7.4 : L'équation de SchrDinger
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Décrire le rôle de l'équation de SchrDinger dans la mécanique quantique
- Expliquer la différence entre les équations de Schrdinger dépendantes du temps et indépendantes
- Interpréter les solutions de l'équation de Schrdinger
Dans les deux sections précédentes, nous avons décrit comment utiliser une fonction d'onde mécanique quantique et avons discuté du principe d'incertitude de Heisenberg. Dans cette section, nous présentons une théorie complète et formelle de la mécanique quantique qui peut être utilisée pour faire des prédictions. Pour développer cette théorie, il est utile de revoir la théorie des ondes de la lumière. Pour une onde lumineuse, le champ électrique\(E(x,t)\) obéit à la relation
\[\dfrac{\partial^2E}{\partial x^2} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2E}{\partial t^2}, \label{eq1} \]
où\(c\) est la vitesse de la lumière et où le symbole\(∂\) représente une dérivée partielle. (Rappelons dans Oscillations qu'une dérivée partielle est étroitement liée à une dérivée ordinaire, mais implique les fonctions de plus d'une variable. Lorsque vous prenez la dérivée partielle d'une fonction par une certaine variable, toutes les autres variables sont maintenues constantes.) Une onde lumineuse est constituée d'un très grand nombre de photons, de sorte que la quantité\(|E(x,t)|^2\) peut être interprétée comme une densité de probabilité de trouver un seul photon à un point particulier de l'espace (par exemple, sur un écran de visualisation).
Il existe de nombreuses solutions à cette équation. Une solution particulièrement importante est
\[E(x,t) = A \, \sin \, (kx - \omega t), \label{eq2} \]
où\(A\) est l'amplitude du champ électrique,\(k\) le nombre d'ondes et\(ω\) la fréquence angulaire. La combinaison de cette équation avec l'équation \ ref {eq1} donne
\[k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2},\label{eq3} \]
Selon les équations de Broglie, nous avons\(p=ℏk\) et\(E=ℏω\). La substitution de ces équations dans l'équation \ ref {eq3} donne
\[p = \dfrac{E}{c}, \nonumber \]
ou
\[E = pc. \label{eq5} \]
Par conséquent, selon l'équation générale énergie-moment d'Einstein (Équation 5.10.26), l'équation \ ref {eq5} décrit une particule dont la masse au repos est nulle. Cela est conforme à notre connaissance d'un photon.
Ce processus peut être inversé. Nous pouvons commencer par l'équation énergie-moment d'une particule, puis nous demander quelle équation d'onde lui correspond. L'équation énergie-moment d'une particule non relativiste dans une dimension est
\[E = \dfrac{p^2}{2m} + U(x,t), \nonumber \]
où p est la quantité de mouvement, m est la masse et U est l'énergie potentielle de la particule. L'équation d'onde qui l'accompagne s'avère être une équation clé en mécanique quantique, appelée équation dépendante du temps de Schrdinger.
L'équation décrivant l'énergie et le moment d'une fonction d'onde est connue sous le nom d'équation de SchrDinger :
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} + U \, (x,t) \, \Psi \, (x,t) = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}. \label{SchroDep} \]
Comme décrit dans Énergie potentielle et conservation de l'énergie, la force exercée sur la particule décrite par cette équation est donnée par
\[F = - \dfrac{\partial U \, (x,t)}{\partial x}. \label{7.24} \]
Cette équation joue un rôle en mécanique quantique similaire à la deuxième loi de Newton en mécanique classique. Une fois que l'énergie potentielle d'une particule est spécifiée, ou, de manière équivalente, une fois que la force exercée sur la particule est spécifiée, nous pouvons résoudre cette équation différentielle pour la fonction d'onde. La solution de la deuxième équation de la loi de Newton (également une équation différentielle) dans une dimension est une fonction x (t) qui indique où se trouve un objet à tout moment t. La solution de l'équation dépendante du temps de Schrdinger fournit un outil, la fonction d'onde, qui peut être utilisé pour déterminer où la particule est susceptible de se trouver. Cette équation peut également être écrite en deux ou trois dimensions. La résolution de l'équation temporelle de Schrdinger nécessite souvent l'aide d'un ordinateur.
Prenons le cas particulier d'une particule libre. Une particule libre ne subit aucune force (\(F = 0\)). Sur la base de l'équation \ ref {7.24}, cela ne nécessite que
\[U \, (x,t) = U_0 = constant. \label{7.25} \]
Pour plus de simplicité, nous avons défini\(U_0 = 0\). L'équation de SchrDinger se réduit ensuite à
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}.\label{7.26} \]
Une solution valide à cette équation est
\[\Psi \, (x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}.\label{7.27} \]
Il n'est pas surprenant que cette solution contienne un nombre imaginaire (\(i = \sqrt{-1}\)) car l'équation différentielle elle-même contient un nombre imaginaire. Comme nous l'avons déjà souligné, les prévisions de la mécanique quantique ne dépendent que de\(|\Psi \, (x,t)|^2\), ce qui donne des valeurs complètement réelles. Remarquez que les véritables solutions d'ondes planes,\(\Psi \, (x,t) = A \, sin \, (kx - \omega t)\) et\(\Psi \, (x,t) = A \, cos \, (kx - \omega t)\), n'obéissent pas à l'équation de Schrödinger. La tentation de penser qu'une fonction d'onde peut être vue, touchée et ressentie dans la nature est éliminée par l'apparition d'un nombre imaginaire. Dans la théorie de la mécanique quantique de Schrdinger, la fonction d'onde n'est qu'un outil de calcul.
Si la fonction d'énergie potentielle (U) ne dépend pas du temps, il est possible de montrer que
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-i\omega t} \label{7.28} \]
satisfait l'équation dépendante du temps de SchrDinger, où\(\psi (x)\) est une fonction indépendante du temps et e−iωte−iωt est une fonction indépendante de l'espace. En d'autres termes, la fonction d'onde est séparable en deux parties : une partie uniquement spatiale et une partie uniquement temporelle. Le facteur\(e^{-i\omega t}\) est parfois appelé facteur de modulation temporelle car il modifie la fonction spatiale uniquement. Selon de Broglie, l'énergie d'une onde de matière est donnée par\(E = \hbar \omega\), où E est son énergie totale. Ainsi, l'équation ci-dessus peut également être écrite comme
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-iEt/\hbar}. \label{stationary} \]
Toute combinaison linéaire de tels états (état mixte d'énergie ou de moment) est également une solution valide à cette équation. De tels états peuvent, par exemple, décrire une particule localisée (voir Figure 7.3.1)
Une particule de masse m se déplace le long de l'axe x selon un potentiel donné par la fonction d'énergie potentielle\(U(x) = 0.5 m \, \omega^2x^2\). Calculez le produit\(\Psi \, (x,t)^* U(x) \, \Psi \, (x,t)\). Exprimez votre réponse en termes de fonction d'onde indépendante du temps,\(\psi (x)\).
Réponse :
\(0.5 \, m\omega^2 x^2 \, \psi (x)^* \psi(x)\)
En combinant l'équation \ ref {stationnaire} et l'équation \ ref {SchroDep}, l'équation dépendante du temps de Schrödinger se réduit à l'équation indépendante du temps de Schrodinger.
\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + U \, (x) \, \psi (x) = E \, \psi(x), \label{SchroIndep} \]
où\(E\) est l'énergie totale de la particule (un nombre réel).
Notez que nous utilisons « big psi » (\(\Psi\)) pour la fonction d'onde dépendante du temps et « little psi » (\(\psi\)) pour la fonction d'onde indépendante du temps. La solution de cette équation en fonction d'onde doit être multipliée par le facteur de modulation dans le temps pour obtenir la fonction d'onde dépendante du temps.
Dans les sections suivantes, nous résolvons l'équation indépendante du temps de Schrdinger pour trois cas : une particule quantique dans une boîte, un oscillateur harmonique simple et une barrière quantique. Ces cas fournissent des leçons importantes qui peuvent être utilisées pour résoudre des systèmes plus complexes. Les\(\psi(x)\) solutions de fonction d'onde indépendantes du temps doivent satisfaire à trois conditions :
- \(\psi (x)\)doit être une fonction continue.
- La dérivée première de\(\psi(x)\) par rapport à l'espace,\(d\psi (x) /dx\), doit être continue, sauf si\(V (x) = \infty\).
- \(\psi (x)\)ne doit pas diverger (« exploser ») à\(x = \pm \infty\).
La première condition permet d'éviter les sauts ou les interruptions soudains dans la fonction d'onde. La deuxième condition exige que la fonction d'onde soit fluide en tout point, sauf dans des cas particuliers. (Dans un cours plus avancé sur la mécanique quantique, par exemple, des pointes potentielles d'une profondeur et d'une hauteur infinies sont utilisées pour modéliser des solides). La troisième condition exige que la fonction d'onde soit normalisable. Cette troisième condition découle de l'interprétation de Born de la mécanique quantique. Il garantit qu'il\(|\psi(x)|^2\) s'agit d'un nombre fini afin que nous puissions l'utiliser pour calculer les probabilités.
Laquelle des fonctions d'onde suivantes est une solution de fonction d'onde valide pour l'équation de SchrDinger ?
Réponse :
Aucune. La première fonction présente une discontinuité ; la deuxième courbe n'est même pas une fonction, elle est à double valeur ; et la troisième fonction diverge et n'est donc pas normalisable.