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6.E : Applications des lois de Newton (exercices)

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    Questions conceptuelles

    6.1 Résoudre des problèmes avec les lois de Newton

    1. Pour simuler l'apparente apesanteur de l'orbite spatiale, les astronautes sont entraînés dans la soute d'un avion-cargo qui accélère vers le bas à g. Pourquoi semblent-ils en apesanteur, lorsqu'ils se tiennent debout sur une balance de salle de bains, dans ce cadre de référence accéléré ? Y a-t-il une différence entre leur apparente apesanteur en orbite et à bord de l'avion ?

    6.2 Frottement

    1. La colle sur un morceau de ruban peut exercer des forces. Ces forces peuvent-elles être une sorte de simple friction ? Expliquez, en tenant compte notamment du fait que le ruban adhésif peut adhérer aux murs verticaux et même aux plafonds.
    2. Lorsque vous apprenez à conduire, vous découvrez que vous devez relâcher légèrement la pédale de frein lorsque vous vous arrêtez, sinon la voiture s'arrête brusquement. Expliquez cela en termes de relation entre le frottement statique et le frottement cinétique.
    3. Lorsque vous poussez un morceau de craie sur un tableau, il peut parfois crier parce qu'il alterne rapidement entre glisser et coller au tableau. Décrivez ce processus plus en détail, en expliquant notamment comment il est lié au fait que le frottement cinétique est inférieur au frottement statique. (Le même processus de grippage se produit lorsque les pneus crissent sur la chaussée.)
    4. Une étudiante en physique prépare le petit déjeuner lorsqu'elle remarque que la force de friction entre sa spatule en acier et sa poêle en téflon n'est que de 0,200 N. Connaissant le coefficient de friction cinétique entre les deux matériaux, elle calcule rapidement la force normale. Qu'est-ce que c'est ?

    6.3 Force centripète

    1. Si vous souhaitez réduire la contrainte (liée à la force centripète) sur les pneus à grande vitesse, utiliseriez-vous des pneus de gros ou de petit diamètre ? Expliquez.
    2. Définissez la force centripète. N'importe quel type de force (par exemple, tension, force gravitationnelle, friction, etc.) peut-il être une force centripète ? Est-ce qu'une combinaison de forces peut être une force centripète ?
    3. Si la force centripète est dirigée vers le centre, pourquoi avez-vous l'impression d'être « projeté » loin du centre alors qu'une voiture fait le tour d'un virage ? Expliquez.
    4. Les pilotes de voitures de course prennent régulièrement des virages, comme indiqué ci-dessous (Sentier 2). Expliquez comment cela permet de suivre la courbe à la vitesse maximale.

    Deux chemins sont tracés à l'intérieur d'une piste de course à travers une courbe de 90 degrés. Deux voitures, l'une rouge et l'autre bleue, et leurs itinéraires sont montrés. La voiture bleue effectue un virage serré sur le premier chemin, qui est le chemin intérieur le long de la piste. La voiture rouge est représentée en train de dépasser la première voiture, tout en prenant un virage plus large et en traversant devant la voiture bleue pour rejoindre le chemin intérieur, puis en ressortir.

    1. De nombreux parcs d'attractions proposent des manèges qui font des boucles verticales, comme celui illustré ci-dessous. Pour des raisons de sécurité, les voitures sont fixées aux rails de manière à ne pas tomber. Si la voiture franchit le sommet à la bonne vitesse, seule la gravité fournira la force centripète. Quelle autre force agit et quelle est sa direction si :
      1. La voiture franchit le sommet à une vitesse supérieure à cette vitesse ?
      2. La voiture franchit le sommet à une vitesse plus lente que cette vitesse ?

    Une photo d'une montagne russe avec une boucle verticale. La boucle a une courbure plus étroite en haut qu'en bas, ce qui donne une forme de larme inversée.

    1. Quelles sont les raisons pour lesquelles l'eau est retirée des vêtements dans un sèche-linge ?
    2. Lorsqu'un patineur forme un cercle, quelle force est chargée de faire son tour ? Utilisez un diagramme du corps libre dans votre réponse.
    3. Supposons qu'un enfant roule sur un manège à peu près à mi-chemin entre son centre et son bord. Elle possède une boîte à lunch posée sur du papier ciré, de sorte qu'il y a très peu de friction entre elle et le manège. Quel chemin empruntera la boîte à lunch ci-dessous lorsqu'elle lâchera prise ? La boîte à lunch laisse une trace dans la poussière sur le manège. Ce sentier est-il droit, incurvé vers la gauche ou courbé vers la droite ? Expliquez votre réponse.

    Illustration de la base circulaire d'un manège sur lequel se trouvent un seul cheval et un enfant. La vitesse angulaire, oméga, est dans le sens des aiguilles d'une montre, représentée ici par une flèche. Un point P est représenté à proximité du cheval, sur un cercle concentrique au manège. Trois flèches sont représentées en sortant du point P, illustrant les trois trajectoires possibles de la boîte à lunch. La trajectoire A se courbe dans le cercle, vers la droite du point de vue de la boîte. La trajectoire B est droite, tangente au cercle. La trajectoire C se courbe vers la gauche depuis la perspective de la boîte, hors du cercle.

    1. Vous sentez-vous projeté d'un côté ou de l'autre lorsque vous négociez un virage idéalement incliné en fonction de la vitesse de votre voiture ? Quelle est la direction de la force exercée sur vous par le siège auto ?
    2. Supposons qu'une masse se déplace sur une trajectoire circulaire sur une table sans friction, comme indiqué ci-dessous. Dans le cadre de référence de la Terre, aucune force centrifuge n'éloigne la masse du centre de rotation, mais il existe une force qui étire la ficelle qui attache la masse au clou. À l'aide de concepts liés à la force centripète et à la troisième loi de Newton, expliquez quelle force étire la corde et identifiez son origine physique.

    Illustration d'une masse se déplaçant selon une trajectoire circulaire sur une table. La masse est attachée à une ficelle qui est épinglée au centre du cercle sur la table à l'autre extrémité.

    1. Lorsque la chasse d'eau d'une toilette est vidangée ou qu'un lavabo est vidé, l'eau (et d'autres matières) commence à tourner autour du drain en descendant. En supposant qu'il n'y a pas de rotation initiale et qu'il s'écoule d'abord directement vers le drain, expliquez la cause de la rotation et la direction qu'elle prend dans l'hémisphère nord. (Notez qu'il s'agit d'un petit effet et que, dans la plupart des toilettes, la rotation est provoquée par des jets d'eau directionnels.) Le sens de rotation s'inverserait-il si l'eau était expulsée vers le drain ?
    2. Une voiture fait le tour d'un virage et rencontre une plaque de glace à très faible coefficient de fiction cinétique. La voiture sort de la route. Décrivez la trajectoire de la voiture lorsqu'elle quitte la route.
    3. Lors d'une balade dans un parc d'attractions, les cavaliers entrent dans un grand tonneau vertical et se tiennent debout contre le mur sur son plancher horizontal. Le canon est tourné vers le haut et le sol tombe. Les cyclistes ont l'impression d'être épinglés au mur par une force similaire à la force gravitationnelle. Il s'agit d'une force inertielle détectée et utilisée par les pilotes pour expliquer les événements qui se produisent dans le cadre de référence rotatif du canon. Expliquez dans un cadre de référence inertiel (la Terre en est presque une) ce qui lie les cavaliers au mur et identifiez toutes les forces qui agissent sur eux.
    4. Deux amis ont une conversation. Anna explique qu'un satellite en orbite est en chute libre parce que le satellite continue de tomber vers la Terre. Tom explique qu'un satellite en orbite n'est pas en chute libre car l'accélération due à la gravité n'est pas de 9,80 m/s 2. Avec qui êtes-vous d'accord et pourquoi ?
    5. Un cadre de référence non rotatif placé au centre du Soleil est presque inertiel. Pourquoi ne s'agit-il pas exactement d'un cadre inertiel ?

    6.4 Force de traînée et vitesse terminale

    1. Les athlètes tels que les nageurs et les cyclistes portent des combinaisons de corps en compétition. Formulez une liste des avantages et des inconvénients de tels costumes.
    2. Deux expressions ont été utilisées pour décrire la force de traînée subie par un objet en mouvement dans un liquide. L'un dépendait de la vitesse, tandis que l'autre était proportionnel au carré de la vitesse. Dans quels types de mouvements chacune de ces expressions serait-elle plus applicable que l'autre ?
    3. Au fur et à mesure que les voitures circulent, du pétrole et de l'essence s'écoulent Si une pluie légère tombe, quel effet cela aura-t-il sur le contrôle de la voiture ? Une forte pluie fait-elle une différence ?
    4. Pourquoi un écureuil peut-il sauter d'une branche d'arbre au sol et s'enfuir intact, alors qu'un humain pourrait se casser un os lors d'une telle chute ?

    Des problèmes

    6.1 Résoudre des problèmes avec les lois de Newton

    1. Une fillette de 30 kg dans une balançoire est poussée d'un côté et maintenue au repos par une force horizontale de\(\vec{F}\) telle sorte que les cordes de la balançoire se situent à 30,0° par rapport à la verticale. (a) Calculez la tension dans chacune des deux cordes supportant la balançoire dans ces conditions. (b) Calculez l'ampleur de\(\vec{F}\).
    2. Déterminez la tension de chacun des trois câbles supportant le feu de signalisation s'il pèse 2,00 x 10 2 N.

    Un croquis d'un feu de signalisation suspendu par un câble lui-même suspendu à deux autres câbles est présenté. La tension T sub 3 est la tension du câble reliant le feu de signalisation aux câbles supérieurs. La tension T inférieure à un est la tension du câble supérieur qui tire vers le haut et vers la gauche, formant un angle de 41 degrés avec l'horizontale. La tension T inférieure à deux est la tension qui se tire vers le haut et vers la droite, formant un angle de 63 degrés avec l'horizontale. Le vecteur de force w égal à 200 Newtons tire verticalement vers le bas sur le feu de signalisation.

    1. Trois forces agissent sur un objet, considéré comme une particule, qui se déplace à une vitesse constante v = (3\(\hat{i}\) − 2\(\hat{j}\)) m/s. Deux de ces forces sont\(\vec{F}_{1}\) = (3\(\hat{i}\) + 5\(\hat{j}\) − 6k\(\hat{k}\)) N et\(\vec{F}_{2}\) = (4\(\hat{i}\) − 7\(\hat{j}\) + 2\(\hat{k}\)) N. Détermine la troisième force.
    2. Une puce saute en exerçant une force de 1,20 x 10 -5 N directement sur le sol. Une brise qui souffle sur la puce parallèlement au sol exerce une force de 0,500 x 10 -6 N sur la puce alors que la puce est toujours en contact avec le sol. Déterminez la direction et l'amplitude de l'accélération de la puce si sa masse est de 6,00 x 10 −7 kg. Ne négligez pas la force gravitationnelle.
    3. Deux muscles situés à l'arrière de la jambe tirent vers le haut sur le tendon d'Achille, comme indiqué ci-dessous. (Ces muscles sont appelés têtes médiale et latérale du muscle gastrocnémien.) Déterminez l'ampleur et la direction de la force totale exercée sur le tendon d'Achille. Quel type de mouvement pourrait être provoqué par cette force ?

    Un tendon d'Achille est représenté sur la figure avec deux forces exercées sur lui par les têtes latérale et médiale du muscle gastrocnémien. F sub un, égal à deux cents newtons, est représenté sous la forme d'un vecteur faisant un angle de vingt degrés à droite de la verticale, et F sub deux, égal à deux cents newtons, est représenté en faisant un angle de vingt degrés à gauche de la verticale.

    1. Après un accident, un artiste de cirque de 76,0 kg s'accroche à un trapèze, qui est tiré sur le côté par un autre artiste de cirque, comme indiqué ici. Calculez la tension entre les deux cordes si la personne est momentanément immobile. Incluez un diagramme du corps libre dans votre solution.

    Un artiste de cirque suspendu à un trapèze est tiré vers la droite par un autre artiste à l'aide d'une corde. Son poids est indiqué par un vecteur w agissant verticalement vers le bas. La corde trapézoïdale exerce une tension, T inférieure à un, vers le haut et vers la gauche, faisant un angle de quinze degrés avec la verticale. Le second interprète tire avec une tension T inférieure à deux, formant un angle de dix degrés au-dessus de la direction x positive.

    1. Un dauphin de 35,0 kg décélère de 12,0 à 7,50 m/s en 2,30 s pour rejoindre un autre dauphin en jeu. Quelle force moyenne a été exercée pour ralentir le premier dauphin s'il se déplaçait horizontalement ? (La force gravitationnelle est équilibrée par la force flottante de l'eau.)
    2. Au départ d'une course à pied, un sprinter de 70,0 kg exerce une force moyenne de 650 N vers l'arrière sur le sol pendant 0,800 s. (a) Quelle est sa vitesse finale ? (b) Quelle distance parcoure-t-il ?
    3. Une grosse fusée a une masse de 2,00 x 10 6 kg au décollage et ses moteurs produisent une poussée de 3,50 x 10 7 N. (a) Trouvez son accélération initiale si elle décolle verticalement. b) Combien de temps faut-il pour atteindre une vitesse de 120 km/h en ligne droite, en supposant une masse et une poussée constantes ?
    4. Un joueur de basket saute droit vers le haut pour un ballon. Pour ce faire, il abaisse son corps de 0,300 m puis accélère sur cette distance en redressant ses jambes avec force. Ce joueur quitte le sol avec une vitesse verticale suffisante pour le porter à 0,900 m au-dessus du sol. a) Calculez sa vitesse lorsqu'il quitte le sol. (b) Calculez son accélération pendant qu'il redresse ses jambes. Il passe de zéro à la vitesse trouvée en (a) sur une distance de 0,300 m. (c) Calculez la force qu'il exerce sur le sol pour ce faire, étant donné que sa masse est de 110,0 kg.
    5. Un obus de feu d'artifice de 2,50 kg est tiré directement d'un mortier et atteint une hauteur de 110 m. (a) En négligeant la résistance à l'air (hypothèse peu crédible, mais nous la ferons pour cet exemple), calculez la vitesse de l'obus lorsqu'il quitte le mortier. (b) Le mortier lui-même est un tube de 0,450 m de long. Calculez l'accélération moyenne de la coque dans le tube lorsqu'elle passe de zéro à la vitesse trouvée en (a). c) Quelle est la force moyenne exercée sur l'obus contenu dans le mortier ? Exprimez votre réponse en newtons et en proportion du poids de la coque.
    6. Une pomme de terre de 0,500 kg est cuite à un angle de 80,0° au-dessus de l'horizontale à partir d'un tuyau en PVC utilisé comme « pistolet à pommes de terre » et atteint une hauteur de 110,0 m. (a) En négligeant la résistance de l'air, calculez la vitesse de la pomme de terre lorsqu'elle quitte le pistolet. (b) Le canon lui-même est un tube de 0,450 m de long. Calculez l'accélération moyenne de la pomme de terre dans le tube lorsqu'elle passe de zéro à la vitesse trouvée en (a). (c) Quelle est la force moyenne exercée sur la pomme de terre dans le pistolet ? Exprimez votre réponse en newtons et en proportion du poids de la pomme de terre.
    7. Un ascenseur rempli de passagers a une masse de 1,70 x 10 3 kg. a) L'élévateur accélère vers le haut à partir du repos à une vitesse de 1,20 m/s 2 pendant 1,50 s. Calculez la tension du câble supportant l'élévateur. (b) L'élévateur continue de monter à vitesse constante pendant 8,50 s. Quelle est la tension du câble pendant cette période ? (c) L'élévateur décélère à une vitesse de 0,60 m/s 2 pendant 3 s. Quelle est la tension du câble pendant la décélération ? d) À quelle hauteur l'élévateur s'est-il déplacé au-dessus de son point de départ initial et quelle est sa vitesse finale ?
    8. Une balle de 20 g est suspendue au toit d'un wagon de marchandises par une ficelle. Lorsque le wagon de marchandises commence à se déplacer, la corde forme un angle de 35,0° avec la verticale. a) Quelle est l'accélération du wagon de marchandises ? (b) Quelle est la tension dans la corde ?
    9. Le sac à dos d'un étudiant, rempli de manuels scolaires, est suspendu à une balance à ressort fixée au plafond d'un ascenseur. Lorsque l'élévateur accélère vers le bas à 3,8 m/s 2, la balance indique 60 N. (a) Quelle est la masse du sac à dos ? (b) Que indique l'échelle si l'ascenseur se déplace vers le haut tout en ralentissant à une vitesse de 3,8 m/s 2 ? (c) Que indique l'échelle si l'élévateur se déplace vers le haut à une vitesse constante ? d) Si l'élévateur n'avait pas de freins et que le câble qui le supportait devait se détacher pour que l'élévateur puisse tomber librement, que se lirait l'échelle à ressort ?
    10. Un ascenseur de service transporte une charge de déchets d'une masse de 10,0 kg depuis le sol d'un gratte-ciel en construction jusqu'au niveau du sol, en accélérant vers le bas à une vitesse de 1,2 m/s 2. Trouvez l'ampleur de la force que les déchets exercent sur le plancher de l'ascenseur de service ?
    11. Une voiture de montagnes russes part de son arrêt au sommet d'une piste de 30,0 m de long et inclinée de 20,0° par rapport à l'horizontale. Supposons que la friction puisse être ignorée. a) Qu'est-ce que l'accélération de la voiture ? (b) Combien de temps s'écoule-t-il avant qu'il n'atteigne le bas de la piste ?
    12. Le dispositif illustré ci-dessous est la machine Atwood considérée dans l'exemple 6.5. En supposant que les masses de la corde et de la poulie sans friction sont négligeables, (a) trouvez une équation pour l'accélération des deux blocs ; (b) trouvez une équation pour la tension dans la corde ; et (c) trouvez à la fois l'accélération et la tension lorsque le bloc 1 a une masse de 2,00 kg et que le bloc 2 a une masse de 4,00 kg.

    Une machine Atwood composée de masses suspendues de chaque côté d'une poulie par une ficelle passant au-dessus de la poulie est illustrée. La masse m sub 1 est à gauche et la masse m sub 2 est à droite.

    1. Deux blocs sont reliés par une corde sans masse, comme indiqué ci-dessous. La masse du bloc sur la table est de 4,0 kg et la masse suspendue est de 1,0 kg. La table et la poulie sont sans friction. (a) Déterminez l'accélération du système. (b) Déterminez la tension de la corde. (c) Déterminer la vitesse à laquelle la masse suspendue touche le sol si elle part de l'arrêt et se trouve initialement à 1 m du sol.

    Le bloc m sub 1 se trouve sur une table horizontale. Il est relié à une ficelle qui passe sur une poulie au bord de la table. La chaîne pend alors tout droit vers le bas et se connecte au bloc m sub 2, qui n'est pas en contact avec la table. Le bloc m sub 1 possède une accélération a sub 1 dirigée vers la droite. Le bloc m sub 2 a une accélération a sub 2 dirigée vers le bas.

    1. Vous trouverez ci-dessous deux chariots reliés par un cordon qui passe sur une petite poulie sans friction. Chaque chariot roule librement avec une friction négligeable. Calculez l'accélération des chariots et la tension du cordon.

    Deux chariots reliés par une ficelle passant sur une poulie se trouvent de part et d'autre d'un plan à double inclinaison. La ficelle passe sur une poulie fixée au sommet de la double pente. Sur la gauche, l'inclinaison fait un angle de 37 degrés avec l'horizontale et le chariot de ce côté a une masse de 10 kilogrammes. Sur la droite, l'inclinaison fait un angle de 53 degrés avec l'horizontale et le chariot de ce côté a une masse de 15 kilogrammes.

    1. Un bloc de 2,00 kg (masse 1) et un bloc de 4,00 kg (masse 2) sont reliés par une guirlande lumineuse comme indiqué ; l'inclinaison de la rampe est de 40,0°. Les frottements sont négligeables. Quelle est (a) l'accélération de chaque bloc et (b) la tension dans la corde ?

    Le bloc 1 se trouve sur une rampe inclinée vers le haut et vers la droite à un angle de 40 degrés au-dessus de l'horizontale. Il est relié à une ficelle qui passe au-dessus d'une poulie située en haut de la rampe, puis pend tout droit vers le bas et se connecte au bloc 2. Le bloc 2 n'est pas en contact avec la rampe.

    6.2 Frottement

    1. a) Lors de la reconstruction du moteur de sa voiture, un étudiant en physique doit exercer une force de 3,00 x 10 2 N pour insérer un piston en acier sec dans un cylindre en acier. Quelle est la force normale entre le piston et le cylindre ? (b) Quelle force devrait-il exercer si les pièces en acier étaient huilées ?
    2. a) Quelle est la force de friction maximale exercée sur l'articulation du genou d'une personne qui supporte 66,0 kg de sa masse sur ce genou ? (b) Lors d'un exercice intense, il est possible d'exercer sur les articulations des forces facilement 10 fois supérieures au poids supporté. Quelle est la force de friction maximale dans de telles conditions ? Les forces de frottement sur les articulations sont relativement faibles en toutes circonstances, sauf lorsque les articulations se détériorent, par exemple à la suite d'une blessure ou d'une arthrite. L'augmentation des forces de friction peut provoquer des dommages et des douleurs supplémentaires.
    3. Supposons que vous ayez une caisse en bois de 120 kg posée sur un plancher en bois, avec un coefficient de friction statique de 0,500 entre ces surfaces en bois. (a) Quelle force maximale pouvez-vous exercer horizontalement sur la caisse sans la déplacer ? (b) Si vous continuez à exercer cette force une fois que la caisse commence à glisser, quelle sera alors son accélération ? Le coefficient de frottement par glissement est connu pour être de 0,300 dans cette situation.
    4. a) Si la moitié du poids d'un petit camion utilitaire de 1,00 x 10 3 kg est supportée par ses deux roues motrices, quelle est l'accélération maximale qu'il peut obtenir sur du béton sec ? (b) Une armoire métallique posée sur la plate-forme en bois du camion va-t-elle glisser si elle accélère à cette vitesse ? (c) Résoudre les deux problèmes en supposant que le camion est équipé de quatre roues motrices.
    5. Un attelage de huit chiens tire un traîneau avec des patins en bois ciré sur de la neige mouillée (bouillie !). Les chiens ont une masse moyenne de 19,0 kg et le traîneau chargé avec son cavalier a une masse de 210 kg. a) Calculez l'accélération des chiens en partant du repos si chaque chien exerce une force moyenne de 185 N vers l'arrière sur la neige. (b) Calculez la force d'attelage entre les chiens et le traîneau.
    6. Imaginez que le patineur sur glace de 65,0 kg est poussé par deux autres patineurs illustrés ci-dessous. (a) Détermine la direction et l'amplitude de F tot, la force totale exercée sur elle par les autres, étant donné que les magnitudes F 1 et F 2 sont respectivement de 26,4 N et 18,6 N. (b) Quelle est son accélération initiale si elle est initialement immobile et porte des patins à lame d'acier pointant dans la direction du F tot ? (c) Quelle est son accélération en supposant qu'elle se déplace déjà dans la direction de F tot ? (N'oubliez pas que la friction agit toujours dans la direction opposée à celle du mouvement ou de la tentative de mouvement entre les surfaces en contact.)

    (a) Vue aérienne de deux patineurs poussant sur un troisième. Un patineur pousse avec une force F un, représentée par une flèche pointant vers la droite, et un second patineur pousse avec une force F deux, représentée par une flèche pointant vers le haut. Le vecteur F un et le vecteur F deux se trouvent le long des bras des deux patineurs agissant sur le troisième patineur. Un diagramme vectoriel est représenté sous la forme d'un triangle droit dans lequel la base est le vecteur F un pointant vers la droite, et perpendiculaire à F un est le vecteur F deux pointant vers le haut. Le vecteur résultant est représenté par l'hypoténuse pointant vers le haut et vers la droite et est étiqueté comme vecteur F sub tot. (b) Schéma du corps libre montrant uniquement les forces F sub 1 et F sub 2 agissant sur le patineur.

    1. Montrez que l'accélération de n'importe quel objet le long d'une pente sans friction formant un angle\(\theta\) avec l'horizontale est a = g sin\(\theta\). (Notez que cette accélération est indépendante de la masse.)

    Illustration d'un bloc sur une pente. La pente est inclinée vers le bas et vers la droite à un angle de thêta par rapport à l'horizontale. Le bloc possède une accélération a parallèle à la pente, vers le bas. Les forces suivantes sont représentées : N perpendiculaire à la pente et pointant vers l'extérieur de celle-ci, et w qui est égal à m fois g verticalement vers le bas. Un système de coordonnées x y est affiché incliné de telle sorte que le x positif correspond à une pente descendante, parallèle à la surface, et un y positif est perpendiculaire à la pente, pointant vers l'extérieur de la surface.

    1. Montrez que l'accélération de tout objet le long d'une pente où la friction se comporte simplement (c'est-à-dire où f k =\(\mu_{k}\) N) est a = g (sin\(\theta\) −\(\mu_{k}\) cos\(\theta\)). Notez que l'accélération est indépendante de la masse et se réduit à l'expression trouvée dans le problème précédent lorsque le frottement devient négligeable (\(\mu_{k}\)= 0).

    Illustration d'un bloc sur une pente. La pente est inclinée vers le bas et vers la droite à un angle de thêta par rapport à l'horizontale. Le bloc possède une accélération, a, parallèle à la pente, vers le bas. Les forces suivantes sont représentées : f dans une direction parallèle à la pente vers son sommet, N perpendiculaire à la pente et pointant vers l'extérieur de celle-ci, w sub x dans une direction parallèle à la pente vers le bas, et w sub y perpendiculaire à la pente et pointant vers celle-ci. Un système de coordonnées x y est affiché incliné de telle sorte que le x positif correspond à une pente descendante, parallèle à la surface, et un y positif est perpendiculaire à la pente, pointant vers l'extérieur de la surface.

    1. Calculez la décélération d'un snowboardeur qui monte une pente de 5,00°, en supposant le coefficient de frottement du bois ciré sur de la neige mouillée. Le résultat du problème précédent peut être utile, mais attention au fait que le snowboardeur est en montée.
    2. Une machine d'un bureau de poste envoie les colis par un parachute et le long d'une rampe pour les charger dans des véhicules de livraison. a) Calculer l'accélération d'une boîte qui descend sur une pente de 10,0°, en supposant que le coefficient de frottement d'un colis sur du bois ciré est de 0,100. (b) Déterminez l'angle de la pente vers lequel cette boîte pourrait se déplacer à une vitesse constante. Vous pouvez négliger la résistance à l'air dans les deux parties.
    3. Si un objet doit reposer sur une pente sans glisser, la friction doit être égale à la composante du poids de l'objet parallèlement à l'inclinaison. Cela nécessite une friction de plus en plus importante pour les pentes plus raides. Montrez que l'angle maximal d'une inclinaison au-dessus de l'horizontale pour lequel un objet ne glissera pas vers le bas est\(\theta\) = tan −1\(\mu_{s}\). Vous pouvez utiliser le résultat du problème précédent. Supposons que a = 0 et que le frottement statique a atteint sa valeur maximale.

    Illustration d'une masse de blocs m sur une pente. La pente est inclinée vers le haut et vers la droite à un angle de thêta par rapport à l'horizontale. La masse ressent la force w sub-parallèle dans une direction parallèle à la pente vers sa partie inférieure, et f dans une direction parallèle à la pente vers son sommet.

    1. Calculez l'accélération maximale d'une voiture qui emprunte une pente de 6,00° (une pente faisant un angle de 6,00° avec l'horizontale) dans les conditions routières suivantes. Vous pouvez supposer que le poids de la voiture est réparti uniformément sur les quatre pneus et que le coefficient de friction statique est impliqué, c'est-à-dire que les pneus ne doivent pas glisser pendant la décélération. (Ignorez le roulement.) Calculez pour une voiture : (a) Sur du béton sec. (b) Sur du béton humide. (c) Sur glace, en supposant que\(\mu_{s}\) = 0,100, soit la même chose que pour les chaussures sur glace.
    2. Calculez l'accélération maximale d'une voiture qui monte une pente de 4,00° (une pente faisant un angle de 4,00° avec l'horizontale) dans les conditions routières suivantes. Supposons que seule la moitié du poids de la voiture soit supportée par les deux roues motrices et que le coefficient de friction statique soit impliqué, c'est-à-dire que les pneus ne sont pas autorisés à glisser pendant l'accélération. (Ignorez le roulement.) a) Sur du béton sec. (b) Sur du béton humide. (c) Sur glace, en supposant que\(\mu_{s}\) = 0,100, soit la même chose que pour les chaussures sur glace.
    3. Répétez le problème précédent pour une voiture à quatre roues motrices.
    4. Un train de marchandises se compose de deux moteurs de 8,00 x 10 5 kg et de 45 wagons d'une masse moyenne de 5,50 x 10 5 kg. a) Quelle force chaque moteur doit-il exercer vers l'arrière sur la voie pour accélérer le train à une vitesse de 5,00 x 10 −2 m/s 2 si la force de friction est de 7,50 x 10 5 N, en supposant que les moteurs exercent des forces identiques ? Il ne s'agit pas d'une force de friction importante pour un système aussi massif. La friction de roulement des trains est faible et, par conséquent, les trains sont des systèmes de transport très économes en énergie. (b) Quelle est la force exercée sur l'attelage entre les 37e et 38e wagons (c'est la force que chacun exerce sur l'autre), en supposant que tous les wagons ont la même masse et que le frottement est réparti uniformément entre tous les véhicules et tous les moteurs ?
    5. Prenons l'exemple du alpiniste de 52,0 kg illustré ci-dessous. a) Déterminez la tension de la corde et la force que l'alpiniste doit exercer avec ses pieds sur la paroi rocheuse verticale pour rester immobile. Supposons que la force soit exercée parallèlement à ses jambes. Supposons également qu'une force négligeable soit exercée par ses bras. (b) Quel est le coefficient de friction minimum entre ses chaussures et la falaise ?

    Une alpiniste est attirée penchée loin de la paroi rocheuse, les pieds contre la paroi rocheuse. La corde s'étend du grimpeur à un angle de 31 degrés par rapport à la verticale. Les jambes du grimpeur sont droites et forment un angle de quinze degrés avec la paroi rocheuse. Le vecteur de force F sub T part du harnais et pointe à l'opposé du grimpeur, le long de la corde. Le vecteur de force F sous les jambes commence aux pieds de la grimpeuse et pointe à l'opposé du rocher, parallèlement à ses jambes.

    1. Un participant à un événement sportif hivernal pousse un bloc de glace de 45,0 kg sur un lac gelé, comme indiqué ci-dessous. a) Calculez la force minimale F qu'il doit exercer pour faire bouger le bloc. (b) Quelle est son accélération une fois qu'il commence à se déplacer, si cette force est maintenue ?

    Un bloc de glace est poussé avec une force F dirigée à un angle de vingt-cinq degrés sous l'horizontale.

    1. Le concurrent tire maintenant le bloc de glace avec une corde par-dessus son épaule selon le même angle au-dessus de l'horizontale, comme indiqué ci-dessous. Calculez la force minimale F qu'il doit exercer pour faire bouger le bloc. (b) Quelle est son accélération une fois qu'il commence à se déplacer, si cette force est maintenue ?

    Un bloc de glace est tiré avec une force F dirigée à un angle de vingt-cinq degrés au-dessus de l'horizontale.

    1. Dans un bureau de poste, un colis de 20 kg glisse le long d'une rampe inclinée à 30° par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre la boîte et l'avion est de 0,0300. (a) Trouvez l'accélération de la boîte. (b) Déterminez la vitesse de la boîte lorsqu'elle atteint la fin du plan, si la longueur du plan est de 2 m et que la boîte part au repos.

    6.3 Force centripète

    1. a) Un enfant de 22,0 kg chevauche un manège de terrain de jeu qui tourne à 40 tr/min. Quelle force centripète s'exerce s'il se trouve à 1,25 m de son centre ? (b) Quelle force centripète est exercée si le manège tourne à 3 tr/min et qu'il se trouve à 8 m de son centre ? (c) Comparez chaque force à son poids.
    2. Calculez la force centripète à l'extrémité d'une pale d'éolienne de 100 m (rayon) qui tourne à 0,5 tr/min. Supposons que la masse est de 4 kg.
    3. Quel est l'angle d'inclinaison idéal pour effectuer un virage en douceur dans un rayon de 1,20 km sur une autoroute dont la limite de vitesse est de 10 à 5 km/h (environ 65 mi/h), en supposant que tout le monde circule à la limite ?
    4. Quelle est la vitesse idéale pour parcourir une courbe de 100,0 m de rayon inclinée à un angle de 20,0° ?
    5. a) Quel est le rayon d'un virage de bobsleigh incliné à 75,0° et effectué à 30,0 m/s, en supposant que l'inclinaison soit idéale ? (b) Calculez l'accélération centripète. (c) Cette accélération vous paraît-elle importante ?
    6. Une partie de la conduite d'un vélo implique de se pencher au bon angle lors d'un virage, comme on le voit ci-dessous. Pour être stable, la force exercée par le sol doit se situer sur une ligne passant par le centre de gravité. La force exercée sur la roue du vélo peut être divisée en deux composantes perpendiculaires : la friction parallèle à la route (qui doit fournir la force centripète) et la force normale verticale (qui doit être égale au poids du système). (a) Montrez que\(\theta\) (tel que défini comme indiqué) est lié à la vitesse v et au rayon de courbure r du virage de la même manière que pour une chaussée idéalement inclinée, c'est-à-dire\(\theta\) = tan -1\(\left(\dfrac{v^{2}}{rg}\right)\). (b) Calculer\(\theta\) pour un virage de 12,0 m/s d'un rayon de 30,0 m (comme dans une course).

    La figure est une illustration d'un homme faisant du vélo, vu de face. Le cycliste et le vélo sont inclinés vers la droite selon un angle thêta par rapport à la verticale. Trois vecteurs de force sont représentés par des flèches en trait plein. L'une part du bas de la roue avant vers la droite et indique la force centripète F sub c. La seconde part du même point verticalement vers le haut et montre la force N. La troisième part de la poitrine du cycliste verticalement vers le bas en indiquant son poids, w. Une flèche supplémentaire en ligne brisée part du bas de la roue pour la pointe de la poitrine, à un angle thêta vers la droite de la verticale, est également représentée et étiquetée avec la force F exercée sur elle. Les vecteurs F sub c, w et F forment un triangle droit dont l'hypoténuse est F. Un diagramme à corps libre est également donné au-dessus de la figure montrant les vecteurs w et F. Les relations vectorielles F est égale à la somme de N et F sub c, et N est égal à w sont également données à côté de la figure.

    1. Si une voiture prend un virage incliné à une vitesse inférieure à la vitesse idéale, la friction est nécessaire pour l'empêcher de glisser vers l'intérieur du virage (problème sur les routes de montagne verglacées). a) Calculer la vitesse idéale pour suivre une courbe de 100 m de rayon inclinée à 15,0°. (b) Quel est le coefficient de frottement minimum requis pour qu'un conducteur effrayé emprunte la même courbe à 20 km/h ?
    2. Les montagnes russes modernes ont des boucles verticales comme celle illustrée ici. Le rayon de courbure est plus petit en haut que sur les côtés, de sorte que l'accélération centripète vers le bas en haut sera supérieure à l'accélération due à la gravité, ce qui permet aux passagers de rester fermement enfoncés dans leur siège. Quelle est la vitesse des montagnes russes au sommet de la boucle si le rayon de courbure y est de 15,0 m et que l'accélération descendante de la voiture est de 1,50 g ?

    Illustration de la boucle d'un rouleau. Le rayon de courbure est plus petit en haut que sur les côtés et en bas. Le rayon de la boucle au niveau du tom est indiqué et étiqueté comme r inférieur à la valeur minimale. Le rayon situé dans la partie la plus basse de la boucle est étiqueté comme r inférieur à la valeur maximale. La piste se trouve sur la surface intérieure de la boucle. Le mouvement est indiqué par des flèches, partant du niveau du sol à droite de la boucle, remontant à l'intérieur de la boucle à gauche, puis descendant à l'intérieur droit de la boucle et remontant au niveau du sol sur la gauche. Quatre emplacements sur la piste, A, B, C, D et B, sont étiquetés. Le point A se trouve au niveau du sol, à droite de la boucle, où la piste est droite et horizontale. Le point B se trouve à mi-chemin du côté gauche de la boucle. Le point C se trouve à mi-chemin sur le côté droit de la boucle, au même niveau que le point B. Le point D se trouve au niveau du sol, à gauche de la boucle, où la piste est droite et horizontale.

    1. Un enfant pesant 40,0 kg se trouve dans une voiture de montagnes russes qui parcourt une boucle d'un rayon de 7,00 m. Au point A, la vitesse de la voiture est de 10,0 m/s et au point B, la vitesse est de 10,5 m/s. Supposons que l'enfant ne tient pas et ne porte pas de ceinture de sécurité. a) Quelle est la force exercée par le siège auto sur l'enfant au point A ? (b) Quelle est la force exercée par le siège auto sur l'enfant au point B ? c) Quelle est la vitesse minimale requise pour maintenir l'enfant sur son siège au point A ?

    Illustration d'une boucle de montagnes russes avec un enfant assis dans une voiture s'approchant de la boucle. La piste se trouve sur la surface intérieure de la boucle. Deux emplacements de la boucle, A et B, sont étiquetés. Le point A se trouve en haut de la boucle. Le point B se trouve en bas et à gauche de A. L'angle entre les rayons des points A et B est de trente degrés.

    1. Dans le modèle simple de Bohr de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, l'électron se déplace sur une orbite circulaire autour d'un proton fixe. Le rayon de l'orbite est de 5,28 x 10 -11 m et la vitesse de l'électron est de 2,18 x 10 6 m/s. La masse d'un électron est de 9,11 x 10 −31 kg. Quelle est la force exercée sur l'électron ?
    2. Les voies ferrées suivent une courbe circulaire d'un rayon de 500,0 m et sont inclinées selon un angle de 5,0°. Pour les trains, à quelle vitesse ces voies sont-elles conçues ?
    3. L'accélérateur de particules du CERN est circulaire et a une circonférence de 7,0 km. (a) Quelle est l'accélération des protons (m = 1,67 x 10 −27 kg) qui se déplacent autour de l'accélérateur à 5 % de la vitesse de la lumière ? (La vitesse de la lumière est v = 3,00 x 10 8 m/s.) (b) Quelle est la force exercée sur les protons ?
    4. Une voiture contourne une courbe non inclinée d'un rayon de 65 m. Si le coefficient de frottement statique entre la route et la voiture est de 0,70, quelle est la vitesse maximale à laquelle la voiture franchit la courbe sans glisser ?
    5. Une autoroute inclinée est conçue pour la circulation à 90,0 km/h. Le rayon de la courbe est de 310 m. Quel est l'angle d'inclinaison de l'autoroute ?

    6.4 Force de traînée et vitesse terminale

    1. La vitesse terminale d'une personne qui tombe dans l'air dépend du poids et de la zone de la personne faisant face au liquide. Déterminez la vitesse finale (en mètres par seconde et en kilomètres par heure) d'un parachutiste de 80 kg tombant en position de brochet (tête la première) sur une surface de 0,140 m 2.
    2. Un parachutiste de 60,0 kg et un parachutiste de 90,0 kg sautent d'un avion à une altitude de 6,00 x 10 3 m, les deux tombant en position de brochet. Faites des hypothèses sur leurs zones frontales et calculez leurs vitesses terminales. Combien de temps faudra-t-il à chaque parachutiste pour atteindre le sol (en supposant que le temps nécessaire pour atteindre la vitesse terminale est court) ? Supposons que toutes les valeurs soient précises à trois chiffres significatifs.
    3. Un écureuil de 560 g d'une surface de 930 cm 2 tombe d'un arbre de 5,0 m au sol. Estimez sa vitesse terminale. (Utilisez un coefficient de traînée pour un parachutiste horizontal.) Quelle sera la vitesse d'une personne de 56 kg percutant le sol, en supposant qu'aucune traînée ne contribue à une telle distance ?
    4. Pour maintenir une vitesse constante, la force fournie par le moteur d'une voiture doit être égale à la force de traînée plus la force de friction de la route (la résistance au roulement). a) Quelles sont les forces de traînée à 70 km/h et à 100 km/h pour une Toyota Camry ? (La surface de traînée est de 0,70 m 2) (b) Quelle est la force de traînée à 70 km/h et à 100 km/h pour un Hummer H2 ? (La surface de traînée est de 2,44 m 2) Supposons que toutes les valeurs sont précises à trois chiffres significatifs.
    5. De quel facteur la force de traînée d'une voiture augmente-t-elle lorsqu'elle passe de 65 à 110 km/h ?
    6. Calculez la vitesse qu'une goutte de pluie sphérique atteindrait à partir de 5,00 km (a) en l'absence de traînée aérodynamique (b) avec une traînée aérodynamique. Supposons que la taille transversale de la goutte soit de 4 mm, que la densité soit de 1,00 x 10 3 kg/m 3 et que la surface soit\(\pi\) r 2.
    7. À l'aide de la loi de Stokes, vérifiez que les unités de viscosité sont les kilogrammes par mètre et par seconde.
    8. Déterminez la vitesse terminale d'une bactérie sphérique (diamètre 2,00\(\mu_{m}\)) qui tombe dans l'eau. Vous devez d'abord noter que la force de traînée est égale au poids à la vitesse terminale. Supposons que la densité de la bactérie soit de 1,10 x 10 3 kg/m 3.
    9. La loi de Stokes décrit la sédimentation des particules dans les liquides et peut être utilisée pour mesurer la viscosité. Les particules présentes dans les liquides atteignent rapidement leur vitesse terminale. On peut mesurer le temps qu'il faut à une particule pour tomber sur une certaine distance, puis utiliser la loi de Stokes pour calculer la viscosité du liquide. Supposons qu'un roulement à billes en acier (densité 7,8 x 10 3 kg/m 3, diamètre 3,0 mm) tombe dans un réservoir d'huile moteur. Il faut 12 s pour descendre d'une distance de 0,60 m. Calculez la viscosité de l'huile.
    10. Supposons que la force résistive de l'air sur un parachutiste puisse être approximée par f = −bv 2. Si la vitesse terminale d'un parachutiste de 50 kg est de 60,0 m/s, quelle est la valeur de b ?
    11. Un petit diamant d'une masse de 10,0 g tombe de la boucle d'oreille d'un nageur et tombe dans l'eau, atteignant une vitesse terminale de 2,0 m/s. (a) En supposant que la force de friction exercée sur le diamant obéisse à f = −bv, qu'est-ce que b ? (b) Jusqu'où tombe le diamant avant qu'il n'atteigne 90 % de sa vitesse terminale ?

    Problèmes supplémentaires

    1. a) Quelle est la vitesse finale d'un véhicule roulant initialement à 50 km/h qui décélère à une vitesse de 0,400 m/s 2 pendant 50 s ? Supposons un coefficient de frottement de 1,0. (b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans le résultat ? (c) Quelle prémisse est déraisonnable ou quelle prémisse est incohérente ?
    2. Une femme de 75,0 kg se tient debout sur une balance de salle de bain dans un ascenseur qui accélère du repos à 30 m/s en 2 s. (a) Calculez la valeur de la balance en newtons et comparez-la à son poids. (La balance exerce sur elle une force ascendante égale à sa lecture.) (b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans le résultat ? (c) Quelle prémisse est déraisonnable ou quelle prémisse est incohérente ?
    3. (a) Calculez le coefficient de frottement minimum requis pour qu'une voiture franchisse une courbe non inclinée de 50 m de rayon à 30 m/s. (b) Qu'est-ce qui n'est pas raisonnable dans le résultat ? (c) Quels sont les prémisses déraisonnables ou incohérentes ?
    4. Comme indiqué ci-dessous, si M = 5,50 kg, quelle est la tension dans la chaîne 1 ?

    La messe M est suspendue aux cordes 1 et 2. La chaîne 1 est connectée à un mur à un point situé en dessous et à gauche de la masse. La chaîne 1 fait un angle de 40 degrés sous l'horizontale. La chaîne 2 est reliée à un plafond en un point au-dessus et à droite de la masse. La chaîne 2 fait un angle de 40 degrés à droite de la verticale.

    1. Comme indiqué ci-dessous, si F = 60,0 N et M = 4,00 kg, quelle est l'ampleur de l'accélération de l'objet suspendu ? Toutes les surfaces sont exemptes de friction.

    Deux blocs sont représentés. Un bloc, étiqueté 2 M, se trouve sur une table horizontale. Une force F tire sur le bloc de 2 M vers le haut et vers la gauche à un angle de 30 degrés au-dessus de l'horizontale. Sur le côté opposé, le bloc est connecté à une ficelle qui le tire vers la droite. La corde passe sur une poulie située au bord de la table, puis pend tout droit vers le bas et se connecte au deuxième bloc, étiqueté M. Le bloc 2 n'est pas en contact avec la rampe.

    1. Comme indiqué ci-dessous, si M = 6,0 kg, quelle est la tension dans la corde de raccordement ? La poulie et toutes les surfaces ne frottent pas.

    Deux blocs, tous deux de masse M, sont reliés par une corde qui passe sur une poulie entre les blocs. Le bloc supérieur se trouve sur une surface inclinée vers le bas et vers la droite à un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale. La poulie est fixée au coin en bas de la pente, où la surface se plie et descend verticalement. La masse inférieure est suspendue droit vers le bas. Il n'est pas en contact avec la surface.

    1. Une petite sonde spatiale est libérée d'un vaisseau spatial. La sonde spatiale a une masse de 20,0 kg et contient 90,0 kg de carburant. Il part de son repos dans l'espace lointain, à l'origine d'un système de coordonnées basé sur le vaisseau spatial, et brûle du carburant à raison de 3,00 kg/s. Le moteur fournit une poussée constante de 120,0 N. (a) Écrivez une expression pour la masse de la sonde spatiale en fonction du temps, entre 0 et 30 secondes, en supposant que le moteur enflamme le carburant à partir de t = 0. (b) Quelle est la vitesse après 15 s ? (c) Quelle est la position de la sonde spatiale après 15 s, avec sa position initiale à l'origine ? (d) Écrivez une expression pour la position en fonction du temps, pour t > 30,0 s.
    2. Un bac de recyclage à moitié plein a une masse de 3,0 kg et est poussé vers le haut sur une pente de 40,0° à vitesse constante sous l'action d'une force de 26 N agissant vers le haut et parallèlement à l'inclinaison. L'inclinaison présente des frottements. Quelle est l'amplitude de la force qui doit agir vers le haut et parallèlement à l'inclinaison pour que le bac puisse descendre l'inclinaison à une vitesse constante ?
    3. Un enfant pèse 6,0 kg et glisse sur une pente de 35° à vitesse constante sous l'action d'une force de 34 N agissant vers le haut et parallèlement à l'inclinaison. Quel est le coefficient de friction cinétique entre l'enfant et la surface de la pente ?
    4. Les deux barges présentées ici sont couplées par un câble de masse négligeable. La masse de la barge avant est de 2,00 x 10 3 kg et la masse de la barge arrière est de 3,00 x 10 3 kg. Un remorqueur tire la barge avant avec une force horizontale de magnitude 20,0 x 10 3 N, et les forces de frottement de l'eau sur les barges avant et arrière sont de 8,00 x 10 3 N et 10,0 x 10 3 N, respectivement. Déterminez l'accélération horizontale des barges et la tension du câble de connexion.

    Illustration montrant un remorqueur tirant deux barges. La barge directement attachée au remorqueur a une masse de 2,00 fois 10 à 3 kilogrammes. La barge située à l'extrémité, derrière la première barge, a une masse de 3,00 fois 10 à 3 kilogrammes.

    1. Si l'ordre des barges de l'exercice précédent est inversé de telle sorte que le remorqueur tire la barge de 3,00 x 10 3 kg avec une force de 20,0 x 10 3 N, quelles sont l'accélération des barges et la tension du câble d'attelage ?
    2. Un objet de masse m se déplace le long de l'axe X. Sa position à tout moment est donnée par x (t) = pt 3 + qt 2 où p et q sont des constantes. Détermine la force nette sur cet objet à tout moment t.
    3. Un hélicoptère d'une masse de 2,35 x 10 4 kg a une position donnée par\(\vec{r}\) (t) = (0,020 t 3)\(\hat{i}\) + (2,2 t)\(\hat{j}\) − (0,060 t 2) |9 \ hat {k} \). Déterminez la force nette sur l'hélicoptère à t = 3,0 s.
    4. Située à l'origine, une voiture électrique de masse m est au repos et en équilibre. Une force dépendante du temps de\(\vec{F}\) (t) est appliquée au temps t = 0, et ses composantes sont F x (t) = p + nt et F y (t) = qt où p, q et n sont des constantes. Détermine la position\(\vec{r}\) (t) et la vitesse\(\vec{v}\) (t) en fonction du temps t.
    5. Une particule de masse m se trouve à l'origine. Il est au repos et en équilibre. Une force dépendante du temps de\(\vec{F}\) (t) est appliquée au temps t = 0, et ses composantes sont F x (t) = pt et F y (t) = n + qt où p, q et n sont des constantes. Détermine la position\(\vec{r}\) (t) et la vitesse\(\vec{v}\) (t) en fonction du temps t.
    6. Un objet de 2,0 kg a une vitesse de 4,0\(\hat{i}\) m/s à t = 0. Une force résultante constante de (2,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\)) N agit alors sur l'objet pendant 3 s. Quelle est l'amplitude de la vitesse de l'objet à la fin de l'intervalle de 3 s ?
    7. Une masse de 1,5 kg a une accélération de (4,0\(\hat{i}\) − 3,0\(\hat{j}\)) m/s 2. Seules deux forces agissent sur la masse. Si l'une des forces est (2,0\(\hat{i}\) − 1,4\(\hat{j}\)) N, quelle est l'ampleur de l'autre force ?
    8. Une boîte est déposée sur une bande transporteuse se déplaçant à 3,4 m/s. Si le coefficient de frottement entre la boîte et la courroie est de 0,27, combien de temps faudra-t-il avant que la boîte se déplace sans glisser ?
    9. La figure ci-dessous montre un bloc de 10,0 kg poussé par une force horizontale\(\vec{F}\) de magnitude 200,0 N. Le coefficient de frottement cinétique entre les deux surfaces est de 0,50. Trouvez l'accélération du bloc.

    Illustration d'un bloc de 10,0 kg poussé dans une pente par une force horizontale F. La pente est inclinée vers le haut et vers la droite selon un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale et la force F pointe vers la droite.

    1. Comme indiqué ci-dessous, la masse du bloc 1 est de m 1 = 4,0 kg, tandis que la masse du bloc 2 est de m 2 = 8,0 kg. Le coefficient de frottement entre m 1 et la surface inclinée est\(\mu_{k}\) = 0,40. Qu'est-ce que l'accélération du système ?

    Le bloc 1 se trouve sur une rampe inclinée vers le haut et vers la droite à un angle de 37 degrés au-dessus de l'horizontale. Il est relié à une ficelle qui passe au-dessus d'une poulie située en haut de la rampe, puis pend tout droit vers le bas et se connecte au bloc 2. Le bloc 2 n'est pas en contact avec la rampe.

    1. Une étudiante tente de déplacer un mini-réfrigérateur de 30 kg dans son dortoir. Pendant un moment d'inattention, le mini-réfrigérateur glisse sur une pente de 35 degrés à vitesse constante lorsqu'il applique une force de 25 N agissant vers le haut et parallèlement à l'inclinaison. Quel est le coefficient de friction cinétique entre le réfrigérateur et la surface de la pente ?
    2. Une caisse d'une masse de 100,0 kg repose sur une surface rugueuse inclinée à un angle de 37,0° par rapport à l'horizontale. Une corde sans masse à laquelle une force peut être appliquée parallèlement à la surface est fixée à la caisse et mène au sommet de la pente. Dans son état actuel, la caisse est juste prête à glisser et à commencer à descendre de l'avion. Le coefficient de frottement est de 80 % de celui du boîtier statique. a) Quel est le coefficient de frottement statique ? (b) Quelle est la force maximale qui peut être appliquée vers le haut le long du plan sur la corde sans déplacer le bloc ? (c) Avec une force légèrement plus importante, le bloc glissera vers le haut du plan. Une fois qu'il commence à se déplacer, quelle est son accélération et quelle force réduite est nécessaire pour le maintenir vers le haut à une vitesse constante ? (d) Si le bloc reçoit un léger coup de pouce pour le faire démarrer dans l'avion, quelle sera son accélération dans cette direction ? e) Une fois que le bloc commence à glisser vers le bas, quelle est la force ascendante requise sur la corde pour empêcher le bloc d'accélérer vers le bas ?
    3. Une voiture se déplace à grande vitesse sur une autoroute lorsque le conducteur freine d'urgence. Les roues se bloquent (cessent de rouler) et les marques de dérapage qui en résultent mesurent 32 mètres de long. Si le coefficient de friction cinétique entre les pneus et la route est de 0,550 et que l'accélération était constante pendant le freinage, à quelle vitesse roulait-elle lorsque les roues se sont bloquées ?
    4. Une caisse d'une masse de 50,0 kg tombe horizontalement à l'arrière du camion à plateau, qui roule à 100 km/h. Déterminez la valeur du coefficient de friction cinétique entre la route et la caisse si la caisse glisse de 50 m sur la route pour s'immobiliser. La vitesse initiale de la caisse est la même que celle du camion, 100 km/h.

    La figure montre un camion se déplaçant vers la droite à 100 kilomètres à l'heure et une caisse de 50 kilogrammes au sol derrière le camion.

    1. Un traîneau de 15 kg est tiré sur une surface horizontale recouverte de neige par une force appliquée à une corde à 30 degrés par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le traîneau et la neige est de 0,20. a) Si la force est de 33 N, quelle est l'accélération horizontale du traîneau ? (b) Quelle doit être la force pour tirer le traîneau à vitesse constante ?
    2. Une balle de 30,0 g au bout d'une corde est balancée dans un cercle vertical d'un rayon de 25,0 cm. La vitesse tangentielle est de 200,0 cm/s. Déterminez la tension dans la corde : (a) en haut du cercle, (b) en bas du cercle et (c) à une distance de 12,5 cm du centre du cercle (r = 12,5 cm).
    3. Une particule d'une masse de 0,50 kg commence à suivre une trajectoire circulaire dans le plan xy avec une position donnée par\(\vec{r}\) (t) = (4,0 cos 3t)\(\hat{i}\) + (4,0 sin 3t)\(\hat{j}\) où r est en mètres et t en secondes. (a) Trouvez les vecteurs de vitesse et d'accélération en fonction du temps. (b) Montrez que le vecteur d'accélération pointe toujours vers le centre du cercle (et représente donc l'accélération centripète). (c) Détermine le vecteur de force centripète en fonction du temps.
    4. Un cycliste cascadeur se déplace à l'intérieur d'un cylindre de 12 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la paroi est de 0,68. Déterminez la valeur de la vitesse minimale à laquelle le cycliste doit effectuer la cascade.
    5. Lorsqu'un corps d'un poids de 0,25 kg est fixé à un ressort vertical sans masse, il est étendu de 5,0 cm à partir de sa longueur non étirée de 4,0 cm. Le corps et le ressort sont placés sur une surface horizontale sans friction et pivotés autour de l'extrémité maintenue du ressort à 2,0 tr/min. Dans quelle mesure le ressort est-il étiré ?
    6. Les voies ferrées suivent une courbe circulaire d'un rayon de 500,0 m et sont inclinées à un angle de 5,00°. Pour les trains, à quelle vitesse ces voies sont-elles conçues ?
    7. Un fil à plomb est suspendu au toit d'un wagon de chemin de fer. La voiture fait le tour d'une piste circulaire d'un rayon de 300,0 m à une vitesse de 90,0 km/h. À quel angle est suspendu le fil à plomb par rapport à la verticale ?
    8. Un avion vole à 120,0 m/s et s'incline à un angle de 30°. Si sa masse est de 2,50 x 10 3 kg, a) quelle est l'ampleur de la force de levage ? (b) quel est le rayon du virage ?
    9. La position d'une particule est donnée par\(\vec{r}\) (t) = A (cos\(\omega\)\(\hat{i}\) t+ sin\(\omega\) t\(\hat{j}\)), où\(\omega\) est une constante. (a) Montrez que la particule se déplace dans un cercle de rayon A. (b) Calculez\(\frac{d \vec{r}}{dt}\) puis montrez que la vitesse de la particule est une constante\(\omega\) A. (c) Déterminer\(\frac{d^{2} \vec{r}}{dt^{2}}\) et montrer que a est donné par a c =\(\omega^{2}\) r. (d) Calculez la force centripète exercée sur la particule. [Conseil : Pour (b) et (c), vous devez utiliser\(\left(\dfrac{d}{dt}\right)\) (cos\(\omega\) t) = −\(\omega\) sin\(\omega\) t et\(\left(\dfrac{d}{dt}\right)\) (sin\(\omega\) t) =\(\omega\) cos\(\omega\) t.
    10. Deux blocs reliés par une ficelle sont tirés sur une surface horizontale par une force appliquée à l'un des blocs, comme indiqué ci-dessous. Le coefficient de frottement cinétique entre les blocs et la surface est de 0,25. Si chaque bloc a une accélération de 2,0 m/s 2 vers la droite, quelle est l'amplitude F de la force appliquée ?

    Deux blocs, de 1,0 kilogramme à gauche et 3,0 kilogrammes à droite, sont reliés par une ficelle et se trouvent sur une surface horizontale. La force F agit sur la masse de 3,0 kg et pointe vers le haut et vers la droite à un angle de 60 degrés au-dessus de l'horizontale.

    1. Comme indiqué ci-dessous, le coefficient de frottement cinétique entre la surface et le plus grand bloc est de 0,20, et le coefficient de frottement cinétique entre la surface et le plus petit bloc est de 0,30. Si F = 10 N et M = 1,0 kg, quelle est la tension dans la corde de raccordement ?

    Deux blocs, 2 M à gauche et M à droite, sont reliés par une ficelle et se trouvent sur une surface horizontale. La force F agit sur M et pointe vers la droite.

    1. Sur la figure, le coefficient de frottement cinétique entre la surface et les blocs est de\(\mu_{k}\). Si M = 1,0 kg, trouvez une expression pour l'amplitude de l'accélération de l'un ou l'autre bloc (en termes de F\(\mu_{k}\),, et g).

    Deux blocs, M à gauche et 3 M à droite, sont reliés par une ficelle et se trouvent sur une surface horizontale. Les forces suivantes sont indiquées : f sub k 2 agissant sur M et pointant vers la droite, f sub k 1 agissant sur 3 M et pointant vers la droite, F agissant sur 3 M et pointant vers la gauche, N sub 2 agissant sur M et pointant vers le haut, N sub 1 agissant sur 3 M et pointant vers le haut, M g agissant sur M et pointant vers le bas, 3 M g agissant sur 3 M et pointant vers le bas

    1. Deux blocs sont empilés comme indiqué ci-dessous et reposent sur une surface sans friction. Il y a friction entre les deux blocs (coefficient de frottement\(\mu\)). Une force externe est appliquée au bloc supérieur en formant un angle\(\theta\) avec l'horizontale. Quelle est la force maximale F qui peut être appliquée pour que les deux blocs se déplacent ensemble ?

    Le bloc rectangulaire M sub 2 se trouve sur une surface horizontale. Le bloc rectangulaire M sub 1 se trouve au-dessus du bloc M sub 2. Une force F pousse sur le bloc M sub 1. La force F est dirigée vers le bas et vers la droite, selon un angle thêta par rapport à l'horizontale.

    1. Une boîte repose sur l'arrière (horizontal) d'un camion. Le coefficient de frottement statique entre le boîtier et la surface sur laquelle il repose est de 0,24. Quelle distance maximale le camion peut-il parcourir (en partant de l'arrêt et en se déplaçant horizontalement avec une accélération constante) en 3 s sans faire glisser la boîte ?
    2. Un plan à double inclinaison est illustré ci-dessous. Le coefficient de frottement sur la surface gauche est de 0,30 et sur la surface droite de 0,16. Calculez l'accélération du système.

    Deux chariots reliés par une ficelle passant sur une poulie se trouvent de part et d'autre d'un plan à double inclinaison. La ficelle passe sur une poulie fixée au sommet de la double pente. Sur la gauche, l'inclinaison fait un angle de 37 degrés avec l'horizontale et le chariot de ce côté a une masse de 10 kilogrammes. Sur la droite, l'inclinaison fait un angle de 53 degrés avec l'horizontale et le chariot de ce côté a une masse de 15 kilogrammes.

    Problèmes liés au défi

    1. Dans un chapitre ultérieur, vous découvrirez que le poids d'une particule varie en fonction de l'altitude, de telle sorte que w =\(\frac{mgr_{0}^{2}}{r^{2}}\) où r 0 est le rayon de la Terre et r est la distance depuis le centre de la Terre. Si la particule est projetée verticalement à une vitesse v 0 depuis la surface de la Terre, déterminez sa vitesse en fonction de la position r. (Conseil : utilisez a dr = v dv, le réarrangement mentionné dans le texte.)
    2. Une grande centrifugeuse, comme celle illustrée ci-dessous, est utilisée pour exposer les aspirants astronautes à des accélérations similaires à celles rencontrées lors des lancements de fusées et des rentrées dans l'atmosphère. a) À quelle vitesse angulaire l'accélération centripète est-elle de 10 g si le cavalier se trouve à 15,0 m du centre de rotation ? (b) La cage du cavalier est suspendue à un pivot situé à l'extrémité du bras, ce qui lui permet de pivoter vers l'extérieur pendant la rotation, comme le montre la figure ci-dessous ci-jointe. À quel angle\(\theta\) sous l'horizontale la cage va-t-elle pendre lorsque l'accélération centripète est de 10 g ? (Conseil : le bras fournit une force centripète et supporte le poids de la cage. Dessinez un diagramme à corps libre des forces pour voir quel\(\theta\) doit être l'angle.)

    a) Une photographie d'une centrifugeuse d'entraînement à haut niveau de concentration. L'astronaute est assis dans une cage au bout d'un long bras qui pivote dans un plan horizontal. (b) Une illustration d'une vue de dessus de la centrifugeuse ainsi qu'une illustration des forces. Le diagramme du corps libre montre le poids, w, dirigé verticalement vers le bas et la force F dirigée vers le haut et vers la gauche. Les forces sont ensuite affichées réarrangées pour former un triangle droit. Le sous-bras F est l'hypoténuse du triangle pointant vers le haut et vers la gauche, w est le côté vertical pointant vers le bas et F sub c est la base pointant vers la gauche. La flèche F sub c est ensuite affichée séparément avec la notation selon laquelle le vecteur F sub c est égal à F sub net.

    1. Une voiture d'un poids de 1000,0 kg roule sur une route plane à 100,0 km/h lorsque ses freins sont serrés. Calculez la distance de freinage si le coefficient de frottement cinétique des pneus est de 0,500. négligez la résistance à l'air (Conseil : étant donné que la distance parcourue est plus intéressante que le temps, x est la variable indépendante souhaitée et non t. Utilisez la règle de chaîne pour modifier la variable :\(\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}\).)
    2. Un avion volant à 200,0 m/s effectue un virage qui dure 4 minutes. Quel angle d'inclinaison est requis ? Quel est le pourcentage d'augmentation du poids perçu des passagers ?
    3. Un parachutiste se trouve à une altitude de 1520 m. Après 10 secondes de chute libre, il ouvre son parachute et découvre que la résistance à l'air, F D, est donnée par la formule F D = −bv, où b est une constante et v est la vitesse. Si b = 0,750 et que la masse du parachutiste est de 82,0 kg, établissez d'abord des équations différentielles pour la vitesse et la position, puis trouvez : (a) la vitesse du parachutiste lorsque le parachute s'ouvre, (b) la distance parcourue avant l'ouverture du parachute, (c) la vitesse finale après l'ouverture du parachute (trouvez le vitesse limite) et (d) le temps que le parachutiste passe dans les airs après l'ouverture du parachute.
    4. Dans une publicité télévisée, une petite bille sphérique d'une masse de 4,00 g est libérée du repos à t = 0 dans une bouteille de shampoing liquide. On observe que la vitesse terminale est de 2,00 cm/s. Trouvez (a) la valeur de la constante b dans l'équation v =\(\frac{mg}{b} \big( 1 − e^{− \frac{bt}{m}} \big) \), et (b) la valeur de la force résistive lorsque le bourrelet atteint la vitesse terminale.
    5. Un plaisancier et un bateau à moteur sont au repos sur un lac. Ensemble, ils ont une masse de 200,0 kg. Si la poussée du moteur est une force constante de 40,0 N dans le sens du mouvement, et si la force résistive de l'eau est numériquement équivalente à 2 fois la vitesse v du bateau, établissez et résolvez l'équation différentielle pour trouver : (a) la vitesse du bateau au temps t ; (b) la vitesse limite ( vélocité après un long laps de temps).

    Contributeurs et attributions

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