9.9 : Centre de masse (première partie)
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- Expliquer la signification et l'utilité du concept de centre de masse
- Calculer le centre de masse d'un système donné
- Appliquer le concept de centre de gravité en deux et trois dimensions
- Calculer la vitesse et l'accélération du centre de gravité
Nous avons évité un problème important jusqu'à présent : lorsque nous disons qu'un objet se déplace (plus exactement, accélère) d'une manière qui obéit à la deuxième loi de Newton, nous ignorons le fait que tous les objets sont en fait constitués de nombreuses particules constitutives. Une voiture a un moteur, un volant, des sièges, des passagers ; un ballon de football est fait de cuir et de caoutchouc qui entourent l'air ; une brique est faite d'atomes. Il existe de nombreux types de particules et elles ne sont généralement pas réparties uniformément dans l'objet. Comment intégrer ces faits dans nos calculs ?
De même, un objet étendu peut changer de forme au fur et à mesure qu'il se déplace, comme un ballon d'eau ou la chute d'un chat (Figure\(\PageIndex{1}\)). Cela implique que les particules constitutives appliquent des forces internes les unes sur les autres, en plus de la force externe qui agit sur l'objet dans son ensemble. Nous voulons également être en mesure de gérer cela.
Le problème qui se pose à nous est donc de déterminer quelle partie d'un objet étendu obéit à la deuxième loi de Newton lorsqu'une force externe est appliquée et de déterminer comment le mouvement de l'objet dans son ensemble est affecté à la fois par les forces internes et externes.
Attention : pour traiter correctement cette nouvelle situation, nous devons être rigoureux et totalement généraux. Nous ne ferons aucune supposition sur la nature de l'objet, de ses particules constitutives, ni sur les forces internes ou externes. Les arguments seront donc complexes.
Forces internes et externes
Supposons que nous ayons un objet étendu de masse M, composé de N particules en interaction. Etiquetons leurs masses comme m j, où j = 1, 2, 3,..., N. Notez que
\[M = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \ldotp \label{9.19}\]
Si nous appliquons une force externe nette\(\vec{F}_{ext}\) sur l'objet, chaque particule subit une certaine « part » ou une fraction de cette force externe. Laissez :
\(\vec{f}_{j}^{ext}\)= la fraction de la force externe subie par la jème particule
Remarquez que ces fractions de la force totale ne sont pas nécessairement égales ; en fait, elles ne le sont pratiquement jamais. (Ils peuvent l'être, mais ils ne le sont généralement pas.) En général, par conséquent,
\[\vec{f}_{1}^{ext} \neq \vec{f}_{2}^{ext} \neq \cdots \neq \vec{f}_{N}^{ext} \ldotp\]
Ensuite, nous supposons que chacune des particules composant notre objet peut interagir (appliquer des forces) sur toutes les autres particules de l'objet. Nous n'essaierons pas de deviner de quel type de forces il s'agit ; mais comme ces forces sont le résultat de particules de l'objet agissant sur d'autres particules du même objet, nous les appelons forces internes\(\vec{f}_{j}^{int}\) ; ainsi :
\(\vec{f}_{j}^{int}\)= la force interne nette que la jème particule subit de la part de toutes les autres particules qui composent l'objet.
Maintenant, la force nette, interne et externe, exercée sur la jème particule est la somme vectorielle de celles-ci :
\[\vec{f}_{j} = \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \label{9.20}\]
là encore, c'est pour toutes les N particules ; j = 1, 2, 3,..., N. En raison de cette force fractionnelle, la quantité de mouvement de chaque particule change :
\[\begin{split} \vec{f}_{j} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \\ \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \end{split} \label{9.21}\]
La force nette\(\vec{F}\) sur l'objet est la somme vectorielle de ces forces :
\[\begin{split} \vec{F}_{net} & = \sum_{j = 1}^{N} (\vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext}) \\ & = \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \end{split} \label{9.22}\]
Cette force nette modifie le moment de l'objet dans son ensemble, et le changement net de moment de l'objet doit être la somme vectorielle de tous les changements de moment individuels de toutes les particules :
\[\vec{F}_{net} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.23}\]
La combinaison de l'équation \ ref {9.22} et de l'équation \ ref {9.23} donne
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.24}\]
Réfléchissons maintenant à ces sommations. Considérez d'abord le terme forces internes ; souvenez-vous que chacune\(\vec{f}_{j}^{int}\) est la force exercée sur la jème particule par les autres particules de l'objet. Mais selon la troisième loi de Newton, pour chacune de ces forces, il doit y avoir une autre force ayant la même amplitude, mais le signe opposé (pointe dans la direction opposée). Ces forces ne s'annulent pas ; cependant, ce n'est pas ce que nous faisons dans la somme. Au contraire, nous additionnons simplement mathématiquement tous les vecteurs de force internes. C'est-à-dire qu'en général, les forces internes d'une partie individuelle de l'objet ne s'annulent pas, mais lorsque toutes les forces internes sont additionnées, les forces internes doivent s'annuler par paires. Il s'ensuit donc que la somme de toutes les forces internes doit être nulle :
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = 0 \ldotp\]
(Cet argument est subtil, mais crucial ; prenez le temps de bien le comprendre.)
Pour les forces externes, cette somme est simplement la force externe totale qui a été appliquée à l'ensemble de l'objet :
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \vec{F}_{ext} \ldotp\]
En conséquence,
\[\vec{F}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.25}\]
Il s'agit d'un résultat important. L'équation \ ref {9.25} nous indique que le changement total de moment de l'ensemble de l'objet (toutes les N particules) est dû uniquement aux forces externes ; les forces internes ne modifient pas la quantité de mouvement de l'objet dans son ensemble. C'est pourquoi vous ne pouvez pas vous lever en l'air en vous tenant debout dans un panier et en tirant sur les poignées : pour le système de votre panier +, votre force de traction vers le haut est une force interne.
Force et élan
N'oubliez pas que notre véritable objectif est de déterminer l'équation du mouvement pour l'ensemble de l'objet (l'ensemble du système de particules). À cette fin, définissons :
\(\vec{p}_{CM}\)= la quantité de mouvement totale du système de N particules (la raison de l'indice deviendra claire sous peu)
Ensuite, nous avons
\[\vec{p}_{CM} = \equiv \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]
et donc l'équation \ ref {9.25} peut être écrite simplement comme
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt} \ldotp \label{9.26}\]
Comme ce changement de dynamique est uniquement dû à la force extérieure nette, nous avons abandonné l'indice « ext ». C'est la deuxième loi de Newton, mais maintenant pour l'ensemble de l'objet étendu. Si cela semble un peu décevant, souvenez-vous de ce qui se cache à l'intérieur : c'\(\vec{p}_{CM}\)est la somme vectorielle de la quantité de mouvement (en principe) de centaines de milliers de milliards de milliards de particules (6,02 x 10 23), toutes causées par une simple force externe nette, une force que vous pouvez calculer.
Centre de messe
Notre tâche suivante consiste à déterminer quelle partie de l'objet étendu, le cas échéant, obéit à l'équation \ ref {9.26}.
Il est tentant de passer à l'étape suivante. L'équation suivante signifie-t-elle quelque chose ?
\[\vec{F} = M \vec{a} \label{9.27}\]
Si cela signifie quelque chose (accélération de quoi, exactement ?) , alors nous pourrions écrire
\[M \vec{a} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]
et donc
\[M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]
ce qui suit parce que la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées.
Maintenant,\(\vec{p}_{j}\) c'est la quantité de mouvement de la jème particule. En définissant les positions des particules constituantes (par rapport à un système de coordonnées) comme\(\vec{r}_{j}\) = (x j, y j, z j), nous avons donc
\[\vec{p}_{j} = m_{j} \vec{v}_{j} = m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \ldotp\]
En remplaçant, nous obtenons
\[\begin{split} M \vec{a} & = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \\ & = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \end{split}\]
En divisant les deux côtés par M (la masse totale de l'objet étendu), nous obtenons
\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp \label{9.28}\]
Ainsi, le point de l'objet qui trace la trajectoire dictée par la force appliquée dans l'équation \ ref {9.27} se trouve entre parenthèses de l'équation \ ref {9.28}.
En regardant ce calcul, remarquez que (entre parenthèses) nous calculons le produit de la masse de chaque particule avec sa position, en additionnant tous les N de ces éléments et en divisant cette somme par la masse totale des particules que nous avons additionnées. Cela rappelle une moyenne ; en nous inspirant de cela, nous l'interpréterons (vaguement) comme étant la position moyenne pondérée de la masse de l'objet étendu. On l'appelle en fait le centre de gravité de l'objet. Remarquez que la position du centre de gravité est exprimée en mètres, ce qui suggère une définition :
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \label{9.29}\]
Ainsi, le point qui obéit à l'équation \ ref {9.26} (et donc à l'équation \ ref {9.27} également) est le centre de masse de l'objet, qui est situé au niveau du vecteur de position\(\vec{r}_{CM}\).
Vous serez peut-être surpris d'apprendre qu'il n'est pas nécessaire qu'il y ait une masse réelle au centre de gravité d'un objet. Par exemple, une sphère creuse en acier avec un vide à l'intérieur est sphérique symétrique (c'est-à-dire que sa masse est uniformément répartie autour du centre de la sphère) ; toute la masse de la sphère se trouve à sa surface, sans masse à l'intérieur. Mais on peut montrer que le centre de gravité de la sphère se trouve à son centre géométrique, ce qui semble raisonnable. Ainsi, il n'y a pas de masse à la position du centre de masse de la sphère. (Un autre exemple est un beignet.) La procédure pour trouver le centre de gravité est illustrée dans la figure\(\PageIndex{2}\)
Depuis\(\vec{r}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}\), il s'ensuit que :
\[r_{CM,x} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j} \label{9.30}\]
\[r_{CM,y} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j} \label{9.31}\]
\[r_{CM,z} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j} \label{9.32}\]
et donc
\[\vec{r}_{CM} = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} + r_{CM,z} \hat{k}\]
\[r_{CM} = |\vec{r}_{CM}| = (r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2})^{1/2} \ldotp\]
Par conséquent, vous pouvez calculer les composantes du vecteur du centre de masse individuellement.
Enfin, pour compléter la cinématique, la vitesse instantanée du centre de masse est calculée exactement comme vous pouvez vous en douter :
\[\vec{v}_{CM} = \frac{d}{dt} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j} \label{9.33}\]
et ceci, comme la position, comporte des composantes x, y et z.
Pour calculer le centre de gravité dans des situations réelles, nous recommandons la procédure suivante :
Le centre de gravité d'un objet est un vecteur de position. Ainsi, pour le calculer, procédez comme suit :
- Définissez votre système de coordonnées. Typiquement, l'origine est placée à l'emplacement de l'une des particules. Cela n'est toutefois pas obligatoire.
- Déterminez les coordonnées x, y et z de chaque particule qui constitue l'objet.
- Déterminez la masse de chaque particule et additionnez-la pour obtenir la masse totale de l'objet. Notez que la masse de l'objet à l'origine doit être incluse dans la masse totale.
- Calculez les composantes x, y et z du vecteur du centre de masse à l'aide de l'équation \ ref {9.30}, de l'équation \ ref {9.31} et de l'équation \ ref {9.32}.
- Si nécessaire, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer sa magnitude.
Voici deux exemples qui vous donneront une idée de ce qu'est le centre de gravité.
À l'aide des données de l'annexe de texte, déterminez la distance entre le centre de gravité du système Terre-Lune et le centre de la Terre. Comparez cette distance au rayon de la Terre et commentez le résultat. Ignorez les autres objets du système solaire.
Stratégie
Nous obtenons les masses et la distance de séparation de la Terre et de la Lune, imposons un système de coordonnées et utilisons l'équation \ ref {9.29} avec seulement N = 2 objets. Nous utilisons l'indice « e » pour désigner la Terre et l'indice « m » pour désigner la lune.
Solution
Définissez l'origine du système de coordonnées comme étant le centre de la Terre. Ensuite, avec seulement deux objets, l'équation \ ref {9.29} devient
\[R = \frac{m_{c} r_{c} + m_{m} r_{m}}{m_{c} + m_{m}} \ldotp\]
À partir de l'annexe D,
\[m_{c} = 5.97 \times 10^{24}\; kg\]
\[m_{m} = 7.36 \times 10^{22}\; kg\]
\[r_{m} = 3.82 \times 10^{5}\; m \ldotp\]
Nous avons défini le centre de la Terre comme l'origine, donc r e = 0 m. En les insérant dans l'équation de R, on obtient
\[\begin{split} R & = \frac{(5.97 \times 10^{24}\; kg)(0\; m) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)(3.82 \times 10^{8}\; m)}{(5.98 \times 10^{24}\; kg) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)} \\ & = 4.64 \times 10^{6}\; m \ldotp \end{split}\]
L'importance
Le rayon de la Terre est de 6,37 x 10 6 m, donc le centre de gravité du système Terre-Lune se trouve (6,37 − 4,64) x 10 6 m = 1,73 x 10 6 m = 1730 km (environ 1 080 miles) sous la surface de la Terre. L'emplacement du centre de gravité est indiqué (pas à l'échelle).
Supposons que nous incluions le soleil dans le système. Où se situerait approximativement le centre de gravité du système Terre-Lune-Soleil ? (N'hésitez pas à le calculer.)
La figure\(\PageIndex{3}\) montre un monocristal de chlorure de sodium, un sel de table ordinaire. Les ions sodium et chlorure forment une seule unité, le NaCl. Lorsque plusieurs unités de NaCl se regroupent, elles forment un réseau cubique. Le plus petit cube possible (appelé cellule unitaire) est composé de quatre ions sodium et de quatre ions chlorure, en alternance. La longueur d'une arête de ce cube (c'est-à-dire la longueur de la liaison) est de 2,36 x 10 -10 m. Trouvez l'emplacement du centre de masse de la cellule unitaire. Spécifiez-le soit par ses coordonnées (r CM, x, r CM, y, r CM, z), soit par r CM et deux angles.
Stratégie
Nous pouvons rechercher toutes les masses d'ions. Si nous imposons un système de coordonnées à la cellule unitaire, cela nous donnera les positions des ions. Nous pouvons ensuite appliquer l'équation \ ref {9.30}, l'équation \ ref {9.31} et l'équation \ ref {9.32} (ainsi que le théorème de Pythagore).
Solution
Définissez l'origine à l'emplacement de l'ion chlorure en bas à gauche de la cellule unitaire. La figure\(\PageIndex{4}\) montre le système de coordonnées.
Il y a huit ions dans ce cristal, donc N = 8 :
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]
La masse de chacun des ions chlorure est
\[35.453u \times \frac{1.660 \times 10^{-27}\; kg}{u} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg\]
nous avons donc
\[m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]
Pour les ions sodium,
\[m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3.816 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]
La masse totale de la cellule unitaire est donc
\[M = (4)(5.885 \times 10^{-26}\; kg) + (4)(3.816 \times 10^{-26}\; kg) = 3.880 \times 10^{-25}\; kg \ldotp\]
À partir de la géométrie, les emplacements sont
\[\begin{split} \vec{r}_{1} & = 0 \\ \vec{r}_{2} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} \\ \vec{r}_{3} & = r_{3x} \hat{i} + r_{3y} \hat{j} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{4} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{5} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{6} & = r_{6x} \hat{i} + r_{6z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{7} & = r_{7x} \hat{i} + r_{7y} \hat{j} + r_{7z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{8} & = r_{8y} \hat{j} + r_{8z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \ldotp \end{split}\]
Substituant :
\[\begin{split} |\vec{r}_{CM,x}| & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} (r_{x})_{j} \\ & = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1x} + m_{2} r_{2x} + m_{3} r_{3x} + m_{4} r_{4x} + m_{5} r_{5x} + m_{6} r_{6x} + m_{7} r_{7x} + m_{8} r_{8x}) \\ & = \frac{1}{3.8804 \times 10^{-25}\; kg} \Big[ (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(0\; m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) \\ & + (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 + 0 \\ & + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 \Big] \\ & = 1.18 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]
Des calculs similaires donnent r CM, y = r CM, z = 1,18 x 10 −10 m (vous pourriez soutenir que cela doit être vrai, par symétrie, mais c'est une bonne idée de vérifier).
L'importance
Il s'avère qu'il n'était pas vraiment nécessaire de convertir la masse des unités de masse atomique (u) en kilogrammes, puisque les unités se divisent de toute façon lors du calcul de r CM.
Pour exprimer r CM en termes de magnitude et de direction, appliquez d'abord le théorème de Pythagore tridimensionnel aux composantes du vecteur :
\[\begin{split} r_{CM} & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = (1.18 \times 10^{-10}\; m) \sqrt{3} \\ & = 2.044 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]
Comme il s'agit d'un problème tridimensionnel, il faut deux angles pour spécifier la direction de\(\vec{r}_{CM}\). \(\phi\)Soit l'angle dans le plan x, y, mesuré à partir de l'axe+x, dans le sens antihoraire vu de dessus ; puis :
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{r_{CM,y}}{r_{CM,x}}\right) = 45^{o} \ldotp\]
\(\theta\)Soit l'angle dans le plan y, z, mesuré vers le bas à partir de l'axe +z ; c'est (sans surprise) :
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{R_{z}}{R_{y}}\right) = 45^{o} \ldotp\]
Ainsi, le centre de gravité se trouve au centre géométrique de la cellule unitaire. Encore une fois, vous pourriez argumenter cela sur la base de la symétrie
Supposons que vous ayez un cristal de sel macroscopique (c'est-à-dire un cristal suffisamment grand pour être visible à l'œil nu). Il est composé d'un très grand nombre de cellules unitaires. Le centre de gravité de ce cristal se trouve-t-il nécessairement au centre géométrique du cristal ?
Deux concepts essentiels se dégagent de ces exemples :
- 1. Comme pour tous les problèmes, vous devez définir votre système de coordonnées et votre origine. Pour les calculs du centre de masse, il est souvent judicieux de choisir votre origine pour qu'elle soit située sur l'une des masses de votre système. Ce choix définit automatiquement sa distance dans l'équation \ ref {9.29} comme étant nulle. Cependant, vous devez tout de même inclure la masse de l'objet à votre origine dans votre calcul de M, l'équation de masse totale \ ref {9.19}. Dans l'exemple du système Terre-Lune, cela signifie inclure la masse de la Terre. Si vous ne l'aviez pas fait, vous vous seriez retrouvé avec le centre de gravité du système au centre de la lune, ce qui est clairement faux.
- Dans le second exemple (le cristal de sel), remarquez qu'il n'y a aucune masse à l'emplacement du centre de masse. C'est un exemple de ce que nous avons indiqué ci-dessus, à savoir qu'il n'est pas nécessaire qu'il y ait une masse réelle au centre de masse d'un objet.