16.4 : Énergie transportée par les ondes électromagnétiques
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Exprimer la densité énergétique moyenne dans le temps des ondes électromagnétiques en termes d'amplitudes de champ électrique et magnétique
- Calculez le vecteur de Poynting et l'intensité énergétique des ondes électromagnétiques
- Expliquez comment l'énergie d'une onde électromagnétique dépend de son amplitude, alors que l'énergie d'un photon est proportionnelle à sa fréquence
Quiconque a utilisé un four à micro-ondes sait que les ondes électromagnétiques contiennent de l'énergie. Parfois, cette énergie est évidente, comme dans la chaleur du soleil d'été. D'autres fois, elle est subtile, comme l'énergie non ressentie des rayons gamma, qui peut détruire les cellules vivantes.
Les ondes électromagnétiques apportent de l'énergie à un système grâce à leurs champs électriques et magnétiques. Ces champs peuvent exercer des forces et déplacer des charges dans le système et, par conséquent, agir sur celles-ci. Cependant, il y a de l'énergie dans une onde électromagnétique elle-même, qu'elle soit absorbée ou non. Une fois créés, les champs emportent l'énergie loin d'une source. Si de l'énergie est absorbée par la suite, l'intensité du champ diminue et tout ce qui reste continue.
Il est clair que plus l'intensité des champs électriques et magnétiques est importante, plus ils peuvent accomplir de travail et plus l'énergie transportée par l'onde électromagnétique est importante. Dans les ondes électromagnétiques, l'amplitude est l'intensité maximale du champ électrique et magnétique (Figure\(\PageIndex{1}\)). L'énergie des vagues est déterminée par l'amplitude de l'onde.
Pour une onde plane se déplaçant dans la direction de l'axe x positif avec la phase de l'onde choisie de telle sorte que le maximum de l'onde soit à l'origine à\(t = 0\), les champs électrique et magnétique obéissent aux équations
\[E_y (x,t) = E_0 \, \cos \, (kx - \omega t)\]
\[B_x (x,t) = B_0 \, \cos \, (kx - \omega t).\]
L'énergie présente dans n'importe quelle partie de l'onde électromagnétique est la somme des énergies des champs électrique et magnétique. Cette énergie par unité de volume, ou densité d'énergie u, est la somme de la densité d'énergie du champ électrique et de la densité d'énergie du champ magnétique. Les expressions pour les deux densités d'énergie de champ ont été discutées précédemment (\(u_E\)en capacité et\(u_B\) en inductance). En combinant ces contributions, nous obtenons
\[u (x,t) = u_E + u_B = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2.\]
L'expression montre\(E = cB = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}B\) ensuite que la densité d'énergie magnétique\(u_B\) et la densité d'énergie électrique\(u_E\) sont égales, malgré le fait que les champs électriques changeants ne produisent généralement que de petits champs magnétiques. L'égalité des densités d'énergie électrique et magnétique conduit à
\[u(x,t) = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}. \label{16.27}\]
La densité d'énergie évolue avec les champs électriques et magnétiques de la même manière que les ondes elles-mêmes.
Nous pouvons déterminer le taux de transport de l'énergie en considérant un petit intervalle de temps\(\Delta t\). Comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\), l'énergie contenue dans un cylindre de longueur\(c\Delta t\) et de section transversale A passe par le plan transversal dans l'intervalle\(\Delta t\).
L'énergie qui traverse la zone\(A\) dans le temps\(\Delta t\) est
\[u \times volume = uAc\Delta t.\]
L'énergie par unité de surface et par unité de temps passant par un plan perpendiculaire à l'onde, appelée flux d'énergie et désignée par\(S\), peut être calculée en divisant l'énergie par la surface\(A\) et l'intervalle de temps\(\Delta t\).
\[S = \frac{\text{Energy passing area } A \text{ in time } \Delta t}{A \Delta t} = uc = \epsilon_0cE^2 = \frac{1}{\mu_0} EB.\]
Plus généralement, le flux d'énergie à travers n'importe quelle surface dépend également de l'orientation de la surface. Pour prendre en compte la direction, nous introduisons un vecteur\(\vec{S}\), appelé vecteur de Poynting, avec la définition suivante :
\[\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}.\]
Produit croisé de\(\vec{E}\) et\(\vec{B}\) pointant dans la direction perpendiculaire aux deux vecteurs. Pour confirmer que la direction de\(\vec{S}\) est celle de la propagation de l'onde, et non pas sa direction négative, retournez à la Figure 16.3.2. Notez que les lois de Lenz et de Faraday impliquent que lorsque le champ magnétique indiqué augmente dans le temps, le champ électrique est plus important à\(x\) qu'à\(x + \Delta x\). Le champ électrique diminue au fur et à mesure qu'il augmente\(x\) au moment et à l'endroit donnés. La proportionnalité entre les champs électriques et magnétiques exige que le champ électrique augmente dans le temps en même temps que le champ magnétique. Cela n'est possible que si l'onde se propage vers la droite sur le diagramme, auquel cas les orientations relatives indiquent que\(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}\) c'est précisément dans le sens de propagation de l'onde électromagnétique.
Le flux d'énergie à n'importe quel endroit varie également dans le temps, comme on peut le voir en remplaçant\(u\) l'équation 16.3.19 par l'équation \ ref {16.27}.
\[S(x, t) = c\epsilon_0 E_0^2 \cos^2 \, (kx - \omega t) \label{16.29} \]
Comme la fréquence de la lumière visible est très élevée, de l'ordre de\(10^{14} \, Hz\), le flux d'énergie de la lumière visible à travers n'importe quelle zone varie extrêmement rapidement. La plupart des appareils de mesure, y compris nos yeux, ne détectent qu'une moyenne sur de nombreux cycles. La moyenne temporelle du flux d'énergie est l'intensité\(I\) de l'onde électromagnétique et la puissance par unité de surface. Elle peut être exprimée en faisant la moyenne de la fonction cosinus dans l'équation \ ref {16.29} sur un cycle complet, ce qui revient à faire la moyenne temporelle sur de nombreux cycles (ici,\(T\) il s'agit d'une période) :
\[I = S_{avg} = c\epsilon_0E_0^2 \frac{1}{T} \int_0^T \cos^2 \, \left(2\pi \frac{t}{T}\right) dt \label{16.30}.\]
Nous pouvons soit évaluer l'intégrale, soit noter que, comme le sinus et le cosinus ne diffèrent que par leur phase, la moyenne sur un cycle complet pour\(cos^2 \, (\xi)\) est la même que pour\(sin^2 \, (\xi)\), pour obtenir
\[\langle \cos^2 \xi \rangle = \frac{1}{2} [\langle \cos^2 \xi \rangle + \langle \sin^2 \xi \rangle ] = \frac{1}{2} \langle 1 \rangle = \frac{1}{2}.\]
où les\(\langle . . . \rangle \) équerres désignent l'opération de calcul de la moyenne temporelle. On trouve alors que l'intensité de la lumière se déplaçant\(c\) à grande vitesse dans le vide est
\[I = S_{avg} = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2 \label{16.31}\]
en termes d'intensité maximale du champ électrique\(E_0\), qui est également l'amplitude du champ électrique. La manipulation algébrique produit la relation
\[I = \frac{cB_0^2}{2\mu_0} \label{16.32}\]
où\(B_0\) est l'amplitude du champ magnétique, qui est la même que l'intensité maximale du champ magnétique. Une autre expression pour\(I_{avg}\) en termes d'intensité des champs électriques et magnétiques est utile. En remplaçant le fait que\(cB_0 = E_0\) l'expression précédente devient
\[I = \frac{E_0B_0}{2\mu_0} \label{16.33}.\]
Nous pouvons utiliser celle des trois équations précédentes qui convient le mieux, car les trois équations ne sont en fait que des versions différentes du même résultat : l'énergie d'une onde est liée à l'amplitude au carré. De plus, comme ces équations sont basées sur l'hypothèse que les ondes électromagnétiques sont sinusoïdales, l'intensité maximale est le double de l'intensité moyenne, c'est-à-dire,\(I_0 = 2I\).
Le faisceau d'un petit laser de laboratoire a généralement une intensité d'environ\(1.0 \times 10^{-3} W/m^2\). En supposant que le faisceau est composé d'ondes planes, calculez les amplitudes des champs électriques et magnétiques du faisceau.
Stratégie
Utilisez l'équation exprimant l'intensité en termes de champ électrique pour calculer le champ électrique à partir de l'intensité.
Solution
D'après l'équation \ ref {16.31}, l'intensité du faisceau laser est
\[I = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2. \nonumber\]
L'amplitude du champ électrique est donc
\[ \begin{align*} E_0 &= \sqrt{\frac{2}{c\epsilon_0}I} \\[4pt] &= \sqrt{\frac{2}{(3.00 \times 10^8 m/s)(8.85 \times 10^{-12} F/m)}\left(1.0 \times 10^{-3} W/m^2 \right)} \\[4pt] &= 0.87 \, V/m. \end{align*}\]
L'amplitude du champ magnétique peut être obtenue à partir de :
\[B_0 = \frac{E_0}{c} = 2.9 \times 10^{-9} \, T. \nonumber\]
Une ampoule émet une puissance de 5 W sous forme de lumière visible. Quels sont les champs électriques et magnétiques moyens produits par la lumière à une distance de 3,0 m ?
Stratégie
Supposons que la puissance de sortie P de l'ampoule soit distribuée uniformément sur une sphère d'un rayon de 3,0 m pour calculer l'intensité et, à partir de là, le champ électrique.
Solution
La puissance rayonnée sous forme de lumière visible est alors
\(I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{c\epsilon_0 E_0^2}{2},\)
\(E_0 = \sqrt{2\frac{P}{4\pi r^2 c\epsilon_0}} = \sqrt{2\frac{5.00 \, W}{4\pi (3.0 \, m)^2 (3.00 \times 10^8 \, m/s)(8.85 \times 10^{-12} C^2/N \cdot m^2)}} = 5.77 \, N/C,\)
\(B_0 = E_0/c = 1.92 \times 10^{-8} \, T\).
Significance
The intensity I falls off as the distance squared if the radiation is dispersed uniformly in all directions.
A 60-kW radio transmitter on Earth sends its signal to a satellite 100 km away (Figure \(\PageIndex{3}\)). At what distance in the same direction would the signal have the same maximum field strength if the transmitter’s output power were increased to 90 kW?
Strategy
The area over which the power in a particular direction is dispersed increases as distance squared, as illustrated in Figure \(\PageIndex{3}\). Change the power output P by a factor of (90 kW/60 kW) and change the area by the same factor to keep \(I = \frac{P}{A} = \frac{c\epsilon_0 E_0^2}{2}\) the same. Then use the proportion of area A in the diagram to distance squared to find the distance that produces the calculated change in area.
Solution
Using the proportionality of the areas to the squares of the distances, and solving, we obtain from the diagram
\[ \begin{align*} \frac{r_2^2}{r_1^2} &= \frac{A_2}{A_1} = \frac{90 \, W}{60 \, W}, \\[4pt] r_2 &= \sqrt{\frac{90}{60}}(100 \, km) \\[4pt] &= 122 \, km. \end{align*}\]
Significance
The range of a radio signal is the maximum distance between the transmitter and receiver that allows for normal operation. In the absence of complications such as reflections from obstacles, the intensity follows an inverse square law, and doubling the range would require multiplying the power by four.