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14.E : Inductance (exercice)

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    Questions conceptuelles

    14.2 Inductance mutuelle

    1. Montrez que\(NΦ_m/I\) et\(ε/(dI/dt)\), qui sont toutes deux des expressions de l'auto-inductance, ont les mêmes unités.

    2. Un inducteur de 10 H transporte un courant de 20 A. Décrivez comment une force électromotrice de 50 V peut être induite à travers elle.

    3. Le circuit d'allumage d'une automobile est alimenté par une batterie de 12 V. Comment pouvons-nous générer de fortes tensions avec cette source d'alimentation ?

    4. Lorsque le courant traversant une grande bobine d'induction est interrompu par un interrupteur, un arc apparaît aux bornes ouvertes du commutateur. Expliquez.

    14.3 Auto-inductance et inducteurs

    5. L'auto-inductance dépend-elle de la valeur du flux magnétique ? Cela dépend-il du courant traversant le fil ? Corrélez vos réponses avec l'équation\(NΦ_m=LI\).

    6. L'inductance propre d'un solénoïde étroitement enroulé de 1,0 m de long serait-elle différente de l'auto-inductance par mètre d'un solénoïde infini, mais identique par ailleurs ?

    7. Discutez de la manière dont vous pourriez déterminer l'auto-inductance par unité de longueur d'un fil long et droit.

    8. L'auto-inductance d'une bobine est nulle si aucun courant ne traverse les enroulements. Vrai ou faux ?

    9. Comment se compare l'auto-inductance par unité de longueur près du centre d'un solénoïde (loin des extrémités) à sa valeur près de l'extrémité du solénoïde ?

    14.4 Énergie dans un champ magnétique

    10. Montre qui\(LI^2/2\) possède des unités d'énergie.

    14.5 Circuits RL

    11. Utilisez la loi de Lenz pour expliquer pourquoi le courant initial dans le circuit RL de la Figure 14.12 (b) est nul.

    12. Lorsque le courant dans le circuit RL de la Figure 14.12 (b) atteint sa valeur finale\(ε/R\), quelle est la tension aux bornes de l'inducteur ? À travers la résistance ?

    13. Le temps nécessaire pour que le courant dans un circuit RL atteigne une fraction de sa valeur en régime permanent dépend-il de la force électromotrice de la batterie ?

    14. Un inducteur est connecté aux bornes d'une batterie. Le courant qui traverse finalement l'inducteur dépend-il de la résistance interne de la batterie ? Le temps nécessaire pour que le courant atteigne sa valeur finale dépend-il de cette résistance ?

    15. À quel moment la tension aux bornes de l'inducteur du circuit RL de la Figure 14.12 (b) est-elle maximale ?

    16. Dans le simple circuit RL de la Figure 14.12 (b), la force électromotrice induite à travers l'inducteur peut-elle être supérieure à la force électromotrice de la batterie utilisée pour produire le courant ?

    17. Si la force électromotrice de la batterie de la Figure 14.12 (b) est réduite d'un facteur 2, de quelle mesure l'énergie en régime permanent stockée dans le champ magnétique de l'inducteur change-t-elle ?

    18. Un courant constant circule dans un circuit avec une constante de temps inductive importante. Lorsqu'un interrupteur du circuit est ouvert, une grosse étincelle se produit aux bornes de l'interrupteur. Expliquez.

    19. Décrivez comment les courants traversant\(R_1\) et\(R_2\) illustrés ci-dessous varient avec le temps après la fermeture de l'interrupteur S.

    La figure montre un circuit avec la résistance R1 connectée en série à la batterie epsilon, via un interrupteur ouvert S. R1 est parallèle à la résistance R2 et à l'inducteur L.

    20. Discutez des applications pratiques possibles des circuits RL.

    14.6 Oscillations dans un circuit LC

    21. Les règles de Kirchhoff s'appliquent-elles aux circuits contenant des inducteurs et des condensateurs ?

    22. Un élément de circuit peut-il avoir à la fois une capacité et une inductance ?

    23. Dans un circuit LC, qu'est-ce qui détermine la fréquence et l'amplitude des oscillations énergétiques dans l'inducteur ou le condensateur ?

    14.7 Circuits de la série RLC

    24. Lorsqu'un fil est connecté entre les deux extrémités d'un solénoïde, le circuit résultant peut osciller comme un circuit RLC. Décrivez la cause de la capacité de ce circuit.

    25. Décrivez l'effet de la résistance des fils de connexion sur un circuit LC oscillant.

    26. Supposons que vous souhaitiez concevoir un circuit LC avec une fréquence de 0,01 Hz. Quels problèmes pourriez-vous rencontrer ?

    27. Un récepteur radio utilise un circuit RLC pour sélectionner des fréquences particulières à écouter dans votre maison ou votre voiture sans entendre d'autres fréquences indésirables. Comment concevrait-on un tel circuit ?

    Problèmes

    14.2 Inductance mutuelle

    28. Lorsque le courant dans une bobine change à une vitesse de 5,6 A/s, une force électromotrice de\(6.3×10^{−3}V\). est induite dans une seconde bobine voisine. Quelle est l'inductance mutuelle des deux bobines ?

    29. Une force électromotrice de\(9.7×10^{−3}V\) est induite dans une bobine alors que le courant dans une bobine voisine diminue à une vitesse de 2,7 A/s. Quelle est l'inductance mutuelle des deux bobines ?

    30. Deux bobines proches l'une de l'autre ont une inductance mutuelle de 32 mH. Si le courant dans une bobine décroît selon\(I=I_0e^{−αt}\), où\(I_0=5.0A\) et\(α=2.0×10^3s^{−1}\), quelle est la force électromotrice induite dans la deuxième bobine immédiatement après que le courant commence à diminuer ? À\(t=1.0×10^{−3}s\) ?

    31. Une bobine de 40 tours est enroulée autour d'un long solénoïde de section transversale\(7.5×10^{−3}m^2\). Le solénoïde mesure 0,50 m de long et possède 500 tours.

    (a) Quelle est l'inductance mutuelle de ce système ?

    (b) La bobine extérieure est remplacée par une bobine de 40 spires dont le rayon est trois fois supérieur à celui du solénoïde. Quelle est l'inductance mutuelle de cette configuration ?

    32. Un solénoïde de 600 tours mesure 0,55 m de long et 4,2 cm de diamètre. À l'intérieur du solénoïde, une petite bobine rectangulaire à tour unique (1,1 cm x 1,4 cm) est fixée en place, sa face étant perpendiculaire à l'axe long du solénoïde. Quelle est l'inductance mutuelle de ce système ?

    33. Une bobine toroïdale a un rayon moyen de 16 cm et une section transversale de\(0.25cm^2\) ; elle est enroulée uniformément à 1000 tours. Une seconde bobine toroïdale de 750 tours est enroulée uniformément sur la première bobine. En ignorant la variation du champ magnétique au sein d'un tore, déterminez l'inductance mutuelle des deux bobines.

    34. Un solénoïde de\(N_1\) spires a une longueur\(l_1\) et un rayon\(R_1\), et un second solénoïde plus petit de\(N_2\) spires a une longueur\(l_2\) et un rayon\(R_2\). Le plus petit solénoïde est placé complètement à l'intérieur du plus grand solénoïde afin que leurs grands axes coïncident. Quelle est l'inductance mutuelle des deux solénoïdes ?

    14.3 Auto-inductance et inducteurs

    35. Une force électromotrice de 0,40 V est induite à travers une bobine lorsque le courant qui la traverse passe uniformément de 0,10 à 0,60 A en 0,30 s. Quelle est l'auto-inductance de la bobine ?

    36. Le courant indiqué dans la partie (a) ci-dessous augmente, tandis que celui indiqué dans la partie (b) diminue. Dans chaque cas, déterminez quelle extrémité de l'inducteur se trouve au potentiel le plus élevé.

    La figure a montre le courant traversant une bobine de gauche à droite. La figure b montre le courant traversant une bobine de droite à gauche.

    37. À quelle vitesse le courant traversant une bobine de 0,30 h change-t-il si une force électromotrice de 0,12 V est induite à travers la bobine ?

    38. Lorsqu'un appareil photo utilise un flash, un condensateur complètement chargé se décharge à travers une bobine d'induction. À quelle heure le courant de 0,100 A traversant une inductance de 2 mH doit-il être allumé ou éteint pour induire une force électromotrice de 500 V ?

    39. Une bobine ayant une auto-inductance de 2,0 H transporte un courant qui varie dans le temps en fonction de\(I(t)=(2.0A)sin120πt\). Trouvez une expression pour la force électromotrice induite dans la bobine.

    40. Un solénoïde de 50 cm de long est enroulé avec 500 tours de fil. La section transversale de la bobine est\(2.0cm^2\) Quelle est l'auto-inductance du solénoïde ?

    41. Une bobine ayant une auto-inductance de 3,0 H transporte un courant qui diminue à un rythme uniforme\(dI/dt=−0.050A/s\). Quelle est la force électromotrice induite dans la bobine ? Décrivez la polarité de la force électromotrice induite.

    42. Le courant\(I(t)\) traversant une bobine d'induction de 5,0 mH varie avec le temps, comme indiqué ci-dessous. La résistance de l'inducteur est de 5,0 Ω. Calculez la tension aux bornes de l'inducteur à\(t=2.0ms,t=4.0ms,\) et\(t=8.0ms\).

    Le graphique du courant en ampères par rapport au temps en millisecondes. Le courant commence à partir de 0 à 0 milliseconde, augmente avec le temps et atteint un peu plus de 6 ampères en environ 3 millisecondes. Elle diminue brusquement jusqu'à environ 6 millisecondes, puis diminue légèrement plus lentement jusqu'à atteindre 0 à 12 millisecondes.

    43. Un long solénoïde cylindrique de 100 tours par centimètre a un rayon de 1,5 cm. (a) En négligeant les effets finaux, quelle est l'auto-inductance par unité de longueur du solénoïde ? (b) Si le courant traversant le solénoïde varie à la vitesse de 5,0 A/s, quelle est la force électromotrice induite par unité de longueur ?

    44. Supposons qu'un tore rectangulaire possède 2 000 enroulements et une auto-inductance de 0,040 H. Si h = 0,10 mHz = 0,10 m, quel est le rapport entre son rayon extérieur et son rayon intérieur ?

    La figure montre la section transversale d'un tore. Le rayon intérieur de l'anneau est R1 et le rayon extérieur est R2. La hauteur de la section rectangulaire est h. Une petite section d'épaisseur dr est située au centre de la section rectangulaire. Il se trouve à une distance r du centre de l'anneau. La zone à l'intérieur de la section transversale rectangulaire d'épaisseur dr et de hauteur h est surlignée et étiquetée da. Les lignes de champ et le courant i circulant dans le tore sont représentés.

    45. Quelle est l'auto-inductance par mètre d'un câble coaxial dont le rayon intérieur est de 0,50 mm et dont le rayon extérieur est de 4,00 mm ?

    14.4 Énergie dans un champ magnétique

    46. Au moment où un courant de 0,20 A circule dans une bobine de fil, l'énergie stockée dans son champ magnétique l'est\(6.0×10^{−3}J\). Qu'est-ce que l'auto-inductance de la bobine ?

    47. Supposons qu'un tore rectangulaire ait 2 000 enroulements et une auto-inductance de 0,040 H. Si\(h=0.10m\), quel est le courant qui traverse un tore rectangulaire lorsque l'énergie de son champ magnétique est égale à\(2.0×10^{−6}J\) ?

    48. Le solénoïde A est étroitement enroulé tandis que le solénoïde B possède des enroulements régulièrement espacés avec un espace égal au diamètre du fil. Les solénoïdes sont par ailleurs identiques. Déterminez le rapport des énergies stockées par unité de longueur de ces solénoïdes lorsque le même courant les traverse.

    49. Un inducteur de 10 H transporte un courant de 20 A. Quelle quantité de glace à 0 °C pourrait être fondue par l'énergie stockée dans le champ magnétique de l'inducteur ? (Conseil : utilisez la valeur\(L_f=334J/g\) pour la glace.)

    50. Une bobine ayant une inductance propre de 3,0 H et une résistance de 100 Ω transmet un courant constant de 2,0 A. (a) Quelle est l'énergie stockée dans le champ magnétique de la bobine ? (b) Quelle est l'énergie par seconde dissipée dans la résistance de la bobine ?

    51. Un courant de 1,2 A circule dans un câble coaxial dont le rayon extérieur est cinq fois son rayon intérieur. Quelle est l'énergie du champ magnétique stockée sur une longueur de 3 m du câble ?

    14.5 Circuits RL

    52. Dans la Figure 14.12,\(ε=12V, L=20mH,\) et\(R=5.0Ω\). Déterminez (a) la constante de temps du circuit, (b) le courant initial traversant la résistance, (c) le courant final traversant la résistance, (d) le courant traversant la résistance quand\(t=2τ_L\), et (e) les tensions aux bornes de l'inductance et de la résistance quand\(t=2τ_L\).

    53. Pour le circuit illustré ci-dessous,\(ε=20V, L=4.0mH,\) et\(R=5.0Ω\). Une fois que l'état stable est atteint avec\(S_1\) fermé et\(S_2\) ouvert,\(S_2\) est fermé et immédiatement après (at\(t=0\))\(S_1\) est ouvert. Déterminez (a) le courant traversant\(L\) à\(t=0\), (b) le courant traversant\(L\) à\(t=4.0×10^{−4}s\) et (c) les tensions aux bornes\(L\) et\(R\) à\(t=4.0×10^{−4}s\). \(R_1 = R_2 = R\).

    La figure montre un circuit dans lequel R1 et L sont connectés en série à la batterie epsilon via l'interrupteur fermé S1. L est connecté en parallèle à une autre résistance R2 par l'intermédiaire du commutateur ouvert S2.

    54. Le courant dans le circuit RL illustré ici augmente jusqu'à 40 % de sa valeur en régime permanent en 2,0 s. Quelle est la constante de temps du circuit ?

    La figure a montre une résistance R et une inductance L connectées en série avec deux commutateurs parallèles l'un à l'autre. Les deux commutateurs sont actuellement ouverts. La fermeture de l'interrupteur S1 connecterait R et L en série à une batterie, dont la borne positive est dirigée vers L. La fermeture de l'interrupteur S2 formerait une boucle fermée de R et L, sans la batterie. La figure b montre un circuit fermé avec R, L et la batterie en série. Le côté L vers la batterie est au potentiel positif. Le courant circule de l'extrémité positive de L, à travers celui-ci, jusqu'à l'extrémité négative. La figure c montre R et L connectés en série. Le potentiel aux bornes de L est inversé, mais le courant circule dans la même direction que sur la figure b.

    55. Combien de temps après le\(S_1\) déclenchement de l'interrupteur, le courant dans le circuit indiqué atteint-il la moitié de sa valeur maximale ? Exprimez votre réponse en termes de constante de temps du circuit.

    La figure montre un circuit avec R et L en série avec une batterie, un epsilon et un interrupteur S1 ouvert.

    56. Examinez le circuit illustré ci-dessous dans la partie (a). Déterminez\(dI/dt\) à l'instant où l'interrupteur est enclenché dans le circuit de

    (a), produisant ainsi le circuit de

    (b). Montrez que si je continuais à augmenter à ce rythme initial, il atteindrait son maximum\(ε/R\) en une constante de temps.

    La figure a montre un circuit avec R et L en série avec une batterie, un epsilon et un interrupteur S1 ouvert. La figure b montre un circuit avec R et L en série avec une batterie, epsilon. L'extrémité de L connectée à la borne positive de la batterie est au potentiel positif. Le courant traverse L de l'extrémité positive à l'extrémité négative.

    57. Le courant dans le circuit RL illustré ci-dessous atteint la moitié de sa valeur maximale en 1,75 ms après le déclenchement du commutateur\(S_1\). Déterminer

    a) la constante de temps du circuit et

    (b) la résistance du circuit si\(L=250mH\).

    La figure montre un circuit avec R et L en série avec une batterie, un epsilon et un interrupteur S1 ouvert.

    58. Considérez le circuit ci-dessous. Trouvez\(I_1,I_2,\) et\(I_3\) quand

    (a) l'interrupteur S est d'abord fermé,

    (b) une fois que les courants ont atteint des valeurs stables, et

    (c) au moment où l'interrupteur est rouvert (après avoir été fermé pendant une longue période).

    La figure montre un circuit dans lequel R1 et L sont connectés en série à une batterie epsilon et à un interrupteur fermé S. R2 est connecté en parallèle avec L. Les courants traversant R1, L et R2 sont respectivement I1, I2 et I3.

    59. Pour le circuit illustré ci-dessous,\(ε=50V, R_1=10Ω, R_2=R_3=19.4Ω\) et\(L=2.0mH\). Trouvez les valeurs de\(I_1\) et\(I_2\)

    a) immédiatement après la fermeture de l'interrupteur S,

    (b) longtemps après la fermeture de S,

    (c) immédiatement après la réouverture de S, et

    (d) longtemps après la réouverture de S.

    La figure montre un circuit dans lequel R1 et R2 sont connectés en série avec une batterie, un epsilon et un interrupteur fermé. R2 est connecté en parallèle avec L et R3. Les courants traversant R1 et R2 sont respectivement I1 et I2.

    60. Pour le circuit illustré ci-dessous, trouvez le courant traversant l'inducteur\(2.0×10^{−5}s\) après la réouverture de l'interrupteur.

    La figure montre un circuit dans lequel R1 et R2 sont connectés en série avec une batterie, un epsilon et un interrupteur fermé. R2 est connecté en parallèle avec L et R3. Les courants traversant R1 et R2 sont respectivement I1 et I2.

    61. Montrez que pour le circuit illustré ci-dessous, l'énergie initiale stockée dans l'inducteur,\(LI^2(0)/2\), est égale à l'énergie totale finalement dissipée dans la résistance,\(∫^∞_0I^2(t)Rdt\).

    La figure a montre une résistance R et une inductance L connectées en série avec deux commutateurs parallèles l'un à l'autre. Les deux commutateurs sont actuellement ouverts. La fermeture de l'interrupteur S1 connecterait R et L en série à une batterie, dont la borne positive est dirigée vers L. La fermeture de l'interrupteur S2 formerait une boucle fermée de R et L, sans la batterie. La figure b montre un circuit fermé avec R, L et la batterie en série. Le côté L vers la batterie est au potentiel positif. Le courant circule de l'extrémité positive de L, à travers celui-ci, jusqu'à l'extrémité négative. La figure c montre R et L connectés en série. Le potentiel aux bornes de L est inversé, mais le courant circule dans la même direction que sur la figure b.

    14.6 Oscillations dans un circuit LC

    62. Un condensateur de 5000 pF est chargé à 100 V puis rapidement connecté à une inductance de 80 mH. Déterminer

    a) l'énergie maximale stockée dans le champ magnétique de l'inducteur,

    (b) la valeur de pointe du courant, et

    (c) la fréquence d'oscillation du circuit.

    63. L'inductance et la capacité propres d'un circuit LC sont de 0,20 mH et 5,0 pF. Quelle est la fréquence angulaire à laquelle le circuit oscille ?

    64. Quelle est l'auto-inductance d'un circuit LC qui oscille à 60 Hz lorsque la capacité est\(10μF\) ?

    65. Dans un circuit LC oscillant, la charge maximale sur le condensateur est de 8,0 mA\(2.0×10^{−6}C\) et le courant maximum à travers l'inducteur est de 8,0 mA.

    a) Quelle est la période des oscillations ?

    (b) Combien de temps s'écoule entre le moment où le condensateur est déchargé et le moment suivant où il est complètement chargé ?

    66. L'auto-inductance et la capacité d'un circuit LC oscillant sont\(L=20mH\) et\(C=1.0μF\), respectivement.

    a) Quelle est la fréquence des oscillations ?

    (b) Si la différence de potentiel maximale entre les plaques du condensateur est de 50 V, quel est le courant maximum dans le circuit ?

    67. Dans un circuit LC oscillant, la charge maximale sur le condensateur est de\(q_m\). Déterminez la charge du condensateur et le courant traversant l'inducteur lorsque l'énergie est partagée de manière égale entre les champs électrique et magnétique. Exprimez votre réponse en termes de\(q_m, L,\) et\(C\).

    68. Dans le circuit illustré ci-dessous,\(S_1\) est ouvert et\(S_2\) fermé simultanément. Déterminer

    a) la fréquence des oscillations qui en résultent,

    (b) la charge maximale du condensateur,

    (c) le courant maximal traversant l'inducteur, et

    d) l'énergie électromagnétique du circuit oscillant.

    Une batterie de 12 volts est connectée à un condensateur de 4 microfarad et à une inductance de 100 millihenry qui sont tous deux connectés en parallèle l'un à l'autre. Il y a deux commutateurs dans le circuit. L'interrupteur S1 est fermé. S'il était ouvert, il ouvrirait tout le circuit. L'interrupteur S2 est ouvert et l'inducteur est donc actuellement déconnecté.

    69. Un circuit LC dans un tuner AM (dans un autoradio) utilise une bobine avec une inductance de 2,5 mH et un condensateur variable. Si la fréquence naturelle du circuit doit être réglable dans la plage de 540 à 1600 kHz (bande de diffusion AM), quelle plage de capacité est requise ?

    14.7 Circuits de la série RLC

    70. Dans un circuit RLC oscillant\(R=5.0Ω,L=5.0mH\), et\(C=500μF\). Quelle est la fréquence angulaire des oscillations ?

    71. Dans un circuit RLC oscillant avec\(L=10mH,C=1.5µF,\) et\(R=2.0Ω\), combien de temps s'écoule-t-il avant que l'amplitude des oscillations ne tombe à la moitié de sa valeur initiale ?

    72. Quelle résistance R doit être connectée en série à une inductance de 200 mH du circuit oscillant RLC obtenu pour diminuer à 50 % de sa valeur de charge initiale en 50 cycles ? À 0,10 % de sa valeur initiale en 50 cycles ?

    Problèmes supplémentaires

    73. Montrez que l'auto-inductance par unité de longueur d'un fil fin, droit et infini est infinie.

    74. Deux longs fils parallèles transportent des courants égaux dans des directions opposées. Le rayon de chaque fil est a et la distance entre les centres des fils est d. Montrez que si le flux magnétique à l'intérieur des fils eux-mêmes peut être ignoré, l'auto-inductance d'une longueur l d'une telle paire de fils est\(L=\frac{μ_0l}{π}ln\frac{d−a}{a}\). (Conseil : calculez le flux magnétique à travers un rectangle de longueur l entre les fils, puis utilisez-le\(L=NΦ/I\).)

    75. Une petite boucle de fil unique rectangulaire de dimensions l et a est placée, comme indiqué ci-dessous, dans le plan d'une boucle de fil unique rectangulaire beaucoup plus grande. Les deux côtés courts de la plus grande boucle sont si éloignés de la plus petite boucle que leurs champs magnétiques sur les champs plus petits de la plus petite boucle peuvent être ignorés. Quelle est l'inductance mutuelle des deux boucles ?

    La figure montre une boucle de fil rectangulaire. La longueur du rectangle est l et la largeur est a. Des deux côtés du rectangle se trouvent des fils parallèles à sa longueur. Ils se situent à une distance d du rectangle. Le courant I1 circule dans les deux sens opposés.

    76. Supposons qu'un solénoïde cylindrique soit enroulé autour d'un noyau de fer dont la susceptibilité magnétique est\(x\). À l'aide de l'équation 14.9, montrez que l'auto-inductance du solénoïde est donnée par\(L=\frac{(1+x)μ_0N^2A}{l}\), où I est sa longueur, A sa section transversale et N son nombre total de tours.

    77. Le solénoïde du problème précédent est enroulé autour d'un noyau de fer dont la susceptibilité magnétique est\(4.0×10^3\).

    (a) Si un courant de 2,0 A traverse le solénoïde, quel est le champ magnétique dans le noyau de fer ?

    (b) Quel est le courant de surface effectif formé par les boucles de courant atomique alignées dans le noyau de fer ?

    (c) Quelle est l'auto-inductance du solénoïde rempli ?

    78. Un tore rectangulaire avec un rayon intérieur\(R_1=7.0cm\), un rayon extérieur\(R_2=9.0cm\), une hauteur\(h=3.0\) et des\(N=3000\) spires est rempli d'un noyau en fer à susceptibilité magnétique\(5.2×10^3\).

    (a) Quelle est l'auto-inductance du tore ?

    (b) Si le courant traversant le tore est de 2,0 A, quel est le champ magnétique au centre du noyau ?

    (c) Pour ce même courant de 2,0 A, quel est le courant de surface effectif formé par les boucles de courant atomique alignées dans le noyau de fer ?

    79. L'interrupteur S du circuit illustré ci-dessous est fermé à\(t=0\). Déterminez (a) le courant initial traversant la batterie et (b) le courant permanent traversant la batterie.

    Une batterie de 12 volts est connectée en série avec une résistance de 5 ohms, une inductance Henry de 1, une résistance de 3 ohms et un interrupteur ouvert S. En parallèle à la résistance de 3 ohms se trouve une inductance Henry de 2.

    80. Dans un circuit RLC oscillant,\(R=7.0Ω,L=10mH,\) et\(C=3.0μF\). Initialement, le condensateur a une charge de\(8.0μC\) et le courant est nul. Calculez la charge sur le condensateur

    a) cinq cycles plus tard et

    b) 50 cycles plus tard.

    81. Un inducteur de 25,0 H a 100 A de courant coupé en 1 ms.

    (a) Quelle tension est induite pour s'y opposer ?

    (b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?

    (c) Quelle hypothèse ou prémisse est responsable ?

    Problèmes liés au défi

    82. Un câble coaxial possède un conducteur intérieur de rayon a et une mince enveloppe cylindrique extérieure de rayon b. Un courant I circule dans le conducteur intérieur et revient dans le conducteur extérieur. L'auto-inductance de la structure dépendra de la manière dont le courant tend à être distribué dans le cylindre intérieur. Enquêtez sur les deux cas extrêmes suivants.

    (a) Laissez le courant dans le conducteur interne être distribué uniquement sur la surface et trouvez l'auto-inductance.

    (b) Laissez le courant dans le cylindre intérieur être réparti uniformément sur sa section transversale et trouvez l'auto-inductance. Comparez avec vos résultats en (a).

    83. Dans un circuit oscillant amorti, l'énergie est dissipée dans la résistance. Le facteur Q est une mesure de la persistance de l'oscillateur par rapport à la perte dissipative. (a) Prouvez que pour un circuit légèrement amorti, l'énergie U du circuit diminue selon l'équation suivante. \(\frac{dU}{dt}=−2βU\), où\(β=\frac{R}{2L}\). (b) En utilisant la définition du facteur Q comme l'énergie divisée par la perte au cours du cycle suivant, prouvez que le facteur Q d'un oscillateur légèrement amorti tel que défini dans ce problème est\(Q≡\frac{U_{begin}}{ΔU_{one \: cycle}} = \frac{1}{2 \pi R}\sqrt{\frac{L}{C}}\). (Conseil : Pour (b), pour obtenir Q, divisez E au début d'un cycle par la variation\(ΔE\) du cycle suivant.)

    84. L'interrupteur du circuit illustré ci-dessous est fermé à\(t=0s\). Déterminez les courants traversant (a)\(R_1\)\(R_2\), (b) et (c) la batterie en fonction du temps.

    Une batterie de 12 volts est connectée à une résistance de 6 ohms et à un interrupteur S ouvert à l'instant t=0. Une autre résistance de 6 ohms et une inductance Henry 24 sont connectées en parallèle à la résistance de 6 ohms.

    85. Une boucle carrée de 2 cm de côté est placée à 1 cm d'un long fil transportant un courant qui varie dans le temps à une vitesse constante de 3 A/s, comme indiqué ci-dessous.

    (a) Utilisez la loi d'Ampère et déterminez le champ magnétique en fonction du temps à partir du courant dans le fil.

    (b) Déterminer le flux magnétique à travers la boucle.

    (c) Si la boucle a une résistance de 3 Ω, quelle quantité de courant induit circule dans la boucle ?

    86. Un anneau de cuivre rectangulaire, d'une masse de 100 g et d'une résistance de 0,2 Ω, se trouve dans une région de champ magnétique uniforme perpendiculaire à la zone délimitée par l'anneau et horizontale par rapport à la surface de la Terre. L'anneau est libéré lorsqu'il se trouve au bord de la région du champ magnétique non nul (voir ci-dessous).

    (a) Détermine sa vitesse lorsque l'anneau sort juste de la région du champ magnétique uniforme.

    (b) S'il a été lâché à t=0t=0, à quelle heure il quitte la région du champ magnétique pour les valeurs suivantes :\(a=25cm, b=50cm,B=3T,\) et\(g=9.8m/s^2\) ? Supposons que le champ magnétique du courant induit soit négligeable par rapport à 3 T.

    La figure a montre une boîte contenant des croix. Il est étiqueté t=0. Une zone qui s'y trouve est délimitée par une largeur égale à a et une longueur égale à b. La figure b montre la même boîte avec des croix à l'intérieur. Il est étiqueté « lorsque l'anneau sort ». La zone délimitée de la figure a se trouve maintenant sous la boîte. Il y a deux flèches vers le bas appelées g et v.

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