7.6 : Surfaces et conducteurs équipotentiels

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Définir des surfaces équipotentielles et des lignes équipotentielles
• Expliquer la relation entre les lignes équipotentielles et les lignes de champ électrique
• Cartographiez les lignes équipotentielles pour les charges à un ou deux points
• Décrire le potentiel d'un chef d'orchestre
• Comparez et contrastez les lignes équipotentielles et les lignes d'altitude sur des cartes topographiques

Nous pouvons représenter les potentiels électriques (tensions) de manière picturale, tout comme nous avons dessiné des images pour illustrer les champs électriques. Cela n'est pas surprenant, car les deux concepts sont liés. Considérez la figure \(\PageIndex{1}\), qui montre une charge ponctuelle positive isolée et ses lignes de champ électrique, qui rayonnent à partir d'une charge positive et se terminent par des charges négatives. Nous utilisons des flèches bleues pour représenter l'amplitude et la direction du champ électrique, et nous utilisons des lignes vertes pour représenter les endroits où le potentiel électrique est constant. Elles sont appelées surfaces équipotentielles s en trois dimensions, ou droites équipotentielles s en deux dimensions. Le terme équipotentielle est également utilisé comme nom, désignant une ligne ou une surface équipotentielle. Le potentiel d'une charge ponctuelle est le même n'importe où sur une sphère imaginaire de rayon r entourant la charge. Cela est vrai parce que le potentiel d'une charge ponctuelle est donné par\(V = kq/r\) et a donc la même valeur en tout point situé à une distance donnée r de la charge. Une sphère équipotentielle est un cercle dans la vue bidimensionnelle de la Figure\(\PageIndex{1}\). Comme les lignes de champ électrique pointent radialement à l'opposé de la charge, elles sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles.

Figure\(\PageIndex{1}\) : Une charge ponctuelle isolée Q avec ses lignes de champ électrique en bleu et ses lignes équipotentielles en vert. Le potentiel est le même le long de chaque ligne équipotentielle, ce qui signifie qu'aucun travail n'est requis pour déplacer une charge le long de l'une de ces lignes. Des travaux sont nécessaires pour déplacer une charge d'une ligne équipotentielle à une autre. Les lignes équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ électrique dans tous les cas. Pour une version en trois dimensions, explorez le premier lien multimédia.

Il est important de noter que les lignes équipotentielles sont toujours perpendiculaires aux lignes de champ électrique. Aucun travail n'est requis pour déplacer une charge le long d'un équipotentiel, puisque\(\Delta V = 0\). Ainsi, l'œuvre est

\[W = - \Delta U = - q\Delta V = 0.\]

Le travail est nul si la direction de la force est perpendiculaire au déplacement. La force est dans la même direction que\(E\), donc le mouvement le long d'un équipotentiel doit être perpendiculaire à\(E\). Plus précisément, le travail est lié au champ électrique par

\ [\ begin {align} W &= \ vec {F} \ cdot \ vec {d} \ label {eq5}  \ \ [4 points] &= q \ vec {E} \ cdot \ vec {d} \ nonumber \ \ [4 points] &= QEd  \, \ cos \, \ theta \ nonumber \ \ [4 points] &= 0. \ nonumber \ end {align}  \ nonumber \]

Notez cela dans l'équation \ ref {eq5},\(E\) et\(F\) symbolisez les magnitudes du champ électrique et de la force, respectivement. Ni l'\(E\)un \(q\) ni l'autre n'\(d\)est nul et n'est pas non plus nul Donc \ (\ cos \, \ theta  \) doit être égal à 0, ce qui signifie que c'\(\theta\)est le cas\(90^o\). En d'autres termes, le mouvement le long d'un équipotentiel est perpendiculaire à E.

L'une des règles relatives aux champs électriques statiques et aux conducteurs est que le champ électrique doit être perpendiculaire à la surface de tout conducteur. Cela implique qu'un conducteur est une surface équipotentielle dans des situations statiques. Il ne peut y avoir aucune différence de tension à la surface d'un conducteur, sinon des charges circuleront. L'une des utilisations de ce fait est qu'un conducteur peut être fixé à ce que nous considérons comme zéro volt en le connectant à la terre à l'aide d'un bon conducteur, un processus appelé mise à la terre. La mise à la terre peut être un outil de sécurité utile. Par exemple, la mise à la terre du boîtier métallique d'un appareil électrique garantit qu'il est à zéro volt par rapport à la Terre.

Figure\(\PageIndex{2}\) : Les lignes de champ électrique et les lignes équipotentielles pour deux charges égales mais opposées. Les lignes équipotentielles peuvent être tracées en les faisant perpendiculaires aux lignes de champ électrique, si celles-ci sont connues. Notez que le potentiel est le plus élevé (le plus positif) à proximité de la charge positive et le plus faible (le plus négatif) à proximité de la charge négative. Pour une version en trois dimensions, explorez le premier lien multimédia.

Comme un conducteur est équipotentiel, il peut remplacer n'importe quelle surface équipotentielle. Par exemple, dans la figure\(\PageIndex{2}\), un conducteur sphérique chargé peut remplacer la charge ponctuelle, et le champ électrique et les surfaces potentielles à l'extérieur de celui-ci resteront inchangés, ce qui confirme l'affirmation selon laquelle une distribution de charge sphérique équivaut à une charge ponctuelle en son centre.

La figure\(\PageIndex{2}\) montre le champ électrique et les lignes équipotentielles pour deux charges égales et opposées. Compte tenu des lignes de champ électrique, les lignes équipotentielles peuvent être tracées simplement en les rendant perpendiculaires aux lignes de champ électrique. Inversement, étant donné les lignes équipotentielles, comme sur la figure \(\PageIndex{2a}\), les lignes de champ électrique peuvent être tracées en les rendant perpendiculaires aux équipotentielles, comme sur la figure \(\PageIndex{2b}\).

Figure\(\PageIndex{3}\) : (a) Ces raies équipotentielles peuvent être mesurées à l'aide d'un voltmètre dans le cadre d'une expérience en laboratoire. (b) Les lignes de champ électrique correspondantes sont déterminées en les traçant perpendiculairement aux équipotentielles. Notez que ces champs sont compatibles avec deux charges négatives égales. Pour une version en trois dimensions, jouez avec le premier lien multimédia.

Pour améliorer votre intuition, nous montrons une variante tridimensionnelle du potentiel dans un système à deux charges opposées. La figure \(\PageIndex{4}\) montre une carte tridimensionnelle du potentiel électrique, où les lignes de la carte représentent des surfaces équipotentielles. La colline est à la charge positive et le creux à la charge négative. Le potentiel est nul loin des charges. Notez que la coupure à un potentiel particulier implique que les charges se trouvent sur des sphères conductrices à rayon fini.

Figure \(\PageIndex{4}\) : Carte du potentiel électrique de deux charges opposées d'égale magnitude sur des sphères conductrices. Le potentiel est négatif à proximité de la charge négative et positif à proximité de la charge positive. Cette image dynamique est alimentée par CalcPlot3D et peut être visualisée \ (\ PageIndex {4} \) Carte du potentiel électrique II » mt-page-link-identifier="91122f512ec949b78025ae238d164cf2" href= » /Learning_Objects/Visualizations_and_Simulations/CalcPlot3D_Interactive_Figures/Physics_Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/Figures/RE_7.5.4_Potentiel électrique_ Map_II"> ici.

Une carte bidimensionnelle du plan transversal qui contient les deux charges est présentée sur la figure\(\PageIndex{5}\). La ligne qui est équidistante des deux charges opposées correspond au potentiel zéro, car aux points de la ligne, le potentiel positif de la charge positive annule le potentiel négatif de la charge négative. Les lignes équipotentielles dans le plan transversal sont des boucles fermées, qui ne sont pas nécessairement des cercles, car en chaque point, le potentiel net est la somme des potentiels de chaque charge.

Figure\(\PageIndex{5}\) : Coupe transversale de la carte du potentiel électrique de deux charges opposées de même magnitude. Le potentiel est négatif à proximité de la charge négative et positif à proximité de la charge positive.

Remarque

Regardez cette simulation pour observer et modifier les surfaces équipotentielles et les champs électriques pour de nombreuses configurations de charge standard. Il y a beaucoup de choses à explorer.

L'un des cas les plus importants est celui des plaques conductrices parallèles familières illustrées sur la figure\(\PageIndex{6}\). Entre les plaques, les équipotentielles sont régulièrement espacées et parallèles. Le même champ pourrait être maintenu en plaçant des plaques conductrices au niveau des lignes équipotentielles aux potentiels indiqués.

Figure\(\PageIndex{6}\) : Le champ électrique et les lignes équipotentielles entre deux plaques métalliques. Notez que le champ électrique est perpendiculaire aux équipotentielles et donc normal aux plaques à leur surface ainsi qu'au centre de la région qui les sépare.

Considérez les plaques parallèles Figure\(\PageIndex{6}\). Elles ont des lignes équipotentielles qui sont parallèles aux plaques dans l' espace intermédiaire et régulièrement espacées. Un exemple de ceci (avec des valeurs d'échantillon) est donné dans la figure\(\PageIndex{6}\). Nous pourrions tracer un ensemble similaire d'isolines équipotentielles pour la gravité sur les collines. Si la colline a une certaine étendue sur la même pente, les isolignes le long de cette étendue seraient parallèles entre elles. De plus, dans les régions à pente constante, les isolignes seraient régulièrement espacées. Un exemple de lignes topographiques réelles est illustré sur la figure\(\PageIndex{7}\).

Chiffre\(\PageIndex{6}\). (a) Une carte topographique de Devil's Tower, dans le Wyoming. Des lignes rapprochées indiquent un terrain très escarpé. (b) Une photo en perspective de la Devil's Tower montre à quel point ses flancs sont raides. Remarquez que le sommet de la tour a la même forme que le centre de la carte topographique.

Exemple\(\PageIndex{1}\) : calcul de droites équipotentielles

Vous avez vu les lignes équipotentielles d'une charge ponctuelle dans la Figure\(\PageIndex{1}\). Comment les calculons-nous ? Par exemple, si nous avons une\(+10-nC\) charge à l'origine, quelles sont les surfaces équipotentielles sur lesquelles le potentiel est (a) 100 V, (b) 50 V, (c) 20 V et (d) 10 V ?

Stratégie

Définissez l'équation pour le potentiel d'une charge ponctuelle égale à une constante et résolvez pour les variables restantes. Calculez ensuite les valeurs selon vos besoins.

Solution

Dans\(V = k\dfrac{q}{r}\), soit V une constante. La seule variable restante est r ; par conséquent, \ (r = k \ dfrac {q} {V} = constant \). Ainsi, les surfaces équipotentielles sont des sphères autour de l' origine. Leurs emplacements sont les suivants :

1. \ (r = k \ dfrac {q} {V} = \ left (8,99 \ fois 10^9 \, Nm^2/C^2 \ right)  \ dfrac {(10 \ fois 10^ {-9} C)} {100 \, V} = 0,90 \, m \) ;
2. \ (r = k \ dfrac {q} {V} = \ left (8,99 \ fois 10^9 \, Nm^2/C^2 \ right)  \ dfrac {(10 \ fois 10^ {-9} C)} {50 \, V} = 1,8 \, m \) ;
3. \ (r = k \ dfrac {q} {V} = \ left (8,99 \ fois 10^9 \, Nm^2/C^2 \ right)  \ dfrac {(10 \ fois 10^ {-9} C)} {20 \, V} = 4,5 \, m \) ;
4. \ (r = k \ dfrac {q} {V} = \ left (8,99 \ fois 10^9 \, Nm^2/C^2 \ right)  \ dfrac {(10 \ fois 10^ {-9} C)} {10 \, V} = 9,0 \, m \).

L'importance

Cela signifie que les surfaces équipotentielles autour d'une charge ponctuelle sont des sphères de rayon constant, comme indiqué précédemment, avec des emplacements bien définis.

Exemple\(\PageIndex{2}\) : Différence de potentiel entre des plaques parallèles chargées de manière opposée

Deux grandes plaques conductrices transportent des charges égales et opposées, avec une densité\(\sigma\) de charge de surface de magnitude \ (6,81 \ fois 10 ^ {-7} C/m \), comme le montre la figure\(\PageIndex{8}\). La séparation entre les plaques est de\(l = 6.50 \, mm\).

1. Quel est le champ électrique entre les plaques ?
2. Quelle est la différence de potentiel entre les plaques ?
3. Quelle est la distance entre des plans équipotentiels qui diffèrent de 100 V ?

Figure\(\PageIndex{8}\) : Le champ électrique entre des plaques parallèles chargées de manière opposée. Une partie est libérée au niveau de la plaque positive.

Stratégie

1. Puisque les plaques sont décrites comme « grandes » et que la distance entre elles ne l'est pas, nous allons approximer chacune d'elles comme un plan infini et appliquer le résultat de la loi de Gauss dans le chapitre précédent.
2. Utiliser\(\Delta V_{AB} = - \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}\).
3. Comme le champ électrique est constant, trouvez le rapport entre 100 V et la différence de potentiel totale, puis calculez cette fraction de distance.

Solution

a. Le champ électrique est dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, comme indiqué sur la figure, et son amplitude est donnée par

\ [\ begin {align*} E &= \ dfrac {\ sigma} {\ epsilon_0} \ \ [4 points] &= \ dfrac {6,81 \ fois 10 ^ {-7} C/m^2} {8,85 \ fois 10 ^ {-12} C^2/N  \ cdot m^2} \ \ [4 points] &= 7,69 \ fois 10 ^ 4 \, V/m. \ end {align*}  \]

b. Pour déterminer la différence de potentiel\(\Delta V\) entre les plaques, nous utilisons un chemin allant de la plaque négative à la plaque positive qui est dirigé contre le champ. Le vecteur de déplacement\(d\vec{l}\) et le champ électrique\(\vec{E}\) sont antiparallèles donc \ (\ vec {E}  \ cdot d \ vec {l} = - E \, dl \). La différence de potentiel entre la plaque positive et la plaque négative est alors

\ [\ begin {align*} \ Delta V &= - \ int E \ cdot dl \ \ [4 points] &= E \ int dl \ \ [4 points] &= El \ \ [4 points] &= (7,69 \ fois 10^4 V/m) (6,50 \ fois 10^ {-3} m) \ \ [4 points] &= 500 \, V \ end {align*}  \]

c. La différence de potentiel totale est de 500 V, donc 1/5 de la distance entre les plaques sera la distance entre les différences de potentiel de 100 V. La distance entre les plaques est de 6,5 mm, il y aura donc 1,3 mm entre les différences de potentiel de 100 V.

L'importance

Vous avez maintenant vu un calcul numérique des emplacements des équipotentielles entre deux plaques parallèles chargées.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Quelles sont les surfaces équipotentielles pour une charge linéaire infinie ?

Réponse

cylindres infinis de rayon constant, avec la charge de ligne comme axe

Distribution des charges sur les conducteurs

Dans Exemple\(\PageIndex{1}\) avec une charge ponctuelle, nous avons constaté que les surfaces équipotentielles se présentaient sous la forme de sphères, avec la charge ponctuelle au centre. Étant donné qu'une sphère conductrice en équilibre électrostatique est une surface équipotentielle sphérique, il faut s'attendre à pouvoir remplacer l'une des surfaces de l'exemple \(\PageIndex{2}\) par une sphère conductrice et avoir une solution identique en dehors de la sphère. L'intérieur sera cependant assez différent.

Figure\(\PageIndex{9}\) : Une sphère conductrice isolée.

Pour étudier cela, considérez la sphère conductrice isolée de la Figure\(\PageIndex{9}\) qui a un rayon R et une charge excédentaire q. Pour trouver le champ électrique à la fois à l'intérieur et à l' extérieur de la sphère, notez que la sphère est isolée, de sorte que sa distribution de changement de surface et le champ électrique de cette distribution sont sphériquement symétriques. Nous pouvons donc représenter le champ sous la forme\(\vec{E} = E(r)\hat{r}\). Pour le calculer\(E(r)\), nous appliquons la loi de Gauss sur une surface sphérique fermée S de rayon r concentrique à la sphère conductrice. Puisque\(r\) c'est constant et\(\hat{n} = \hat{r}\) sur la sphère,

\ [\ begin {align} \ oint \ vec {E} \ cdot \ hat {n} \, da &= E (r)  \ point da \\[4pt] &=E(r) 4\pi r^2. \end{align}\]

Car\(r < R\), se\(S\) trouve dans le chef d'orchestre, souvenez-vous donc de notre étude précédente de la loi de Gauss que\(q_{enc} = 0\) et de la loi de Gauss donne\(E(r) = 0\), comme on peut s'y attendre à l'intérieur d'un conducteur en équilibre. Si\(r > R\) S enferme le conducteur ainsi \(q_{enc} = q\). D'après la loi de Gauss,

\[E(r) 4\pi r^2 = \dfrac{q}{\epsilon_0}.\]

Le champ électrique de la sphère peut donc s'écrire

\[E = 0 \, (r < R),\]

et

\ [E = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ dfrac {q} {r^2} \ hat {r} \, (r  \ geq R). \]

Comme prévu, dans la région\(r \geq R\), le champ électrique dû à une charge q placée sur une sphère conductrice isolée de rayon R est identique au champ électrique d'une charge ponctuelle q située au centre de la sphère.

Pour trouver le potentiel électrique à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère\(r \geq R\), notez que pour, le potentiel doit être le même que celui d'une charge ponctuelle isolée q située à\(r = 0\),

\ [V (r) = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ dfrac {q} {r} (r \ geq R) \]

simplement en raison de la similitude du champ électrique.

Car\(r < R, \, E = 0\), donc V (r) est constant dans cette région. Depuis\(V(R) = q/4\pi \epsilon_0 R\),

\ [V (r) = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ dfrac {q} {R} (r < R). \]

Nous utiliserons ce résultat pour montrer que

\[\sigma_1 R_1 = \sigma_2 R_2,\]

pour deux sphères conductrices de rayons\(R_1\) et\(R_2\), avec des densités de charge de surface\(\sigma_1\) et\(\sigma_2\) respectivement, qui sont connectées par un fil fin, comme indiqué sur la figure \(\PageIndex{10}\). Les sphères sont suffisamment séparées pour que chacune puisse être traitée comme si elle était isolée (hormis le fil). Notez que la connexion par le fil signifie que l'ensemble du système doit être équipotentiel.

Figure\(\PageIndex{10}\) : Deux sphères conductrices sont connectées par un mince fil conducteur.

Nous venons de voir que le potentiel électrique à la surface d'une sphère conductrice isolée et chargée de rayon R est

\[V = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \dfrac{q}{R}.\]

Or, les sphères sont connectées par un conducteur et sont donc au même potentiel ; d'où

\ [\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ dfrac {q_1} {R_1} = \ dfrac {1} {4 \ pi r \ epsilon_0} \ dfrac {q_2} {R_2}, \] et

\[\dfrac{q_1}{R_1} = \dfrac{q_2}{R_2}.\]

La charge nette sur une sphère conductrice et sa densité de charge de surface sont liées par\(q = \sigma (4\pi R^2)\). En substituant cette équation à la précédente, nous trouvons

\[\sigma_1 R_1 = \sigma_2 R_2.\]

Bien entendu, deux sphères reliées par un fil fin ne constituent pas un conducteur typique à rayon de courbure variable. Néanmoins, ce résultat fournit au moins une idée qualitative de la façon dont la densité de charge varie sur la surface d'un conducteur. L' équation indique que lorsque le rayon de courbure est grand (points B et D à l'\(\PageIndex{11}\)intérieur) \(\sigma\) et que E est petit.

De même, les charges ont tendance à être plus denses lorsque la courbure de la surface est plus grande, comme le montre la distribution des charges sur un métal de forme étrange (Figure\(\PageIndex{11}\)). La densité de charge de surface est plus élevée aux emplacements à faible rayon de courbure qu'aux emplacements à grand rayon de courbure.

Figure\(\PageIndex{11}\) : La densité de charge de surface et le champ électrique d'un conducteur sont plus importants dans les régions dont les rayons de courbure sont plus petits.

Une application pratique de ce phénomène est le paratonnerre, qui est simplement une tige métallique mise à la terre dont l'extrémité pointue pointe vers le haut. À mesure que la charge positive s'accumule dans le sol à cause d'un nuage chargé négativement au-dessus de la tête, le champ électrique autour du point pointu devient très important. Lorsque le champ atteint une valeur d' environ\(3.0 \times 10^6 N/C\) (la rigidité diélectrique de l' air), les ions libres de l'air sont accélérés à des énergies telles que leurs collisions avec les molécules d'air ionisent en fait les molécules. Les électrons libres qui en résultent dans l'air circulent ensuite à travers la tige vers la Terre, neutralisant ainsi une partie de la charge positive. Cela empêche le champ électrique entre le nuage et le sol de devenir suffisamment important pour produire un éclair dans la région autour de la tige.

Une application importante des champs électriques et des lignes équipotentielles concerne le cœur. Le cœur s'appuie sur des signaux électriques pour maintenir son rythme. Le mouvement des signaux électriques provoque la contraction et le relâchement des cavités du cœur. Lorsqu'une personne fait une crise cardiaque, le mouvement de ces signaux électriques peut être perturbé. Un stimulateur cardiaque artificiel et un défibrillateur peuvent être utilisés pour initier le rythme des signaux électriques. Les lignes équipotentielles qui entourent le cœur, la région thoracique et l'axe du cœur sont des moyens utiles de surveiller la structure et les fonctions du cœur. Un électrocardiogramme (ECG) mesure les petits signaux électriques générés pendant l'activité du cœur.

PhET

Utilisez cette simulation pour déplacer des charges ponctuelles sur le terrain de jeu, puis observez le champ électrique, les tensions, les lignes équipotentielles et plus encore.