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12.E : Sources de champs magnétiques (exercice)

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    Questions conceptuelles

    12.2 La loi Biot-Savart

    1. Pour le calcul des champs magnétiques, quels sont les avantages et les inconvénients de la loi de Biot-Savart ?

    2. Décrivez le champ magnétique dû au courant dans deux fils connectés aux deux bornes d'une source de force électromotrice et torsadés étroitement l'un autour de l'autre.

    3. Comment savoir si un fil est infini ?

    4. Des courants identiques sont transportés dans deux boucles circulaires ; cependant, l'une des boucles a deux fois le diamètre de l'autre boucle. Comparez les champs magnétiques créés par les boucles au centre de chaque boucle.

    12.3 Champ magnétique dû à un fil droit fin

    5. Comment orienteriez-vous deux longs fils droits porteurs de courant de manière à ce qu'il n'y ait aucune force magnétique nette entre eux ? (Conseil : quelle orientation empêcherait un fil de subir un champ magnétique provenant de l'autre ?)

    12.4 Force magnétique entre deux courants parallèles

    6. Comparez et opposez le champ électrique d'une ligne de charge infinie et le champ magnétique d'une ligne de courant infinie.

    7. La magnitude est-elle\(\displaystyle \vec{B}\) constante pour les points situés sur une ligne de champ magnétique ?

    12.5 Champ magnétique d'une boucle de courant

    8. Le champ magnétique d'une boucle de courant est-il uniforme ?

    9. Qu'arrive-t-il à la longueur d'un ressort suspendu lorsqu'un courant le traverse ?

    10. Deux fils circulaires concentriques de diamètres différents transportent des courants dans le même sens. Décrivez la force exercée sur le fil intérieur.

    12.6 Loi d'Ampère

    11. La loi d'Ampère est-elle valable pour toutes les voies fermées ? Pourquoi n'est-il normalement pas utile pour calculer un champ magnétique ?

    12.7 Solénoïdes et toroïdes

    12. Le champ magnétique à l'intérieur d'un tore est-il complètement uniforme ? Presque uniforme ?

    13. Expliquez pourquoi\(\displaystyle \vec{B}=0\) à l'intérieur d'un long tuyau creux en cuivre qui transporte un courant électrique parallèle à l'axe. Il est\(\displaystyle \vec{B}=0\) à l'extérieur du tuyau ?

    12.8 Magnétisme dans la matière

    14. Un matériau diamagnétique est rapproché d'un aimant permanent. Qu'advient-il du matériel ?

    15. Si vous découpez un barreau magnétique en deux parties, obtiendrez-vous un aimant avec un pôle nord isolé et un autre aimant avec un pôle sud isolé ? Expliquez votre réponse.

    Problèmes

    12.2 La loi Biot-Savart

    16. Un courant de 10 A circule dans le fil illustré. Quelle est l'ampleur du champ magnétique dû à un segment de fil de 0,5 mm tel que mesuré au point A) et au point B) ?

    Cette figure montre un morceau de fil. Le point A est situé à 3 centimètres au-dessus du segment de fil de 0,5 mm. Le point B est situé à 4 centimètres à droite du point A.

    17. Dix ampères circulent dans une boucle carrée dont chaque côté mesure 20 cm de long. À chaque coin de la boucle se trouve un segment de 0,01 cm qui relie les fils les plus longs, comme indiqué. Calculez l'amplitude du champ magnétique au centre de la boucle.

    Une boucle carrée est représentée avec des coins arrondis. Il n'y a pas de marques.

    18. Quel est le champ magnétique en P dû au courant I dans le fil représenté ?

    Cette figure montre une boucle de courant composée de deux arcs circulaires concentriques et de deux lignes radiales parallèles. L'arc extérieur est situé à la distance b du centre ; l'arc intérieur est situé à la distance a du centre.

    19. La figure ci-jointe montre une boucle de courant composée de deux arcs circulaires concentriques et de deux lignes radiales perpendiculaires. Déterminez le champ magnétique au point P.

    Cette figure montre une boucle de courant composée de deux arcs circulaires concentriques et de deux lignes radiales perpendiculaires. L'arc extérieur est situé à la distance b du centre ; l'arc intérieur est situé à la distance a du centre.

    20. Trouvez le champ magnétique au centre C de la boucle de fil rectangulaire illustrée sur la figure ci-jointe.

    Cette figure montre une boucle de courant rectangulaire. La longueur du côté court est b ; la longueur du côté long est a. Le point C est le centre de la boucle.

    21. Deux fils longs, dont l'un présente une courbure semi-circulaire de rayon R, sont positionnés comme indiqué sur la figure ci-jointe. Si les deux fils transportent un courant I, à quelle distance leurs sections parallèles doivent-elles être éloignées pour que le champ magnétique net à P soit nul ? Est-ce que le courant dans le fil droit circule vers le haut ou vers le bas ?

    Cette figure montre deux longs fils parallèles situés à une distance a l'un de l'autre. L'un des fils présente une courbure semi-circulaire de rayon R.

    12.3 Champ magnétique dû à un fil droit fin

    22. Un courant typique dans un éclair est\(\displaystyle 10^4\) A. Estimez le champ magnétique à 1 m de l'éclair.

    23. L'amplitude du champ magnétique à 50 cm d'un fil long, fin et droit est de 8,0 μT. Quel est le courant qui traverse le long fil ?

    24. Une ligne de transmission fixée à 7,0 m au-dessus du sol transporte un courant de 500 A. Quel est le champ magnétique au sol directement sous le fil ? Comparez votre réponse avec le champ magnétique de la Terre.

    25. Un fil long, droit et horizontal transporte un courant de gauche à droite de 20 A. Si le fil est placé dans un champ magnétique uniforme de magnitude\(\displaystyle 4.0×10^{−5}T\) dirigée verticalement vers le bas, quelle est l'intensité résultante du champ magnétique à 20 cm au-dessus du fil ? 20 cm sous le fil ?

    26. Les deux longs fils parallèles illustrés sur la figure ci-jointe transportent des courants dans la même direction. Dans\(\displaystyle I_1=10 A\) l'affirmative\(\displaystyle I_2=20A\), quel est le champ magnétique au point P ?

    27. La figure ci-jointe montre deux longs fils droits horizontaux qui sont parallèles et distants d'une distance de 2a. Si les deux fils transportent le courant I dans la même direction, (a) à quoi sert le champ magnétique\(\displaystyle P_1\) ? (b)\(\displaystyle P_2\) ?

    La figure montre deux longs fils parallèles séparés par une distance 2a. Le courant circule dans les fils dans la même direction. Le point P1 est situé entre les fils à une distance a de chacun. Le point P2 est situé à une distance 2a à l'extérieur des fils.

    28. Répétez les calculs du problème précédent en inversant le sens du courant dans le fil inférieur.

    29. Considérez la zone entre les fils du problème précédent. À quelle distance du fil supérieur le champ magnétique net est-il minimal ? Supposons que les courants soient égaux et circulent dans des directions opposées.

    12.4 Force magnétique entre deux courants parallèles

    30. Deux longs fils droits sont parallèles et espacés de 25 cm.

    a) Si chaque fil transporte un courant de 50 A dans le même sens, quelle est la force magnétique par mètre exercée sur chaque fil ?

    (b) La force rapproche-t-elle les fils ou les écarte-t-elle ?

    (c) Que se passe-t-il si les courants circulent dans des directions opposées ?

    31. Deux longs fils droits sont parallèles et espacés de 10 cm. L'un transporte un courant de 2,0 A, l'autre un courant de 5,0 A.

    a) Si les deux courants circulent dans des directions opposées, quelles sont l'ampleur et la direction de la force par unité de longueur d'un fil sur l'autre ?

    (b) Quelles sont l'amplitude et la direction de la force par unité de longueur si les courants circulent dans la même direction ?

    32. Deux longs fils parallèles sont suspendus par des cordons de 5,0 cm de long, comme le montre la figure ci-jointe. Chaque fil a une masse par unité de longueur de 30 g/m et ils transportent le même courant dans des directions opposées. Quel est le courant si les câbles pendent à 6,0° par rapport à la verticale ?

    La figure montre deux fils parallèles dans lesquels le courant circule dans des directions opposées et qui sont suspendus par des cordons suspendus à des crochets.

    33. Un circuit avec le courant I comporte deux longs tronçons de fil parallèles qui transportent le courant dans des directions opposées. Trouvez le champ magnétique à un point P à proximité de ces fils, à une distance a d'un fil et b de l'autre fil, comme indiqué sur la figure.

    La figure montre deux fils porteurs de courant. L'un transporte le courant hors de la page ; un autre transporte le courant vers la page. Les fils forment les sommets d'un triangle droit. Le point P est le troisième sommet et est situé à une distance b d'un fil et à une distance a d'un autre fil. La distance b est une jambe ; la distance a est une hypoténuse.

    34. Le fil droit infini représenté sur la figure ci-jointe transporte un courant\(\displaystyle I_1\). La boucle rectangulaire, dont les longs côtés sont parallèles au fil, est parcourue par un courant\(\displaystyle I_2\). Quelles sont l'amplitude et la direction de la force exercée sur la boucle rectangulaire en raison du champ magnétique du fil ?

    La figure montre un fil qui transporte le courant I1 et une boucle rectangulaire dont les côtés longs sont parallèles au fil et transportent un courant I2. La distance entre le fil et la boucle est b. La longueur du côté du côté long de la boucle est a, la distance du côté court de la boucle est b.

    12.5 Champ magnétique d'une boucle de courant

    35. Lorsque le courant traversant une boucle circulaire est de 6,0 A, le champ magnétique en son centre l'est\(\displaystyle 2.0×10^{−4}T\). Quel est le rayon de la boucle ?

    36. Combien de tours faut-il enrouler sur une bobine plate et circulaire d'un rayon de 20 cm pour produire un champ magnétique de magnitude\(\displaystyle 4.0×10^{−5}T\) au centre de la bobine lorsque le courant qui la traverse est de 0,85 A ?

    37. Une boucle plate et circulaire comporte 20 tours. Le rayon de la boucle est de 10,0 cm et le courant traversant le fil est de 0,50 A. Déterminez l'amplitude du champ magnétique au centre de la boucle.

    38. Une boucle circulaire de rayon R est parcourue par un courant I. À quelle distance le long de l'axe de la boucle se trouve le champ magnétique à la moitié de sa valeur au centre de la boucle ?

    39. Deux bobines plates et circulaires, chacune ayant un rayon R et enroulée avec N spires, sont montées le long du même axe de manière à être parallèles à une distance d l'une de l'autre. Quel est le champ magnétique au milieu de l'axe commun si un courant I circule dans le même sens à travers chaque bobine ?

    40. Pour les bobines du problème précédent, quel est le champ magnétique au centre de l'une ou l'autre des bobines ?

    12.6 Loi d'Ampère

    41. Un courant I circule dans la boucle rectangulaire représentée sur la figure ci-jointe. Évaluez\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\) les chemins A, B, C et D.

    La figure montre une boucle rectangulaire transportant le courant I. Les voies A et C se croisent avec les petits côtés de la boucle. Le chemin B croise les deux côtés longs de la boucle. Le chemin D croise à la fois le côté court et le côté long de la boucle.

    42. Évaluez\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\) pour chacun des cas illustrés dans la figure ci-jointe.

    La figure A montre un fil à l'intérieur de la boucle qui transporte un courant de deux ampères vers le haut à travers la boucle. La figure B montre trois fils à l'intérieur de la boucle qui transportent un courant de cinq ampères, deux ampères et six ampères. Les premier et troisième fils transportent le courant vers le haut à travers la boucle. Le deuxième fil transporte le courant vers le bas dans la boucle. La figure C montre deux fils à l'extérieur de la boucle qui transportent un courant de trois ampères et de deux ampères vers le haut à travers la boucle. La figure D montre trois fils transportant un courant de trois ampères, deux ampères et quatre ampères. Le premier fil est à l'extérieur de la boucle, les deuxième et troisième fils sont à l'intérieur de la boucle. Les premier et troisième fils transportent le courant vers le bas à travers la boucle. Le deuxième fil transporte le courant vers le haut dans la boucle. La figure D montre quatre fils transportant des courants de quatre ampères, trois ampères, deux ampères et deux ampères. Les premier et quatrième fils se trouvent à l'extérieur de la boucle. Les deuxième et troisième fils se trouvent à l'intérieur de la boucle. Les premier, deuxième et troisième fils transportent le courant vers le haut à travers la boucle. Le quatrième fil transporte le courant vers le bas dans la boucle.

    43. La bobine dont la section transversale dans le sens de la longueur est représentée sur la figure ci-jointe transporte un courant I et possède N spires régulièrement espacées réparties sur la longueur l. Évaluez\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\) pour les trajets indiqués.

    La figure montre la section transversale longitudinale d'une bobine. Le chemin A croise trois bobines transportant du courant depuis le plan du papier. Le chemin B croise quatre bobines, deux transportant un courant provenant du plan du papier et deux circulant dans le plan du papier. Le chemin C croise sept bobines transportant du courant dans le plan du papier. Le chemin D croise deux bobines transportant du courant dans le plan du papier.

    44. Un fil supraconducteur de 0,25 cm de diamètre transporte un courant de 1000 A. Quel est le champ magnétique juste à l'extérieur du fil ?

    45. Un fil long et droit de rayon R transporte un courant I qui est réparti uniformément sur la section transversale du fil. À quelle distance de l'axe du fil l'amplitude du champ magnétique est-elle maximale ?

    46. La figure ci-jointe montre une coupe transversale d'un long conducteur cylindrique creux de rayon intérieur\(\displaystyle r_1=3.0 cm\) et de rayon extérieur\(\displaystyle r_2=5.0 cm\). Un courant de 50 A réparti uniformément sur la section transversale pénètre dans la page. Calculez le champ magnétique à\(\displaystyle r=2.0 cm,r=4.0cm,\) et\(\displaystyle r=6.0 cm\).

    La figure montre une coupe transversale d'un long conducteur cylindrique creux avec un rayon intérieur de trois centimètres et un rayon extérieur de cinq centimètres.

    47. Un long conducteur cylindrique plein d'un rayon de 3,0 cm transporte un courant de 50 A réparti uniformément sur sa section transversale. Tracez le champ magnétique en fonction de la distance radiale r par rapport au centre du conducteur.

    48. Une partie d'un long câble coaxial cylindrique est représentée sur la figure ci-jointe. Un courant I circule dans le conducteur central et ce courant est renvoyé dans le conducteur extérieur. Déterminez le champ magnétique dans les régions (a)\(\displaystyle r≤r_1\), (b)\(\displaystyle r_2≥r≥r_1\), (c)\(\displaystyle r_3≥r≥r_2\) et (d)\(\displaystyle r≥r_3\). Supposons que le courant soit réparti uniformément sur les sections transversales des deux parties du câble.

    La figure montre un long câble coaxial cylindrique. Le rayon du conducteur central interne est r1. La distance entre le centre et la face intérieure du bouclier est r2. La distance entre le centre et le côté extérieur du bouclier est r3.

    12.7 Solénoïdes et toroïdes

    49. Un solénoïde est enroulé à 2000 tours par mètre. Lorsque le courant est de 5,2 A, quel est le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde ?

    50. Un solénoïde a 12 tours par centimètre. Quel courant produira un champ magnétique à l'\(\displaystyle 2.0×10^{−2}T\)intérieur du solénoïde ?

    51. Si un courant est de 2,0 A, combien de tours par centimètre doivent être enroulés sur un solénoïde pour produire un champ magnétique à l'\(\displaystyle 2.0×10^{−3}T\)intérieur de celui-ci ?

    52. Un solénoïde mesure 40 cm de long, a un diamètre de 3,0 cm et est enroulé à 500 tours. Si le courant traversant les enroulements est de 4,0 A, quel est le champ magnétique en un point de l'axe du solénoïde qui est

    a) au centre du solénoïde,

    (b) 10,0 cm d'une extrémité du solénoïde, et

    (c) À 5,0 cm d'une extrémité du solénoïde ?

    (d) Comparez ces réponses avec le cas du solénoïde infini.

    La figure A est une coupe transversale d'un solénoïde qui montre trois enroulements. La distance entre le centre et l'enroulement est de 1,5 centimètre. La distance entre les enroulements est de 20 centimètres. Le point est situé sur l'axe central du solénoïde, à l'opposé du second enroulement. La figure B est une coupe transversale d'un solénoïde qui montre trois enroulements. La distance entre le centre et l'enroulement est de 1,5 centimètre. La distance entre les enroulements est de 20 centimètres. Le point est situé sur l'axe central du solénoïde, entre le premier et le second enroulement. La figure C est une coupe transversale d'un solénoïde qui montre trois enroulements. La distance entre le centre et l'enroulement est de 1,5 centimètre. La distance entre les enroulements est de 20 centimètres. Le point est situé sur l'axe central du solénoïde, à cinq centimètres sous le premier enroulement.

    53. Déterminez le champ magnétique sur l'axe central à l'ouverture d'un solénoïde semi-infini. (C'est-à-dire, prenez l'ouverture à x=0 et l'autre extrémité à\(\displaystyle x=∞\))

    54. \(\displaystyle B=μ_0nI\)Dans quelle mesure l'approximation est-elle erronée au centre d'un solénoïde de 15,0 cm de long, de 4,0 cm de diamètre, entouré de n tours par mètre et transportant un courant I ?

    55. Un solénoïde à 25 tours par centimètre transporte un courant I. Un électron se déplace à l'intérieur du solénoïde selon un cercle d'un rayon de 2,0 cm et perpendiculaire à l'axe du solénoïde. Si la vitesse de l'électron est\(\displaystyle 2.0×10^5m/s\), qu'est-ce que je suis ?

    56. Un tore possède 250 tours de fil et transporte un courant de 20 A. Ses rayons intérieur et extérieur sont de 8,0 et 9,0 cm. Quelles sont les valeurs de son champ magnétique à r = 8,1, 8,5 et 8,9 cm ?

    57. Un tore de section carrée de 3,0 cm × 3,0 cm a un rayon intérieur de 25,0 cm. Il est enroulé avec 500 tours de fil et il transporte un courant de 2,0 A. Quelle est l'intensité du champ magnétique au centre de la section carrée ?

    12.8 Magnétisme dans la matière

    58. Le champ magnétique dans le noyau d'un solénoïde rempli d'air est de 1,50 T. Dans quelle mesure ce champ magnétique diminuera-t-il si l'air est pompé hors du noyau alors que le courant est maintenu constant ?

    59. Un solénoïde possède un noyau ferromagnétique, n = 1 000 tours par mètre et I = 5,0 A. Si B à l'intérieur du solénoïde est égal à 2,0 T, qu'est-ce que χ pour le matériau du noyau ?

    60. Un courant de 20 A traverse un solénoïde à 2 000 tours par mètre. Quel est le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde si son noyau est (a) un vide et (b) rempli d'oxygène liquide à 90 K ?

    61. Le moment dipolaire magnétique de l'atome de fer est d'environ\(\displaystyle 2.1×10^{−23}A⋅m^2\).

    (a) Calculez le moment dipolaire magnétique maximal d'un domaine composé d'atomes de\(\displaystyle 10^{19}\) fer.

    (b) Quel courant devrait traverser une seule boucle circulaire de fil de 1,0 cm de diamètre pour produire ce moment dipolaire magnétique ?

    62. Supposons que vous souhaitiez produire un champ magnétique de 1,2 T dans un tore avec un noyau en fer pour lequel\(\displaystyle χ=4.0×10^3\). Le tore a un rayon moyen de 15 cm et est enroulé à 500 tours. Quel est le courant requis ?

    63. Un courant de 1,5 A circule dans les enroulements d'un grand tore mince de 200 tours par mètre et d'un rayon de 1 mètre. Si le tore est rempli de fer pour lequel\(\displaystyle χ=3.0×10^3\), quel est le champ magnétique qu'il contient ?

    64. Un solénoïde à noyau en fer mesure 25 cm de long et est enveloppé de 100 tours de fil. Lorsque le courant traversant le solénoïde est de 10 A, le champ magnétique à l'intérieur est de 2,0 T. Pour ce courant, quelle est la perméabilité du fer ? Si le courant est coupé puis rétabli à 10 A, le champ magnétique reviendra-t-il nécessairement à 2,0 T ?

    Problèmes supplémentaires

    65. Trois fils longs, droits et parallèles, portant tous 20 A, sont positionnés comme indiqué sur la figure ci-jointe. Quelle est l'amplitude du champ magnétique au point P ?

    Cette figure montre trois fils longs, droits et parallèles. Chaque fil forme le sommet d'un triangle équilatéral de 10 centimètres de côté. Le point P est le centre d'un triangle.

    66. Un courant I circule autour d'un fil plié en forme de carré de côté a. Quel est le champ magnétique au point P situé à une distance z au-dessus du centre du carré (voir la figure ci-jointe) ?

    Cette figure montre un fil plié en forme de losange du côté a. Point P situé à une distance z au-dessus du centre du losange.

    67. La figure ci-jointe montre un long fil droit transportant un courant de 10 A. Quelle est la force magnétique exercée sur un électron au moment où il se trouve à 20 cm du fil, se déplaçant parallèlement au fil à une vitesse de\(\displaystyle 2.0×10^5m/s\) ? Décrivez qualitativement le mouvement ultérieur de l'électron.

    La figure montre un long fil droit transportant un courant. Un électron se trouve à 20 cm du fil et se déplace parallèlement à celui-ci.

    68. Le courant circule le long d'une mince feuille infinie, comme le montre la figure ci-jointe. Le courant par unité de longueur le long de la feuille est J en ampères par mètre.

    (a) Utilisez la loi de Biot-Savart pour\(\displaystyle B=μ_0J/2\) le montrer de chaque côté de la feuille. Quelle est la direction de chaque\(\displaystyle \vec{B}\) côté ?

    (b) Utilisez maintenant la loi d'Ampère pour calculer le champ.

    La figure montre le courant circulant le long d'une mince feuille infinie.

    69. (a) Utilisez le résultat du problème précédent pour calculer le champ magnétique entre, au-dessus et en dessous de la paire de feuilles infinies illustrée dans la figure ci-jointe.

    (b) Répétez vos calculs si le sens du courant dans la feuille inférieure est inversé.

    La figure montre des courants circulant le long de deux couches minces et infinies. Les feuilles sont situées dans des plans parallèles et le courant circule dans la même direction.

    70. Nous supposons souvent que le champ magnétique est uniforme dans une région et nul partout ailleurs. Montrez qu'en réalité, il est impossible qu'un champ magnétique tombe brusquement à zéro, comme illustré dans la figure ci-jointe. (Conseil : appliquez la loi d'Ampère sur le chemin indiqué.)

    La figure montre le champ magnétique qui est perpendiculaire au trajet rectangulaire du courant et qui le coupe.

    71. Comment la variation fractionnelle de l'intensité du champ magnétique à travers la face du tore est-elle liée à la variation fractionnelle de la distance radiale par rapport à l'axe du tore ?

    72. Montrez que l'expression du champ magnétique d'un tore se réduit à celle du champ d'un solénoïde infini dans la limite où le rayon central passe à l'infini.

    73. Un tore ayant un rayon intérieur de 20 cm et un rayon extérieur de 22 cm est étroitement enroulé avec une couche de fil d'un diamètre de 0,25 mm.

    a) Combien de tours y a-t-il sur le toroïde ?

    (b) Si le courant traversant les enroulements toroïdaux est de 2,0 A, quelle est l'intensité du champ magnétique au centre du tore ?

    74. Un élément filaire a\(\displaystyle vec{dl} ,I\vec{dl} =JAdl=Jdv\), où A et dv sont respectivement la surface transversale et le volume de l'élément. Utilisez cette loi, la loi de Biot-Savart, et\(\displaystyle J=nev\) pour montrer que le champ magnétique d'une charge ponctuelle mobile q est donné par :

    \(\displaystyle \vec{B} =\frac{μ_0}{4π}\frac{qv×\hat{r}}{r^2}\).

    75. Un champ magnétique raisonnablement uniforme sur une zone limitée de l'espace peut être produit avec la bobine de Helmholtz, qui se compose de deux bobines parallèles centrées sur le même axe. Les bobines sont connectées de telle sorte qu'elles transportent le même courant I. Chaque bobine a N spires et un rayon R, qui est également la distance entre les bobines.

    (a) Déterminez le champ magnétique à n'importe quel point de l'axe Z illustré dans la figure ci-jointe.

    (b) Montrez que dB/dZ et\(\displaystyle d^2B\_{dz2}\) sont tous deux nuls à z = 0. (Ces dérivées disparates démontrent que le champ magnétique ne varie que légèrement à proximité de z = 0.)

    Cette image montre deux bobines parallèles centrées sur le même axe qui transportent le même courant I. Chaque bobine a un rayon R, qui est également la distance entre les bobines.

    76. Une charge de 4,0 μC est répartie uniformément autour d'un mince anneau de matériau isolant. L'anneau a un rayon de 0,20 m et tourne\(\displaystyle 2.0×10^4rev/min\) autour de l'axe qui passe par son centre et qui est perpendiculaire au plan de l'anneau. Quel est le champ magnétique au centre de l'anneau ?

    77. Un disque mince et non conducteur de rayon R est libre de tourner autour de l'axe qui passe par son centre et qui est perpendiculaire à la face du disque. Le disque est chargé uniformément avec une charge totale q. Si le disque tourne à une vitesse angulaire constante ω, quel est le champ magnétique en son centre ?

    78. Considérez le disque dans le problème précédent. Calculez le champ magnétique en un point de son axe central situé à une distance y au-dessus du disque.

    79. Considérez le champ magnétique axial\(\displaystyle B_y=μ_0IR^2/2(y^2+R^2)^{3/2}\) de la boucle de courant circulaire illustrée ci-dessous.

    (a) Évaluer\(\displaystyle ∫^a_{−a}B_ydy.\) Démontrez également que\(\displaystyle \lim_{a→∞}∫^a_{−a}B_ydy=μ_0I\).

    (b) Pouvez-vous déduire cette limite sans évaluer l'intégrale ? (Conseil : voir la figure ci-jointe.)

    Cette image montre la boucle de courant circulaire I avec le champ magnétique B perpendiculaire au plan de la boucle.

    80. La densité de courant dans le long fil cylindrique représenté sur la figure ci-jointe varie avec la distance r du centre du fil, selon\(\displaystyle J=cr,\) laquelle c est une constante. a) Quel est le courant qui traverse le fil ? (b) À quoi sert le champ magnétique produit par ce courant\(\displaystyle r≤R\) ? Pour\(\displaystyle r≥R\) ?

    Cette figure montre un long fil cylindrique droit de rayon R traversé par le courant I.

    81. Un long conducteur cylindrique droit contient une cavité cylindrique dont l'axe est décalé de a par rapport à l'axe du conducteur, comme le montre la figure ci-jointe. La densité de courant dans le conducteur est donnée par\(\displaystyle \hat{J} =J_0\hat{k},\) où\(\displaystyle J_0\) est une constante et\(\displaystyle \hat{k}\) se trouve le long de l'axe du conducteur. Calculez le champ magnétique à un point arbitraire P de la cavité en superposant le champ d'un conducteur cylindrique plein avec rayon\(\displaystyle R_1\) et densité de\(\displaystyle \vec{J}\) courant au champ d'un conducteur cylindrique plein avec rayon\(\displaystyle R_2\) et densité de courant\(\displaystyle −\vec{J}\). Ensuite, utilisez le fait que les vecteurs unitaires azimutaux appropriés peuvent être exprimés sous la forme\(\displaystyle \hat{θ_1}=\hat{k}×\hat{r_1}\) et\(\displaystyle \hat{θ_2}=\hat{k}×\hat{r_2}\) pour montrer que partout à l'intérieur de la cavité, le champ magnétique est donné par la constante\(\displaystyle \vec{B}=\frac{1}{2}μ_0J_0k×a\), où\(\displaystyle a=r_1−r_2\) et\(\displaystyle r_1=r_1\hat{r_1}\) est la position de P par rapport au centre du conducteur et \(\displaystyle 2_=r_2\vec{r_2}\)est la position de P par rapport au centre de la cavité.

    Cette figure montre un grand cercle de rayon R1 qui comporte un trou circulaire de rayon R2 à une distance a du centre. Le point P est situé dans un trou à la distance r2 du centre d'un trou et à une distance r1 du centre d'un grand cercle.

    82. Entre les deux extrémités d'un aimant en forme de fer à cheval, le champ est uniforme, comme indiqué sur le schéma. Lorsque vous vous déplacez vers les bords extérieurs, le champ se plie. Démontrez par la loi d'Ampère que le champ doit fléchir et que, par conséquent, le champ s'affaiblit à cause de ces virages.

    Cette figure montre un aimant en forme de fer à cheval dont les lignes magnétiques vont de l'extrémité nord à l'extrémité sud.

    83. Montrez que le champ magnétique d'un fil fin et celui d'une boucle de courant sont nuls si vous êtes à l'infini.

    84. Une boucle d'Ampère est choisie comme indiqué par des lignes pointillées pour un champ magnétique constant parallèle, comme indiqué par des flèches pleines. Calculez\(\displaystyle \vec{B} ⋅\vec{dl}\) pour chaque côté de la boucle puis trouvez l'ensemble\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\). Pouvez-vous imaginer une boucle Ampère qui faciliterait le problème ? Ces résultats correspondent-ils à ceux-ci ?

    Cette figure montre une boucle d'ampères située dans le champ magnétique constant. L'un des côtés de la boucle forme un angle thêta avec la ligne magnétique.

    85. Un fil cylindrique très long et épais de rayon R transporte une densité de courant J qui varie sur sa section transversale. L'amplitude de la densité de courant en un point situé à une distance r du centre du fil est donnée par\(\displaystyle J=J_0\frac{r}{R},\) où\(\displaystyle J_0\) est une constante. Trouvez le champ magnétique

    a) à un point situé à l'extérieur du fil et

    b) à un point situé à l'intérieur du fil. Écrivez votre réponse en termes de courant net I traversant le fil.

    86. Un fil cylindrique très long de rayon a est percé d'un trou circulaire de rayon b à une distance d du centre. Le fil est parcouru par un courant uniforme de magnitude I. La direction du courant sur la figure est hors du papier. Trouvez le champ magnétique

    a) au point situé au bord du trou le plus proche du centre du fil épais,

    (b) à un point arbitraire à l'intérieur du trou, et

    (c) à un point arbitraire à l'extérieur du fil. (Conseil : imaginez le trou comme la somme de deux fils transportant du courant dans des directions opposées.)

    Cette figure montre un cercle de rayon a dans lequel se trouve un trou circulaire de rayon b à une distance d du centre.

    87. Champ magnétique à l'intérieur d'un tore. Prenons l'exemple d'un tore de section rectangulaire avec un rayon intérieur a et un rayon extérieur b. Les N tours d'un fil mince isolé sont enroulés uniformément sur le tore, étroitement tout autour du tore et connectés à une batterie produisant un courant constant I dans le fil. Supposons que le courant sur les surfaces supérieure et inférieure de la figure est radial et que le courant sur les surfaces des rayons intérieur et extérieur est vertical. Détermine le champ magnétique à l'intérieur du tore en fonction de la distance radiale r par rapport à l'axe.

    88. Deux longs tubes coaxiaux en cuivre, chacun de longueur L, sont connectés à une batterie de tension V. Le tube intérieur a un rayon intérieur a et un rayon extérieur b, et le tube extérieur a un rayon intérieur c et un rayon extérieur d. Les tubes sont ensuite déconnectés de la batterie et tournés dans la même direction à une vitesse angulaire de ω radians par seconde autour de leur axe commun. Déterminez le champ magnétique (a) en un point situé à l'intérieur de l'espace délimité par le tube interne r<a, et (b) en un point situé entre les tubes b<r<c, et (c) en un point situé à l'extérieur des tubes r>d. (Conseil : considérez les tubes en cuivre comme des condensateurs et déterminez la densité de charge en fonction de la tension appliquée, Q=VC, \ (\ displaystyle C= \ frac {2πε_0L} {ln (c/b)}.)

    Problèmes liés au défi

    89. La figure ci-jointe montre une feuille plate infiniment longue de largeur a qui est parcourue par un courant I uniformément réparti à travers elle. Trouvez le champ magnétique au point P, qui se trouve dans le plan de la feuille et à une distance x d'un bord. Testez votre résultat pour déterminer la limite a→0.

    Cette photo montre une feuille plate infiniment longue de largeur a qui est parcourue par un courant I uniformément réparti à travers elle. Le point P se trouve dans le plan de la feuille et à une distance x d'un bord.

    90. Un courant hypothétique circulant dans la direction z crée le champ\(\displaystyle vec{B} =C[(x/y^2)\hat{i}+(1/y)\hat{j}]\) dans la région rectangulaire du plan xy illustré sur la figure ci-jointe. Utilisez la loi d'Ampère pour déterminer le courant traversant le rectangle.

    Cette figure montre la région rectangulaire du plan xy ; l'axe z est perpendiculaire au plan. Les points a1 et a2 sont situés sur l'axe des x. Les points b1 et b2 sont situés sur l'axe y. La distance entre tous les points est égale.

    91. Un disque circulaire non conducteur en caoutchouc dur de rayon R est peint avec une densité de charge superficielle σ uniforme. Il tourne autour de son axe avec une vitesse angulaire ω. (a) Déterminez le champ magnétique produit en un point de l'axe situé à une distance h mètres du centre du disque. (b) Trouvez la valeur numérique de l'amplitude du champ magnétique quand\(\displaystyle σ=1C/m^2, R=20 cm, h=2 cm\) et\(\displaystyle ω=400rad/sec,\) comparez-la à l'amplitude du champ magnétique de la Terre, qui est d'environ 1/2 Gauss.

    Contributeurs et attributions

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