15.E : Circuits à courant alternatif (exercice)
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Questions conceptuelles
15.2 Sources de courant alternatif
1. Quelle est la relation entre la fréquence et la fréquence angulaire ?
15.3 Circuits AC simples
2. Expliquez pourquoi, aux hautes fréquences, un condensateur agit comme un court-circuit alternatif, alors qu'une bobine d'induction agit comme un circuit ouvert.
15.4 Circuits de la série RLC avec courant alternatif
3. Dans un circuit de la série RLC, la tension mesurée aux bornes du condensateur peut-elle être supérieure à la tension de la source ? Répondez à la même question pour la tension aux bornes de l'inducteur.
15.5 Alimentation d'un circuit en courant alternatif
4. Pour quelle valeur de l'angle de phase φ entre la tension de sortie d'une source de courant alternatif et le courant la puissance moyenne de sortie de la source est-elle maximale ?
5. Discutez des différences entre la puissance moyenne et la puissance instantanée.
6. Le courant alternatif moyen fourni à un circuit est nul. Malgré cela, la puissance est dissipée dans le circuit. Expliquez.
7. La puissance de sortie instantanée d'une source de courant alternatif peut-elle être négative ? La puissance de sortie moyenne peut-elle être négative ?
8. La puissance nominale d'une résistance utilisée dans les circuits à courant alternatif fait référence à la puissance moyenne maximale dissipée dans la résistance. Comment cela se compare-t-il à la puissance instantanée maximale dissipée dans la résistance ?
15.7 Transformateurs
9. Pourquoi les lignes de transmission fonctionnent-elles à des tensions très élevées alors que les circuits domestiques fonctionnent à des tensions relativement faibles ?
10. Comment distinguer l'enroulement primaire de l'enroulement secondaire d'un transformateur élévateur ?
11. Les batteries de certains appareils électroniques sont chargées à l'aide d'un adaptateur connecté à une prise murale. Faites des suppositions quant à la fonction de l'adaptateur.
12. Un transformateur fonctionnera-t-il si l'entrée est une tension continue ?
13. Pourquoi les bobines primaire et secondaire d'un transformateur sont-elles enroulées autour de la même boucle fermée de fer ?
Des problèmes
15.2 Sources de courant alternatif
14. Ecrivez une expression pour la tension de sortie d'une source de courant alternatif ayant une amplitude de 12 V et une fréquence de 200 Hz.
15.3 Circuits AC simples
15. Calculez la réactance d'un condensateur de 5,0 μF à
a) 60 Hz,
(b) 600 Hz, et
(c) 6 000 Hz.
16. Quelle est la capacité d'un condensateur dont la réactance est de 10 Ω à 60 Hz ?
17. Calculez la réactance d'un inducteur de 5,0 mH à
a) 60 Hz,
(b) 600 Hz, et
(c) 6 000 Hz.
18. Quelle est l'auto-inductance d'une bobine dont la réactance est de 10 Ω à 60 Hz ?
19. À quelle fréquence la réactance d'un condensateur de 20 μF est-elle égale à celle d'une bobine d'induction de 10 mH ?
20. À 1000 Hz, la réactance d'une bobine d'induction de 5,0 mH est égale à la réactance d'un condensateur particulier. Quelle est la capacité du condensateur ?
21. Une résistance de 50 Ω est connectée à travers la force électromotrice\(\displaystyle v(t)=(160V)sin(120πt)\). Ecrivez une expression pour le courant traversant la résistance.
22. Un condensateur de 25 μF est connecté à une force électromotrice donnée par\(\displaystyle v(t)=(160V)sin(120πt)\).
(a) Quelle est la réactance du condensateur ?
(b) Ecrivez une expression pour la sortie de courant de la source.
23. Un inducteur de 100 mH est connecté à travers la force électromotrice du problème précédent.
(a) Quelle est la réactance de l'inducteur ?
(b) Écrivez une expression pour le courant traversant l'inducteur.
15.4 Circuits de la série RLC avec courant alternatif
24. Quelle est l'impédance d'une combinaison en série d'une résistance de 50 Ω, d'un condensateur 5,0 μF 5,0 μF et d'un condensateur 10 μF10 μF à une fréquence de 2,0 kHz ?
25. Une résistance et un condensateur sont connectés en série à travers un générateur de courant alternatif. La force électromotrice du générateur est donnée par\(\displaystyle v(t)=V0cosωt,\) où\(\displaystyle V0=120V, ω=120πrad/s, R=400Ω,\) et\(\displaystyle C=4.0μF\).
(a) Quelle est l'impédance du circuit ?
(b) Quelle est l'amplitude du courant traversant la résistance ?
(c) Ecrivez une expression pour le courant traversant la résistance.
(d) Écrivez des expressions représentant les tensions aux bornes de la résistance et du condensateur.
26. Une résistance et une bobine d'induction sont connectées en série à travers un générateur de courant alternatif. La force électromotrice du générateur est donnée par\(\displaystyle v(t)=V0cosωt,\) où\(\displaystyle V0=120V\) et\(\displaystyle ω=120πrad/s\) ; également,\(\displaystyle R=400Ω\) et\(\displaystyle L=1.5H\).
(a) Quelle est l'impédance du circuit ?
(b) Quelle est l'amplitude du courant traversant la résistance ?
(c) Ecrivez une expression pour le courant traversant la résistance.
(d) Écrivez des expressions représentant les tensions aux bornes de la résistance et de l'inducteur.
27. Dans un circuit de la série RLC, l'amplitude de tension et la fréquence de la source sont de 100 V et 500 Hz, respectivement, un\(\displaystyle R=500Ω, L=0.20H,\) et\(\displaystyle C=2.0μF\).
(a) Quelle est l'impédance du circuit ?
(b) Quelle est l'amplitude du courant provenant de la source ?
(c) Si la force électromotrice de la source est donnée par\(\displaystyle v(t)=(100V)sin1000πt\), comment le courant varie-t-il dans le temps ?
(d) Répétez les calculs avec i changé à 0,20 μF.
28. Un circuit de la série RLC avec\(\displaystyle R=600Ω, L=30mH,\) et\(\displaystyle C=0.050μF\) est alimenté par une source de courant alternatif dont la fréquence et l'amplitude de tension sont respectivement de 500 Hz et 50 V.
(a) Quelle est l'impédance du circuit ?
(b) Quelle est l'amplitude du courant dans le circuit ?
(c) Quel est l'angle de phase entre la force électromotrice de la source et le courant ?
29. Pour le circuit illustré ci-dessous, quels sont
(a) l'impédance totale et
(b) l'angle de phase entre le courant et la force électromotrice ?
(c) Ecrivez une expression pour\(\displaystyle i(t)\).
15.5 Alimentation d'un circuit en courant alternatif
30. La force électromotrice d'une source de courant alternatif est donnée par\(\displaystyle v(t)=V0sinωt,\) où\(\displaystyle V0=100V\) et\(\displaystyle ω=200πrad/s.\). Calculez la puissance de sortie moyenne de la source si elle est connectée
(a) un condensateur de 20 μF,
(b) un inducteur de 20 mH, et
(c) une résistance de 50 Ω.
31. Calculer les courants efficaces pour une source de courant alternatif est donné par l'\(\displaystyle v(t)=V_0 \sinωt,\)endroit\(\displaystyle V_0=100V\) et le\(\displaystyle ω=200π \: rad/s\) moment où elle est connectée
(a) un condensateur de 20 μF,
(b) un inducteur de 20 mH, et
(c) une résistance de 50 Ω.
32. Un inducteur de 40 mH est connecté à une source de courant alternatif de 60 Hz dont l'amplitude de tension est de 50 V. Si un voltmètre alternatif est placé en travers de l'inducteur, que peut-on lire ?
33. Pour un circuit en série RLC, l'amplitude de tension et la fréquence de la source sont de 100 V et 500 Hz, respectivement ; R = 500 Ω ; et L = 0,20H. Trouvez la puissance moyenne dissipée dans la résistance pour les valeurs suivantes de capacité :
(a) C=2,0 μF et
(b) C = 0,20 μF.
34. Une source de courant alternatif d'amplitude 10 V fournit de l'énergie électrique à un débit de 0,80 W lorsque son courant de sortie est de 2,5 A. Quel est l'angle de phase φ entre la force électromotrice et le courant ?
35. Un circuit de la série RLC a une impédance de 60 Ω et un facteur de puissance de 0,50, la tension étant inférieure au courant. (a) Faut-il placer un condensateur ou une bobine d'induction en série avec les éléments pour augmenter le facteur de puissance du circuit ? (b) Quelle est la valeur de la réactance à travers l'inducteur qui augmentera le facteur de puissance à l'unité ?
15.6 Résonance dans un circuit en courant alternatif
36. (a) Calculez la fréquence angulaire de résonance d'un circuit de la série RLC pour lequel\(\displaystyle R=20Ω, L=75mH\), et C = 4,0 μF. (b) Si R passe à 300 Ω, qu'advient-il de la fréquence angulaire de résonance ?
37. La fréquence de résonance d'un circuit série RLC est de\(\displaystyle 2.0×10^3Hz\). Si l'auto-inductance du circuit est de 5,0 mH, quelle est la capacité du circuit ?
38. (a) Quelle est la fréquence de résonance d'un circuit série RLC avec R = 20 Ω, L = 2,0 mh et C = 4,0 μF ?
(b) Quelle est l'impédance du circuit à la résonance ?
39. Pour un circuit de la série RLC, R = 100 Ω, L = 150 mH et C = 0,25 μF.
(a) Si une source de courant alternatif de fréquence variable est connectée au circuit, à quelle fréquence la puissance maximale est-elle dissipée dans la résistance ?
(b) Quel est le facteur de qualité du circuit ?
40. Une source de courant alternatif d'amplitude de tension de 100 V et de fréquence variable f alimente un circuit de la série RLC avec R = 10 Ω, L = 2,0 mh et C = 25 μF.
(a) Tracez le courant traversant la résistance en fonction de la fréquence f.
(b) Utilisez le graphique pour déterminer la fréquence de résonance du circuit.
41. (a) Quelle est la fréquence de résonance d'une résistance, d'un condensateur et d'une inductance connectés en série si R = 100 Ω, L = 2,0 H et C = 5,0 μF ?
(b) Si cette combinaison est connectée à une source de 100 V fonctionnant à fréquence constante, quelle est la puissance de sortie de la source ?
(c) Quel est le Q du circuit ?
(d) Quelle est la bande passante du circuit ?
42. Supposons qu'une bobine ait une inductance propre de 20,0 H et une résistance de 200 Ω. Quoi
(a) capacité et
(b) la résistance doit être connectée en série à la bobine pour produire un circuit ayant une fréquence de résonance de 100 Hz et un Q de 10 ?
43. Un générateur de courant alternatif est connecté à un appareil dont les circuits internes ne sont pas connus. Nous ne connaissons que le courant et la tension en dehors de l'appareil, comme indiqué ci-dessous. Sur la base des informations fournies, que pouvez-vous déduire de la nature électrique de l'appareil et de sa consommation d'énergie ?
15.7 Transformateurs
44. Un transformateur élévateur est conçu de telle sorte que la sortie de son enroulement secondaire soit de 2000 V (rms) lorsque l'enroulement primaire est connecté à une tension de ligne de 110 V (rms).
a) S'il y a 100 tours dans l'enroulement primaire, combien de tours y a-t-il dans l'enroulement secondaire ?
(b) Si une résistance connectée à travers l'enroulement secondaire consomme un courant efficace de 0,75 A, quel est le courant dans l'enroulement primaire ?
45. Un transformateur élévateur connecté à une ligne de 110 V est utilisé pour alimenter un tube à décharge d'hydrogène à 5,0 kV (rms). Le tube dissipe 75 W de puissance.
a) Quel est le rapport entre le nombre de spires de l'enroulement secondaire et le nombre de spires de l'enroulement primaire ?
(b) Quels sont les courants efficaces dans les enroulements primaire et secondaire ?
(c) Quelle est la résistance effective observée par la source de 110 V ?
46. Une source de courant électromagnétique en courant alternatif fournit 5,0 mW de puissance à un courant efficace de 2,0 mA lorsqu'elle est connectée à la bobine primaire d'un transformateur. La tension efficace aux bornes de la bobine secondaire est de 20 V.
a) Quelle est la tension aux bornes de la bobine primaire et le courant traversant la bobine secondaire ?
(b) Quel est le rapport entre les spires secondaires et primaires du transformateur ?
47. Un transformateur permet de passer de 110 V d'une prise murale à 9,0 V pour une radio.
a) Si l'enroulement primaire comporte 500 tours, combien de tours compte l'enroulement secondaire ?
(b) Si la radio fonctionne à un courant de 500 mA, quel est le courant traversant l'enroulement primaire ?
48. Un transformateur est utilisé pour alimenter un train miniature de 12 V à partir d'une prise murale de 110 V. Le train fonctionne à 50 W de puissance.
a) Quel est le courant efficace dans la bobine secondaire du transformateur ?
(b) Quel est le courant efficace dans la bobine primaire ?
(c) Quel est le rapport entre le nombre de tours primaires et secondaires ?
d) Quelle est la résistance du train ?
(e) Quelle est la résistance observée par la source de 110 V ?
Problèmes supplémentaires
49. La force électromotrice d'une source de courant continu est donnée par\(\displaystyle v(t)=V_0sinωt,\) où\(\displaystyle V_0=100V\) et\(\displaystyle ω=200πrad/s\). Trouvez une expression qui représente le courant de sortie de la source si elle est connectée
(a) un condensateur de 20 μF,
(b) un inducteur de 20 mH, et
(c) une résistance de 50 Ω.
50. Un condensateur de 700 pF est connecté à une source de courant alternatif avec une amplitude de tension de 160 V et une fréquence de 20 kHz.
(a) Déterminer la réactance capacitive du condensateur et l'amplitude du courant de sortie de la source.
(b) Si la fréquence passe à 60 Hz tout en maintenant l'amplitude de la tension à 160 V, quelles sont la réactance capacitive et l'amplitude du courant ?
51. Une bobine d'induction de 20 mH est connectée à une source de courant alternatif avec une fréquence variable et une amplitude de tension constante de 9,0 V.
(a) Déterminer la réactance du circuit et le courant maximal traversant l'inducteur lorsque la fréquence est réglée à 20 kHz.
(b) Faites les mêmes calculs pour une fréquence de 60 Hz.
52. Un condensateur de 30 μF est connecté à une source de courant alternatif de 60 Hz dont l'amplitude de tension est de 50 V.
(a) Quelle est la charge maximale du condensateur ?
(b) Quel est le courant maximal dans le condensateur ?
(c) Quelle est la relation de phase entre la charge du condensateur et le courant dans le circuit ?
53. Une bobine d'induction de 7,0 mH est connectée à une source de courant alternatif de 60 Hz dont l'amplitude de tension est de 50 V.
(a) Quel est le courant maximal traversant l'inducteur ?
(b) Quelle est la relation de phase entre le courant traversant et la différence de potentiel aux bornes de l'inducteur ?
54. Quelle est l'impédance d'un circuit de la série RLC à la fréquence de résonance ?
55. Quelle est la résistance R dans le circuit ci-dessous si l'amplitude du courant alternatif à travers l'inducteur est de 4,24 A ?
56. Une source de courant alternatif d'une amplitude de tension de 100 V et d'une fréquence de 1,0 kHz alimente un circuit de la série RLC avec R = 20 Ω, L = 4,0 mH et C = 50 μF.
(a) Déterminez le courant efficace à travers le circuit.
(b) Quelles sont les tensions efficaces entre les trois éléments ?
(c) Quel est l'angle de phase entre la force électromotrice et le courant ?
d) Quelle est la puissance de sortie de la source ?
(e) Quelle est la puissance dissipée dans la résistance ?
57. Dans un circuit de la série RLC\(\displaystyle R=200Ω, L=1.0H, C=50μF, V_0=120V\), et\(\displaystyle f=50Hz\). Quelle est la puissance de sortie de la source ?
58. Un groupe électrogène produit 100 A à 15 kV (rms). Un transformateur est utilisé pour augmenter la tension de la ligne de transport à 150 kV (rms).
a) Quel est le courant efficace dans la ligne de transmission ?
(b) Si la résistance par unité de longueur de la ligne est de\(\displaystyle 8.6×10^{−8}Ω/m,\) quelle est la perte de puissance par mètre dans la ligne ?
(c) Quelle serait la perte de puissance par mètre si la tension du secteur était de 15 kV (rms) ?
59. Prenons l'exemple d'une centrale électrique située à 25 km d'une ville et fournissant 50 MW d'électricité à la ville. Les lignes de transmission sont constituées de câbles en aluminium avec une\(\displaystyle 7cm^2\) section transversale. Trouvez la perte de puissance dans les lignes de transmission si elle est transmise à
a) 200 kV (rms) et
b) 120 V (rms).
60. Les enseignes au néon nécessitent 12 kV pour fonctionner. Un transformateur doit être utilisé pour faire passer la tension de 220 V (RMS) AC à 12 kV (RMS) AC.
a) Quel doit être le rapport entre les spires de l'enroulement secondaire et les spires de l'enroulement primaire ?
b) Quel est le courant efficace maximal que les lampes au néon peuvent consommer si le fusible de l'enroulement primaire se déclenche à 0,5 A ?
(c) Quelle est la puissance consommée par le panneau au néon lorsqu'il consomme le courant maximal autorisé par le fusible dans l'enroulement primaire ?
Problèmes liés au défi
61. Le courant alternatif de 335 kV provenant d'une ligne de transport d'électricité est introduit dans l'enroulement primaire d'un transformateur. Le rapport entre le nombre de tours dans l'enroulement secondaire et le nombre dans l'enroulement primaire est de\(\displaystyle N_s/N_p=1000\).
a) Quelle tension est induite dans l'enroulement secondaire ?
(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?
(c) Quelle hypothèse ou prémisse est responsable ?
62. Une résistance de 1,5 kΩ et une inductance de 30 mH sont connectées en série, comme indiqué ci-dessous, à une source d'alimentation en courant alternatif de 120 V (rms) oscillant à une fréquence de 60 Hz.
(a) Trouvez le courant dans le circuit.
(b) Trouvez les chutes de tension à travers la résistance et l'inducteur.
(c) Déterminez l'impédance du circuit.
(d) Déterminez la puissance dissipée dans la résistance.
(e) Déterminez la puissance dissipée dans l'inducteur.
(f) Déterminez la puissance produite par la source.
63. Une résistance de 20 Ω, un condensateur de 50 μF et une inductance de 30 mH sont connectés en série à une source de courant alternatif d'amplitude 10 V et de fréquence de 125 Hz.
(a) Quelle est l'impédance du circuit ?
(b) Quelle est l'amplitude du courant dans le circuit ?
(c) Quelle est la constante de phase du courant ? Est-elle en avance ou en retard par rapport à la tension de la source ?
(d) La tension d'écriture chute à travers la résistance, le condensateur et l'inductance et la tension source en fonction du temps.
(e) Quel est le facteur de puissance du circuit ? (f) Quelle est la quantité d'énergie consommée par la résistance en 2,5 s ?
64. Une résistance de 200 Ω, un condensateur de 150 μF et une inductance de 2,5 H sont connectés en série à une source de courant alternatif d'amplitude 10 V et de fréquence angulaire variable\(\displaystyle ω\).
(a) Quelle est la valeur de la fréquence de résonance\(\displaystyle ω_R\) ?
(b) Quelle est l'amplitude du courant if\(\displaystyle ω=ω_R\) ?
(c) Quelle est la constante de phase du courant et quand\(\displaystyle ω=ω_R\) ? Est-il en avance ou en retard par rapport à la tension de la source, ou est-il en phase ?
(d) Écrivez une équation pour la chute de tension aux bornes de la résistance en fonction du temps où\(\displaystyle ω=ω_R\).
(e) Quel est le facteur de puissance du circuit à quel moment\(\displaystyle ω=ω_R\) ?
(f) Quelle quantité d'énergie est consommée par la résistance en 2,5 s et quand\(\displaystyle ω=ω_R\) ?
65. Trouvez les réactances des condensateurs et inducteurs suivants dans les circuits à courant alternatif avec les fréquences données dans chaque cas :
a) Inducteur de 2 mH avec une fréquence de 60 Hz du circuit à courant alternatif ;
b) Inducteur de 2 mH avec une fréquence de 600 Hz du circuit à courant alternatif ;
c) Inducteur de 20 mH avec une fréquence de 6 Hz du circuit à courant alternatif ;
d) Inducteur de 20 mH avec une fréquence de 60 Hz du circuit à courant alternatif ;
e) un condensateur de 2 mF avec une fréquence de 60 Hz du circuit à courant alternatif ; et
(f) Condensateur de 2 mF avec une fréquence de 600 Hz du circuit alternatif.
66. L'impédance de sortie d'un amplificateur audio a une impédance de 500 Ω et présente un décalage avec un haut-parleur à faible impédance de 8 Ω. Il vous est demandé d'insérer un transformateur adapté aux impédances. Quel ratio de tours utiliserez-vous, et pourquoi ? Utilisez le circuit simplifié illustré ci-dessous.
67. Montrez que l'unité SI pour la réactance capacitive est l'ohm. Montrez que l'unité SI pour la réactance inductive est également l'ohm.
68. Une bobine ayant une inductance propre de 16 mH et une résistance de 6,0 Ω est connectée à une source de courant alternatif dont la fréquence peut être modifiée. À quelle fréquence la tension aux bornes de la bobine conduira-t-elle le courant à travers la bobine de 45° ?
69. Un circuit de la série RLC se compose d'une résistance de 50 Ω, d'un condensateur de 200 μF et d'une bobine d'induction de 120 mH dont la bobine a une résistance de 20 Ω. La source du circuit a une force électromotrice efficace de 240 V à une fréquence de 60 Hz. Calculez les tensions efficaces aux bornes du
(a) résistance,
(b) un condensateur, et
(c) inducteur.
70. Un circuit de la série RLC se compose d'une résistance de 10 Ω, d'un condensateur de 8,0 μF et d'une inductance de 50 mH. Une source de 110 V (rms) de fréquence variable est connectée à travers la combinaison. Quelle est la puissance de sortie de la source lorsque sa fréquence est réglée à la moitié de la fréquence de résonance du circuit ?
71. Vous trouverez ci-dessous deux circuits qui agissent comme des filtres passe-haut bruts. La tension d'entrée des circuits est\(\displaystyle v_{in}\) et la tension de sortie est vout.vout.
(a) Montrez cela pour le circuit du condensateur et pour le circuit inducteur,\(\displaystyle \frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{ωL}{\sqrt{R^2+ω^2L^2}}\).\(\displaystyle \frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/ω^2R^2C^2}}\)
(b) Montrez que pour les hautes fréquences,\(\displaystyle v_{out}≈v_{in},\) mais pour les basses fréquences,\(\displaystyle v_{out}≈0\).
72. Les deux circuits présentés ci-dessous agissent comme des filtres passe-bas rudimentaires. La tension d'entrée des circuits est\(\displaystyle v_{in}\) et la tension de sortie est\(\displaystyle v_{out}\).
(a) Montrez cela pour le circuit du condensateur et pour le circuit inducteur,\(\displaystyle \frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{R}{\sqrt{R^2+ω^2L^2}}\).\(\displaystyle \frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{1}{\sqrt{1+ω^2R^2C^2}}\)
(b) Montrez que pour les basses fréquences\(\displaystyle v_{out}≈v_{in}\), mais pour les hautes fréquences,\(\displaystyle v_{out}≈0\).
