6.2 : Résoudre des problèmes avec les lois de Newton (1ère partie)
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- Appliquer des techniques de résolution de problèmes pour résoudre des quantités dans des systèmes de forces plus complexes
- Utilisez des concepts issus de la cinématique pour résoudre des problèmes en utilisant les lois du mouvement de Newton
- Résoudre des problèmes d'équilibre plus complexes
- Résoudre des problèmes d'accélération plus complexes
- Appliquez le calcul à des problèmes dynamiques plus avancés
Il est nécessaire de réussir à résoudre des problèmes pour comprendre et appliquer les principes physiques. Nous avons développé un modèle d'analyse et de mise en place de solutions aux problèmes impliquant les lois de Newton dans les lois du mouvement de Newton ; dans ce chapitre, nous continuons à discuter de ces stratégies et à appliquer un processus étape par étape.
Stratégies de résolution de problèmes
Nous suivons ici les bases de la résolution de problèmes présentées plus haut dans ce texte, mais nous mettons l'accent sur des stratégies spécifiques qui sont utiles pour appliquer les lois du mouvement de Newton. Une fois que vous avez identifié les principes physiques impliqués dans le problème et déterminé qu'ils incluent les lois du mouvement de Newton, vous pouvez appliquer ces étapes pour trouver une solution. Ces techniques renforcent également des concepts utiles dans de nombreux autres domaines de la physique. De nombreuses stratégies de résolution de problèmes sont énoncées clairement dans les exemples pratiques. Les techniques suivantes devraient donc renforcer les compétences que vous avez déjà commencé à développer.
- Identifiez les principes physiques impliqués en listant les données et les quantités à calculer.
- Esquissez la situation en utilisant des flèches pour représenter toutes les forces.
- Déterminez le système qui vous intéresse. Le résultat est un diagramme du corps libre qui est essentiel pour résoudre le problème.
- Appliquez la deuxième loi de Newton pour résoudre le problème. Si nécessaire, appliquez les équations cinématiques appropriées du chapitre sur le mouvement le long d'une ligne droite.
- Vérifiez la solution pour voir si elle est raisonnable.
Appliquons cette stratégie de résolution de problèmes au défi de soulever un piano à queue dans un appartement du deuxième étage. Une fois que nous avons déterminé que les lois du mouvement de Newton sont impliquées (si le problème implique des forces), il est particulièrement important de brosser un tableau détaillé de la situation. Un tel croquis est illustré sur la figure\(\PageIndex{1a}\). Ensuite, comme dans la Figure\(\PageIndex{1b}\), nous pouvons représenter toutes les forces à l'aide de flèches. Chaque fois que des informations suffisantes existent, il est préférable d'étiqueter ces flèches avec soin et de faire en sorte que la longueur et la direction de chacune correspondent à la force représentée.
Figure\(\PageIndex{1}\) : (a) Un piano à queue est transporté vers un appartement du deuxième étage. (b) Les flèches sont utilisées pour représenter toutes les forces :\(\vec{T}\) il s'agit de la tension de la corde au-dessus du piano,\(\vec{F}_{T}\) de la force que le piano exerce sur la corde et\(\vec{w}\) du poids du piano. Toutes les autres forces, comme le coup de vent, sont censées être négligeables. (c) Supposons qu'on nous donne la masse du piano et qu'on nous demande de déterminer la tension de la corde. Nous définissons ensuite le système d'intérêt comme indiqué et dessinons un diagramme à corps libre. \(\vec{F}_{T}\)Le présent n'est plus représenté, car il ne s'agit pas d'une force agissant sur le système d'intérêt,\(\vec{F}_{T}\) mais sur le monde extérieur. (d) En ne montrant que les flèches, la méthode d'addition tête-queue est utilisée. Il est évident que si le piano est immobile,\(\vec{T}\) =\(- \vec{w}\).
Comme pour la plupart des problèmes, nous devons ensuite identifier ce qui doit être déterminé et ce qui est connu ou peut être déduit du problème tel qu'il est énoncé, c'est-à-dire dresser une liste des choses connues et inconnues. Il est particulièrement crucial d'identifier le système d'intérêt, car la deuxième loi de Newton implique uniquement des forces externes. Nous pouvons ensuite déterminer quelles forces sont externes et lesquelles sont internes, une étape nécessaire pour utiliser la deuxième loi de Newton. (Voir la figure\(\PageIndex{1c}\).) La troisième loi de Newton peut être utilisée pour déterminer si des forces s'exercent entre les composants d'un système (interne) ou entre le système et quelque chose d'extérieur (externe). Comme l'illustre les lois du mouvement de Newton, le système d'intérêt dépend de la question à laquelle nous devons répondre. Seules les forces sont représentées dans les diagrammes de corps libres, et non l'accélération ou la vitesse. Nous avons dessiné plusieurs diagrammes de corps libres dans des exemples travaillés précédemment. La figure\(\PageIndex{1c}\) montre un diagramme à corps libre pour le système d'intérêt. Notez qu'aucune force interne n'est représentée dans un diagramme à corps libre.
Une fois qu'un diagramme de corps libre est dessiné, nous appliquons la deuxième loi de Newton. Cela se fait dans la figure\(\PageIndex{1d}\) pour une situation particulière. En général, une fois que les forces externes sont clairement identifiées dans les diagrammes à corps libres, il devrait être facile de les mettre sous forme d'équation et de résoudre l'inconnu, comme cela a été fait dans tous les exemples précédents. Si le problème est unidimensionnel, c'est-à-dire si toutes les forces sont parallèles, les forces peuvent être gérées algébriquement. Si le problème est bidimensionnel, il doit être décomposé en deux problèmes unidimensionnels. Pour ce faire, nous projetons les vecteurs de force sur un ensemble d'axes choisis pour des raisons pratiques. Comme on l'a vu dans les exemples précédents, le choix des axes peut simplifier le problème. Par exemple, lorsqu'il s'agit d'une pente, un ensemble d'axes dont un axe est parallèle à l'inclinaison et un autre perpendiculaire à celle-ci est le plus pratique. Il est presque toujours pratique de créer un axe parallèle à la direction du mouvement, si cela est connu. En général, il suffit d'écrire la deuxième loi de Newton en composantes dans les différentes directions. Vous avez alors les équations suivantes :
\[\sum F_{x} = m a_{x}, \quad \sum F_{y} = m a_{y}\ldotp\]
(Si, par exemple, le système accélère horizontalement, vous pouvez définir ay = 0.) Nous avons besoin de ces informations pour déterminer les forces inconnues qui agissent sur un système.
Comme toujours, nous devons vérifier la solution. Dans certains cas, il est facile de déterminer si la solution est raisonnable. Par exemple, il est raisonnable de conclure que la friction fait glisser un objet le long d'une pente plus lentement que lorsqu'il n'y a aucune friction. Dans la pratique, l'intuition se développe progressivement grâce à la résolution de problèmes ; avec l'expérience, il devient de plus en plus facile de juger si une réponse est raisonnable. Une autre façon de vérifier une solution consiste à vérifier les unités. Si nous recherchons la force et que nous nous retrouvons avec des unités de millimètres par seconde, nous commettons une erreur.
Il existe de nombreuses applications intéressantes des lois du mouvement de Newton, dont quelques autres sont présentées dans cette section. Ils servent également à illustrer d'autres subtilités de la physique et à aider à développer les compétences en résolution de problèmes. Nous examinons d'abord les problèmes liés à l'équilibre des particules, qui utilisent la première loi de Newton, puis nous examinons l'accélération des particules, qui implique la deuxième loi de Newton.
Équilibre des particules
Rappelons qu'une particule en équilibre est une particule pour laquelle les forces extérieures sont équilibrées. L'équilibre statique implique des objets au repos et l'équilibre dynamique implique des objets en mouvement sans accélération, mais il est important de se rappeler que ces conditions sont relatives. Par exemple, un objet peut être au repos lorsqu'il est vu depuis notre cadre de référence, mais le même objet peut sembler en mouvement lorsqu'il est vu par une personne se déplaçant à une vitesse constante. Nous utilisons maintenant les connaissances acquises dans les lois du mouvement de Newton, concernant les différents types de forces et l'utilisation de diagrammes de corps libres, pour résoudre d'autres problèmes d'équilibre des particules.
Considérez le feu de signalisation (masse de 15,0 kg) suspendu à deux fils, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2}\). Trouvez la tension dans chaque fil en négligeant les masses des fils.
Figure\(\PageIndex{2}\) : Un feu de signalisation est suspendu à deux fils. b) Certaines des forces impliquées. (c) Seules les forces agissant sur le système sont indiquées ici. Le schéma du corps libre du feu de signalisation est également présenté. (d) Les forces projetées sur les axes vertical (y) et horizontal (x). Les composantes horizontales des tensions doivent s'annuler et la somme des composantes verticales des tensions doit être égale au poids du feu de signalisation. e) Le diagramme du corps libre montre les forces verticales et horizontales qui s'exercent sur le feu de circulation.
Stratégie
Le système d'intérêt est le feu de signalisation, et son schéma à corps libre est illustré sur la figure\(\PageIndex{2c}\). Les trois forces impliquées ne sont pas parallèles et doivent donc être projetées sur un système de coordonnées. Le système de coordonnées le plus pratique possède un axe vertical et un axe horizontal, et les projections vectorielles qu'il contient sont illustrées sur la figure\(\PageIndex{2d}\). Ce problème comporte deux inconnues (T 1 et T 2), donc deux équations sont nécessaires pour les trouver. Ces deux équations proviennent de l'application de la deuxième loi de Newton le long des axes vertical et horizontal, en notant que la force externe nette est nulle le long de chaque axe car l'accélération est nulle.
Solution
Considérez d'abord l'axe horizontal ou l'axe X :
\[F_{net x} = T_{2x} - T_{1x} = 0 \ldotp\]
Ainsi, comme vous pouvez vous y attendre,
\[T_{1x} = T_{2x} \ldotp\]
Cela nous donne la relation suivante :
\[T_{1} \cos 30^{o} = T_{2} \cos 45^{o} \ldotp\]
Ainsi,
\[T_{2} = 1.225 T_{1} \ldotp\]
Notez que T 1 et T 2 ne sont pas égaux dans ce cas car les angles de chaque côté ne sont pas égaux. Il est raisonnable que T 2 finisse par être supérieur à T 1 car il s'exerce plus verticalement que T 1.
Examinons maintenant les composantes de force le long de l'axe vertical ou de l'axe Y :
\[F_{net y} = T_{1y} + T_{1x} - w = 0 \ldotp\]
Cela implique
\[T_{1y} + T_{2y} = w \ldotp\]
La substitution des expressions aux composantes verticales donne
\[T_{1} \sin 30^{o} + T_{2} \sin 45^{o} = w \ldotp\]
Cette équation comporte deux inconnues, mais le fait de substituer l'expression de T 2 en termes de T 1 réduit cela à une équation avec une inconnue :
\[T_{1} (0.500) + (1.225 T_{1})(0.707) = w = mg,\]
qui donne
\[1.366 T_{1} = (15.0\; kg)(9.80\; m/s^{2}) \ldotp\]
La résolution de cette dernière équation donne la magnitude de T 1 à
\[T_{1} = 108\; N \ldotp\]
Enfin, nous trouvons l'amplitude de T 2 en utilisant la relation entre eux, T 2 = 1,225 T 1, trouvée ci-dessus. Ainsi, nous obtenons
\[T_{2} = 132\; N \ldotp\]
L'importance
Les deux tensions seraient plus importantes si les deux fils étaient plus horizontaux, et elles seront égales si et seulement si les angles de chaque côté sont les mêmes (comme c'était le cas dans l'exemple précédent d'un funambule dans les lois du mouvement de Newton).
Deux remorqueurs poussent une barge à des angles différents (Figure\(\PageIndex{3}\)). Le premier remorqueur exerce une force de 2,7 x 10 5 N dans la direction x, et le second remorqueur exerce une force de 3,6 x 10 5 N dans la direction y. La masse de la barge est de 5,0 × 106 kg et son accélération est observée comme étant de 7,5 x 10 -2 m/s 2 dans la direction indiquée. Quelle est la force de traînée de l'eau sur la barge qui résiste au mouvement ? (Remarque : La force de traînée est une force de frottement exercée par des fluides, tels que l'air ou l'eau. La force de traînée s'oppose au mouvement de l'objet. Comme la barge a un fond plat, nous pouvons supposer que la force de traînée est dans la direction opposée au mouvement de la barge.)
Figure\(\PageIndex{3}\) : (a) Vue du dessus de deux remorqueurs poussant sur une barge. b) Le schéma du corps libre du navire ne contient que les forces agissant dans le plan de l'eau. Il omet les deux forces verticales : le poids de la barge et la force flottante de l'eau qui la soutient s'annulent et ne sont pas illustrées. Notez qu'il s'\(\vec{F}_{app}\)agit de la force totale appliquée par les remorqueurs.
Stratégie
Les directions et les magnitudes de l'accélération et les forces appliquées sont indiquées sur la figure\(\PageIndex{3a}\). Nous définissons la force totale des remorqueurs sur la barge de telle\(\vec{F}_{app}\) sorte que
\[\vec{F}_{app} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} \ldotp\]
La traînée de l'eau\(\vec{F}_{D}\) se fait dans la direction opposée à la direction du mouvement du bateau ; cette force agit donc à contre-courant\(\vec{F}_{app}\), comme le montre le schéma du corps libre de la figure\(\PageIndex{3b}\). Le système qui nous intéresse ici est la barge, car les forces qui s'exercent sur elle sont données ainsi que son accélération. Comme les forces appliquées sont perpendiculaires, les axes x et y sont orientés dans la même direction que\(\vec{F}_{1}\) et\(\vec{F}_{2}\). Le problème devient rapidement un problème unidimensionnel dans la direction de\(\vec{F}_{app}\), puisque la friction se fait dans la direction opposée à\(\vec{F}_{app}\). Notre stratégie consiste à déterminer l'ampleur et la direction de la force nette appliquée,\(\vec{F}_{app}\) puis à appliquer la deuxième loi de Newton pour résoudre la force de traînée\(\vec{F}_{D}\).
Solution
Puisque F x et F y sont perpendiculaires, nous pouvons trouver la magnitude et la direction de\(\vec{F}_{app}\) directement. Tout d'abord, la magnitude résultante est donnée par le théorème de Pythagore :
\[ \vec{F}_{app} = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} = \sqrt{(2.7 \times 10^{5}\; N)^{2} + (3.6 \times 10^{5}\; N)^{2}} = 4.5 \times 10^{5} \; N \ldotp\]
L'angle est donné par
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{F_{2}}{F_{1}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{3.6 \times 10^{5}\; N}{2.7 \times 10^{5}\; N}\right) = 53.1^{o} \ldotp\]
D'après la première loi de Newton, nous savons que c'est la même direction que l'accélération. Nous savons également que\(\vec{F}_{D}\) c'est dans la direction opposée à\(\vec{F}_{app}\), car cela ralentit l'accélération. Par conséquent, la force externe nette est dans la même direction que\(\vec{F}_{app}\), mais son amplitude est légèrement inférieure à\(\vec{F}_{app}\). Le problème est désormais unidimensionnel. D'après le diagramme du corps libre, nous pouvons voir que
\[F_{net} = F_{app} - F_{D} \ldotp\]
Cependant, la deuxième loi de Newton stipule que
\[F_{net} = ma \ldotp\]
Ainsi,
\[F_{app} - F_{D} = ma \ldotp\]
Cela peut être résolu pour l'amplitude de la force de traînée de l'eau F D en termes de quantités connues :
\[F_{D} = F_{app} - ma \ldotp\]
La substitution de valeurs connues donne
\[F_{D} = (4.5 \times 10^{5}\; N) - (5.0 \times 10^{6}\; kg)(7.5 \times 10^{-2}\; m/s^{2}) = 7.5 \times 10^{4}\; N \ldotp\]
La direction de\(\vec{F}_{D}\) a déjà été déterminée comme étant dans la direction opposée ou formant un angle de 53° au sud de l'ouest.\(\vec{F}_{app}\)
L'importance
Les chiffres utilisés dans cet exemple sont raisonnables pour une barge de taille moyenne. Il est certainement difficile d'obtenir des accélérations plus importantes avec des remorqueurs, et de faibles vitesses sont souhaitables pour éviter de faire couler la barge sur les quais. La traînée est relativement faible pour une coque bien conçue à basse vitesse, conformément à la réponse donnée à cet exemple, où F D est inférieur à 1/600e du poids du navire.
Dans les lois du mouvement de Newton, nous avons discuté de la force normale, qui est une force de contact qui agit perpendiculairement à la surface de sorte qu'un objet n'ait pas d'accélération perpendiculaire à la surface. La balance de salle de bain est un excellent exemple d'une force normale agissant sur un corps. Il fournit une lecture quantitative de la force qu'il doit pousser vers le haut pour supporter le poids d'un objet. Mais pouvez-vous prévoir ce que vous verriez sur le cadran d'un pèse-personne si vous vous teniez debout dessus pendant un trajet en ascenseur ?
Verrez-vous une valeur supérieure à votre poids au démarrage de l'ascenseur ? Qu'en est-il lorsque l'ascenseur se déplace vers le haut à une vitesse constante ? Devinez avant de lire l'exemple suivant.
La figure\(\PageIndex{4}\) montre un homme de 75,0 kg (pesant environ 165 livres) debout sur une balance de salle de bain dans un ascenseur. Calculez la valeur de l'échelle : (a) si l'élévateur accélère vers le haut à une vitesse de 1,20 m/s 2, et (b) si l'élévateur monte à une vitesse constante de 1 m/s.
Figure\(\PageIndex{4}\) : (a) Les différentes forces qui agissent lorsqu'une personne se tient debout sur une balance de salle de bains dans un ascenseur. Les flèches sont à peu près correctes lorsque l'élévateur accélère vers le haut ; les flèches brisées représentent des forces trop importantes pour être dessinées à l'échelle. \(\vec{T}\)est la tension du câble de support,\(\vec{w}\) est le poids de la personne,\(\vec{w}_{s}\) est le poids de la balance,\(\vec{w}_{e}\) est le poids de l'ascenseur,\(\vec{F}_{s}\) est la force de la balance sur la personne,\(\vec{F}_{p}\) est la force de la personne sur la balance,\(\vec{F}_{t}\) est la force de la balance sur le plancher de l'ascenseur, et\(\vec{N}\) est la force exercée par le plancher vers le haut sur la balance. (b) Le diagramme du corps libre montre uniquement les forces externes agissant sur le système d'intérêt désigné, à savoir la personne, et c'est le diagramme que nous utilisons pour résoudre le problème.
Stratégie
Si la balance au repos est précise, sa lecture est égale à\(\vec{F}_{p}\) l'ampleur de la force que la personne exerce vers le bas sur elle. La figure\(\PageIndex{4a}\) montre les nombreuses forces agissant sur l'ascenseur, la balance et la personne. Cela donne à ce problème unidimensionnel une apparence beaucoup plus redoutable que si la personne était choisie pour être le système d'intérêt et qu'un diagramme du corps libre était dessiné, comme dans la figure\(\PageIndex{4b}\). L'analyse du diagramme du corps libre à l'aide des lois de Newton peut fournir des réponses à la fois aux figures\(\PageIndex{4a}\) et (b) de cet exemple, ainsi qu'à d'autres questions qui peuvent se poser. Les seules forces qui agissent sur la personne sont son poids\(\vec{w}\) et la force ascendante de la balance\(\vec{F}_{s}\). Selon la troisième loi de Newton,\(\vec{F}_{p}\) et\(\vec{F}_{s}\) ont une amplitude égale et une direction opposée, de sorte que nous devons trouver F s pour trouver ce que lit l'échelle. Nous pouvons le faire, comme d'habitude, en appliquant la deuxième loi de Newton,
\[\vec{F}_{net} = m \vec{a} \ldotp\]
À partir du diagramme du corps libre, nous voyons cela\(\vec{F}_{net} = \vec{F}_{s} - \vec{w}\), donc nous avons
\[F_{s} - w = ma \ldotp\]
La résolution de F s nous donne une équation avec une seule inconnue :
\[F_{s} = ma + w,\]
ou, parce que w = mg, simplement
\[F_{s} = ma + mg \ldotp\]
Aucune hypothèse n'a été faite concernant l'accélération, de sorte que cette solution devrait être valable pour diverses accélérations en plus de celles qui se produisent dans cette situation. (Remarque : nous examinons le cas où l'ascenseur accélère vers le haut. Si l'ascenseur accélère vers le bas, la deuxième loi de Newton devient F s − w = −ma.)
Solution
- Nous avons a = 1,20 m/s 2, de sorte que $$F_ {s} = (75,0 \ ; kg) (9,80 \ ; m/s^ {2}) + (75,0 \ ; kg) (1,20 \ ; m/s^ {2}) $$donnant $$F_ {s} = 825 \ ; N \ ldotp$$
- Maintenant, que se passe-t-il lorsque l'élévateur atteint une vitesse ascendante constante ? La balance lira-t-elle toujours plus que son poids ? Pour toute vitesse constante (vers le haut, vers le bas ou à l'arrêt), l'accélération est nulle car\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) et\(\Delta v = 0\). Ainsi, $$F_ {s} = ma + mg = 0 + mg$ou $$F_ {s} = (75,0 \ ; kg) (9,80 \ ; m/s^ {2}), $$ce qui donne $$F_ {s} = 735 \ ; N \ ldotp$$
L'importance
La valeur de la balance sur la figure\(\PageIndex{4a}\) est d'environ 185 livres. Qu'aurait lu la balance s'il était immobile ? Comme son accélération serait nulle, la force de la balance serait égale à son poids :
\[F_{net} = ma = 0 = F_{s} − w\]
\[F_{s} = w = mg\]
\[F_{s} = (75.0\; kg)(9.80\; m/s^{2}) = 735\; N \ldotp\]
Ainsi, la lecture de la balance dans l'ascenseur est supérieure à son poids de 735 N (165 livres). Cela signifie que la balance pousse la personne vers le haut avec une force supérieure à son poids, comme elle le doit pour l'accélérer vers le haut.
Il est clair que plus l'accélération de l'ascenseur est importante, plus la valeur de l'échelle est élevée, ce qui correspond à ce que vous ressentez lorsque vous accélérez rapidement par rapport à un ascenseur à accélération lente. Sur la figure\(\PageIndex{4b}\), la valeur de la balance est de 735 N, ce qui correspond au poids de la personne. C'est le cas lorsque l'élévateur a une vitesse constante : montée, descente ou immobile.
Calculez maintenant la lecture de l'échelle lorsque l'ascenseur accélère vers le bas à une vitesse de 1,20 m/s 2.
La solution de l'exemple précédent s'applique également à un ascenseur accélérant vers le bas, comme indiqué. Lorsqu'un ascenseur accélère vers le bas, a est négatif et la valeur de la balance est inférieure au poids de la personne. Si une vitesse descendante constante est atteinte, la valeur de la balance redevient égale au poids de la personne. Si l'élévateur est en chute libre et accélère vers le bas à g, alors la valeur de la balance est nulle et la personne semble en apesanteur.
La figure\(\PageIndex{5}\) montre un bloc de masse m 1 sur une surface horizontale sans friction. Il est tiré par une ficelle légère qui passe au-dessus d'une poulie sans friction et sans masse. L'autre extrémité de la chaîne est connectée à un bloc de masse m 2. Détermine l'accélération des blocs et la tension de la corde en termes de m 1, m 2 et g.
Figure\(\PageIndex{5}\) : (a) Le bloc 1 est relié par une guirlande lumineuse au bloc 2. (b) Les diagrammes des corps libres des blocs.
Stratégie
Nous dessinons un diagramme du corps libre pour chaque masse séparément, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{5}\). Ensuite, nous analysons chacune d'elles pour trouver les inconnues requises. Les forces sur le bloc 1 sont la force gravitationnelle, la force de contact de la surface et la tension de la corde. Le bloc 2 est soumis à la force gravitationnelle et à la tension des cordes. La deuxième loi de Newton s'applique à chacune d'elles, nous écrivons donc deux équations vectorielles :
Pour le bloc 1 :\(\vec{T} + \vec{w}_{1} + \vec{N} = m_{1} \vec{a}_{1}\)
Pour le bloc 2 :\(\vec{T} + \vec{w}_{2} = m_{2} \vec{a}_{2}\).
Notez que\(\vec{T}\) c'est la même chose pour les deux blocs. Comme la corde et la poulie ont une masse négligeable et qu'il n'y a pas de friction dans la poulie, la tension est la même sur toute la corde. Nous pouvons désormais écrire des équations de composants pour chaque bloc. Toutes les forces sont horizontales ou verticales, nous pouvons donc utiliser le même système de coordonnées horizontales/verticales pour les deux objets.
Solution
Les équations des composantes découlent des équations vectorielles ci-dessus. Nous voyons que les forces verticales du bloc 1 sont équilibrées, donc nous les ignorons et écrivons une équation reliant les composantes x. Comme il n'y a aucune force horizontale sur le bloc 2, seule l'équation y est écrite. Nous obtenons les résultats suivants :
|
Bloc 1 \[\sum F_{x} = m a_{x}\] \[T_{x} = m_{1} a_{1x}\] |
Bloc 2 \[\sum F_{y} = m a_{y}\] \[T_{y} - m_{2}g = m_{2} a_{2y}\] |
Lorsque le bloc 1 se déplace vers la droite, le bloc 2 parcourt une distance égale vers le bas ; ainsi, a 1x = −a 2y. En écrivant l'accélération commune des blocs sous la forme a = a 1x = −a 2y, nous avons maintenant
\[T = m_{1}a\]
et
\[T − m_{2}g = −m_{2}a \ldotp\]
À partir de ces deux équations, on peut exprimer a et T en termes de masses m 1 et m 2, et g :
\[a = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}g\]
et
\[T = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g \ldotp\]
L'importance
Notez que la tension de la corde est inférieure au poids du bloc suspendu à l'extrémité de celle-ci. Une erreur courante dans de tels problèmes est de définir T = m 2 g. Vous pouvez voir sur le diagramme du corps libre du bloc 2 que cela ne peut pas être correct si le bloc accélère.
Calculez l'accélération du système et la tension de la corde lorsque les masses sont m 1 = 5,00 kg et m 2 = 3,00 kg.
Un problème classique en physique, similaire à celui que nous venons de résoudre, est celui de la machine Atwood, qui consiste en une corde passant sur une poulie et à laquelle sont attachés deux objets de masse différente. Il est particulièrement utile pour comprendre le lien entre la force et le mouvement. Sur la figure\(\PageIndex{6}\), m 1 = 2,00 kg et m 2 = 4,00 kg. Considérez que la poulie est sans friction. a) Si m 2 est relâché, quelle sera son accélération ? (b) Quelle est la tension dans la corde ?
Figure\(\PageIndex{6}\) : Une machine Atwood et des diagrammes de carrosserie libre pour chacun des deux blocs.
Stratégie
Nous dessinons un diagramme du corps libre pour chaque masse séparément, comme indiqué sur la figure. Ensuite, nous analysons chaque diagramme pour trouver les inconnues requises. Cela peut impliquer la solution d'équations simultanées. Il est également important de noter la similitude avec l'exemple précédent. Comme le bloc 2 accélère avec l'accélération a2 vers le bas, le bloc 1 accélère vers le haut avec l'accélération a1. Ainsi, a = a 1 = −a 2.
Solution
- Nous avons $$For \ ; m_ {1}, \ sum F_ {y} = T − m_ {1} g = m_ {1} a \ ldotp \ quad Pour \ ; m_ {2}, \ sum F_ {y} = T − m_ {2} g = −m_ {2} a \ ldotp$$ (Le signe négatif devant m 2 a indique que m 2} accélère vers le bas ; les deux blocs accélèrent à la même vitesse, mais dans des directions opposées.) Résolvez les deux équations simultanément (soustrayez-les) et le résultat est $$ (m_ {2} - m_ {1}) g = (m_ {1} + m_ {2}) a \ lDotP$$Résoudre pour a : $$a = \ frac {m_ {2}} - m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}} g = \ frac {4} \ ; kg - 2 \ ; kg} {4 \ ; kg + 2 \ ; kg} (9,8 \ ; m/s^ {2}) = 3,27 \ ; m/s^ {2} \ ldotp$$
- En observant le premier bloc, nous voyons que $$T − m_ {1} g = m_ {1} a$$ $T = m_ {1} (g + a) = (2 \ ; kg) (9,8 \ ; m/s^ {2} + 3,27 \ ; m/s^ {2}) = 26,1 \ ; N \ ldotp$$
L'importance
Le résultat de l'accélération donné dans la solution peut être interprété comme le rapport entre la force non équilibrée exercée sur le système, (m 2 − m 1) g, et la masse totale du système, m 1 + m 2. Nous pouvons également utiliser la machine Atwood pour mesurer l'intensité du champ gravitationnel local.
Déterminez une formule générale en termes de m 1, m 2 et g pour calculer la tension dans la corde pour la machine Atwood illustrée ci-dessus.