14.S : Inductance (résumé)

Termes clés

henry (H)	unité d'inductance\(\displaystyle 1H=1Ω⋅s\) ; elle est également exprimée en volt-seconde par ampère
inductance	propriété d'un dispositif qui indique l'efficacité avec laquelle il induit une force électromotrice dans un autre appareil
constante de temps inductive	désigné par\(\displaystyle τ\), le temps caractéristique donné en quantité\(\displaystyle L/R\) d'un\(\displaystyle RL\) circuit série particulier
inducteur	partie d'un circuit électrique destinée à fournir une auto-inductance, symbolisée par une bobine de fil
Circuit LC	circuit composé d'une source de courant alternatif, d'une inductance et d'un condensateur
densité d'énergie magnétique	énergie stockée par volume dans un champ magnétique
inductance mutuelle	quantité géométrique qui exprime l'efficacité de deux dispositifs à induire des champs électromagnétiques l'un dans l'autre
Circuit RLC	circuit avec une source de courant alternatif, une résistance, une inductance et un condensateur tous en série.
auto-inductance	effet du dispositif induisant une force électromotrice en lui-même

Équations clés

Inductance mutuelle par flux	\(\displaystyle M=\frac{N_2Φ_2}{1_I}=\frac{N_1Φ_{12}}{I_2}\)
Inductance mutuelle dans les circuits	\(\displaystyle ε_1=−M\frac{dI_2}{dt}\)
Auto-inductance en termes de flux magnétique	\(\displaystyle NΦ_m=LI\)
Auto-inductance en termes de force électromotrice	\(\displaystyle ε=−L\frac{dI}{dt}\)
Inductance automatique d'un solénoïde	\(\displaystyle L_{solenoid}=\frac{μ_0N^2A}{l}\)
Auto-inductance d'un tore	\(\displaystyle L_{toroid}=\frac{μ_0N^2h}{2π}ln\frac{R_2}{R_1}\).
Énergie stockée dans un inducteur	\(\displaystyle U=\frac{1}{2}LI^2\)
Courant en fonction du temps pour un circuit RL	\(\displaystyle I(t)=\frac{ε}{R}(1−e^{−t/τ_L})\)
Constante de temps pour un circuit RL	\(\displaystyle τ_L=L/R\)
Oscillation de charge dans les	\(\displaystyle q(t)=q_0cos(ωt+ϕ)\)
Fréquence angulaire dans les circuits LC	\(\displaystyle ω=\sqrt{\frac{1}{LC}}\)
Oscillations de courant dans les circuits LC	\(\displaystyle i(t)=−ωq_0sin(ωt+ϕ)\)
Charge en fonction du temps dans le circuit RLC	\(\displaystyle q(t)=q_0e^{−Rt/2L}cos(ω't+ϕ)\)
Fréquence angulaire dans le circuit RLC	\(\displaystyle ω'=\sqrt{\frac{1}{LC}−(\frac{R}{2L})^2}\)

Résumé

14.2 Inductance mutuelle

• L'inductance est la propriété d'un appareil qui exprime l'efficacité avec laquelle il induit une force électromotrice dans un autre appareil.
• L'inductance mutuelle est l'effet de deux dispositifs qui induisent des champs électromagnétiques l'un dans l'autre.
• Un changement de courant\(\displaystyle dI_1/dt\) dans un circuit induit une force électromotrice (\(\displaystyle ε_2\)) dans le second :

\(\displaystyle ε_2=−M\frac{dI_1}{dt}\),

où M est défini comme étant l'inductance mutuelle entre les deux circuits et le signe moins est dû à la loi de Lenz.

• Symétriquement, un changement de\(\displaystyle dI_2/dt\) courant dans le second circuit induit une force électromotrice (\(\displaystyle ε_1\)) dans le premier :

\(\displaystyle ε_1=−M\frac{dI_2}{dt}\),

où M est la même inductance mutuelle que dans le processus inverse.

14.3 Auto-inductance et inducteurs

• Les variations de courant dans un appareil induisent une force électromotrice dans l'appareil lui-même, appelée auto-inductance,

\(\displaystyle ε=−L\frac{dI}{dt}\),

où L est l'auto-inductance de l'inducteur et\(\displaystyle dI/dt\) le taux de variation du courant qui le traverse. Le signe moins indique que la force électromotrice s'oppose au changement de courant, comme l'exige la loi de Lenz. L'unité de l'auto-inductance et de l'inductance est le henry (H), où\(\displaystyle 1H=1Ω⋅s\).

• L'auto-inductance d'un solénoïde est

\(\displaystyle L=\frac{μ_0N^2A}{l}\),

où N est son nombre de spires dans le solénoïde, A est sa section transversale, l est sa longueur et\(\displaystyle μ_0=4π×10^{−7}T⋅m/A\) est la perméabilité de l'espace libre.

• L'auto-inductance d'un tore est

\(\displaystyle L=\frac{μ_0N^2h}{2π}ln\frac{R_2}{R_1}\),

où N est le nombre de spires dans le tore\(\displaystyle R_1\) et\(\displaystyle R_2\) les rayons intérieur et extérieur du tore, h est la hauteur du tore et\(\displaystyle μ_0=4π×10^{−7}T⋅m/A\) est la perméabilité de l'espace libre.

14.4 Énergie dans un champ magnétique

• L'énergie stockée dans un inducteur U est

\(\displaystyle U=\frac{1}{2}LI^2\).

• L'auto-inductance par unité de longueur du câble coaxial est

\(\displaystyle \frac{L}{l}=\frac{μ_0}{2π}ln\frac{R_2}{R_1}\).

14.5 Circuits RL

• Lorsqu'une connexion en série d'une résistance et d'une bobine d'induction (un circuit RL) est connectée à une source de tension, la variation temporelle du courant est

\(\displaystyle I(t)=\frac{ε}{R}(1−e^{−Rt/L})=\frac{ε}{R}(1−e^{−t/τ_L})\)(s'allume),

où se situe le courant initial\(\displaystyle I_0=ε/R\)..

• La constante de temps caractéristique\(\displaystyle τ\) est\(\displaystyle τ_L=L/R\), où L est l'inductance et R est la résistance.
• Dans la première constante de temps\(\displaystyle τ\), le courant passe de zéro à\(\displaystyle 0.632I_0\) 0,632 du reste dans chaque intervalle de temps suivant\(\displaystyle τ\).
• Lorsque l'inducteur est court-circuité à travers une résistance, le courant diminue comme

\(\displaystyle I(t)=\frac{ε}{R}e^{−t/τ_L}\)(s'éteindre).

Le courant tombe à zéro\(\displaystyle 0.368I_0\) dans le premier intervalle\(\displaystyle τ\) de temps et à 0,368 du reste vers zéro à chaque fois suivant\(\displaystyle τ\).

14.6 Oscillations dans un circuit LC

• L'énergie transférée de manière oscillatoire entre le condensateur et l'inducteur dans un circuit LC se produit à une fréquence angulaire\(\displaystyle ω=\sqrt{\frac{1}{LC}}\).
• La charge et le courant dans le circuit sont donnés par

\(\displaystyle q(t)=q_0cos(ωt+ϕ)\),

\(\displaystyle i(t)=−ωq_0sin(ωt+ϕ)\).

14.7 Circuits de la série RLC

• La solution sous-amortie pour la charge du condensateur dans un circuit RLC est

\(\displaystyle q(t)=q_0e^{−Rt/2L}cos(ω't+ϕ).\)

• La fréquence angulaire donnée dans la solution sous-amortie pour le circuit RLC est

\(\displaystyle ω′=\sqrt{\frac{1}{LC}−(\frac{R}{2L})^2}\).

Contributeurs et attributions

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