6.7 : Force de traînée et vitesse terminale
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- Exprime mathématiquement la force de traînée
- Décrire les applications de la force de traînée
- Définir la vitesse terminale
- Déterminer la vitesse terminale d'un objet en fonction de sa masse
Une autre force intéressante de la vie quotidienne est la force de traînée exercée sur un objet lorsqu'il se déplace dans un fluide (gaz ou liquide). Vous ressentez la force de traction lorsque vous déplacez votre main dans l'eau. Vous pouvez également le sentir si vous bougez votre main lors d'un vent fort. Plus vite tu bouges ta main, plus elle est difficile à bouger. Vous ressentez une force de traînée plus faible lorsque vous inclinez votre main, de sorte que seul le côté passe dans l'air, ce qui réduit la zone de votre main qui fait face à la direction du mouvement.
Forces de traînée
Tout comme la friction, la force de traînée s'oppose toujours au mouvement d'un objet. Contrairement à la simple friction, la force de traînée est proportionnelle à une certaine fonction de la vitesse de l'objet dans ce fluide. Cette fonctionnalité est complexe et dépend de la forme de l'objet, de sa taille, de sa vitesse et du fluide dans lequel il se trouve. Pour la plupart des objets de grande taille tels que les cyclistes, les voitures et les balles de baseball qui ne se déplacent pas trop lentement, l'amplitude de la force de traînée\(F_D\) est proportionnelle au carré de la vitesse de l'objet. Nous pouvons écrire cette relation mathématiquement comme\(F_D \propto v^2\). Si l'on prend en compte d'autres facteurs, cette relation devient
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2}, \label{6.5}\]
où\(C\) est le coefficient de traînée,\(A\) la surface de l'objet faisant face au fluide et\(\rho\) la densité du fluide. (Rappelez-vous que la densité est la masse par unité de volume.) Cette équation peut également être écrite de manière plus générale comme\(F_D = bv^2\), où b est une constante équivalente à\(0.5C \rho A\). Nous avons défini l'exposant n pour ces équations à 2, car lorsqu'un objet se déplace à grande vitesse dans l'air, l'amplitude de la force de traînée est proportionnelle au carré de la vitesse. Comme nous le verrons en mécanique des fluides, pour les petites particules se déplaçant à de faibles vitesses dans un fluide, l'exposant n est égal à 1.
\(F_D\)La force de traînée est proportionnelle au carré de la vitesse de l'objet. Mathématiquement,
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2},\]
où\(C\) est le coefficient de traînée,\(A\) la surface de l'objet faisant face au fluide et\(\rho\) la densité du fluide.
Les athlètes ainsi que les concepteurs automobiles cherchent à réduire la force de traînée pour réduire leurs temps de course (Figure\(\PageIndex{1A}\)). La forme aérodynamique d'une automobile peut réduire la force de traînée et ainsi augmenter la consommation d'essence de la voiture. La valeur du coefficient de traînée\(C\) est déterminée de manière empirique, généralement à l'aide d'une soufflerie (Figure\(\PageIndex{1B}\)).
Le coefficient de traînée peut dépendre de la vitesse, mais nous supposons qu'il s'agit ici d'une constante. Le tableau\(\PageIndex{1}\) répertorie certains coefficients de traînée typiques pour divers objets. Notez que le coefficient de traînée est une quantité sans dimension. À la vitesse de l'autoroute, plus de 50 % de la puissance d'une voiture est utilisée pour surmonter la traînée aérodynamique. La vitesse de croisière la plus économe en carburant est d'environ 70 à 80 km/h (environ 45 à 50 mi/h). C'est pourquoi, lors de la crise pétrolière des années 1970 aux États-Unis, les vitesses maximales sur les autoroutes ont été fixées à environ 90 km/h (55 mi/h).
| Objet | C |
|---|---|
| Profil aérodynamique | 0,05 |
| Toyota Camry | 0,28 |
| Ford Focus | 0,32 |
| Honda Civic | 0,36 |
| Ferrari Testarossa | 0,37 |
| Camionnette Dodge | 0,43 |
| SPHÈRE | 0,45 |
| VUS Hummer H2 | 0,64 |
| Parachutiste (pieds premiers) | 0,70 |
| vélo | 0,90 |
| Parachutiste (horizontal) | 1,0 |
| Assiette plate circulaire | 1,12 |
D'importantes recherches sont en cours dans le monde du sport afin de minimiser la traînée. Les fossettes des balles de golf sont en cours de refonte, tout comme les vêtements que portent les athlètes. Les cyclistes et certains nageurs et coureurs portent des bodies complets. L'Australienne Cathy Freeman a porté une combinaison intégrale aux Jeux olympiques de Sydney en 2000 et a remporté une médaille d'or au 400 m. Lors des Jeux olympiques de Pékin en 2008, de nombreux nageurs portaient un body (Speedo) ; cela a peut-être fait la différence en battant de nombreux records du monde (Figure\(\PageIndex{2}\)). La plupart des nageurs (et cyclistes) d'élite se rasent les poils. De telles innovations peuvent avoir pour effet de réduire les millisecondes d'une course, faisant parfois la différence entre une médaille d'or et une médaille d'argent. L'une des conséquences est que des directives minutieuses et précises doivent être continuellement élaborées pour maintenir l'intégrité du sport.
Vélocité terminale
Certaines situations intéressantes liées à la deuxième loi de Newton se produisent lorsque l'on considère les effets des forces de traînée sur un objet en mouvement. Prenons l'exemple d'un parachutiste qui tombe dans les airs sous l'influence de la gravité. Les deux forces qui agissent sur lui sont la force de gravité et la force de traînée (sans tenir compte de la faible force de flottabilité). La force de gravité vers le bas reste constante quelle que soit la vitesse à laquelle la personne se déplace. Cependant, à mesure que la vitesse de la personne augmente, l'amplitude de la force de traînée augmente jusqu'à ce que l'amplitude de la force de traînée soit égale à la force gravitationnelle, produisant ainsi une force nette nulle. Une force nette nulle signifie qu'il n'y a pas d'accélération, comme le montre la deuxième loi de Newton. À ce stade, la vitesse de la personne reste constante et nous disons que la personne a atteint sa vitesse terminale (\(v_T\)). Comme\(F_D\) c'est proportionnel à la vitesse au carré, un parachutiste plus lourd doit aller plus vite pour que F D atteigne son poids. Voyons comment cela fonctionne de manière plus quantitative.
À la vitesse terminale,
\[F_{net} = mg - F_{D} = ma = 0 \ldotp\]
Ainsi,
\[mg = F_{D} \ldotp\]
En utilisant l'équation de la force de traînée, nous avons
\[mg = \frac{1}{2} C \rho A v_{T}^{2} \ldotp\]
En résolvant la vitesse, nous obtenons
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} \ldotp\]
Supposons que la densité de l'air soit\(\rho\) = 1,21 kg/m 3. Un parachutiste de 75 kg qui descend la tête la première a une section transversale d'environ A = 0,18 m 2 et un coefficient de traînée d'environ C = 0,70. Nous constatons que
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2(75\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(0.70)(0.18\; m^{2})}} = 98\; m/s = 350\; km/h \ldotp\]
Cela signifie qu'un parachutiste d'une masse de 75 kg atteint une vitesse finale d'environ 350 km/h en se déplaçant en position de brochet (tête la première), minimisant ainsi la surface et la traînée. En position d'aigle écarté, cette vitesse terminale peut diminuer jusqu'à environ 200 km/h à mesure que la zone augmente. Cette vitesse terminale diminue beaucoup après l'ouverture du parachute.
Déterminez la vitesse finale d'un parachutiste de 85 kg tombant en position d'aigle écarté.
Stratégie
À la vitesse terminale,\(F_{net} = 0\). Ainsi, la force de traînée du parachutiste doit être égale à la force de gravité (le poids de la personne). En utilisant l'équation de la force de traînée, nous trouvons\(mg = \frac{1}{2} \rho C A v^{2}\).
Solution
La vitesse terminale\(v_T\) peut être écrite sous la forme
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} = \sqrt{\frac{2(85\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(1.0)(0.70\; m^{2})}} = 44\; m/s \ldotp\]
L'importance
Ce résultat est cohérent avec la valeur de v T mentionnée précédemment. Le parachutiste de 75 kg qui marchait pieds les premiers avait une vitesse terminale de v T = 98 m/s. Il pesait moins mais avait une surface frontale plus petite, donc une traînée plus faible due à l'air.
Déterminez la vitesse finale d'un parachutiste de 50 kg qui tombe à la manière d'un aigle écarté.
La taille de l'objet qui tombe dans l'air présente une autre application intéressante de la traînée aérodynamique. Si vous tombez d'une branche d'arbre de 5 m de haut, vous risquez de vous blesser, voire de vous fracturer un os. Cependant, un petit écureuil le fait tout le temps, sans se blesser. Vous n'atteignez pas une vitesse finale sur une si courte distance, contrairement à l'écureuil.
La citation intéressante suivante sur la taille des animaux et leur vitesse terminale est tirée d'un essai de 1928 d'un biologiste britannique, J. B. S. Haldane, intitulé « On Being the Right Size ».
« Pour la souris et tout petit animal, [la gravité] ne présente pratiquement aucun danger. Vous pouvez déposer une souris dans un puits de mine de mille mètres ; et, en arrivant au fond, elle subit un léger choc et s'éloigne, à condition que le sol soit assez mou. Un rat est tué, un homme est brisé et un cheval éclabousse. Car la résistance présentée au mouvement de l'air est proportionnelle à la surface de l'objet en mouvement. Divisez la longueur, la largeur et la taille d'un animal par dix ; son poids est réduit au millième, mais sa surface au centième seulement. La résistance à la chute chez le petit animal est donc relativement dix fois supérieure à la force motrice. »
La dépendance quadratique ci-dessus entre la traînée de l'air et la vitesse ne tient pas si l'objet est très petit, se déplace très lentement ou se trouve dans un milieu plus dense que l'air. Ensuite, nous constatons que la force de traînée est proportionnelle uniquement à la vitesse. Cette relation est définie par la loi de Stokes.
Pour un objet sphérique tombant dans un milieu, la force de traînée est
\[F_{s} = 6 \pi r \eta v, \label{6.6}\]
où\(r\) est le rayon de l'objet,\(\eta\) la viscosité du fluide et\(v\) la vitesse de l'objet.
Les microorganismes, le pollen et les particules de poussière fournissent de bons exemples de la loi de Stokes. Comme chacun de ces objets est si petit, nous constatons que bon nombre de ces objets se déplacent sans aide uniquement à une vitesse (terminale) constante. Les vitesses terminales des bactéries (taille d'environ \ (1 \, \ mu m) peuvent être d'environ \ (2 \, \ mu m/s). Pour se déplacer plus rapidement, de nombreuses bactéries nagent à l'aide de flagelles (organites en forme de petites queues) actionnés par de petits moteurs intégrés dans la cellule.
Les sédiments d'un lac peuvent se déplacer à une vitesse terminale plus élevée (environ 5\(\mu\) m/s), de sorte qu'ils peuvent mettre plusieurs jours à atteindre le fond du lac après s'être déposés à la surface.
Si nous comparons les animaux vivant sur terre à ceux vivant dans l'eau, vous pouvez voir comment la traînée a influencé l'évolution. Les poissons, les dauphins et même les baleines massives ont une forme profilée pour réduire les forces de traînée. Les oiseaux sont profilés et les espèces migratrices qui parcourent de grandes distances présentent souvent des caractéristiques particulières telles qu'un long cou. Des volées d'oiseaux volent en forme de fer de lance alors que le troupeau forme un motif profilé (Figure\(\PageIndex{3}\)). Chez l'homme, un exemple important de rationalisation est la forme des spermatozoïdes, qui doivent être efficaces dans leur utilisation de l'énergie.
Lors de conférences de démonstration, nous mesurons la force de traînée sur différents objets. Les objets sont placés dans un flux d'air uniforme créé par un ventilateur. Calculez le nombre de Reynolds et le coefficient de traînée.
Vidéo\(\PageIndex{1}\) : Mécanique des fluides - Force de traînée - Simulation d'écoulement
Le calcul des forces de friction dépendantes de la vitesse
Lorsqu'un corps glisse sur une surface, la force de frottement sur celui-ci est approximativement constante et donnée par\(\mu_{k}N\). Malheureusement, la force de friction exercée sur un corps se déplaçant dans un liquide ou un gaz ne se comporte pas aussi simplement. Cette force de traînée est généralement une fonction complexe de la vitesse du corps. Cependant, pour un corps se déplaçant en ligne droite à des vitesses modérées à travers un liquide tel que l'eau, la force de frottement peut souvent être approximée par
\[f_{R} = -bv,\]
où b est une constante dont la valeur dépend des dimensions et de la forme du corps et des propriétés du liquide, et\(v\) est la vitesse du corps. Deux situations pour lesquelles la force de frottement peut être représentée par cette équation sont celles d'un bateau à moteur se déplaçant dans l'eau et d'un petit objet tombant lentement à travers un liquide.
Considérons l'objet qui tombe à travers un liquide. Le diagramme du corps libre de cet objet avec la direction positive vers le bas est illustré sur la figure\(\PageIndex{4}\). La deuxième loi de Newton dans la direction verticale donne l'équation différentielle
\[mg - bv = m \frac{dv}{dt},\]
où nous avons écrit l'accélération comme\(\frac{dv}{dt}\). Lorsque v augmente, la force de frottement\(–bv\) augmente jusqu'à ce qu'elle corresponde à mg. À ce stade, il n'y a pas d'accélération et la vitesse reste constante à la vitesse terminale v T. À partir de l'équation précédente,
\[mg - bv_{T} = 0,\]
donc
\[v_{T} = \frac{mg}{b} \ldotp\]
Nous pouvons déterminer la vitesse de l'objet en intégrant l'équation différentielle pour\(v\). Tout d'abord, nous réorganisons les termes de cette équation pour obtenir
\[\frac{dv}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v} = dt \ldotp \label{eq20}\]
En supposant qu'\(v = 0\)à \ 9t = 0 \), l'intégration de l'équation \ ref {eq20} donne
\[\int_{0}^{v} \frac{dv'}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v'} = \int_{0}^{t} dt',\]
ou
\[- \frac{m}{b} \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v' \right) \Bigg|_{0}^{v} = t' \big|_{0}^{t} ,\]
où\(v'\) et\(t'\) sont des variables factices de l'intégration. Avec les limites données, on trouve
\[- \frac{m}{b} [ \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v \right) - \ln g] = t \ldotp\]
Puisque\(\ln A − \ln B = \ln (\left(\frac{A}{B}\right)\), et\(\ln (\left(\frac{A}{B}\right) = x\) implique\(e^x = \dfrac{A}{B}\), nous obtenons
\[\frac{g - \left(\dfrac{bv}{m}\right)}{g} = e^{- \frac{bt}{m}},\]
et
\[v = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big) \ldotp\]
Notez que comme t →\(\infty\), v →\(\frac{mg}{b}\) = v T, qui est la vitesse terminale.
La position à tout moment peut être trouvée en intégrant l'équation pour v. Avec v =\(\frac{dy}{dt}\),
\[dy = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt \ldotp\]
En supposant y = 0 lorsque t = 0,
\[\int_{0}^{y} dy' = \frac{mg}{b} \int_{0}^{t} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt',\]
qui s'intègre à
\[y = \frac{mg}{b} t + \frac{m^{2}g}{b^{2}} \big( e^{- \frac{bt}{m}} - 1 \big) \ldotp\]
Un bateau à moteur traverse un lac à une vitesse v 0 lorsque son moteur se bloque soudainement et s'arrête. Le bateau ralentit alors sous l'effet de la force de friction\(f_R = −bv\).
- Quelles sont la vitesse et la position du bateau en fonction du temps ?
- Si le bateau ralentit de 4,0 à 1,0 m/s en 10 s, jusqu'où parle-t-il avant de s'arrêter ?
Solution
- Lorsque le moteur est arrêté, la seule force horizontale sur le bateau est f R = −bv, donc d'après la deuxième loi de Newton, $$m \ frac {dv} {dt} = -bv, $$que nous pouvons écrire comme $$ \ frac {dv} {v} = - \ frac {b} {m} dt \ LDotp$$intégrer cette équation entre le temps zéro où la vitesse est v 0 et l'heure à laquelle la vitesse est v, nous avons $$ \ int_ {0} ^ {v} \ frac {dv'} {v'} = - \ frac {b} {m} \ int_ {0} ^ {t} dt' \ ldotp$$ Ainsi, $$ \ ln \ frac {v} {v} {v_ {0}} = - \ frac {b} {m} t, $$which, puisque LnA = x implique e x = A, nous pouvons l'écrire comme $$v = v_ {0} e^ {- \ frac {bt} {m}} \ LDotp$$Now à partir de la définition de la vitesse, $$ \ frac {dx} {dt} = v_ {0} e^ {- \ frac {bt} {m}}, $$donc nous avons $$dx = v_ {0} e^ {- \ frac {bt} {m}} dt \ LDotp$$Avec la position initiale zéro, nous avons $$ \ int_ {0} ^ {x} dx' = v_ {0} \ int_ {0} ^ {t} {t} {0} ^ {t} {0} ^ {t} e^ - \ frac {bt'} {m}} dt', $ $ et $ x = - \ frac {mv_ {0}} {b} e^ {- \ frac {bt} {m}} \ Big|_ {0} ^ {t} = \ frac {mv_ {0}} {b} \ big (1) - e^ {- \ frac {bt} {m}} gros) \ LdoTP$$as le temps augmente,\(e^{- \frac{bt}{m}}\) → 0, et la position du bateau approche une valeur limite $$x_ {max} = \ frac {mv_ {0}} {b} \ LDotp$$Bien que cela nous indique que le bateau met un temps infini pour atteindre x max, le bateau s'arrête effectivement après un temps raisonnable. Par exemple, à t =\(\frac{10m}{b}\), nous avons $$v = v_ {0} e^ {-10} \ simeq 4.5 \ times 10^ {-5} v_ {0}, $$alors que nous avons aussi $$x = x_ {max} \ big (1 - e^ {-10} \ big) \ simeq 0.99995x_ {max} \ LDotp$$Par conséquent, la vitesse et les positions ont pratiquement atteint leurs valeurs finales.
- Avec v 0 = 4,0 m/s et v = 1,0 m/s, nous avons 1,0 m/s = (4,0 m/s)\(e^{(- \frac{bt}{m})(10\; s)}\), donc $$ \ ln 0,25 = - \ ln 4.0 = - \ frac {b} {m} (10 \ ; s), $$et $$ \ frac {b} {m} = \ frac {1} {10} \ ln 4.0 \ ; s^ {-1} = 0,14 \ ; s^ {-1} = 0,14 \ ; s^ {-1} \ lDotp$$Maintenant, la position limite du bateau est $$x_ {max} = \ frac {mv_ {0}} {b} = \ frac {4.0 \ ; m/s} {0,14 \ ; s^ {-1}} = 29 \ ; m \ ldotp$$
L'importance
Dans les deux exemples précédents, nous avons trouvé des valeurs « limites ». La vitesse terminale est la même que la vitesse limite, qui est la vitesse de l'objet qui tombe après un laps de temps (relativement) long. De même, la distance limite du bateau est la distance que le bateau parcourra après un long laps de temps. En raison des propriétés de la décroissance exponentielle, le temps nécessaire pour atteindre l'une ou l'autre de ces valeurs n'est en fait pas trop long (certainement pas un temps infini !) mais on les trouve rapidement en repoussant la limite à l'infini.
Supposons que la force de résistance de l'air sur un parachutiste puisse être approximée par\(f = −bv^2\). Si la vitesse terminale d'un parachutiste de 100 kg est de 60 m/s, quelle est la valeur de b ?