6.3 : Résoudre des problèmes avec les lois de Newton (partie 2)
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Les lois du mouvement et de la cinématique de Newton
La physique est particulièrement intéressante et puissante lorsqu'elle est appliquée à des situations générales qui impliquent plus qu'un ensemble restreint de principes physiques. Les lois du mouvement de Newton peuvent également être intégrées à d'autres concepts qui ont été discutés précédemment dans ce texte pour résoudre des problèmes de mouvement. Par exemple, les forces produisent des accélérations, un sujet de cinématique, d'où la pertinence des chapitres précédents.
Lorsque vous abordez des problèmes impliquant différents types de forces, d'accélérations, de vitesses et/ou de positions, la liste des données et des quantités à calculer vous permettra d'identifier les principes impliqués. Ensuite, vous pouvez vous référer aux chapitres qui traitent d'un sujet particulier et résoudre le problème en utilisant les stratégies décrites dans le texte. L'exemple concret suivant montre comment la stratégie de résolution de problèmes présentée plus tôt dans ce chapitre, ainsi que les stratégies présentées dans d'autres chapitres, est appliquée à un problème conceptuel intégré.
Une joueuse de football démarre au repos et accélère vers l'avant, atteignant une vitesse de 8,00 m/s en 2,50 s. (a) Quelle est son accélération moyenne ? (b) Quelle force moyenne le sol exerce-t-il vers l'avant sur la coureuse pour qu'elle atteigne cette accélération ? La masse du joueur est de 70,0 kg et la résistance à l'air est négligeable.
Stratégie
Pour trouver des réponses à ce problème, nous utilisons la stratégie de résolution de problèmes décrite plus haut dans ce chapitre. Les solutions à chaque partie de l'exemple illustrent la manière d'appliquer des étapes spécifiques de résolution de problèmes. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de suivre toutes les étapes. Nous nous contentons d'identifier les principes physiques, et donc les éléments connus et inconnus, d'appliquer la deuxième loi de Newton et de vérifier si la réponse est raisonnable.
Solution
- On nous donne les vitesses initiale et finale (zéro et 8,00 m/s vers l'avant) ; ainsi, la variation de vitesse est\(\Delta\) v = 8,00 m/s. On nous donne le temps écoulé, donc\(\Delta\) t = 2,50 s. L'inconnu est l'accélération, que l'on peut trouver à partir de sa définition : $$a = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} \ LDotp$$$La substitution des valeurs connues donne $$a = \ frac {8,00 \ ; m/s} {2,50 \ ; s} = 3,20 \ ; m/s^ {2} \ ldotp$m/s} {2,50 \ ; s} = 3,20 \ ; m/s^ {2} \ ldotp$$
- On nous demande ici de déterminer la force moyenne que le sol exerce sur le coureur pour produire cette accélération. (N'oubliez pas qu'il s'agit de la ou des forces agissant sur l'objet d'intérêt.) Il s'agit de la force de réaction à celle exercée par le joueur vers l'arrière contre le sol, selon la troisième loi de Newton. Si l'on néglige la résistance de l'air, celle-ci serait égale en amplitude à la force externe nette exercée sur la joueuse, puisque cette force provoque son accélération. Puisque nous connaissons maintenant l'accélération de la joueuse et que l'on lui donne sa masse, nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton pour déterminer la force exercée. C'est-à-dire que $$F_ {net} = ma \ lDotp$$La substitution des valeurs connues de m et a donne $$F_ {net} = (70,0 \ ; kg) (3,20 \ ; m/s^ {2}) = 224 \ ; N \ ldotp$$
C'est un résultat raisonnable : l'accélération est réalisable pour un athlète en bonne condition. La force est d'environ 50 livres, une force moyenne raisonnable.
L'importance
Cet exemple montre comment appliquer des stratégies de résolution de problèmes à des situations qui incluent des sujets issus de différents chapitres. La première étape consiste à identifier les principes physiques, les connaissances et les inconnues impliqués dans le problème. La deuxième étape consiste à résoudre l'inconnu, dans ce cas en utilisant la deuxième loi de Newton. Enfin, nous vérifions notre réponse pour nous assurer qu'elle est raisonnable. Ces techniques pour les problèmes conceptuels intégrés seront utiles pour des applications de la physique en dehors d'un cours de physique, par exemple dans votre profession, dans d'autres disciplines scientifiques et dans la vie de tous les jours.
Le joueur de football s'arrête après avoir terminé le jeu décrit ci-dessus, mais remarque maintenant que le ballon est en position d'être volé. Si elle subit maintenant une force de 126 N pour tenter de voler le ballon, qui se trouve à 2 m d'elle, combien de temps lui faudra-t-il pour atteindre le ballon ?
Un hélicoptère miniature de 1,50 kg a une vitesse de 5,00\(\hat{j}\) m/s à t = 0. Il est accéléré à une vitesse constante pendant deux secondes (2 s), après quoi il atteint une vitesse de (6,00\(\hat{i}\) + 12,00\(\hat{j}\)) m/s. Quelle est l'ampleur de la force résultante agissant sur l'hélicoptère pendant cet intervalle de temps ?
Stratégie
Nous pouvons facilement configurer un système de coordonnées dans lequel l'axe x (\(\hat{i}\)direction) est horizontal et l'axe y (\(\hat{j}\)direction) est vertical. Nous savons que\(\Delta\) t = 2,00 s et\(\Delta\) v = (6,00\(\hat{i}\) + 12,00\(\hat{j}\) m/s) − (5,00\(\hat{j}\) m/s). À partir de là, nous pouvons calculer l'accélération par la définition ; nous pouvons ensuite appliquer la deuxième loi de Newton.
Solution
Nous avons
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(6.00 \hat{i} + 12.00 \hat{j}\; m/s) - (5.00 \hat{j}\; m/s)}{2.00\; s} = 3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}$$ $$\sum \vec{F} = m \vec{a} = (1.50\; kg)(3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}) = 4.50 \hat{i} + 5.25 \hat{j}\; N \ldotp\]
L'ampleur de la force est désormais facile à déterminer :
\[F = \sqrt{(4.50\; N)^{2} + (5.25\; N)^{2}} = 6.91\; N \ldotp\]
L'importance
Le problème initial a été énoncé en termes de\(\hat{i}\) − composants\(\hat{j}\) vectoriels, nous avons donc utilisé des méthodes vectorielles. Comparez cet exemple à l'exemple précédent.
Déterminez la direction de la résultante pour le modèle d'hélicoptère de 1,50 kg.
La figure\(\PageIndex{7}\) (a) montre un tracteur à bagages tirant des chariots à bagages d'un avion. Le tracteur a une masse de 650,0 kg, tandis que le chariot A a une masse de 250,0 kg et le chariot B a une masse de 150,0 kg. La force motrice agissant pendant une courte période accélère le système à partir de l'arrêt et agit pendant 3 s. (a) Si cette force motrice est donnée par F = (820,0 t) N, trouvez la vitesse après 3 secondes. (b) Quelle est la force horizontale qui s'exerce sur le câble de liaison entre le tracteur et le chariot A en ce moment ?
Stratégie
Un diagramme de carrosserie libre montre la force motrice du tracteur, qui donne au système son accélération. Il suffit de prendre en compte le mouvement dans le sens horizontal. Les forces verticales s'équilibrent et il n'est pas nécessaire de les prendre en compte. Pour la partie b, nous utilisons uniquement un schéma du corps libre du tracteur pour déterminer la force entre celui-ci et le chariot A. Cela permet de connaître la force d'attelage\(\vec{T}\), ce qui est notre objectif.
Solution
- $$ \ sum F_ {x} = m_ {system} a_ {x} \ ; et \ ; \ sum F_ {x} = 820,0t, $$so 820,0t = (650,0 + 250,0 + 150,0) a$$ $a = 0,7809t \ LDotp$$Puisque l'accélération est fonction du temps, nous pouvons déterminer la vitesse du tracteur en utilisant un =\(\frac{dv}{dt}\) avec la condition initiale que v 0 = 0 à t = 0. Nous intégrons de t = 0 à t = 3 : $$ \ begin {split} dv & = adt \ \ \ int_ {0} ^ {3} dv & = \ int_ {0} ^ {3,00} adt = \ int_ {0} ^ {3,00} 0,7809tdt \ \ v & = 0,3905t^ {2} \ big] _ {0} ^ {3.00} = 3,51 \ ; m/s \ ldotp \ end {split} $$
- Reportez-vous au diagramme du corps libre de la Figure\(\PageIndex{7}\) (b) $$ \ begin {split} \ sum F_ {x} & = m_ {tractor} a_ {x} \ \ 820.0t - T & = m_ {tractor} (0,7805) t \ \ (820,0) (3,00) - T & = (650,0) (650,0) (0,7805) (3,00) \ \ T & = 938 \ ; N \ ldotp \ end {split} $$
L'importance
Comme la force varie avec le temps, nous devons utiliser le calcul pour résoudre ce problème. Remarquez à quel point la masse totale du système était importante pour résoudre la figure\(\PageIndex{7}\) (a), alors que seule la masse du camion (puisqu'il fournissait la force) était utilisée dans la figure\(\PageIndex{7}\) (b).
Rappelez-vous que v =\(\frac{ds}{dt}\) et a =\(\frac{dv}{dt}\). Si l'accélération est fonction du temps, nous pouvons utiliser les formes de calcul développées dans Motion Along a Straight Line, comme le montre cet exemple. Cependant, l'accélération est parfois fonction du déplacement. Dans ce cas, nous pouvons tirer un résultat important de ces relations de calcul. En résolvant dt dans chacun d'eux, nous avons dt =\(\frac{ds}{v}\) et dt =\(\frac{dv}{a}\). Maintenant, en assimilant ces expressions, nous avons\(\frac{ds}{v}\) =\(\frac{dv}{a}\). Nous pouvons réarranger cela pour obtenir un ds = v dv.
Un obus de mortier de 10 kg est tiré verticalement vers le haut depuis le sol, à une vitesse initiale de 50,0 m/s (voir Figure\(\PageIndex{8}\)). Déterminez la hauteur maximale qu'il parcourra si la résistance atmosphérique est mesurée sous la forme F D = (0,0100 v 2) N, où v est la vitesse à tout instant.
Stratégie
La force connue exercée sur l'obus de mortier peut être liée à son accélération à l'aide des équations du mouvement. La cinématique peut ensuite être utilisée pour relier l'accélération de l'obus de mortier à sa position.
Solution
Au départ, y 0 = 0 et v 0 = 50,0 m/s. À la hauteur maximale y = h, v = 0. Le diagramme du corps libre montre que F D agit vers le bas, car cela ralentit le mouvement ascendant de l'obus de mortier. Ainsi, nous pouvons écrire
\[\begin{split} \sum F_{y} & = ma_{y} \\ -F_{D} - w & = ma_{y} \\ -0.0100 v^{2} - 98.0 & = 10.0 a \\ a & = -0.00100 v^{2} - 9.80 \ldotp \end{split}\]
L'accélération dépend de v et est donc variable. Puisque a = f (v), nous pouvons relier a à v en utilisant le réarrangement décrit ci-dessus,
\[a ds = v dv \ldotp\]
Nous remplaçons ds par dy car nous avons affaire à la direction verticale,
\[\begin{split} ady & = vdv \\ (−0.00100v^{2} − 9.80)dy & = vdv \ldotp \end{split}\]
Nous séparons maintenant les variables (v et dv d'un côté ; dy de l'autre) :
\[\begin{split} \int_{0}^{h} dy & = \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} - 9.80)} \\ & = - \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} + 9.80)} \\ & = (-5 \times 10^{3}) \ln(0.00100v^{2} + 9.80) \Big|_{50.0}^{0} \ldotp \end{split}\]
Donc, h = 114 m.
L'importance
Remarquez la nécessité d'appliquer un calcul car la force n'est pas constante, ce qui signifie également que l'accélération n'est pas constante. Pour aggraver les choses, la force dépend de v (et non de t), et nous devons donc utiliser l'astuce expliquée avant l'exemple. La réponse pour la hauteur indique une élévation plus faible en cas de résistance à l'air. Nous traiterons plus en détail des effets de la résistance de l'air et des autres forces de traînée dans Force de traînée et Vitesse terminale.
Si la résistance atmosphérique est négligée, déterminez la hauteur maximale de la coque de mortier. Le calcul est-il nécessaire pour cette solution ?
Explorez les forces à l'œuvre dans cette simulation lorsque vous essayez de pousser un classeur. Créez une force appliquée et observez la force de frottement et la force totale qui en résultent agissant sur l'armoire. Les graphiques montrent les forces, la position, la vitesse et l'accélération en fonction du temps. Afficher un diagramme à corps libre de toutes les forces (y compris les forces gravitationnelles et normales).