14.2 : Inductance mutuelle

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OBJECTIFS D'APPRENTISSAGE

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

Corrélez deux circuits voisins qui transportent des courants variables dans le temps avec la force électromotrice induite dans chaque circuit
Décrire des exemples dans lesquels une inductance mutuelle peut être souhaitable ou non

L'inductance est la propriété d'un appareil qui nous indique l'efficacité avec laquelle il induit une force électromotrice dans un autre appareil. En d'autres termes, il s'agit d'une quantité physique qui exprime l'efficacité d'un appareil donné.

Lorsque deux circuits transportant des courants variables dans le temps sont proches l'un de l'autre, le flux magnétique à travers chaque circuit varie en raison de la variation du courant I dans l'autre circuit. Par conséquent, une force électromotrice est induite dans chaque circuit par la variation du courant dans l'autre. Ce type de force électromotrice est donc appelé force électromotrice induite mutuellement, et le phénomène qui se produit est connu sous le nom d'inductance mutuelle (M). À titre d'exemple, considérons deux bobines étroitement enroulées (Figure\(\PageIndex{1}\)). Les bobines 1 et 2 ont\(N_1\) et\(N_2\) tournent et transportent des courants\(I_1\) et\(I_2\) respectivement. Le flux à travers une seule spire de la bobine 2 produit par le champ magnétique du courant dans la bobine 1 est\(\Phi_{12}\), tandis que le flux à travers une seule spire de la bobine 1 est dû au champ magnétique de\(I_2\) est\(\Phi_{12}\).

La figure montre les sections transversales de deux bobines. Dans chacune d'elles, les sections transversales du fil de la bobine sont représentées par deux cercles, l'un en haut et l'autre en bas. Les points dans les cercles supérieurs et les croix dans les cercles inférieurs indiquent le sens de circulation du courant. La bobine 1 possède des lignes de champ étiquetées B1 qui passent entre les deux cercles et vont vers la droite. Certains d'entre eux passent par la bobine 2, qui est plus petite que la bobine 1 — Figure\(\PageIndex{1}\) : Certaines des lignes de champ magnétique produites par le courant dans la bobine 1 traversent la bobine 2.

L'inductance mutuelle\(M_{21}\) de la bobine 2 par rapport à la bobine 1 est le rapport du flux à travers les\(N_2\) spires de la bobine 2 produit par le champ magnétique du courant dans la bobine 1, divisé par ce courant, c'est-à-dire

\[M_{21} = \dfrac{N_2\Phi_{21}}{I_1}. \label{12.24}\]

De même, l'inductance mutuelle de la bobine 1 par rapport à la bobine 2 est

\[M_{12} = \dfrac{N_1\Phi_{12}}{I_2}. \label{12.25}\]

Comme la capacité, l'inductance mutuelle est une quantité géométrique. Elle dépend de la forme et de la position relative des deux bobines, et elle est indépendante des courants dans les bobines. L'unité SI pour l'inductance mutuelle M est appelée henry (H) en l'honneur de Joseph Henry (1799—1878), un scientifique américain qui a découvert les champs électromagnétiques induits indépendamment de Faraday. Ainsi, nous l'avons fait\(1 \, H = 1 \, V \cdot s/A\). À partir des équations \ ref {12.24} et \ ref {12.25}, nous pouvons le montrer\(M_{21} = M_{12}\), donc nous supprimons généralement les indices associés à l'inductance mutuelle et écrivons

\[M = \dfrac{N_2\Phi_{21}}{I_1} = \dfrac{N_1 \Phi_{12}}{I_2}.\label{14.3}\]

La force électromotrice développée dans l'une ou l'autre des bobines est déterminée en combinant la loi de Faraday et la définition de l'inductance mutuelle. Puisque\(N_2\Phi_{21}\) le flux total à travers la bobine 2 est dû à\(I_1\), nous obtenons

\[\begin{align} \epsilon_2 &= - \dfrac{d}{dt} (N_2 \Phi_{21}) \\[4pt] &= - \dfrac{d}{dt} (MI_1) \\[4pt] & = - M\dfrac{dI_1}{dt} \label{14.4} \end{align} \]

où nous avons utilisé le fait qu'il\(M\) s'agit d'une constante indépendante du temps parce que la géométrie est indépendante du temps. De même, nous avons

\[\epsilon_1 = - M\dfrac{dI_2}{dt}. \label{14.5}\]

Dans l'équation \ ref {14.5}, nous pouvons voir l'importance de la description précédente de l'inductance mutuelle (\(M\)) en tant que quantité géométrique. La valeur de encapsule\(M\) parfaitement les propriétés physiques des éléments du circuit et nous permet de séparer la configuration physique du circuit des grandeurs dynamiques, telles que la force électromotrice et le courant. L'équation \ ref {14.5} définit l'inductance mutuelle en termes de propriétés dans le circuit, tandis que la définition précédente de l'inductance mutuelle dans l'équation \ ref {12.24} est définie en termes de flux magnétique ressenti, quels que soient les éléments du circuit. Soyez prudent lorsque vous utilisez les équations \ ref {14.4} et \ ref {14.4} car\(\epsilon_1\) elles\(\epsilon_2\) ne représentent pas nécessairement les champs électromagnétiques totaux dans les bobines respectives. Chaque bobine peut également avoir une force électromotrice induite en raison de son auto-inductance (l'auto-inductance sera abordée plus en détail dans une section ultérieure).

Une grande inductance mutuelle M peut être souhaitable ou non. Nous voulons qu'un transformateur ait une grande inductance mutuelle. Mais un appareil, tel qu'un sèche-linge électrique, peut provoquer une force électromotrice dangereuse sur son boîtier métallique si l'inductance mutuelle entre ses bobines et le boîtier est importante. L'un des moyens de réduire l'inductance mutuelle consiste à contre-enrouler les bobines pour annuler le champ magnétique produit (Figure\(\PageIndex{2}\)).

La figure a montre un serpentin de chauffage dans le boîtier métallique d'un sèche-linge. La figure b montre la même bobine, agrandie. La bobine est enroulée sur un cylindre de telle sorte qu'un fil soit enroulé de l'autre côté, tordu et enroulé complètement en arrière. Ainsi, deux enroulements adjacents ont un courant circulant dans des directions opposées — Figure\(\PageIndex{2}\) : Les serpentins chauffants d'un sèche-linge électrique peuvent être enroulés de manière à ce que leurs champs magnétiques s'annulent mutuellement, réduisant ainsi considérablement l'inductance mutuelle avec le boîtier du sèche-linge.

Le traitement numérique du signal est un autre exemple dans lequel l'inductance mutuelle est réduite par des bobines à contre-enroulement. La force électromotrice rapide représentant les valeurs 1 et 0 dans un circuit numérique crée un champ magnétique complexe dépendant du temps. Une force électromotrice peut être générée dans les conducteurs voisins. Si ce conducteur transmet également un signal numérique, la force électromotrice induite peut être suffisamment importante pour commuter entre 1 et 0, avec des conséquences allant de gênantes à désastreuses.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Mutual Inductance

La figure\(\PageIndex{3}\) montre une bobine de\(N_2\) spires et de rayons\(R_2\) entourant un long solénoïde de longueur\(l_1\), de rayon\(R_1\) et de\(N_1\) spires.

Quelle est l'inductance mutuelle des deux bobines ?
Si\(N_1 = 500 \, turns, \, N_2 = 10 \, turns, \, R_1 = 3.10 \, cm, \, l_1 = 75.0 \, cm\) le courant dans le solénoïde change à une vitesse de 200 A/s, quelle est la force électromotrice induite dans la bobine environnante ?

La figure montre un solénoïde, sous la forme d'une longue bobine de petit diamètre, qui est disposée de manière concentrique avec une autre bobine plus grande. Le rayon du solénoïde est R1 et celui de la bobine est R2. La longueur du solénoïde est l1 — Figure\(\PageIndex{3}\) : Un solénoïde entouré d'une bobine.

Stratégie

Il n'y a pas de champ magnétique à l'extérieur du solénoïde, et le champ intérieur a une amplitude\(B_1 = \mu_0(N_1/l_1)I_1\) et est dirigé parallèlement à l'axe du solénoïde. Nous pouvons utiliser ce champ magnétique pour trouver le flux magnétique à travers la bobine environnante, puis utiliser ce flux pour calculer l'inductance mutuelle pour la partie (a), en utilisant l'équation \ ref {14.3}. Nous résolvons la partie (b) en calculant l'inductance mutuelle à partir des quantités données et en utilisant l'équation \ ref {14.4} pour calculer la force électromotrice induite.

Solution

Le flux magnétique\(\Phi_{21}\) à travers la bobine environnante provient\[\begin{align*} \Phi_{21} &= B_1 \pi R_1^2 \\[4pt] &= \dfrac{\mu_0 N_1I_1}{l_1}\pi R_1^2. \end{align*}\] maintenant de l'équation \ ref {14.3}, l'inductance mutuelle est\[\begin{align*} M &= \dfrac{N_2\Phi_{21}}{I_1} \\[4pt] &= \left(\dfrac{N_2}{I_1}\right)\left(\dfrac{\mu_0N_1I_1}{l_1}\right) \pi R_1^2 \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{\mu_0N_1N_2 \pi R_1^2}{l_1}.\end{align*} \]
En utilisant l'expression précédente et les valeurs données, l'inductance mutuelle est\[\begin{align*} M &= \dfrac{(4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A)(500)(10)\pi (0.0310 \, m)^2}{0.750 \, m} \\[4pt] &=2.53 \times 10^{-5} \, H. \nonumber \end{align*} \] Ainsi, à partir de l'équation \ ref {14.4}, la force électromotrice induite dans la bobine environnante est\[\begin{align*} \epsilon_2 &= - M\dfrac{dI_1}{dt} \\[4pt] &= - (2.53 \times 10^{-5} H)(200 \, A/s) \\[4pt] &= - 5.06 \times 10^{-3}V. \end{align*} \]

L'importance

Remarquez que M dans la partie (a) est indépendant du rayon\(R_2\) de la bobine environnante car le champ magnétique du solénoïde est confiné à son intérieur. En principe, nous pouvons également calculer M en trouvant le flux magnétique à travers le solénoïde produit par le courant dans la bobine environnante. Cette approche est beaucoup plus difficile en raison\(\Phi_{12}\) de sa complexité. Cependant, depuis\(M_{12} = M_{21}\), nous connaissons le résultat de ce calcul.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Un courant\(I(t) = (5.0 \, A) \, sin \, ((120\pi \, rad/s)t)\) traverse le solénoïde de la partie (b) de l'exemple\(\PageIndex{1}\). Quelle est la force électromotrice maximale induite dans la bobine environnante ?

Solution

\(4.77 \times 10^{-2} \, V\)