11.5 : Test d'homogénéité

Le test de qualité de l'ajustement peut être utilisé pour déterminer si une population correspond à une distribution donnée, mais il ne suffira pas de décider si deux populations suivent la même distribution inconnue. Un test différent, appelé test d'homogénéité, peut être utilisé pour déterminer si deux populations ont la même distribution. Pour calculer la statistique d'un test d'homogénéité, suivez la même procédure que pour le test d'indépendance.

REMARQUE

La valeur attendue à l'intérieur de chaque cellule doit être d'au moins cinq pour que vous puissiez utiliser ce test.

Hypothèses

• $H_0$: Les distributions des deux populations sont les mêmes.
• $H_a$: Les distributions des deux populations ne sont pas les mêmes.

Statistique de test

Utilisez une statistique de$\chi^2$ test. Il est calculé de la même manière que le test d'indépendance.

Degrés de liberté ($\bf{df}$)

$df = \text{ number of columns }- 1$

Exigences

Toutes les valeurs du tableau doivent être supérieures ou égales à cinq.

Usages courants

Comparaison de deux populations. Par exemple : hommes contre femmes, avant contre après, est contre ouest. La variable est catégorique avec plus de deux valeurs de réponse possibles.

Exemple$\PageIndex{1}$

Les étudiants masculins et féminins ont-ils la même répartition des conditions de vie ? Utilisez un seuil de signification de 0,05. Supposons que 250 étudiants de sexe masculin sélectionnés au hasard et 300 étudiantes sélectionnées au hasard aient été interrogés sur leurs conditions de vie : dortoir, appartement, chez les parents, autre. Les résultats sont présentés dans le tableau$\PageIndex{18}$. Les étudiants masculins et féminins ont-ils la même répartition des conditions de vie ?

\ (\ PageIndex {18} \) Distribution des conditions de vie pour les hommes et les femmes des universités « >

Tableau$\PageIndex{18}$ Répartition des conditions de vie pour les hommes et les femmes des collèges

	Dortoir	Appartement	Avec les parents	Autres
Hommes	72	84	49	45
Femmes	91	86	88	35

Réponse

Solution 11.11

$H_0$: La répartition des conditions de vie des étudiants de sexe masculin est la même que celle des conditions de vie des étudiantes.

$H_a$: La répartition des conditions de vie des étudiants de sexe masculin n'est pas la même que celle des conditions de vie des étudiantes.

Degrés de liberté ($\bf{df}$) :
$df =\text{ number of columns }– 1 = 4 – 1 = 3$

Distribution pour le test :$\chi_3^2$

Calculez le test statistique :$\chi_c^2 = 10.129$

Figurine$\PageIndex{9}$

Le graphique du Khi montre la distribution et marque la valeur critique avec trois degrés de liberté à un niveau de confiance de 95 %$\alpha = 0.05$, 7,815. Le graphique indique également la statistique de$\chi^2$ test calculée de 10,129. En comparant la statistique du test à la valeur critique, comme nous l'avons fait avec tous les autres tests d'hypothèse, nous arrivons à la conclusion.

Prenez une décision : étant donné que les statistiques de test calculées se situent à la traîne, nous ne pouvons pas les accepter$H_0$. Cela signifie que les distributions ne sont pas les mêmes.

Conclusion : À un seuil de signification de 5 %, les données permettent de conclure que la distribution des conditions de vie des étudiants et étudiantes n'est pas la même.

Notez que la conclusion est simplement que les distributions ne sont pas les mêmes. Nous ne pouvons pas utiliser le test d'homogénéité pour tirer des conclusions quant à leurs différences.

Exercice$\PageIndex{1A}$

Les familles et les célibataires ont-ils la même distribution de voitures ? Utilisez un seuil de signification de 0,05. Supposons qu'on demande à 100 familles et à 200 célibataires sélectionnés au hasard quel type de voiture ils conduisaient : sport, berline, hayon, camion, fourgonnette ou VUS. Les résultats sont présentés dans le tableau$\PageIndex{19}$. Les familles et les célibataires ont-ils la même distribution de voitures ? Test à un niveau de signification de 0,05.

\ (\ PageIndex {19} \) « >

Tableau$\PageIndex{19}$

	Sport	Sedan	hayon	Camion	Fourgonnette et VUS
Famille	5	15	35	17	28
Unique	45	65	37	46	7

Exercice$\PageIndex{1B}$

Les écoles de l'Ivy League reçoivent de nombreuses candidatures, mais seules certaines peuvent être acceptées. Dans les écoles listées dans le tableau$\PageIndex{20}$, deux types de demandes sont acceptés : les demandes régulières et les demandes de décision anticipée.

\ (\ Index de page {20} \) « >

Tableau$\PageIndex{20}$

Type de demande accepté	Marron	Colombie	Cornell	Dartmouth	Penn	Yale
Ordinaire	2 115	1 792	5 306	1 734	2 685	1 245
Décision rapide	577	627	1 228	444	1 195	761

Nous voulons savoir si le nombre de demandes régulières acceptées suit la même distribution que le nombre de demandes anticipées acceptées. Énoncez les hypothèses nulles et alternatives, les degrés de liberté et la statistique de test, esquissez le graphique de la$\chi^2$ distribution et montrez la valeur critique et la valeur calculée de la statistique de test, et tirez une conclusion sur le test d'homogénéité.