4.E : Diffraction (exercices)

Questions conceptuelles

4.1 Diffraction à fente unique

1. Lorsque la largeur de la fente produisant un diagramme de diffraction à fente unique est réduite, comment le motif de diffraction produit va-t-il changer ?

2. Comparez les interférences et la diffraction.

3. Si vous et un ami êtes sur les côtés opposés d'une colline, vous pouvez communiquer avec des talkies-walkies, mais pas avec des lampes de poche. Expliquez.

4. Qu'arrive-t-il au diagramme de diffraction d'une seule fente lorsque l'ensemble de l'appareil optique est immergé dans l'eau ?

5. Dans notre étude de la diffraction par une seule fente, nous supposons que la longueur de la fente est beaucoup plus grande que la largeur. Qu'arrive-t-il au diagramme de diffraction si ces deux dimensions étaient comparables ?

6. Une fente rectangulaire est deux fois plus large que haute. Le pic de diffraction central est-il plus large dans le sens vertical ou dans le sens horizontal ?

4.2 Intensité de la diffraction à fente unique

7. Dans l'équation 4.4, le paramètre ββ ressemble à un angle mais n'est pas un angle que vous pouvez mesurer avec un rapporteur dans le monde physique. Expliquez ce que représente ββ.

4.3 Diffraction à double fente

8. La partie centrale du diagramme d'interférence pour une longueur d'onde pure de lumière rouge projetée sur une double fente est illustrée ci-dessous. Le motif est en fait une combinaison d'interférences à fente unique et à double fente. Notez que les points lumineux sont régulièrement espacés. S'agit-il d'une caractéristique à double ou à fente unique ? Notez que certains points lumineux sont sombres de chaque côté du centre. S'agit-il d'une caractéristique à fente simple ou double ? Lequel est le plus petit, la largeur de la fente ou la séparation entre les fentes ? Expliquez vos réponses. La figure est une image montrant un motif d'interférence rouge sur fond noir. La partie centrale présente des lignes plus claires. Les lignes sont coupées en haut et en bas, apparemment enfermées entre deux ondes sinusoïdales de phase opposée.

4.5 Ouvertures circulaires et résolution

9. Une résolution plus élevée est-elle obtenue dans un microscope à lumière rouge ou bleue ? Expliquez votre réponse.

10. Le pouvoir de résolution du télescope à réfraction augmente avec la taille de son objectif. Quel autre avantage peut-on tirer d'un objectif plus grand ?

11. La distance entre les atomes d'une molécule est d'environ\(\displaystyle 10^{−8}cm\). La lumière visible peut-elle être utilisée pour « voir » des molécules ?

12. Un faisceau de lumière se répand toujours. Pourquoi ne peut-on pas créer un faisceau avec des rayons parallèles pour empêcher la propagation ? Pourquoi ne peut-on pas utiliser des lentilles, des miroirs ou des ouvertures pour corriger la propagation ?

4.6 Diffraction des rayons X

13. Les réseaux cristallins peuvent être examinés aux rayons X mais pas aux UV. Pourquoi ?

4.7 Holographie

14. Comment savoir qu'un hologramme est une véritable image tridimensionnelle et que ceux des films en trois dimensions ne le sont pas ?

15. Si un hologramme est enregistré en utilisant une lumière monochromatique à une longueur d'onde mais que son image est vue à une autre longueur d'onde, disons\(\displaystyle 10%\) plus courte, que verrez-vous ? Et s'il était observé avec une lumière d'exactement la moitié de la longueur d'onde d'origine ?

16. Quelle image verra-t-on si un hologramme est enregistré en lumière monochromatique mais que son image est vue en lumière blanche ? Expliquez.

Problèmes

4.1 Diffraction à fente unique

17. a) À quel angle se situe la première valeur minimale pour que la lumière de 550 nm tombe sur une seule fente de largeur\(\displaystyle 1.00μm\) ?

(b) Y aura-t-il un deuxième minimum ?

18. (a) Calculez l'angle selon lequel\(\displaystyle 2.00-μm\) une fente large produit son premier minimum pour une lumière violette de 410 nm.

(b) Quelle est la première valeur minimale pour une lumière rouge de 700 nm ?

19. a) Quelle est la largeur d'une fente unique qui produit son premier minimum de lumière de 633 nm sous un angle de\(\displaystyle 28.0°\) ?

(b) Sous quel angle se situera le deuxième minimum ?

20. a) Quelle est la largeur d'une seule fente qui produit sa première valeur minimale\(\displaystyle 60.0°\) pour une lumière de 600 nm ?

(b) Déterminez la longueur d'onde de la lumière dont le premier minimum est\(\displaystyle 62.0°\).

21. Déterminez la longueur d'onde de la lumière qui a son troisième minimum à un angle égal à celui\(\displaystyle 48.6°\) où elle tombe sur une seule fente de largeur\(\displaystyle 3.00μm\).

22. a) La lumière à la vapeur de sodium d'une longueur d'onde moyenne de 589 nm tombe sur une seule fente de largeur\(\displaystyle 7.50μm\). Sous quel angle produit-il son deuxième minimum ?

(b) Quel est le minimum de commande le plus élevé produit ?

23. Supposons un diagramme de diffraction à fente unique pour\(\displaystyle λ=589nm\), projeté sur un écran situé à 1,00 m d'une fente de 0,25 mm de largeur. À quelle distance du centre du motif se trouvent les centres de la première et de la deuxième frange foncée ?

24. (a) Déterminer l'angle entre les premiers minima pour les deux raies de vapeur de sodium, qui ont des longueurs d'onde de 589,1 et 589,6 nm, lorsqu'elles tombent sur une seule fente de largeur\(\displaystyle 2.00μm\).

(b) Quelle est la distance entre ces minima si le diagramme de diffraction tombe sur un écran à 1,00 m de la fente ?

(c) Discutez de la facilité ou de la difficulté de mesurer une telle distance.

25. (a) Quelle est la largeur minimale d'une seule fente (en multiples de\(\displaystyle λ\)) qui produira un premier minimum pour une longueur d'onde\(\displaystyle λ\) ?

(b) Quelle est sa largeur minimale s'il produit 50 minima ?

(c) 1 000 minima ?

26. a) Si une seule fente produit un premier minimum à\(\displaystyle 14.5°\), sous quel angle se trouve le minimum du second ordre ?

(b) Quel est l'angle du minimum du troisième ordre ?

(c) Y a-t-il un minimum de quatrième commande ?

(d) Utilisez vos réponses pour illustrer comment la largeur angulaire du maximum central est environ le double de la largeur angulaire du maximum suivant (qui est l'angle entre le premier et le deuxième minima).

27. Si la distance entre le premier et le deuxième minima d'un diagramme de diffraction à fente unique est de 6,0 mm, quelle est la distance entre l'écran et la fente ? La longueur d'onde de la lumière est de 500 nm et la largeur de la fente est de 0,16 mm.

28. Un brise-eau situé à l'entrée d'un port consiste en une barrière rocheuse dotée d'une ouverture de 50 m de large. Des vagues océaniques de 20,0 m de longueur d'onde s'approchent directement de l'ouverture. Sous quels angles par rapport à la direction de l'incident les bateaux à l'intérieur du port sont-ils les mieux protégés contre l'action des vagues ?

29. Un technicien d'entretien d'aéronefs passe devant une porte de hangar haute qui agit comme une fente unique pour le son entrant dans le hangar. À l'extérieur de la porte, sur une ligne perpendiculaire à l'ouverture de la porte, un moteur à réaction émet un son de 600 Hz. Sous quel angle avec la porte le technicien obsera-t-il le premier minimum d'intensité sonore si l'ouverture verticale a une largeur de 0,800 m et que la vitesse du son est de 340 m/s ?

4.2 Intensité de la diffraction à fente unique

30. Une seule fente de largeur\(\displaystyle 3.0μm\) est éclairée par une lumière jaune sodium d'une longueur d'onde de 589 nm. Détermine l'intensité à un\(\displaystyle 15°\) angle par rapport à l'axe en termes d'intensité du maximum central.

31. Une seule fente de 0,1 mm de largeur est éclairée par une lumière au mercure de longueur d'onde de 576 nm. Déterminez l'intensité à un angle de 10°10° par rapport à l'axe en termes d'intensité du maximum central.

32. La largeur du pic central dans un diagramme de diffraction à fente unique est de 5,0 mm. La longueur d'onde de la lumière est de 600 nm et l'écran se trouve à 2,0 m de la fente. a) Quelle est la largeur de la fente ? (b) Déterminer le rapport entre l'intensité à 4,5 mm du centre du motif et l'intensité au centre.

33. Considérez le diagramme de diffraction à fente unique pour\(\displaystyle λ=600nm, a=0.025m\), et\(\displaystyle x=2.0m\). Trouvez l'intensité en termes de\(\displaystyle I_o\) at\(\displaystyle θ=0.5°\)\(\displaystyle 1.0°, 1.5°, 3.0°,\) et\(\displaystyle 10.0°\).

4.3 Diffraction à double fente

34. Deux fentes de largeur\(\displaystyle 2μm\), chacune dans un matériau opaque, sont séparées par une distance centre à centre de\(\displaystyle 6μm\). Une lumière monochromatique d'une longueur d'onde de 450 nm est incidente sur la double fente. On trouve un diagramme combiné d'interférence et de diffraction sur l'écran.

(a) Combien de pics d'interférence seront observés dans le maximum central du diagramme de diffraction ?

(b) Combien de pics d'interférence seront observés si la largeur de la fente est doublée tout en maintenant la même distance entre les fentes ?

(c) Combien de pics d'interférence seront observés si les fentes sont séparées par deux fois la distance\(\displaystyle 12μm\), c'est-à-dire tout en maintenant la même largeur des fentes ?

d) Que se passera-t-il dans (a) si, au lieu d'une lumière de 450 nm, une autre lumière de longueur d'onde de 680 nm est utilisée ?

e) Quelle est la valeur du rapport entre l'intensité du pic central et l'intensité du pic lumineux suivant en (a) ?

(f) Ce rapport dépend-il de la longueur d'onde de la lumière ?

g) Ce rapport dépend-il de la largeur ou de la séparation des fentes ?

35. Une double fente produit un diagramme de diffraction qui est une combinaison d'interférences à fente unique et à double fente. Déterminez le rapport entre la largeur des fentes et la séparation entre elles, si le premier minimum du motif à fente unique tombe sur le cinquième maximum du motif à double fente. (Cela réduira considérablement l'intensité du cinquième maximum.)

36. Pour une configuration à double fente où la séparation des fentes est quatre fois supérieure à la largeur de la fente, combien de franges d'interférence se trouvent dans le pic central du diagramme de diffraction ?

37. La lumière d'une longueur d'onde de 500 nm tombe normalement sur 50 fentes\(\displaystyle 2.5×10^{−3}mm\) larges et\(\displaystyle 5.0×10^{−3}mm\) espacées. Combien de franges d'interférence se trouvent dans le pic central du diagramme de diffraction ?

38. Une lumière monochromatique d'une longueur d'onde de 589 nm incidente sur une double fente avec une largeur de fente\(\displaystyle 2.5μm\) et une séparation inconnue produit un diagramme de diffraction contenant neuf pics d'interférence à l'intérieur du maximum central. Trouvez la séparation des fentes.

39. Lorsqu'une lumière monochromatique d'une longueur d'onde de 430 nm est incidente sur une double fente de séparation de fentes\(\displaystyle 5μm\), il y a 11 franges d'interférence dans son maximum central. Combien de franges d'interférence se trouveront dans le maximum central d'une lumière de même longueur d'onde et de même largeur de fente, mais avec une nouvelle séparation de fente de\(\displaystyle 4 μm\) ?

40. Déterminez les intensités de deux pics d'interférence autres que le pic central dans le maximum central de la diffraction, si possible, lorsqu'une lumière de longueur d'onde de 628 nm est incidente sur une double fente de largeur 500 nm et de séparation de 1500 nm. Utilisez l'intensité du point central à atteindre\(\displaystyle 1mW/cm^2\).

4.4 Réseaux de diffraction

41. Un réseau de diffraction comporte 2 000 raies par centimètre. À quel angle se situera le maximum du premier ordre pour une lumière verte de 520 nm de longueur d'onde ?

42. Déterminez l'angle du maximum du troisième ordre pour une lumière jaune de longueur d'onde de 580 nm tombant sur un réseau de difraction de 1 500 lignes par centimètre.

43. Combien de lignes par centimètre y a-t-il sur un réseau de diffraction qui donne un maximum de premier ordre pour une lumière bleue de 470 nm sous un angle de\(\displaystyle 25.0°\) ?

44. Quelle est la distance entre les lignes d'un réseau de diffraction qui produit un maximum du second ordre pour une lumière rouge de 760 nm sous un angle de\(\displaystyle 60.0°\) ?

45. Calculez la longueur d'onde de la lumière qui a son maximum du second ordre\(\displaystyle 45.0°\) lorsqu'elle tombe sur un réseau de diffraction de 5 000 raies par centimètre.

46. Un courant électrique passant par de l'hydrogène produit plusieurs longueurs d'onde distinctes de lumière visible. Quelles sont les longueurs d'onde du spectre de l'hydrogène, si elles forment des maxima du premier ordre aux angles\(\displaystyle 24.2°,25.7°,29.1°,\) et\(\displaystyle 41.0°\) lorsqu'elles sont projetées sur un réseau de diffraction de 10 000 raies par centimètre ?

47. a) Que deviennent les quatre angles du problème précédent si l'on utilise un réseau de diffraction de 5 000 raies par centimètre ?

(b) En utilisant ce réseau, quels seraient les angles pour les maxima du second ordre ?

(c) Discuter de la relation entre les réductions intégrales des lignes par centimètre et les nouveaux angles des différents maxima d'ordre.

48. Quel est l'espacement entre les structures d'une plume qui agit comme un réseau de réflexion, ce qui leur permet de produire un maximum de premier ordre pour une lumière de 525 nm\(\displaystyle 30.0°\) sous un angle ?

49. Une opale telle que celle illustrée à la Figure 4.15 agit comme un réseau de réflexion avec des rangées séparées par environ\(\displaystyle 8μm.\) Si l'opale est éclairée normalement,

a) sous quel angle la lumière rouge sera-t-elle visible et

(b) sous quel angle la lumière bleue sera-t-elle visible ?

50. Sous quel angle un réseau de diffraction produit-il un maximum de second ordre pour une lumière ayant un maximum de premier ordre\(\displaystyle 20.0°\) ?

51. (a) Déterminer le nombre maximum de lignes par centimètre qu'un réseau de diffraction peut avoir et produire un maximum pour la plus petite longueur d'onde de lumière visible.

(b) Un tel réseau serait-il utile pour les spectres ultraviolets ?

(c) Pour les spectres infrarouges ?

52. a) Démontrer qu'un réseau de 30 000 lignes par centimètre ne produira pas un maximum de lumière visible.

(b) Quelle est la plus longue longueur d'onde pour laquelle elle produit un maximum de premier ordre ?

(c) Quel est le plus grand nombre de raies par centimètre qu'un réseau de diffraction peut avoir et produire un spectre complet du second ordre pour la lumière visible ?

53. L'analyse présentée ci-dessous s'applique également aux réseaux de diffraction dont les raies sont séparées par une distance d. Quelle est la distance entre les franges produites par un réseau de diffraction de 125 raies par centimètre pour une lumière de 600 nm, si l'écran se trouve à 1,50 m de distance ? (Conseil : la distance entre les franges adjacentes est\(\displaystyle Δy=xλ/d\), en supposant que la séparation de fente d est comparable à\(\displaystyle λ\).)

4.5 Ouvertures circulaires et résolution

54. Le radiotélescope Arecibo de 305 m de diamètre illustré à la Figure 4.20 détecte les ondes radio d'une longueur d'onde moyenne de 4,00 cm.

(a) Quel est l'angle entre deux sources ponctuelles qui viennent d'être résolues pour ce télescope ?

(b) Dans quelle mesure ces sources ponctuelles pourraient-elles se trouver à 2 millions d'années-lumière de la galaxie d'Andromède ?

55. En supposant la résolution angulaire trouvée pour le télescope Hubble dans l'exemple 4.6, quel est le plus petit détail pouvant être observé sur la lune ?

56. L'étalement de diffraction d'une lampe de poche est insignifiant par rapport à d'autres limites de son optique, telles que les aberrations sphériques dans son miroir. Pour le montrer, calculez l'étalement angulaire minimal d'un faisceau de lampe de poche d'un diamètre initial de 5 cm et d'une longueur d'onde moyenne de 600 nm.

57. a) Quel est l'étalement angulaire minimum d'un faisceau laser He-Ne de 633 nm d'une longueur d'onde de 633 nm dont le diamètre initial est de 1,00 mm ? (b) Si ce laser est dirigé vers une falaise de montagne située à 15 km, quelle sera la taille du point éclairé ? (c) Quelle serait la taille d'un point illuminé sur la lune, en négligeant les effets atmosphériques ? (Cela peut être fait pour toucher un réflecteur d'angle afin de mesurer le temps de trajet aller-retour et, par conséquent, la distance.)

58. Un télescope peut être utilisé pour agrandir le diamètre d'un faisceau laser et limiter l'étalement de la diffraction. Le faisceau laser est envoyé à travers le télescope dans la direction opposée à la normale et peut ensuite être projeté sur un satellite ou sur la lune. a) Si cela est fait avec le télescope du mont Wilson, qui produit un faisceau de lumière de 633 nm de diamètre de 2,54 m de diamètre, quel est l'étalement angulaire minimum du faisceau ? (b) En négligeant les effets atmosphériques, quelle est la taille du point que ce faisceau ferait sur la lune, en supposant une distance lunaire de\(\displaystyle 3.84×10^8m\). ?

59. La limite de l'acuité oculaire est en fait liée à la diffraction par la pupille.

(a) Quel est l'angle entre deux points lumineux pouvant être résolus à peine pour une pupille de 3,00 mm de diamètre, en supposant une longueur d'onde moyenne de 550 nm ?

(b) Considérez votre résultat comme la limite pratique pour l'œil. Quelle est la plus grande distance possible entre une voiture et vous si vous pouvez résoudre ses deux phares, étant donné qu'ils sont distants de 1,30 m ?

(c) Quelle est la distance entre deux points à peine résolvable tenus à bout de bras (0,800 m) de votre œil ?

(d) Comment votre réponse à la question (c) se compare-t-elle aux détails que vous observez normalement dans des circonstances de tous les jours ?

60. Quel est le diamètre minimum du miroir d'un télescope qui vous permettrait de voir des détails aussi petits que 5 km sur la Lune, à 384 000 km de distance ? Supposons une longueur d'onde moyenne de 550 nm pour la lumière reçue.

61. Déterminez le rayon de l'image d'une étoile sur la rétine d'un œil si sa pupille est ouverte à 0,65 cm et si la distance entre la pupille et la rétine est de 2,8 cm. Supposons\(\displaystyle λ=550nm\).

62. a) La planète naine Pluton et sa lune, Charon, sont séparées par 19 600 km. En négligeant les effets atmosphériques, le télescope Palomar Mountain de 5,08 m de diamètre devrait-il être capable de détecter ces corps lorsqu'ils\(\displaystyle 4.50×10^9km\) viennent de la Terre ? Supposons une longueur d'onde moyenne de 550 nm.

(b) En réalité, il est à peine possible de discerner que Pluton et Charon sont des corps distincts à l'aide d'un télescope au sol. Quelles en sont les raisons ?

63. Un satellite espion orbite autour de la Terre à 180 km d'altitude. Quel est le diamètre minimum de l'objectif d'un télescope qui doit être utilisé pour résoudre des colonnes de troupes marchant à 2,0 m l'une de l'autre ? Supposons que λ=550nm. λ=550nm.

64. Quelle est la distance angulaire minimale entre deux étoiles que le télescope Gemini South de 8,1 m permet de résoudre à peine, si les effets atmosphériques ne limitent pas la résolution ? Utilisez 550 nm pour la longueur d'onde de la lumière provenant des étoiles.

65. Les phares d'une voiture sont distants de 1,3 m. Quelle est la distance maximale à laquelle l'œil peut résoudre ces deux phares ? Supposons que le diamètre de la pupille soit de 0,40 cm.

66. Lorsque des points sont placés sur une page à l'aide d'une imprimante laser, ils doivent être suffisamment proches pour que vous ne puissiez pas voir les points d'encre individuels. Pour ce faire, la séparation des points doit être inférieure au critère de Raleigh. Prenez la pupille de l'œil à 3,0 mm et la distance entre le papier et l'œil de 35 cm ; déterminez la distance minimale entre deux points de telle sorte qu'ils ne puissent pas être résolus. À combien de points par pouce (dpi) cela correspond-il ?

67. Supposons que vous regardiez une autoroute depuis un avion de ligne volant à une altitude de 6,0 km. Quelle doit être la distance entre deux voitures pour pouvoir les distinguer ? Supposons que\(\displaystyle λ=550nm\) et que le diamètre de vos pupilles soit de 4,0 mm.

68. Un astronaute en orbite autour de la Terre à bord d'un satellite situé à 180 km de la surface peut-il distinguer deux gratte-ciel distants de 20 mètres ? Supposons que les pupilles des yeux de l'astronaute aient un diamètre de 5,0 mm et que la majeure partie de la lumière soit centrée autour de 500 nm.

69. Les personnages d'un tableau de bord de stade sont formés d'ampoules rapprochées qui émettent principalement de la lumière jaune. (Utilisation\(\displaystyle λ=600nm\).) Dans quelle mesure les ampoules doivent-elles être espacées pour qu'un observateur situé à 80 m puisse voir un affichage de lignes continues plutôt que les ampoules individuelles ? Supposons que la pupille de l'œil de l'observateur ait un diamètre de 5,0 mm.

70. Si un microscope peut accepter la lumière provenant d'objets à des angles aussi grands que\(\displaystyle α=70°\), quelle est la plus petite structure pouvant être résolue lorsqu'il est éclairé par une lumière d'une longueur d'onde de 500 nm et

a) le spécimen est dans l'air ?

(b) Lorsque l'échantillon est immergé dans de l'huile, avec un indice de réfraction de 1,52 ?

71. Un appareil photo utilise un objectif avec une ouverture de 2,0 cm. Quelle est la résolution angulaire d'une photographie prise à une longueur d'onde de 700 nm ? Peut-il résoudre les marques millimétriques d'une règle placée à 35 m de distance ?

4.6 Diffraction des rayons X

72. Les rayons X d'une longueur d'onde de 0,103 nm sont réfléchis par un cristal et un maximum du second ordre est enregistré à un angle de Bragg de\(\displaystyle 25.5°\). Quel est l'espacement entre les plans de diffusion dans ce cristal ?

73. Un maximum de réflexion de Bragg du premier ordre est observé lorsqu'un rayon X monochromatique tombe sur un cristal à un\(\displaystyle 32.3°\) angle par rapport à un plan réfléchissant. Quelle est la longueur d'onde de ce rayon X ?

74. Une expérience de diffusion des rayons X est réalisée sur un cristal dont les atomes forment des plans séparés par 0,440 nm. En utilisant une source de rayons X d'une longueur d'onde de 0,548 nm, quel est l'angle (par rapport aux plans en question) sous lequel l'expérimentateur doit éclairer le cristal afin d'observer un maximum du premier ordre ?

75. La structure du cristal de NaCl forme des plans réfléchissants distants de 0,541 nm. Quel est le plus petit angle, mesuré à partir de ces plans, auquel la diffraction des rayons X peut être observée, si des rayons X d'une longueur d'onde de 0,085 nm sont utilisés ?

76. Sur un cristal donné, un maximum de diffraction des rayons X du premier ordre est observé à un angle de\(\displaystyle 27.1°\) par rapport à sa surface, en utilisant une source de rayons X de longueur d'onde inconnue. De plus, lorsqu'il est éclairé avec une longueur d'onde différente, cette fois connue, de 0,137 nm, un maximum du second ordre est détecté à\(\displaystyle 37.3°\). Déterminez (a) l'espacement entre les plans réfléchissants et (b) la longueur d'onde inconnue.

77. Les cristaux de calcite contiennent des plans de diffusion séparés de 0,30 nm. Quelle est la séparation angulaire entre les maxima de diffraction du premier et du second ordre lorsque des rayons X d'une longueur d'onde de 0,130 nm sont utilisés ?

78. L'angle de Bragg du premier ordre pour un certain cristal est\(\displaystyle 12.1°\). Qu'est-ce que l'angle du second ordre ?

Problèmes supplémentaires

79. La lumière blanche tombe sur deux fentes étroites séparées de 0,40 mm. Le schéma d'interférence est observé sur un écran à 3 m de distance. a) Quelle est la différence entre les premiers maxima pour la lumière rouge (\(\displaystyle λ=700nm\)) et la lumière violette (\(\displaystyle λ=400nm\)) ? (b) À quel point le plus proche du maximum central un maximum pour la lumière jaune (\(\displaystyle λ=600nm\)) coïncidera-t-il avec un maximum pour la lumière violette ? Identifiez l'ordre pour chaque maximum.

80. Les micro-ondes d'une longueur d'onde de 10,0 mm tombent normalement sur une plaque métallique qui contient une fente de 25 mm de large.

(a) Où se situent les premiers minima du diagramme de diffraction ?

(b) Y aurait-il des minima si la longueur d'onde était de 30,0 mm ?

81. Les quasars, ou sources radio quasi-stellaires, sont des objets astronomiques découverts en 1960. Ce sont des émetteurs distants mais puissants d'ondes radio dont la taille angulaire est si petite qu'elles n'étaient pas résolues à l'origine, tout comme les étoiles. Le quasar 3C405 est en fait constitué de deux sources radio discrètes qui sous-tendent un angle de 82 secondes d'arc. Si cet objet est étudié à l'aide d'émissions radio à une fréquence de 410 MHz, quel est le diamètre minimum d'un radiotélescope capable de résoudre les deux sources ?

82. Deux fentes d'une largeur de 1 800 nm chacune et séparées par une distance centre à centre de 1 200 nm sont éclairées par des ondes planes provenant d'un laser à ions krypton émettant à la longueur d'onde 461,9 nm. Détermine le nombre de pics d'interférence dans le pic de diffraction central.

83. Une micro-onde de longueur d'onde inconnue est incidente sur une seule fente de 6 cm de large. On trouve que la largeur angulaire du pic central est de\(\displaystyle 25°\). Trouve la longueur d'onde.

84. La lumière rouge (longueur d'onde 632,8 nm dans l'air) émise par un laser à hélium-néon est incidente sur une seule fente d'une largeur de 0,05 mm. L'ensemble de l'appareil est immergé dans de l'eau d'indice de réfraction 1,333. Déterminez la largeur angulaire du pic central.

85. Un rayon lumineux d'une longueur d'onde de 461,9 nm émerge de l'ouverture circulaire de 2 mm d'un laser à ions krypton. En raison de la diffraction, le faisceau se dilate lorsqu'il s'éloigne. Quelle est la taille du point lumineux central à

a) 1 m,

b) 1 km,

(c) 1 000 km, et

d) à la surface de la Lune, à une distance de 400 000 km de la Terre.

86. À quelle distance doivent se trouver deux objets sur la lune pour pouvoir être distingués à l'œil nu si seuls les effets de diffraction de la pupille de l'œil limitent la résolution ? Supposons 550 nm pour la longueur d'onde de la lumière, le diamètre de la pupille de 5,0 mm et 400 000 km pour la distance par rapport à la lune.

87. À quelle distance doivent se trouver deux objets sur la Lune pour pouvoir être résolus par le télescope Gemini North de 8,1 m de diamètre situé au Mauna Kea, à Hawaï, si seuls les effets de diffraction de l'ouverture du télescope limitent la résolution ? Supposons 550 nm pour la longueur d'onde de la lumière et 400 000 km pour la distance jusqu'à la lune.

88. Un satellite espion est réputé être capable de détecter des objets distants de 10 cm tout en opérant à 197 km au-dessus de la surface de la Terre. Quel est le diamètre de l'ouverture du télescope si la résolution est limitée uniquement par les effets de diffraction ? Utilisez 550 nm pour la lumière.

89. La lumière monochromatique d'une longueur d'onde de 530 nm traverse une fente horizontale unique de largeur\(\displaystyle 1.5μm\) dans une plaque opaque. Un écran de dimensions\(\displaystyle 2.0m×2.0m\) différentes se trouve à 1,2 m de la fente.

(a) De quelle façon le diagramme de diffraction est-il réparti sur l'écran ?

(b) Quels sont les angles des minima par rapport au centre ?

(c) Quels sont les angles des maxima ?

(d) Quelle est la largeur de la frange lumineuse centrale de l'écran ?

(e) Quelle est la largeur de la prochaine frange lumineuse sur l'écran ?

90. Une lumière monochromatique de longueur d'onde inconnue est incidente sur une fente de largeur\(\displaystyle 20μm\). Un diagramme de diffraction est visible sur un écran à 2,5 m de distance où le maximum central est réparti sur une distance de 10,0 cm. Trouve la longueur d'onde.

91. Une source de lumière ayant deux longueurs d'onde 550 nm et 600 nm d'intensité égale est incidente sur une fente de largeur\(\displaystyle 1.8μm\). Déterminez la séparation des points\(\displaystyle m=1\) lumineux des deux longueurs d'onde sur un écran à 30 cm de distance.

92. Une seule fente d'une largeur de 2100 nm est éclairée normalement par une onde de longueur d'onde de 632,8 nm. Déterminez la différence de phase entre les vagues du haut et le tiers du bas de la fente jusqu'à un point sur un écran situé à une distance horizontale de 2,0 m et à une distance verticale de 10,0 cm du centre.

93. Une seule fente de largeur\(\displaystyle 3.0μm\) est éclairée par une lumière jaune sodium d'une longueur d'onde de 589 nm. Détermine l'intensité à un\(\displaystyle 15°\) angle par rapport à l'axe en termes d'intensité du maximum central.

94. Une seule fente de 0,10 mm de largeur est éclairée par une lampe à mercure de longueur d'onde de 576 nm. Détermine l'intensité à un\(\displaystyle 10°\) angle par rapport à l'axe en termes d'intensité du maximum central.

95. Un réseau de diffraction produit un second maximum situé à 89,7 cm du maximum central sur un écran distant de 2 m. Si le réseau compte 600 lignes par centimètre, quelle est la longueur d'onde de la lumière qui produit le diagramme de diffraction ?

96. Un réseau de 4 000 lignes par centimètre est utilisé pour diffracter la lumière contenant toutes les longueurs d'onde comprises entre 400 et 650 nm. Quelle est la largeur du spectre de premier ordre sur un écran situé à 3 m du réseau ?

97. Un réseau de diffraction de 2 000 raies par centimètre est utilisé pour mesurer les longueurs d'onde émises par un tube à décharge d'hydrogène. (a) Sous quels angles trouverez-vous les maxima des deux lignes bleues du premier ordre de longueurs d'onde 410 et 434 nm ? (b) Les maxima de deux autres lignes de premier ordre se trouvent à\(\displaystyle θ_1=0.097\) rad et\(\displaystyle θ_2=0.132\) rad. Quelles sont les longueurs d'onde de ces raies ?

98. Pour la lumière blanche (\(\displaystyle 400nm<λ<700nm\)) qui tombe normalement sur un réseau de diffraction, montrez que les spectres du deuxième et du troisième ordre se chevauchent, quelle que soit la constante du réseau d.

99. Combien d'ordres complets du spectre visible (\(\displaystyle 400nm<λ<700nm\)) peuvent être produits avec un réseau de diffraction contenant 5 000 raies par centimètre ?

100. Deux lampes produisant de la lumière d'une longueur d'onde de 589 nm sont fixées à 1,0 m l'une de l'autre sur une planche de bois. Quelle est la distance maximale qu'un observateur peut parcourir tout en considérant les lampes comme deux sources de lumière distinctes, si la résolution est uniquement affectée par la diffraction de la lumière pénétrant dans l'œil ? Supposons que la lumière pénètre dans l'œil par une pupille de 4,5 mm de diamètre.

101. Par temps clair, vous êtes au sommet d'une montagne et admirez une ville à 12 km. Deux hautes tours sont situées à 20,0 m l'une de l'autre dans la ville. Votre œil peut-il résoudre les deux tours si le diamètre de la pupille est de 4,0 mm ? Sinon, quelle devrait être la puissance de grossissement minimale du télescope nécessaire pour résoudre les deux tours ? Dans vos calculs, utilisez 550 nm pour la longueur d'onde de la lumière.

102. Les radiotélescopes sont des télescopes utilisés pour détecter les émissions radio en provenance de l'espace. Comme les ondes radio ont des longueurs d'onde beaucoup plus longues que la lumière visible, le diamètre d'un radiotélescope doit être très grand pour obtenir une bonne résolution. Par exemple, le radiotélescope de Penticton, en Colombie-Britannique, au Canada, a un diamètre de 26 m et peut fonctionner à des fréquences allant jusqu'à 6,6 GHz.

a) Quelle est la longueur d'onde correspondant à cette fréquence ?

(b) Quelle est la séparation angulaire de deux sources radio qui peut être résolue par ce télescope ?

(c) Comparez la résolution du télescope avec la taille angulaire de la lune.

Figure : 4.30 (crédit : Jason Nishiyama)

103. Calculez la longueur d'onde de la lumière qui produit son premier minimum à un angle de\(\displaystyle 36.9°\) lorsqu'elle tombe sur une seule fente de largeur\(\displaystyle 1.00μm\).

104. (a) Déterminer l'angle du troisième minimum de diffraction pour une lumière de 633 nm tombant sur une fente de largeur\(\displaystyle 20.0μm\).

(b) À quelle largeur de fente correspondrait ce minimum\(\displaystyle 85.0°\) ?

105. À titre d'exemple de diffraction par des ouvertures de dimensions quotidiennes, considérez une porte d'une largeur de 1,0 m.

a) Quelle est la position angulaire du premier minimum dans le diagramme de diffraction d'une lumière de 600 nm ?

(b) Répétez ce calcul pour une note de musique d'une fréquence de 440 Hz (A au-dessus du do central). Supposons que la vitesse du son soit de 343 m/s.

106. Quelles sont les positions angulaires des premier et deuxième minima dans un diagramme de diffraction produit par une fente de 0,20 mm de largeur éclairée par une lumière de 400 nm ? Quelle est la largeur angulaire du pic central ?

107. À quelle distance placeriez-vous un écran de la fente du problème précédent de telle sorte que le deuxième minimum soit à une distance de 2,5 mm du centre du diagramme de diffraction ?

108. Quelle est l'étroitesse d'une fente qui produit un diagramme de diffraction sur un écran situé à 1,8 m dont le pic central mesure 1,0 m de large ? Supposons\(\displaystyle λ=589nm\).

109. Supposons que le pic central d'un diagramme de diffraction à fente unique soit si large que les premiers minima peuvent être supposés se produire à des positions angulaires de ±90°±90°. Dans ce cas, quel est le rapport entre la largeur de la fente et la longueur d'onde de la lumière ?

110. Le pic de diffraction central du diagramme d'interférence à double fente contient exactement neuf franges. Quel est le rapport entre la séparation des fentes et la largeur de la fente ?

111. Déterminer les intensités de trois pics d'interférence autres que le pic central dans le maximum central de la diffraction, si possible, lorsqu'une lumière de longueur d'onde de 500 nm est incidente normalement sur une double fente de largeur 1000 nm et de séparation de 1500 nm. Utilisez l'intensité du point central à atteindre\(\displaystyle 1mW/cm^2\).

112. La lumière jaune émise par une lampe à vapeur de sodium semble être d'une longueur d'onde pure, mais elle produit deux maxima de premier ordre\(\displaystyle 36.129°\) lorsque\(\displaystyle 36.093°\) et lorsqu'elle est projetée sur un réseau de diffraction de 10 000 lignes par centimètre. Quelles sont les deux longueurs d'onde avec une précision de 0,1 nm ?

113. Les structures sur une plume d'oiseau agissent comme un réseau de réflexion de 8 000 lignes par centimètre. Quel est l'angle du maximum du premier ordre pour une lumière de 600 nm ?

114. Si un réseau de diffraction produit un maximum du premier ordre pour la plus courte longueur d'onde de lumière visible\(\displaystyle 30.0°\), à quel angle se situera le maximum du premier ordre pour la plus grande longueur d'onde de lumière visible ?

115. a) Quelle longueur d'onde visible a son maximum du quatrième ordre sous un angle de\(\displaystyle 25.0°\) projection sur un réseau de diffraction de 25 000 raies par centimètre ?

(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?

(c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?

116. Prenons l'exemple d'un spectromètre basé sur un réseau de diffraction. Créez un problème dans lequel vous calculez la distance entre deux longueurs d'onde de rayonnement électromagnétique dans votre spectromètre. Parmi les éléments à prendre en compte figurent les longueurs d'onde que vous souhaitez pouvoir distinguer, le nombre de lignes par mètre sur le réseau de diffraction et la distance entre le réseau et l'écran ou le détecteur. Discutez de l'aspect pratique de l'appareil en termes de capacité à discerner les longueurs d'onde d'intérêt.

117. Un astronome amateur veut construire un télescope avec une limite de diffraction qui lui permettra de voir s'il y a des personnes sur les lunes de Jupiter.

(a) Quel diamètre de miroir est nécessaire pour pouvoir voir 1 mètre de détail sur une lune jovienne\(\displaystyle 7.50×10^8km\) éloignée de la Terre ? La longueur d'onde de la lumière est en moyenne de 600 nm.

(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?

(c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?

Problèmes liés au défi

118. La lumière bleue d'une longueur d'onde de 450 nm tombe sur une fente de 0,25 mm de largeur. Une lentille convergente d'une distance focale de 20 cm est placée derrière la fente et focalise le motif de diffraction sur un écran.

(a) À quelle distance se trouve l'écran de l'objectif ?

(b) Quelle est la distance entre le premier et le troisième minima du diagramme de diffraction ?

119. (a) Supposons que les maxima se situent à mi-chemin entre les minima d'un diagramme de diffraction à fente unique. Utilisez le diamètre et la circonférence du diagramme de phaseur, tels que décrits dans Intensité dans la diffraction à fente unique, pour déterminer les intensités des troisième et quatrième maxima en termes d'intensité du maximum central.

(b) Faites le même calcul à l'aide de l'équation 4.4.

120. (a) En différenciant l'équation 4.4, montrez que les maxima d'ordre supérieur du diagramme de diffraction à fente unique se produisent à des valeurs\(\displaystyle β\) qui satisfont\(\displaystyle tanβ=β\).

(b)\(\displaystyle y=tanβ\) Tracez\(\displaystyle β\) et\(\displaystyle y=β\) versus et trouvez les intersections de ces deux courbes. Quelles informations vous donnent-ils sur l'emplacement des maxima ?

(c) Convainquez-vous que ces points n'apparaissent pas exactement à l'endroit où\(\displaystyle β=(n+\frac{1}{2})π\),\(\displaystyle n=0,1,2,…,\) mais qu'ils sont assez proches de ces valeurs.

121. Quel est le nombre maximum de raies par centimètre qu'un réseau de diffraction peut avoir et produire un spectre complet de premier ordre pour la lumière visible ?

122. Montrez qu'un réseau de diffraction ne peut pas produire un maximum du second ordre pour une longueur d'onde de lumière donnée à moins que le maximum du premier ordre ne soit à un angle inférieur à\(\displaystyle 30.0°\).

123. Un faisceau laser He-Ne est réfléchi par la surface d'un CD sur un mur. Le point le plus brillant est le faisceau réfléchi à un angle égal à l'angle d'incidence. Cependant, des franges sont également observées. Si le mur se trouve à 1,50 m du CD et que la première frange se trouve à 0,0 m du maximum central, quel est l'espacement des rainures sur le CD ?

124. Les objets vus au microscope sont placés très près du point focal de l'objectif. Montrez que la distance minimale x de deux objets pouvant être résolus au microscope est donnée par
\[x=\frac{1.22λf_0}{D}, \nonumber \]

où\(\displaystyle f_0\) est la distance focale et D est le diamètre de l'objectif, comme indiqué ci-dessous.