élan et de cette énergie à la première rondelle.
Solution
La conservation de l'élan, dans ce cas, se lit comme suit
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ m_{2}v_{2,i} & = m_{1} v_{1,f} + m_{2} v_{2,f} \ldotp \end{split}\]
Conservation des lectures d'énergie cinétique
\[\begin{split} K_{i} & = K_{f} \\ \frac{1}{2} m_{2} v_{2,i}^{2} & = \frac{1}{2} m_{1} v_{1,f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,f}^{2} \ldotp \end{split}\]
Il y a nos deux équations dans deux inconnues. L'algèbre est fastidieuse mais pas très difficile ; vous devez absolument la mener à bien. La solution est
\[v_{1,f} = \frac{(m_{1} - m_{2})v_{1,i} + 2m_{2} v_{2,i}}{m_{1} + m_{2}}\]
\[v_{2,f} = \frac{(m_{2} - m_{1})v_{2,i} + 2m_{1} v_{1,i}}{m_{1} + m_{2}}\]
En substituant les nombres donnés, nous obtenons
\[v_{1,f} = 2.22\; m/s\]
\[v_{2,f} = -0.28\; m/s \ldotp\]
L'importance
Remarquez qu'après la collision, le palet bleu se déplace vers la droite ; sa direction de mouvement a été inversée. La rondelle rouge se déplace maintenant vers la gauche.
Il existe une deuxième solution au système d'équations résolu dans cet exemple (car l'équation énergétique est quadratique) : v 1, f = −2,5 m/s, v 2, f = 0. Cette solution est inacceptable pour des raisons physiques. Qu'y a-t-il de mal à cela ?
Le film « The Avengers » de 2012 présente une scène où Iron Man et Thor s'affrontent. Au début du combat, Thor lance son marteau sur Iron Man, le frappe et le projette légèrement en l'air et contre un petit arbre qui se brise. D'après la vidéo, Iron Man est immobile lorsque le marteau le frappe. La distance entre Thor et Iron Man est d'environ 10 m, et le marteau met environ 1 s pour atteindre Iron Man une fois que Thor l'a relâché. L'arbre se trouve à environ 2 m derrière Iron Man, qu'il atteint en 0,75 s. D'après la vidéo, la trajectoire d'Iron Man vers l'arbre est très proche de l'horizontale. En supposant que la masse totale d'Iron Man est de 200 kg :
- Estimez la masse du marteau de Thor
- Estimez la quantité d'énergie cinétique perdue lors de cette collision
Stratégie
Après la collision, le marteau de Thor est en contact avec Iron Man pendant tout le temps, il s'agit donc d'une collision parfaitement inélastique. Ainsi, avec le bon choix d'un système fermé, nous nous attendons à ce que l'élan soit conservé, mais pas l'énergie cinétique. Nous utilisons les nombres donnés pour estimer le moment initial, l'énergie cinétique initiale et l'énergie cinétique finale. Comme il s'agit d'un problème unidimensionnel, nous pouvons passer directement à la forme scalaire des équations.
Solution
- Tout d'abord, nous supposons la conservation de l'élan. Pour cela, nous avons besoin d'un système fermé. Le choix se porte ici sur le système (marteau+Iron Man), depuis le moment de la collision jusqu'au moment juste avant qu'Iron Man et le marteau ne touchent l'arbre. Laissez :
- M H = masse du marteau
- M I = masse d'Iron Man
- v H = vitesse du marteau avant de frapper Iron Man
- v = vitesse combinée du marteau Iron Man et du marteau après la collision
Encore une fois, la vitesse initiale d'Iron Man était nulle. La conservation de l'élan se lit ici :
\[M_{H} v_{H} = (M_{H} + M_{I})v \ldotp\]
On nous demande de trouver la masse du marteau, nous avons donc
\[\begin{split} M_{H} v_{H} & = M_{H} v + M_{1} v \\ M_{H} (v_{H} - v) & = M_{I} v \\ M_{H} & = \frac{M_{I}v}{v_{H} - v} \\ & = \frac{(200\; kg) \left(\dfrac{2\; m}{0.75\; s}\right)}{10\; m/s - \left(\dfrac{2\; m}{0.75\; s}\right)} \\ & = 73\; kg \ldotp \end{split}\]
Compte tenu des incertitudes liées à nos estimations, cela doit être exprimé par un seul chiffre significatif ; ainsi, M H = 7 x 10 1 kg.
- L'énergie cinétique initiale du système, comme l'impulsion initiale, se trouve entièrement dans le marteau : $$ \ begin {split} K_ {i} & = \ frac {1} {2} M_ {H} v_ {H} ^ {2} \ \ & = \ frac {1} {2} {2} (70 \ ; kg) (10 \ ; m/s) ^ {2} \ \ & = 3500 \ ; J \ (70 \ ; kg) (10 \ ; m/s) ^ {2} \ \ & = 3500 \ ; J \ ldotp \ end {split} $$Après la collision, $$ \ begin {split} K_ {f} & = \ frac {1} {2} (M_ {H} + M_ {I}) v^ {2} \ \ & = \ frac {1} {2} (70 \ ; kg + 200 \ ; kg) (2,67 \ ; m/s) ^ {2} \ \ & = 960 \ ; J \ ldotp \ end {split} $$Ainsi, il y a eu une perte de 3500 J − 960 J = 2540 J.
L'importance
D'après d'autres scènes du film, Thor peut apparemment contrôler la vitesse du marteau avec son esprit. Il est donc possible qu'il fasse en sorte que le marteau maintienne sa vitesse initiale de 10 m/s alors qu'Iron Man est poussé vers l'arrière vers l'arbre. Si tel est le cas, cela représenterait une force extérieure sur notre système et il ne serait donc pas fermé. Le contrôle mental de Thor sur son marteau dépasse toutefois le cadre de ce livre.
À un feu rouge, un gros camion (3 000 kg) entre en collision avec une petite voiture immobile (1 200 kg). Le camion s'arrête instantanément ; la voiture glisse tout droit devant et s'arrête après avoir glissé de 10 mètres. Le coefficient de frottement mesuré entre les pneus de la voiture et la route était de 0,62. À quelle vitesse se déplaçait le camion au moment de l'impact ?
Stratégie
Au début, il peut sembler que nous ne disposons pas de suffisamment d'informations pour résoudre ce problème. Bien que nous connaissions la vitesse initiale de la voiture, nous ne connaissons pas la vitesse du camion (en fait, c'est ce qu'on nous demande de trouver), donc nous ne connaissons pas la dynamique initiale du système. De même, nous connaissons la vitesse finale du camion, mais pas la vitesse de la voiture immédiatement après l'impact. Le fait que la voiture ait fini par glisser jusqu'à une vitesse nulle ne contribue pas à l'élan final, car c'est une force de friction externe qui l'a provoquée. Nous ne pouvons pas non plus calculer d'impulsion, car nous ne connaissons pas l'heure de la collision, ni le temps pendant lequel la voiture a glissé avant de s'arrêter. Une stratégie utile consiste à imposer une restriction à l'analyse.
Supposons que nous définissions un système composé uniquement du camion et de la voiture. L'élan de ce système n'est pas conservé à cause de la friction entre la voiture et la route. Mais si nous pouvions déterminer la vitesse de la voiture immédiatement après l'impact, avant que la friction n'ait un effet mesurable sur la voiture, nous pourrions considérer que l'élan du système doit être conservé, avec cette restriction.
Pouvons-nous connaître la vitesse finale de la voiture ? Oui ; nous invoquons le théorème de l'énergie cinétique du travail.
Solution
Définissez d'abord certaines variables. Laissez :
- M c et M T sont les masses de la voiture et du camion, respectivement
- v T, i et v T, f sont les vitesses du camion avant et après la collision, respectivement
- v c, i et v c, f sont les vitesses du véhicule avant et après la collision, respectivement
- K i et K f sont les énergies cinétiques de la voiture immédiatement après la collision et une fois que la voiture a cessé de glisser (donc K f = 0).
- d est la distance parcourue par le véhicule après la collision avant de s'immobiliser.
Puisque nous voulons réellement connaître la vitesse initiale du camion et que le camion ne fait pas partie du calcul de l'énergie de travail, commençons par la conservation de l'élan. Pour le système car+camion, la conservation de l'élan se lit comme suit
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ M_{c} v_{c,i} + M_{T} v_{T,i} & = M_{c} v_{c,f} + M_{T} v_{T,f} \ldotp \end{split}\]
Comme la vitesse initiale de la voiture était nulle, tout comme la vitesse finale du camion, cela simplifie
\[v_{T,i} = \frac{M_{c}}{M_{T}} v_{c,f} \ldotp\]
Nous avons donc besoin de la vitesse de la voiture immédiatement après l'impact. Rappelons que
\[W = \Delta K\]
où
\[\begin{split} \Delta K & = K_{f} - K_{i} \\ & = 0 - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2} \ldotp \end{split}\]
En outre,
\[W = \vec{F}\; \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta \ldotp\]
Le travail se fait en fonction de la distance parcourue par la voiture, que nous avons appelée d. Equating :
\[Fd \cos \theta = - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2} \ldotp\]
La friction est la force exercée sur la voiture pour arrêter le glissement. Sur une route plane, la force de friction est
\[F = \mu_{k} M_{c} g \ldotp\]
Puisque l'angle entre les directions du vecteur de force de frottement et le déplacement d est de 180° et que cos (180°) = —1, nous avons
\[- (\mu_{k} M_{c} g) d = - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2}\]
(Remarquez que la masse de la voiture se divise ; évidemment, la masse de la voiture n'a pas d'importance.)
La résolution de la vitesse de la voiture immédiatement après la collision donne
\[v_{c,f} = \sqrt{2 \mu_{k} gd} \ldotp\]
En remplaçant les nombres donnés :
\[\begin{split} v_{c,f} & = \sqrt{2(0.62)(9.81\; m/s^{2})(10\; m)} \\ & = 11.0\; m/s \ldotp \end{split}\]
Nous pouvons maintenant calculer la vitesse initiale du camion :
\[v_{T,i} = \left(\dfrac{1200\; kg}{3000\; kg}\right) (11.0\; m/s) = 4.4\; m/s \ldotp\]
L'importance
Il s'agit d'un exemple du type d'analyse effectuée par les enquêteurs sur les accidents de voiture majeurs. De nombreuses conséquences juridiques et financières dépendent d'une analyse et d'un calcul précis de la dynamique et de l'énergie.
Supposons qu'il n'y ait pas eu de friction (la collision s'est produite sur de la glace) ; cela ferait\(\mu_{k}\) zéro, et donc\(v_{c,f} = \sqrt{2 \mu_{k} gd} = 0\), ce qui est évidemment faux. Quelle est l'erreur dans cette conclusion ?
Collisions subatomiques et moment
La conservation de la quantité de mouvement est essentielle à notre compréhension des particules atomiques et subatomiques, car une grande partie de ce que nous savons sur ces particules provient d'expériences de collision.
Au début du XXe siècle, la structure de l'atome suscitait un intérêt et un débat considérables. On savait que les atomes contiennent deux types de particules chargées électriquement : des électrons chargés négativement et des protons chargés positivement. (L'existence d'une particule électriquement neutre a été soupçonnée, mais elle ne sera confirmée qu'en 1932.) La question était de savoir comment ces particules étaient disposées dans l'atome. Étaient-ils répartis uniformément dans tout le volume de l'atome (comme l'a proposé J.J. Thomson), ou s'agissaient-ils aux coins de polygones réguliers (modèle de Gilbert Lewis), ou d'anneaux de charge négative qui entourent le noyau chargé positivement, un peu comme les anneaux planétaires entourant Saturne (comme suggéré) par Hantaro Nagaoka), ou autre chose ?
Le physicien néo-zélandais Ernest Rutherford (ainsi que le physicien allemand Hans Geiger et le physicien britannique Ernest Marsden) ont réalisé l'expérience cruciale en 1909. Ils ont bombardé une mince feuille d'or avec un faisceau de particules alpha à haute énergie (c'est-à-dire à haute vitesse) (le noyau d'un atome d'hélium). Les particules alpha sont entrées en collision avec les atomes d'or, et leurs vitesses ultérieures ont été détectées et analysées, en utilisant la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie.
Si les charges des atomes d'or étaient distribuées uniformément (selon Thomson), les particules alpha devraient entrer en collision avec elles et presque toutes seraient déviées sous de nombreux angles, tous petits ; le modèle de Nagaoka produirait un résultat similaire. Si les atomes étaient disposés en polygones réguliers (Lewis), les particules alpha se dévieraient selon un nombre relativement restreint d'angles.
Ce qui s'est réellement passé, c'est que presque aucune des particules alpha n'a été déviée. Celles qui l'étaient ont été ont été déviées à de grands angles, certaines proches de 180° ; ces particules alpha ont complètement inversé leur direction (Figure\(\PageIndex{2}\)). Aucun des modèles atomiques existants ne peut expliquer cela. Finalement, Rutherford a développé un modèle de l'atome beaucoup plus proche de ce que nous avons aujourd'hui, en utilisant encore une fois la conservation de l'élan et de l'énergie comme point de départ.