14.3 : Auto-inductance et inducteurs
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Corrélez le taux de variation du courant à la force électromotrice induite créée par ce courant dans le même circuit
- Dérivez l'auto-inductance d'un solénoïde cylindrique
- Dérivez l'auto-inductance d'un tore rectangulaire
L'inductance mutuelle se produit lorsqu'un courant dans un circuit produit un champ magnétique changeant qui induit une force électromotrice dans un autre circuit. Mais le champ magnétique peut-il affecter le courant dans le circuit d'origine qui a produit le champ ? La réponse est oui, et c'est le phénomène appelé auto-inductance.
Inducteurs
La figure\(\PageIndex{1}\) montre certaines des lignes de champ magnétique dues au courant dans une boucle circulaire de fil. Si le courant est constant, le flux magnétique à travers la boucle est également constant. Cependant, si le courant I devait varier dans le temps, par exemple immédiatement après la fermeture de l'interrupteur S, alors le flux magnétique\(\Phi_m\) changerait en conséquence. Ensuite, la loi de Faraday nous dit qu'une force\(\epsilon\) électromotrice serait induite dans le circuit, où
\[\epsilon = - \frac{d\Phi_m}{dt} \label{14.6}.\]
Le champ magnétique dû à un fil porteur de courant étant directement proportionnel au courant, le flux dû à ce champ est également proportionnel au courant ; c'est-à-dire que
\[\Phi_m \propto I. \label{14.7}\]
Cela peut également être écrit comme
\[\Phi_m = LI \label{14.8}\]
où la constante de proportionnalité L est appelée auto-inductance de la boucle de fil. Si la boucle comporte N tours, cette équation devient
\[\boxed{N\Phi_m = LI} \label{14.9}\]
Par convention, le sens positif de la normale à la boucle est lié au courant par la règle de la main droite, donc sur la figure\(\PageIndex{1}\), la normale pointe vers le bas. Avec cette convention,\(\Phi_m\) est positif dans l'équation \ ref {14.9}, donc L a toujours une valeur positive.
Pour une boucle à N tours\(\epsilon = - Nd\Phi_m/dt\), la force électromotrice induite peut être écrite en termes d'auto-inductance comme
\[\boxed{\epsilon = - L\frac{dI}{dt}.} \label{14.10}\]
Lorsque vous utilisez cette équation pour déterminer L, il est plus facile d'ignorer les signes de\(\epsilon\) et\(dI/dt\) et de calculer L comme
\[L = \frac{|\epsilon|}{|dI/dt|}.\]
Comme l'auto-inductance est associée au champ magnétique produit par un courant, toute configuration de conducteurs possède une auto-inductance. Par exemple, outre la boucle de fil, un fil long et droit possède une auto-inductance, tout comme un câble coaxial. Un câble coaxial est le plus couramment utilisé dans l'industrie de la télévision par câble et peut également être utilisé pour la connexion à votre modem câble. Les câbles coaxiaux sont utilisés en raison de leur capacité à transmettre des signaux électriques avec un minimum de distorsions. Les câbles coaxiaux ont deux longs conducteurs cylindriques qui possèdent du courant et une auto-inductance qui peuvent avoir des effets indésirables.
Un élément de circuit utilisé pour fournir une auto-inductance est connu sous le nom d'inducteur. Il est représenté par le symbole représenté sur la figure\(\PageIndex{2}\), qui ressemble à une bobine de fil, la forme de base de l'inducteur. La figure\(\PageIndex{3}\) montre plusieurs types d'inducteurs couramment utilisés dans les circuits.
Conformément à la loi de Lenz, le signe négatif dans l'équation \ ref {14.10} indique que la force électromotrice induite à travers un inducteur a toujours une polarité qui s'oppose à la variation du courant. Par exemple, si le courant circulant de A à B sur la figure\(\PageIndex{4a}\) augmentait, la force électromotrice induite (représentée par la batterie imaginaire) aurait la polarité indiquée afin de s'opposer à l'augmentation. Si le courant entre A et B diminuait, la force électromotrice induite aurait la polarité opposée, là encore pour s'opposer à la variation du courant (Figure\(\PageIndex{4b}\)). Enfin, si le courant traversant l'inducteur était constant, aucune force électromotrice ne serait induite dans la bobine.
L'une des applications courantes de l'inductance est de permettre aux feux de circulation de détecter lorsque des véhicules attendent à une intersection de rue. Un circuit électrique avec un inducteur est placé sur la route en dessous de l'endroit où s'arrêtera une voiture qui attend. La carrosserie de la voiture augmente l'inductance et le circuit change, envoyant un signal aux feux de signalisation pour qu'ils changent de couleur. De même, les détecteurs de métaux utilisés pour la sécurité des aéroports utilisent la même technique. Une bobine ou un inducteur dans le cadre du détecteur de métaux fait à la fois office d'émetteur et de récepteur. Le signal pulsé provenant de la bobine émettrice induit un signal dans le récepteur. L'auto-inductance du circuit est affectée par tout objet métallique sur le trajet (Figure\(\PageIndex{5}\)). Les détecteurs de métaux peuvent être ajustés en fonction de leur sensibilité et peuvent également détecter la présence de métal sur une personne.
De fortes tensions induites sont détectées dans les flashs des appareils photo. Les flashs de caméra utilisent une batterie, deux inducteurs qui fonctionnent comme un transformateur et un système de commutation ou un oscillateur pour induire de fortes tensions. Rappelons dans Oscillations on oscillations que « oscillation » est définie comme la fluctuation d'une quantité, ou les fluctuations régulières répétées d'une quantité, entre deux valeurs extrêmes autour d'une valeur moyenne. Rappelez-vous également (de l'induction électromagnétique à l'induction électromagnétique) que nous avons besoin d'un champ magnétique changeant, provoqué par un courant variable, pour induire une tension dans une autre bobine. Le système oscillateur le fait plusieurs fois lorsque la tension de la batterie est augmentée à plus de 1000 volts. (Vous pouvez entendre le gémissement aigu du transformateur lorsque le condensateur est en cours de charge.) Un condensateur stocke la haute tension pour une utilisation ultérieure pour alimenter le flash.
Une force électromotrice induite de 2,0 V est mesurée à travers une bobine de 50 tours étroitement enroulés tandis que le courant qui la traverse augmente uniformément de 0,0 à 5,0 A en 0,10 s. (a) Quelle est l'auto-inductance de la bobine ? (b) Avec un courant à 5,0 A, quel est le flux à travers chaque tour de la bobine ?
Stratégie
Les deux parties de ce problème fournissent toutes les informations nécessaires pour résoudre l'auto-inductance dans la partie (a) ou le flux à travers chaque spire de la bobine dans la partie (b). Les équations nécessaires sont l'équation \ ref {14.10} pour la partie (a) et l'équation \ ref {14.9} pour la partie (b).
Solution
- En ignorant le signe négatif et en utilisant les magnitudes, nous avons, à partir de l'équation \ ref {14.10},\[L = \frac{\epsilon}{dI/dt} = \frac{2.0 \, V}{5.0 \, A/0.10 \, s} = 4.0 \times 10^{-2} H.\]
- À partir de l'équation \ ref {14.9}, le flux est donné en termes de courant par\(\Phi_m = LI/N\), donc\[\Phi_m = \frac{(4.0 \times 10^{-2} H)(5.0 \, A)}{50 \, turns)} = 4.0 \times 10^{-3} Wb.\]
L'importance
L'auto-inductance et le flux calculés dans les parties (a) et (b) sont des valeurs typiques des bobines que l'on trouve dans les appareils contemporains. Si le courant ne change pas dans le temps, le flux ne change pas dans le temps, donc aucune force électromotrice n'est induite.
Le courant circule à travers l'inducteur\(\PageIndex{4}\) de la figure de B vers A au lieu de A vers B comme indiqué. Le courant augmente-t-il ou diminue-t-il afin de produire la force électromotrice indiquée dans le diagramme (a) ? Dans le diagramme (b) ?
- Réponse
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a. décroissant ; b. croissant ; Puisque le courant circule dans la direction opposée au diagramme, pour obtenir une force électromotrice positive sur le côté gauche du diagramme (a), nous devons diminuer le courant vers la gauche, ce qui crée une force électromotrice renforcée où l'extrémité positive se trouve du côté gauche. Pour obtenir une force électromotrice positive sur le côté droit du diagramme (b), nous devons augmenter le courant vers la gauche, ce qui crée une force électromotrice renforcée où l'extrémité positive se trouve du côté droit.
Un courant variable induit une force électromotrice de 10 V à travers une bobine d'induction de 0,25 H. À quelle vitesse le courant évolue-t-il ?
- Réponse
-
40 A/s
Une bonne approche pour calculer l'auto-inductance d'un inducteur consiste à suivre les étapes suivantes :
- Supposons qu'un courant I traverse l'inducteur.
- Déterminez le champ magnétique\(\vec{B}\) produit par le courant. S'il existe une symétrie appropriée, vous pourrez peut-être le faire avec la loi d'Ampère.
- Obtenez le flux magnétique,\(\Phi_m\).
- Le flux étant connu, l'auto-inductance peut être trouvée à partir de l'équation \ ref {14.9},\(L = N\Phi_m/I\).
Pour démontrer cette procédure, nous calculons maintenant les auto-inductances de deux inducteurs.
Solénoïde cylindrique
Prenons l'exemple d'un solénoïde cylindrique long d'une longueur l, d'une section transversale A et de N tours de fil. Nous supposons que la longueur du solénoïde est tellement plus grande que son diamètre que nous pouvons faire passer le champ magnétique à l'\(B = \mu_0nI\)intérieur du solénoïde, c'est-à-dire que nous ignorons les effets finaux dans le solénoïde. Avec un courant I circulant dans les bobines, le champ magnétique produit à l'intérieur du solénoïde est
\[B = \mu_0 \left(\frac{N}{l} \right) I, \label{14.11}\]
donc le flux magnétique à travers un tour est
\[\Phi_m = BA = \frac{\mu_0 NA}{l}I. \label{14.12}\]
En utilisant l'équation \ ref {14.9}, nous trouvons pour l'auto-inductance du solénoïde,
\[L_{solenoid} = \frac{N\Phi_m}{I} = \frac{\mu_0N^2A}{l}. \label{14.13}\]
Si\(n = N/l\) est le nombre de tours par unité de longueur du solénoïde, nous pouvons écrire l'équation \ ref {14.13} sous la forme
\[L = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right)^2 Al = \mu_0 n^2 Al = \mu_0 n^2 (V), \label{14.14}\]
où\(V = Al\) est le volume du solénoïde. Notez que l'auto-inductance d'un solénoïde long dépend uniquement de ses propriétés physiques (telles que le nombre de tours de fil par unité de longueur et le volume), et non du champ magnétique ou du courant. Cela est vrai pour les inducteurs en général.
Toroïde rectangulaire
Un tore de section rectangulaire est illustré sur la figure\(\PageIndex{6}\). Les rayons intérieur et extérieur du tore sont\(R_1\) et\(R_2\), et\(h\) sont la hauteur du tore. En appliquant la loi d'Ampère de la même manière que dans l'exemple 13.5.2 pour un tore de section circulaire, nous trouvons que le champ magnétique à l'intérieur d'un tore rectangulaire est également donné par
\[B = \frac{\mu_0NI}{2\pi r},\]
où r est la distance par rapport à l'axe central du tore. Comme le champ change à l'intérieur du toroïde, nous devons calculer le flux en l'intégrant sur la section transversale du tore. En utilisant l'élément de surface transversale infinitésimal\(da = h \, dr\) illustré sur la figure\(\PageIndex{6}\), nous obtenons
\[\Phi_m = \int B \, da = \int_{R_1}^{R_2} \left(\frac{\mu_0 NI}{2\pi r}\right) (hdr) = \frac{\mu_0NhI}{2\pi}ln \frac{R_2}{R_1}. \label{14.16}\]
Maintenant, à partir de l'équation \ ref {14.16}, nous obtenons pour l'auto-inductance d'un tore rectangulaire
\[L = \frac{N\Phi_m}{I} = \frac{\mu_0N^2h}{2\pi}ln \frac{R_2}{R_1}. \label{14.17}\]
Comme prévu, l'auto-inductance est une constante déterminée uniquement par les propriétés physiques du tore.
(a) Calculez l'auto-inductance d'un solénoïde étroitement enroulé avec un fil de 0,10 cm de diamètre, dont la section transversale est de\(0.90 \, cm^2\) 40 cm de long. (b) Si le courant traversant le solénoïde diminue uniformément de 10 à 0 A en 0,10 s, quelle est la force électromotrice induite entre les extrémités du solénoïde ?
- Réponse
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a.\(4.5 \times 10^{-5} H\) ; b.\(4.5 \times 10^{-3} V\)
(a) Quel est le flux magnétique traversant une spire d'un solénoïde auto-inducteur\(8.0 \times 10^{-5} H\) lorsqu'il est parcouru par un courant de 3,0 A ? Supposons que le solénoïde a 1000 tours et est enroulé à partir d'un fil de diamètre 1,0 mm. (b) Quelle est la section transversale du solénoïde ?
- Réponse
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a.\(2.4 \times 10^{-7} Wb\) ; b.\(6.4 \times 10^{-5} m^2\)