4.S : Le mouvement en deux et trois dimensions (résumé)

Termes clés

vecteur d'accélération	accélération instantanée obtenue en prenant la dérivée de la fonction de vitesse par rapport au temps en notation vectorielle unitaire
fréquence angulaire	\(\omega\), taux de variation de l'angle avec lequel un objet se déplace sur une trajectoire circulaire
accélération centripète	composante de l'accélération d'un objet se déplaçant dans un cercle dirigé radialement vers l'intérieur vers le centre du cercle
vecteur de déplacement	vecteur de la position initiale à une position finale sur la trajectoire d'une particule
vecteur de position	vecteur depuis l'origine d'un système de coordonnées choisi jusqu'à la position d'une particule dans un espace bidimensionnel ou tridimensionnel
mouvement du projectile	mouvement d'un objet soumis uniquement à l'accélération de la gravité
gamme	distance horizontale maximale parcourue par un projectile
cadre de référence	système de coordonnées dans lequel la position, la vitesse et l'accélération d'un objet au repos ou en mouvement sont mesurées
vitesse relative	la vitesse d'un objet telle qu'observée à partir d'un référentiel particulier, ou la vitesse d'un repère par rapport à un autre repère
accélération tangentielle	dont l'amplitude est la vitesse temporelle de changement de vitesse. Sa direction est tangente au cercle.
heure de vol	temps écoulé pendant lequel un projectile est en l'air
accélération totale	somme vectorielle des accélérations centripètes et tangentielles
trajectoire	trajectoire d'un projectile dans l'air
vecteur de vitesse	vecteur qui donne la vitesse et la direction instantanées d'une particule ; tangent à la trajectoire

Équations clés

Vecteur de position	$$ \ vec {r} (t) = x (t) \ chapeau {i} + y (t) \ chapeau {j} + z (t) \ chapeau {k} $$
Vecteur de déplacement	$$ \ Delta \ vec {r} = \ vec {r} (t_ {2}) - \ vec {r} (t_ {1}) $$
Vecteur de vitesse	$$ \ vec {v} (t) = \ lim_ {\ Delta t \ flèche droite 0} \ frac {\ vec {r} (t + \ Delta t) - \ vec {r} (t)} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {r}} {dt} $$
Vitesse en termes de composants	$$ \ vec {v} (t) = v_ {x} (t) \ chapeau {i} + v_ {y} (t) \ chapeau {j} + v_ {z} (t) \ chapeau {k} $$
Composantes de vitesse	$$v_ {x} (t) = \ frac {dx (t)} {dt} v_ {y} (t) = \ frac {dy (t)} {dt} v_ {z} (t) = \ frac {d z (t)} {dt} $$
Vitesse moyenne	$$ \ vec {v} _ {avg} = \ frac {\ vec {r} (t_ {2}) - \ vec {r} (t_ {1})} {t_ {2} - t_ {1}} $$
Accélération instantanée	$$ \ vec {a} (t) = \ lim_ {\ Delta t \ flèche droite 0} \ frac {\ vec {v} (t + \ Delta t) - \ vec {v} (t)} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {v}} {dt} $$
Accélération instantanée, forme du composant	$$ \ vec {a} (t) = \ frac {dv_ {x} (t)} {dt} \ hat {i} + \ frac {dv_ {y} (t)} {dt} \ chapeau {j} + \ frac {dv_ {z} (t)} {dt} \ chapeau {k} $$
Accélération instantanée en tant que dérivée seconde de la position	$$ \ vec {a} (t) = \ frac {d^ {2} x (t)} {dt^ {2}} \ hat {i} + \ frac {d^ {2} y (t)} {dt^ {2}} + \ frac {d^ {2} z (t)} {dt^ {2}} \ chapeau {k} $$
Heure du vol	$$T_ {tof} = \ frac {2 (v_ {0} \ sin \ thêta)} {g} $$
Trajet	$$y = (\ tan \ theta_ {0}) x - \ Big [\ frac {g} {2 (v_ {0} \ cos \ theta_ {0}) ^ {2}} \ Grand] x^ {2}} $$
Gamme	$$R = \ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin 2 \ théta_ {0}} {g} $$
Accélération centripète	$$a_ {C} = \ frac {v^ {2}} {r} $$
Vecteur de position, mouvement circulaire uniforme	$$ \ vec {r} (t) = A \ cos \ oméga t \ hat {i} + A \ sin \ oméga t \ chapeau {j} $$
Vecteur de vitesse, mouvement circulaire uniforme	$$ \ vec {v} (t) = \ frac {d \ vec {r} (t)} {dt} = -A \ oméga \ sin \ oméga t \ hat {i} + A \ oméga \ cos \ oméga t \ chapeau {j} $$
Vecteur d'accélération, mouvement circulaire uniforme	$$ \ vec {a} (t) = \ frac {d \ vec {v} (t)} {dt} = -A \ oméga^ {2} \ cos \ omega t \ hat {i} - A \ oméga^ {2} \ sin \ oméga t \ hat {j} $$
Accélération tangentielle	$$a_ {T} = \ frac {d| \ vec {v} |} {dt} $$
Accélération totale	$$ \ vec {a} = \ vec {a} _ {C} + \ vec {a} _ {T} $$
Le vecteur de position dans la trame S est le vecteur de position dans la trame S'plus le vecteur allant de l'origine de S à l'origine de S'	$$ \ vec {r} _ {PS} = \ vec {r} _ {PS} + \ vec {r} _ {S} $$
Équation de vitesse relative reliant deux repères	$$ \ vec {v} _ {PS} = \ vec {v} _ {PS} + \ vec {v} _ {S} $$
Équation de vitesse relative reliant plus de deux repères	$$ \ vec {v} _ {PC} = \ vec {v} _ {PA} + \ vec {v} _ {AB} + \ vec {v} _ {BC} $$
Équation d'accélération	$$ \ vec {a} _ {PS} = \ vec {a} _ {PS} + \ vec {a} _ {S} $$

Résumé

4.1 Vecteurs de déplacement et de vitesse

• La fonction de position\(\vec{r}\) (t) donne la position en fonction du temps d'une particule se déplaçant en deux ou trois dimensions. Graphiquement, il s'agit d'un vecteur allant de l'origine d'un système de coordonnées choisi jusqu'au point où se trouve la particule à un moment précis.
• Le vecteur de déplacement\(\Delta \vec{r}\) donne la distance la plus courte entre deux points de la trajectoire d'une particule en deux ou trois dimensions.
• La vitesse instantanée donne la vitesse et la direction d'une particule à un moment précis de sa trajectoire en deux ou trois dimensions, et est un vecteur en deux et trois dimensions.
• Le vecteur de vitesse est tangent à la trajectoire de la particule.
• Le déplacement\(\vec{r}\) (t) peut être écrit sous la forme d'une somme vectorielle des déplacements unidimensionnels\(\vec{x}\) (t),\(\vec{y}\) (t),\(\vec{z}\) (t) le long des directions x, y et z.
• La vitesse\(\vec{v}\) (t) peut être écrite comme la somme vectorielle des vitesses unidimensionnelles v _x (t), v _y (t), v _z (t) le long des directions x, y et z.
• Le mouvement dans une direction donnée est indépendant du mouvement dans une direction perpendiculaire.

4.2 Vecteur d'accélération

• En deux et trois dimensions, le vecteur d'accélération peut avoir une direction arbitraire et ne pointe pas nécessairement le long d'une composante donnée de la vitesse.
• L'accélération instantanée est produite par un changement de vitesse sur une période de temps très courte (infinitésimale). L'accélération instantanée est un vecteur en deux ou trois dimensions. On le trouve en prenant la dérivée de la fonction de vitesse par rapport au temps.
• En trois dimensions, l'accélération\(\vec{a}\) (t) peut être écrite comme la somme vectorielle des accélérations unidimensionnelles a _x (t), a _y (t) et a _z (t) le long des axes x, y et z.
• Les équations cinématiques pour une accélération constante peuvent être écrites comme la somme vectorielle des équations d'accélération constante dans les directions x, y et z.

4.3 Mouvement du projectile

• Le mouvement du projectile est le mouvement d'un objet soumis uniquement à l'accélération de la gravité, où l'accélération est constante, comme à proximité de la surface de la Terre.
• Pour résoudre les problèmes de mouvement du projectile, nous analysons le mouvement du projectile dans les directions horizontale et verticale à l'aide des équations cinématiques unidimensionnelles pour x et y.
• Le temps de vol d'un projectile lancé avec une vitesse verticale initiale v _0y sur une surface plane est donné par $$T_ {tof} = \ frac {2 (v_ {0} \ sin \ theta)} {g} $Cette équation n'est valable que lorsque le projectile atterrit à la même altitude à partir de laquelle il a été lancé.
• La distance horizontale maximale parcourue par un projectile est appelée distance. Encore une fois, l'équation de la portée n'est valable que lorsque le projectile atterrit à la même altitude à partir de laquelle il a été lancé.

4.4 Mouvement circulaire uniforme

• Un mouvement circulaire uniforme est un mouvement circulaire à vitesse constante.
• L'accélération centripète\(\vec{a}_{C}\) est l'accélération que doit avoir une particule pour suivre une trajectoire circulaire. L'accélération centripète pointe toujours vers le centre de rotation et a une amplitude a _C =\(\frac{v^{2}}{r}\).
• Un mouvement circulaire non uniforme se produit lorsqu'il y a accélération tangentielle d'un objet exécutant un mouvement circulaire de telle sorte que la vitesse de l'objet change. Cette accélération est appelée accélération tangentielle\(\vec{a}_{T}\). L'amplitude de l'accélération tangentielle est le taux de variation dans le temps de l'amplitude de la vitesse. Le vecteur d'accélération tangentielle est tangent au cercle, tandis que le vecteur d'accélération centripète pointe radialement vers l'intérieur vers le centre du cercle. L'accélération totale est la somme vectorielle des accélérations tangentielles et centripètes.
• Un objet exécutant un mouvement circulaire uniforme peut être décrit à l'aide d'équations de mouvement. Le vecteur de position de l'objet est\(\vec{r}\) (t) = A cos\(\omega\) t\(\hat{i}\) + A sin\(\omega\) t\(\hat{j}\), où A est la magnitude |\(\vec{r}\) (t) |, qui est également le rayon du cercle, et\(\omega\) est la fréquence angulaire.

4.5 Mouvement relatif en une et deux dimensions

• Lors de l'analyse du mouvement d'un objet, le référentiel en termes de position, de vitesse et d'accélération doit être spécifié.
• La vitesse relative est la vitesse d'un objet telle qu'elle est observée à partir d'un référentiel particulier, et elle varie en fonction du choix du référentiel.
• Si S et S'sont deux repères de référence se déplaçant l'un par rapport à l'autre à une vitesse constante, alors la vitesse d'un objet par rapport à S est égale à sa vitesse par rapport à S'plus la vitesse de S'par rapport à S.
• Si deux cadres de référence se déplacent l'un par rapport à l'autre à une vitesse constante, les accélérations d'un objet observées dans les deux cadres de référence sont égales.

Contributeurs et attributions

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