7.6 : Les devoirs du chapitre

Le théorème de la limite centrale pour les moyennes d'échantillons

49

Auparavant, les étudiants en statistiques de De Anza estimaient que la quantité de changement que les étudiants transportent en statistiques diurnes est distribuée de manière exponentielle, avec une moyenne de 0,88 dollar. Supposons que nous choisissions au hasard 25 étudiants en statistiques diurnes.

1. En mots,\(Χ\) = ____________
2. \(Χ \sim\)_____ (_____, _____)
3. En mots,\(\overline X\) = ____________
4. \(\overline X \sim\)______ (______, ______)
5. Déterminez la probabilité qu'un individu ait entre 0,80$ et 1,00$. Représentez graphiquement la situation et ombragez la zone à déterminer.
6. Déterminez la probabilité que la moyenne des 25 étudiants se situe entre 0,80$ et 1,00$. Représentez graphiquement la situation et ombragez la zone à déterminer.
7. Expliquez pourquoi il y a une différence entre la partie e et la partie f.

Réponse

1. \(Χ\)= quantité de monnaie que les élèves transportent
2. \(Χ \sim E(0.88, 0.88)\)
3. \(\overline X\)= montant moyen de changement porté par un échantillon de 25 étudiants.
4. \(\overline X \sim N(0.88, 0.176)\)
5. \(0.0819\)
6. \(0.1882\)
7. Les distributions sont différentes. La partie 1 est exponentielle et la partie 2 est normale.

50.

Supposons que la distance entre les balles volantes et le champ extérieur (au baseball) soit normalement répartie avec une moyenne de 250 pieds et un écart type de 50 pieds. Nous prélevons au hasard 49 balles volantes.

1. Si\(\overline X\) = distance moyenne en pieds pour 49 balles volantes, alors\(\overline X \sim\) _______ (_______, _______)
2. Quelle est la probabilité que les 49 balles aient parcouru en moyenne moins de 240 pieds ? Esquissez le graphique. Redimensionnez l'axe horizontal pour\(\overline X\). Ombrez la région correspondant à la probabilité. Déterminez la probabilité.
3. Détermine le 80e percentile de la distribution de la moyenne de 49 balles volantes.

51.

Selon l'Internal Revenue Service, le délai moyen nécessaire à une personne pour remplir (conserver des dossiers pour, apprendre, préparer, copier, assembler et envoyer) le formulaire IRS 1040 est de 10,53 heures (sans aucun calendrier joint). La distribution est inconnue. Supposons que l'écart type soit de deux heures. Supposons que nous échantillonnions 36 contribuables au hasard

1. En mots,\(Χ =\) _____________
2. En mots,\(\overline X\) = _____________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
4. Seriez-vous surpris que les 36 contribuables aient terminé leur formulaire 1040 en moyenne plus de 12 heures ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas en phrases complètes.
5. Seriez-vous surpris qu'un contribuable remplisse son formulaire 1040 en plus de 12 heures ? Dans une phrase complète, expliquez pourquoi.

52.

Supposons qu'une catégorie de coureurs de renommée mondiale soit connue pour courir un marathon (26 miles) en 145 minutes en moyenne avec un écart-type de 14 minutes. Considérez 49 des courses. Soit\(\overline X\) la moyenne des 49 courses.

1. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
2. Déterminez la probabilité que le coureur passe en moyenne entre 142 et 146 minutes dans ces 49 marathons.
3. \(80^{th}\)Déterminez le centile de la moyenne de ces 49 marathons.
4. Déterminez la médiane des durées de fonctionnement moyennes.

53.

La durée des chansons d'une collection d'albums iTunes de collection est distribuée uniformément de deux à 3,5 minutes. Supposons que nous choisissions au hasard cinq albums de la collection. Il y a un total de 43 chansons sur les cinq albums.

1. En mots,\(Χ\) = _________
2. \(Χ \sim\)_____________
3. En mots,\(\overline X\) = _____________
4. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
5. Détermine le premier quartile de la durée moyenne d'une chanson.
6. La durée moyenne d'une chanson\(IQR\) (intervalle interquartile) est comprise entre _______—_______.

54.

En 1940, la superficie moyenne d'une ferme américaine était de 174 acres. Supposons que l'écart type était de 55 acres. Supposons que nous interrogions au hasard 38 agriculteurs de 1940.

1. En mots,\(Χ\) = _____________
2. En mots,\(\overline X\) = _____________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
4. La\(IQR\) superficie\(\overline X\) est comprise entre _______ acres et _______ acres.

55.

Déterminez laquelle des affirmations suivantes est vraie et laquelle est fausse. Ensuite, en phrases complètes, justifiez vos réponses.

1. Lorsque la taille de l'échantillon est importante, la moyenne de\(\overline X\) est approximativement égale à la moyenne de\(Χ\).
2. Lorsque la taille de l'échantillon est grande, elle\(\overline X\) est approximativement distribuée normalement.
3. Lorsque la taille de l'échantillon est importante, l'écart type de\(\overline X\) est approximativement le même que l'écart type de\(Χ\).

56.

Le pourcentage de calories grasses qu'une personne consomme chaque jour en Amérique est normalement réparti avec une moyenne d'environ 36 et un écart type d'environ dix. Supposons que 16 personnes soient choisies au hasard. Soit\(\overline X\) le pourcentage moyen de calories grasses.

1. \(\overline X \sim\)______ (______, ______)
2. Pour le groupe de 16 personnes, déterminez la probabilité que le pourcentage moyen de calories grasses consommées soit supérieur à cinq. Représentez graphiquement la situation et l'ombre dans la zone à déterminer.
3. Déterminez le premier quartile pour le pourcentage moyen de calories grasses.

57.

La répartition des revenus dans certains pays du tiers monde est considérée comme biseautée (beaucoup de personnes très pauvres, très peu de personnes à revenu moyen et encore moins de personnes riches). Supposons que nous choisissions un pays avec une distribution en forme de coin. Supposons que le salaire moyen soit de 2 000$ par an avec un écart-type de 8 000$. Nous enquêtons aléatoirement sur 1 000 habitants de ce pays.

1. En mots,\(Χ\) = _____________
2. En mots,\(\overline X\) = _____________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
4. Comment est-il possible que l'écart type soit supérieur à la moyenne ?
5. Pourquoi est-il plus probable que la moyenne des 1 000 habitants se situe entre 2 000$ et 2 100$ qu'entre 2 100$ et 2 200$ ?

58.

Lequel des énoncés suivants n'est PAS VRAI en ce qui concerne la distribution des moyennes ?

1. La moyenne, la médiane et le mode sont égaux.
2. L'aire sous la courbe est égale à une.
3. La courbe ne touche jamais l'axe X.
4. La courbe est inclinée vers la droite.

59.

Le coût de l'essence sans plomb dans la région de la baie de San Francisco suivait autrefois une distribution inconnue avec une moyenne de 4,59 dollars et un écart-type de 0,10 dollar. Seize stations-service de la Bay Area sont choisies au hasard. Nous nous intéressons au coût moyen de l'essence pour les 16 stations-service. La répartition à utiliser pour le coût moyen de l'essence pour les 16 stations-service est la suivante :

un.\(\overline X \sim N(4.59, 0.10)\)

b.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{0.10}{\sqrt{16}}\right)\)

c.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{16}{0.10}\right)\)

d.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{\sqrt{16}}{0.10}\right)\)

Utilisation du théorème de la limite centrale

60.

Une grande population de 5 000 étudiants passe un test pratique pour se préparer à un test standardisé. La moyenne de la population est correcte de 140 questions et l'écart type est de 80. Quelle taille d'échantillons un chercheur doit-il prélever pour obtenir une distribution des moyennes des échantillons avec un écart type de 10 ?

61.

Une grande population présente des données asymétriques avec une moyenne de 70 et un écart type de 6. Des échantillons de taille 100 sont prélevés et la distribution des moyennes de ces échantillons est analysée.

1. La distribution des moyennes sera-t-elle plus proche d'une distribution normale que celle de la population ?
2. La moyenne des échantillons restera-t-elle proche de 70 ?
3. La distribution des moyennes aura-t-elle un écart type plus faible ?
4. Qu'est-ce que cet écart type ?

62.

Un chercheur examine les données d'une grande population dont l'écart-type est beaucoup trop important. Afin de concentrer les informations, le chercheur décide d'échantillonner les données à plusieurs reprises et d'utiliser la distribution des moyennes des échantillons ? Le premier effort a utilisé un échantillon de 100 personnes. Mais l'écart type était environ le double de la valeur souhaitée par le chercheur. Quel est le plus petit échantillon que le chercheur peut utiliser pour remédier au problème ?

63.

Un chercheur examine un vaste ensemble de données et conclut que la population a un écart-type de 40. En utilisant des tailles d'échantillon de 64, le chercheur est en mesure de concentrer la moyenne des moyennes de l'échantillon sur une distribution plus étroite où l'écart type est de 5. Ensuite, le chercheur se rend compte qu'il y avait une erreur dans les calculs initiaux et que l'écart type initial est réellement de 20. Puisque l'écart type des moyennes des échantillons a été obtenu à l'aide de l'écart type d'origine, cette valeur est également affectée par la découverte de l'erreur. Quelle est la valeur correcte de l'écart type des moyennes des échantillons ?

64.

L'écart type d'une population est de 50. Il est échantillonné avec des échantillons de taille 100. Quelle est la variance des moyennes des échantillons ?

Le théorème de la limite centrale pour les proportions

65.

Un fermier cueille des citrouilles dans un grand champ. L'agriculteur prélève des échantillons de 260 citrouilles et les inspecte. Si une citrouille sur cinquante n'est pas propre au marché et doit être conservée pour les graines, quel est l'écart type de la moyenne de la distribution d'échantillonnage des proportions d'échantillons ?

66.

Un magasin interroge les clients pour savoir s'ils sont satisfaits du service qu'ils ont reçu. Des échantillons de 25 enquêtes sont prélevés. Une personne sur cinq n'est pas satisfaite. Quelle est la variance de la moyenne de la distribution d'échantillonnage des proportions d'échantillons pour le nombre de clients insatisfaits ? Quel est l'écart pour les clients satisfaits ?

67.

Une entreprise effectue un sondage anonyme auprès de ses employés pour savoir quel pourcentage de ses employés sont satisfaits. L'entreprise étant trop grande pour vérifier chaque réponse, des échantillons de 50 sont prélevés, et la tendance est que les trois quarts des employés sont satisfaits. Pour obtenir la moyenne de la distribution des proportions d'échantillon, répondez aux questions suivantes, si la taille de l'échantillon est doublée.

1. Comment cela affecte-t-il la moyenne ?
2. Comment cela affecte-t-il l'écart type ?
3. Comment cela affecte-t-il la variance ?

68.

Un sondeur pose une seule question avec uniquement des possibilités de réponse par oui et par non. Le sondage est mené à l'échelle nationale, de sorte que des échantillons de 100 réponses sont prélevés. Il y a quatre réponses « oui » pour chaque réponse négative dans l'ensemble. Pour la moyenne de la distribution d'échantillonnage des proportions d'échantillons, trouvez ce qui suit pour les réponses « oui ».

1. La valeur attendue.
2. L'écart type.
3. La variance.

69.

La moyenne de la distribution d'échantillonnage des proportions d'échantillons a une valeur\(p\) de 0,3 et une taille d'échantillon de 40.

1. Y a-t-il une différence entre la valeur attendue si\(p\) et les rôles\(q\) inverses ?
2. Y a-t-il une différence dans le calcul de l'écart type avec la même inversion ?

Facteur de correction pour population finie

70.

Une entreprise compte 1 000 employés. Le nombre moyen de jours de travail entre les absences pour maladie est de 80 avec un écart-type de 11 jours. Des échantillons de 80 employés sont examinés. Quelle est la probabilité qu'un échantillon ait une moyenne de jours de travail sans absence pour cause de maladie d'au moins 78 jours et d'au plus 84 jours ?

71.

Les camions passent une balance automatique qui surveille 2 000 camions. Cette population de camions a un poids moyen de 20 tonnes avec un écart-type de 2 tonnes. Si un échantillon de 50 camions est prélevé, quelle est la probabilité que l'échantillon ait un poids moyen inférieur à une demi-tonne de la moyenne de la population ?

72.

Une ville tient des registres météorologiques. À partir de ces données, il a été déterminé qu'il pleut en moyenne 12 % des jours de chaque année. Si 30 jours sont choisis au hasard parmi une année, quelle est la probabilité qu'il y ait eu au plus 3 jours de pluie ?

73.

Un fabricant de cartes de vœux a un problème d'encre qui provoque des taches d'encre sur 7 % des cartes. Le cycle de production quotidien est de 500 cartes. Quelle est la probabilité que, si un échantillon de 35 cartes est vérifié, il y ait des taches d'encre sur au plus 5 cartes ?

74.

Une école compte 500 élèves. En général, 20 étudiants sont absents en moyenne. Si un échantillon de 30 étudiants est prélevé un jour donné, quelle est la probabilité qu'au moins 2 étudiants de l'échantillon soient absents ?