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8.6 : Les devoirs du chapitre

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    8.2 Un intervalle de confiance pour un écart type de population inconnu, cas à petit échantillon

    102.

    Dans six emballages de « The Flintstones® Real Fruit Snacks », il y avait cinq snacks Bam-Bam. Le nombre total de snacks contenus dans les six sacs était de 68. Nous souhaitons calculer un intervalle de confiance de 96 % pour la proportion de la population utilisant des snacks Bam-Bam.

    1. La FEC a communiqué les informations financières de 556 Leadership PAC qui ont fonctionné pendant le cycle électoral 2011-2012. Le tableau suivant montre le total des recettes reçues au cours de ce cycle pour une sélection aléatoire de 30 PAC de leadership. \ (\ PageIndex {3} \) « >
      46 500,00$0$40 966,50$105 887,20$5 175,00$
      29 050,00$19 500,00$181 557,20$31 500,00$149 970,80$
      2 555 363,20$12 025,00$409 000,00$60 521,70$18 000,00$
      61 810,20$76 530,80$119 459,20$0$63 520,00$
      6 500,00$502 578,00$705 061,10$708 258,90$135 810,00$
      2 000,00$2 000,00$0$1 287 933,80$219 148,30$
      Tableau\(\PageIndex{3}\)

      \(s=\$ 521,130.41\)

      Utilisez cet échantillon de données pour établir un intervalle de confiance de 95 % pour le montant moyen des fonds collectés par tous les Leadership PAC au cours du cycle électoral 2011-2012. Utilisez la distribution t de Student.

      108.

      Le magazine Forbes a publié des données sur les meilleures petites entreprises en 2012. Il s'agissait de sociétés cotées en bourse depuis au moins un an, dont le cours de l'action était d'au moins 5 dollars par action et dont le chiffre d'affaires annuel se situait entre 5 et 1 milliard de dollars. Le tableau\(\PageIndex{4}\) montre l'âge des PDG d'entreprises pour un échantillon aléatoire de ces entreprises.

      \ (\ PageIndex {4} \) « >
      4858516156
      5974635350
      5960605746
      5563574755
      5743616249
      6767555549

      Tableau 8.4

      Utilisez cet échantillon de données pour construire un intervalle de confiance de 90 % pour l'âge moyen des PDG de ces grandes petites entreprises. Utilisez la distribution t de Student.

      109.

      Les sièges inoccupés sur les vols entraînent des pertes de revenus pour les compagnies aériennes. Supposons qu'une grande compagnie aérienne souhaite estimer le nombre moyen de sièges inoccupés par vol au cours de l'année écoulée. Pour ce faire, les records de 225 vols sont sélectionnés de manière aléatoire et le nombre de sièges inoccupés est noté pour chacun des vols échantillonnés. La moyenne de l'échantillon est de 11,6 sièges et l'écart type de l'échantillon est de 4,1 sièges.

      1. Utilisez les informations suivantes pour répondre aux deux exercices suivants : Un spécialiste du contrôle qualité d'une chaîne de restaurants prélève un échantillon aléatoire de taille 12 pour vérifier la quantité de soda servie dans une portion de 16 oz. La moyenne de l'échantillon est de 13,30 avec un écart type de 1,55. Supposons que la population sous-jacente est distribuée normalement. 113.

        Déterminez l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne de la population réelle pour la quantité de soda servie.

        1. (12,42, 14,18)
        2. (12,32, 14,29)
        3. (12,50, 14,10)
        4. Impossible de déterminer

        8.3 Un intervalle de confiance pour une proportion de population

        114.

        Les compagnies d'assurance souhaitent connaître le pourcentage de la population de conducteurs qui mettent toujours leur ceinture avant de monter en voiture.

        1. Lorsque vous concevez une étude visant à déterminer cette proportion de population, quel est le nombre minimum que vous devez interroger pour être sûr à 95 % que la proportion de la population est estimée à 0,03 près ?
        2. S'il s'avérait par la suite qu'il était important d'avoir plus de 95 % de confiance et qu'une nouvelle enquête était commandée, comment cela affecterait-il le nombre minimum de personnes à interroger ? Pourquoi ?
        115.

        Supposons que les compagnies d'assurance aient fait une enquête. Ils ont interrogé 400 conducteurs au hasard et ont découvert que 320 d'entre eux affirmaient toujours porter leur ceinture. Nous nous intéressons à la proportion de la population de conducteurs qui affirment toujours porter leur ceinture.

          • \(x\)= __________
          • \(n\)= __________
          • \(p^{\prime}\)= __________
        2. Définissez les variables aléatoires\(X\) et\(P^{\prime}\), avec des mots.
        3. Quelle distribution devez-vous utiliser pour ce problème ? Expliquez votre choix.
        4. Établissez un intervalle de confiance de 95 % pour la proportion de la population qui affirme avoir toujours bouclé la ceinture.
          • Indiquez l'intervalle de confiance.
          • Esquissez le graphique.
        5. Si cette enquête était réalisée par téléphone, énumérez trois difficultés que les entreprises pourraient rencontrer pour obtenir des résultats aléatoires.
        116.

        Selon une récente enquête menée auprès de 1 200 personnes, 61 % estiment que le président fait un travail acceptable. Nous nous intéressons à la proportion de personnes qui estiment que le président fait un travail acceptable.

        1. Définissez les variables aléatoires\(X\) et avec\(P^{\prime}\) des mots.
        2. Quelle distribution devez-vous utiliser pour ce problème ? Expliquez votre choix.
        3. Établissez un intervalle de confiance de 90 % pour la proportion de personnes qui estiment que le président fait un travail acceptable.
          • Indiquez l'intervalle de confiance.
          • Esquissez le graphique.
        117.

        Un article sur les rencontres interraciales et le mariage a récemment été publié dans le Washington Post. Sur les 1 709 adultes sélectionnés au hasard, 315 se sont identifiés comme des Latinos, 323 se sont identifiés comme des Noirs, 254 se sont identifiés comme des Asiatiques et 779 se sont identifiés comme des Blancs. Dans cette enquête, 86 % des Noirs ont déclaré qu'ils accueilleraient une personne blanche dans leur famille. Parmi les Asiatiques, 77 % accueilleraient une personne blanche dans leur famille, 71 % accueilleraient un Latino et 66 % accueilleraient une personne noire.

        1. Nous souhaitons déterminer l'intervalle de confiance de 95 % pour le pourcentage de tous les adultes noirs qui accueilleraient une personne blanche dans leur famille. Définissez les variables aléatoires\(X\) et\(P^{\prime}\), avec des mots.
        2. Quelle distribution devez-vous utiliser pour ce problème ? Expliquez votre choix.
        3. Établissez un intervalle de confiance de 95 %.
          • Indiquez l'intervalle de confiance.
          • Esquissez le graphique.
        118.

        Reportez-vous aux informations du tableau qui\(\PageIndex{5}\) montre le total des recettes provenant de particuliers pour une sélection aléatoire de 40 candidats à la Chambre, arrondis à la centaine de dollars la plus proche. L'écart type pour ces données par rapport à la centaine la plus proche est\(\sigma\) = 909 200$.

        \ (\ PageIndex {5} \) « >
        3 600$1 243 900 dollars10 900$385 200$581 500$
        7 400$2 900$400$3 714 500 dollars632 500$
        391 000$467 400$56 800$5 800$405 200$
        733 200 dollars8 000$468 700 dollars75 200$41 000$
        13 300$9 500$953 800$1 113 500 dollars1 109 300 dollars
        353 900 dollars986 100 dollars88 600$378 200 dollars13 200$
        3 800$745 100 dollars5 800$3 072 100$1 626 700 dollars
        512 900 DOLLARS2 309 200 dollars6 600$202 400 dollars15 800$
        Tableau\(\PageIndex{5}\)
        1. Trouvez l'estimation ponctuelle de la moyenne de la population.
        2. Calculez la limite d'erreur avec un niveau de confiance de 95
        3. Créez un intervalle de confiance de 95 % pour le total moyen des contributions individuelles.
        4. Interprétez l'intervalle de confiance dans le contexte du problème.
        137.

        L'American Community Survey (ACS), qui fait partie du Bureau du recensement des États-Unis, effectue un recensement annuel similaire à celui effectué tous les dix ans, mais avec un plus petit pourcentage de participants. La plus récente enquête estime avec 90 % de certitude que le revenu moyen des ménages aux États-Unis se situe entre 69 720$ et 69 922$. Trouvez l'estimation ponctuelle du revenu moyen des ménages américains et la borne d'erreur du revenu moyen des ménages américains.

        138.

        La taille moyenne des jeunes hommes adultes a une distribution normale avec un écart-type de 2,5 pouces. Vous souhaitez estimer la taille moyenne des étudiants de votre collège ou université à moins d'un pouce avec une fiabilité de 93 %. Combien d'étudiants de sexe masculin devez-vous mesurer ?

        139.

        Si l'intervalle de confiance passe à une probabilité plus élevée, cela entraînerait-il une taille d'échantillon minimale plus faible ou plus élevée ?

        140.

        Si la tolérance est réduite de moitié, comment cela affecterait-il la taille minimale de l'échantillon ?

        141.

        Si la valeur de\(p\) est réduite, cela réduirait-il nécessairement la taille de l'échantillon nécessaire ?

        142.

        Est-il acceptable d'utiliser un échantillon d'une taille d'échantillon supérieure à celle qui a été calculée\(\frac{z^{2} p q}{e^{2}}\) ?

        143.

        Une entreprise exploite une chaîne de montage où 97,42 % des produits fabriqués sont acceptables. Puis, une pièce critique est tombée en panne. Après les réparations, la décision a été prise de voir si le nombre de produits défectueux fabriqués était encore suffisamment proche de la qualité de production de longue date. Des échantillons de 500 pièces ont été sélectionnés au hasard et le taux de défauts s'est avéré être de 0,025 %.

        1. La taille de l'échantillon est-elle suffisante pour affirmer que l'entreprise vérifie dans l'intervalle de confiance de 90 % ?
        2. L'intervalle de confiance à 95 % ?