2.4 : Systèmes de coordonnées et composants d'un vecteur (Partie 1)
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- Décrivez des vecteurs en deux et trois dimensions en fonction de leurs composantes, en utilisant des vecteurs unitaires le long des axes.
- Distinguer les composantes vectorielles d'un vecteur des composantes scalaires d'un vecteur.
- Expliquez comment l'amplitude d'un vecteur est définie en termes de composantes d'un vecteur.
- Identifiez l'angle de direction d'un vecteur dans un plan.
- Expliquez le lien entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes dans un plan.
Les vecteurs sont généralement décrits en fonction de leurs composants dans un système de coordonnées. Même dans la vie de tous les jours, nous invoquons naturellement le concept de projections orthogonales dans un système de coordonnées rectangulaires. Par exemple, si vous demandez à quelqu'un l'itinéraire pour vous rendre à un endroit en particulier, on vous demandera probablement de parcourir 40 km à l'est et 30 km au nord que 50 km dans la direction 37° nord est.
Dans un système de coordonnées xy rectangulaire (cartésien) dans un plan, un point d'un plan est décrit par une paire de coordonnées (x, y). De la même manière, un vecteur\(\vec{A}\) dans un plan est décrit par une paire de ses coordonnées vectorielles. La coordonnée x du vecteur\(\vec{A}\) est appelée composante x et la coordonnée y du vecteur\(\vec{A}\) est appelée composante y. La composante X du vecteur est un vecteur désigné par\(\vec{A}_{x}\). La composante y du vecteur est un vecteur désigné par\(\vec{A}_{y}\). Dans le système cartésien, les composantes vectorielles x et y d'un vecteur sont les projections orthogonales de ce vecteur sur les\(y\) axes\(x\) - et -, respectivement. Ainsi, conformément à la règle du parallélogramme pour l'addition de vecteurs, chaque vecteur sur un plan cartésien peut être exprimé sous la forme de la somme vectorielle de ses composantes vectorielles :
\[ \vec{A} = \vec{A}_{x} + \vec{A}_{y} \ldotp \label{2.10}\]
Comme illustré sur la figure\(\PageIndex{1}\), le vecteur\(\vec{A}\) est la diagonale du rectangle où la composante x\(\vec{A}_{x}\) est le côté parallèle à l'axe x et la composante y\(\vec{A}_{y}\) est le côté parallèle à l'axe y. \(\vec{A}_{x}\)La composante vectorielle est orthogonale à la composante vectorielle\(\vec{A}_{y}\).
Il est habituel de désigner la direction positive sur l'axe des abscisses par le vecteur unitaire\(\hat{i}\) et la direction positive sur l'axe des ordonnées par le vecteur unitaire\(\hat{j}\). Les vecteurs unitaires des axes\(\hat{i}\) et\(\hat{j}\) définissent deux directions orthogonales dans le plan. Comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\), les composantes x et y d'un vecteur peuvent désormais être écrites en termes de vecteurs unitaires des axes :
\[ \begin{cases} \vec{A}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ \vec{A}_{y} = A_{y} \hat{j} \end{cases} \label{2.11}\]
Les vecteurs\(\vec{A}_{x}\)\(\vec{A}_{y}\) définis par l'équation 2.11 sont les composantes vectorielles du vecteur\(\vec{A}\). Les nombres A x et A y qui définissent les composantes vectorielles dans l'équation \ ref {2.11} sont les composantes scalaires du vecteur\(\vec{A}\). En combinant l'équation \ ref {2.10} avec l'équation \ ref {2.11}, nous obtenons la forme constitutive d'un vecteur :
\[\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} \ldotp \label{2.12}\]
Si nous connaissons les coordonnées\(b(x_b, y_b)\) du point d'origine d'un vecteur (où b signifie « début ») et les coordonnées e (x e, y e) du point final d'un vecteur (où e signifie « fin »), nous pouvons obtenir les composantes scalaires d'un vecteur simplement en soustrayant le point d'origine coordonnées à partir des coordonnées du point final :
\[ \begin{cases} A_{x} = x_{e} - x_{b} \\ A_{y} = y_{e} - y_{b} \ldotp \end{cases} \label{2.13}\]
Le pointeur de la souris placé sur l'écran d'un ordinateur à sa position initiale se trouve à un point (6,0 cm, 1,6 cm) par rapport au coin inférieur gauche. Si vous déplacez le pointeur vers une icône située à un point (2,0 cm, 4,5 cm), quel est le vecteur de déplacement du pointeur ?
Stratégie
L'origine du système de coordonnées xy est le coin inférieur gauche de l'écran de l'ordinateur. Par conséquent, le vecteur unitaire\(\hat{i}\) sur l'axe X pointe horizontalement vers la droite et le vecteur unitaire\(\hat{j}\) sur l'axe y pointe verticalement vers le haut. L'origine du vecteur de déplacement est située au point b (6.0, 1.6) et la fin du vecteur de déplacement est située au point e (2.0, 4.5). Substituez les coordonnées de ces points dans l'équation \ ref {2.13} pour trouver les composantes scalaires D x et D y du vecteur de déplacement\(\vec{D}\). Enfin, remplacez les coordonnées dans l'équation \ ref {2.12} pour écrire le vecteur de déplacement sous la forme d'une composante vectorielle.
Solution
On identifie x b = 6,0, x e = 2,0, y b = 1,6 et y e = 4,5, où l'unité physique est de 1 cm. Les composantes scalaires x et y du vecteur de déplacement sont
\[D_{x} = x_{e} - x_{b} = (2.0 - 6.0)\; cm = -4.0\; cm,\]
\[D_{y} = y_{e} - y_{b} = (4.5 - 1.6)\; cm = + 2.9\; cm \ldotp\]
La forme de la composante vectorielle du vecteur de déplacement est
\[\vec{D} = D_{x}\; \hat{i} + D_{y}\; \hat{j} = (-4.0\; cm)\; \hat{i} + (2.9\; cm)\; \hat{j} = (-4.0\; \hat{i} + 2.9\; \hat{j})\; cm \ldotp \label{2.14}\]
Cette solution est illustrée dans la figure\(\PageIndex{2}\).
L'importance
Notez que l'unité physique (ici, 1 cm) peut être placée soit avec chaque composant juste avant le vecteur unitaire, soit globalement pour les deux composants, comme dans l'équation \ ref {2.14}. Souvent, cette dernière méthode est plus pratique car elle est plus simple.
La composante x du vecteur\(\vec{D}_{x}\) = −4,0\(\hat{i}\) = 4,0 (\(- \hat{i}\)) du vecteur de déplacement a la magnitude\(\vec{D}_{x}\) | | = |− 4,0||\(\hat{i}\) | = 4,0 car l'amplitude du vecteur unitaire est |\(\hat{i}\) | = 1. Notez également que la direction de la composante x est\(− \hat{i}\) antiparallèle à la direction de l'axe+x ; par conséquent, le vecteur de la composante x\(\vec{D}_{x}\) pointe vers la gauche, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2}\). La composante x scalaire du vecteur\(\vec{D}\) est D x = −4,0. De même, la composante y\(+ 2.9 \hat{j}\) du vecteur\(\vec{D}_{y}\) = du vecteur de déplacement a une magnitude\(\vec{D}_{y}\) | | = |2,9 ||\(\hat{j}\) | = 2,9 car la magnitude du vecteur unitaire est |\(\hat{j}\) | = 1. La direction de la composante y est\(+ \hat{j}\), qui est parallèle à la direction de l'axe +y. Par conséquent, le vecteur de la composante y\(\vec{D}_{y}\) pointe vers le haut, comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\). La composante scalaire y du vecteur\(\vec{D}\) est D y = + 2,9. Le vecteur de déplacement\(\vec{D}\) est la résultante de ses deux composantes vectorielles.
La forme vectorielle du vecteur de déplacement Equation \ ref {2.14} nous indique que le pointeur de la souris a été déplacé sur le moniteur de 4,0 cm vers la gauche et de 2,9 cm vers le haut par rapport à sa position initiale.
Une mouche bleue atterrit sur une feuille de papier millimétré à un point situé à 10,0 cm à droite de son bord gauche et à 8,0 cm au-dessus de son bord inférieur et marche lentement jusqu'à un point situé à 5,0 cm du bord gauche et à 5,0 cm du bord inférieur. Choisissez le système de coordonnées rectangulaires dont l'origine se trouve dans le coin inférieur gauche du papier et trouvez le vecteur de déplacement de la mouche. Illustrez votre solution par un graphique.
Lorsque nous connaissons les composantes scalaires A x et A y d'un vecteur\(\vec{A}\), nous pouvons trouver sa magnitude A et son angle de direction\(\theta_{A}\). L'angle de direction, ou direction, en abrégé, est l'angle que forme le vecteur avec la direction positive sur l'axe X. L'angle\(\theta_{A}\) est mesuré dans le sens antihoraire entre l'axe +x et le vecteur (Figure\(\PageIndex{3}\)). Comme les longueurs A, A x et A y forment un triangle droit, elles sont reliées par le théorème de Pythagore :
\[A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2} \Leftrightarrow A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} \ldotp \label{2.15}\]
Cette équation fonctionne même si les composantes scalaires d'un vecteur sont négatives. L'angle\(\theta_{A}\) de direction d'un vecteur est défini via la fonction tangente de l'angle\(\theta_{A}\) dans le triangle illustré à la figure\(\PageIndex{3}\) :
\[ \tan \theta = \frac{A_{y}}{A_{x}} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{A_{y}}{A_{x}}\right) \ldotp \label{2.16}\]
Lorsque le vecteur se trouve soit dans le premier quadrant, soit dans le quatrième quadrant, où la composante A x est positive (Figure\(\PageIndex{4}\)), l'angle\(\theta\) dans l'équation (\ ref {2.16}) est identique à l'angle de direction\(\theta_{A}\). Pour les vecteurs du quatrième quadrant, l'angle\(\theta\) est négatif, ce qui signifie que pour ces vecteurs, l'angle de direction\(\theta_{A}\) est mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe X positif. De même, pour les vecteurs du second quadrant, l'angle\(\theta\) est négatif. Lorsque le vecteur se trouve dans le deuxième ou le troisième quadrant, où la composante A x est négative, l'angle de direction est\(\theta_{A}\) =\(\theta\) + 180° (Figure\(\PageIndex{4}\)).
Vous déplacez le pointeur de la souris sur le moniteur depuis sa position initiale au point (6,0 cm, 1,6 cm) vers une icône située au point (2,0 cm, 4,5 cm). Quelles sont l'amplitude et la direction du vecteur de déplacement du pointeur ?
Stratégie
Dans l'exemple\(\PageIndex{1}\), nous avons trouvé le vecteur\(\vec{D}\) de déplacement du pointeur de la souris (voir Équation \ ref {2.14}). Nous identifions ses composantes scalaires D x = −4,0 cm et D y = + 2,9 cm et les substituons dans l'équation \ ref {2.15} et l'équation \ ref {2.16} pour trouver la magnitude D et la direction\(\theta_{D}\), respectivement.
Solution
L'amplitude du vecteur\(\vec{D}\) est
\[D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{(-4.0\; cm)^{2} + (2.9\; cm)^{2}} = \sqrt{(4.0)^{2} + (2.9)^{2}}\; cm = 4.9\; cm \ldotp\]
L'angle de direction est
\[ \tan \theta = \frac{D_{y}}{D_{x}} = \frac{+2.9\; cm}{-4.0\; cm} = -0.725 \Rightarrow \theta = \tan^{-1} (-0.725) = -35.9^{o} \ldotp\]
Le vecteur\(\vec{D}\) se trouve dans le deuxième quadrant, donc son angle de direction est
\[\theta_{D} = \theta + 180^{o} = -35.9^{o}+ 180^{o} = 144.1^{o} \ldotp\]
Si le vecteur de déplacement d'une mouche bleue marchant sur une feuille de papier millimétré est\(\vec{D} = (−5.00\; \hat{i} − 3.00\; \hat{j})\) cm, déterminez sa magnitude et sa direction.
Dans de nombreuses applications, les magnitudes et les directions des quantités vectorielles sont connues et nous devons trouver la résultante de nombreux vecteurs. Par exemple, imaginez 400 voitures circulant sur le Golden Gate Bridge à San Francisco dans un vent fort. Chaque voiture donne au pont une poussée différente dans différentes directions et nous aimerions savoir quelle peut être l'ampleur de la poussée qui en résulte. Nous avons déjà acquis de l'expérience dans la construction géométrique des sommes vectorielles. Nous savons donc que la tâche consistant à trouver le résultat en traçant les vecteurs et en mesurant leurs longueurs et leurs angles peut devenir difficile assez rapidement, entraînant d'énormes erreurs. De tels soucis n'apparaissent pas lorsque nous utilisons des méthodes analytiques. La toute première étape d'une approche analytique consiste à trouver les composantes d'un vecteur lorsque la direction et l'amplitude d'un vecteur sont connues.
Revenons au triangle droit de la Figure\(\PageIndex{3}\). Le quotient du côté adjacent A x à l'hypoténuse A est la fonction cosinus de l'angle de direction\(\theta_{A}\), A x /A = cos\(\theta_{A}\), et le quotient du côté opposé A y à l'hypoténuse A est la fonction sinusoïdale de\(\theta_{A}\) A y /A = sin\(\theta_{A}\). Lorsque l'amplitude A et la direction\(\theta_{A}\) sont connues, nous pouvons résoudre les relations suivantes pour les composantes scalaires :
\[\begin{cases} A_{x} = A \cos \theta_{A} \\ A_{y} = A \sin \theta_{A} \ldotp \end{cases} \label{2.17}\]
Lorsque vous calculez des composantes vectorielles à l'aide de l'équation \ ref {2.17}, il faut faire attention à l'angle. L'angle de direction\(\theta\) A d'un vecteur est l'angle mesuré dans le sens antihoraire entre la direction positive sur l'axe X et le vecteur. La mesure dans le sens horaire donne un angle négatif.
Une équipe de secours pour un enfant disparu suit un chien de recherche nommé Trooper. Trooper erre beaucoup et fait de nombreux essais sur de nombreux chemins différents. Trooper finit par retrouver l'enfant et l'histoire connaît une fin heureuse, mais ses déplacements sur différentes jambes semblent vraiment alambiqués. Sur l'une des jambes, il marche 200,0 m vers le sud-est, puis il court vers le nord sur environ 300,0 m. Sur la troisième étape, il examine attentivement les odeurs sur 50,0 m dans la direction 30° ouest par rapport au nord. Lors de la quatrième étape, Trooper se dirige directement vers le sud sur 80,0 m, capte une odeur fraîche et tourne à 23° à l'ouest du sud sur 150,0 m. Trouvez les composantes scalaires des vecteurs de déplacement de Trooper et de ses vecteurs de déplacement sous forme de composantes vectorielles pour chaque jambe.
Stratégie
Adoptons un système de coordonnées rectangulaires avec l'axe X positif dans la direction de l'est géographique et la direction Y positive pointant vers le nord géographique. De manière explicite, le vecteur unitaire\(\hat{i}\) de l'axe X pointe vers l'est et le vecteur unitaire\(\hat{j}\) de l'axe y pointe vers le nord. Le soldat fabrique cinq jambes, il y a donc cinq vecteurs de déplacement. Nous commençons par identifier leurs magnitudes et leurs angles de direction, puis nous utilisons l'équation \ ref {2.17} pour trouver les composantes scalaires des déplacements et l'équation \ ref {2.12} pour les vecteurs de déplacement.
Solution
Sur la première étape, l'amplitude du déplacement est L 1 = 200,0 m et la direction est le sud-est. Pour l'angle de direction,\(\theta_{1}\) nous pouvons prendre soit 45° dans le sens des aiguilles d'une montre depuis la direction est, soit 45° + 270° dans le sens antihoraire depuis la direction est. Avec le premier choix,\(\theta_{1}\) = −45°. Avec le second choix,\(\theta_{1}\) = + 315°. Nous pouvons utiliser l'un ou l'autre de ces deux angles. Les composants sont
\[ L_{1x} = L_{1} \cos \theta_{1} = (200.0\; m) \cos 315^{o} = 141.4\; m,\]
\[ L_{1y} = L_{1} \sin\theta_{1} = (200.0\; m) \sin 315^{o} = -141.4\; m,\]
Le vecteur de déplacement de la première jambe est
\[\vec{L}_{1} = L_{1x}\; \hat{i} + L_{1y}\; \hat{j} = (14.4\; \hat{i} - 141.4\; \hat{j})\; m \ldotp\]
Lors de la deuxième étape des pérégrinations de Trooper, l'amplitude du déplacement est L 2 = 300,0 m et la direction est le nord. L'angle de direction est\(\theta_{2}\) = + 90°. Nous obtenons les résultats suivants :
\[ L_{2x} = L_{2} \cos \theta_{2} = (300.0\; m) \cos 90^{o} = 0.0,\]
\[ L_{2y} = L_{2} \sin \theta_{2} = (300.0\; m) \sin 90^{o} = 300.0\; m,\]
\[\vec{L}_{2} = L_{2x}\; \hat{i} + L_{2y}\; \hat{j} = (300.0\; m)\; \hat{j} \ldotp\]
Sur la troisième étape, l'amplitude du déplacement est L 3 = 50,0 m et la direction est de 30° à l'ouest du nord. L'angle de direction mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direction est est de\(\theta\) 3 = 30° + 90° = + 120°. Cela donne les réponses suivantes :
\[ L_{3x} = L_{3} \cos \theta_{3} = (50.0\; m) \cos 120^{o} = -25.0\; m,\]
\[ L_{3y} = L_{3} \sin \theta_{3} = (50.0\; m) \sin 120^{o} = + 43.3\; m,\]
\[\vec{L}_{3} = L_{3x}\; \hat{i} + L_{3y}\; \hat{j} = (-25.0\; \hat{i} + 43.3\; \hat{j})\; m \ldotp\]
Lors de la quatrième étape de l'excursion, l'amplitude du déplacement est L 4 = 80,0 m et la direction est sud. L'angle de direction peut être pris comme\(\theta_{4}\) suit : −90° ou \ (\ theta_ {4} = + 270°. Nous obtenons
\[ L_{4x} = L_{4} \cos \theta_{4} = (80.0\; m) \cos (-90^{o}) = 0,\]
\[ L_{4y} = L_{4} \sin \theta_{4} = (80.0\; m) \sin (-90^{o}) = -80.0\; m,\]
\[\vec{L}_{4} = L_{4x}\; \hat{i} + L_{4y}\; \hat{j} = (-80.0\; m)\; \hat{j} \ldotp\]
Sur la dernière étape, la magnitude est L 5 = 150,0 m et l'angle est\(\theta_{5}\) = −23° + 270° = + 247° (23° à l'ouest du sud), ce qui donne
\[ L_{5x} = L_{5} \cos \theta_{5} = (150.0\; m) \cos 247^{o} = -58.6\; m,\]
\[ L_{5y} = L_{5} \sin \theta_{5} = (150.0\; m) \sin 247^{o} = -138.1\; m,\]
\[\vec{L}_{5} = L_{5x}\; \hat{i} + L_{5y}\; \hat{j} = (-58.6\; \hat{i} - 138.1\; \hat{j})\; m \ldotp\]
Si Trooper court 20 m vers l'ouest avant de se reposer, quel est son vecteur de déplacement ?