7.4 : Facteur de correction pour une population finie

Nous avons constaté que la taille de l'échantillon a un effet important sur la variance et donc sur l'écart type de la distribution d'échantillonnage. La proportion de la population totale qui a été échantillonnée est également intéressante. Nous avons supposé que la population est extrêmement importante et que nous n'avons échantillonné qu'une petite partie de la population. À mesure que la population diminue et que nous échantillonnons un plus grand nombre d'observations, les observations de l'échantillon ne sont pas indépendantes les unes des autres. Pour corriger l'impact de cette situation, le facteur de correction fini peut être utilisé pour ajuster la variance de la distribution d'échantillonnage. Cela convient lorsque plus de 5 % de la population est échantillonnée et que la taille de la population est connue. Dans certains cas, la population est connue et le facteur de correction doit donc être appliqué. Le problème se pose à la fois pour la distribution d'échantillonnage des moyennes et pour la distribution d'échantillonnage des proportions. Le facteur de correction de la population finie pour la variance des moyennes indiquées dans la formule de normalisation est le suivant :

\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}\nonumber\]

et pour la variance des proportions, c'est :

\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\nonumber\]

Les exemples suivants montrent comment appliquer le facteur. Les variances d'échantillonnage sont ajustées à l'aide de la formule ci-dessus.

Exemple\(\PageIndex{1}\)

On apprend que la population de bergers blancs allemands aux États-Unis est de 4 000 chiens et que le poids moyen des bergers allemands est de 75,45 livres. On apprend également que l'écart type de la population est de 10,37 livres. Si la taille de l'échantillon est de 100 chiens, déterminez la probabilité qu'un échantillon ait une moyenne qui diffère de la moyenne de probabilité réelle de moins de 2 livres.

Réponse

Solution 7.1

\(N=4000, \quad n=100, \quad \sigma=10.37, \quad \mu=75.45, \quad(\overline{x}-\mu)=\pm 2\)

\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{ \pm 2}{\frac{10.37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4000-100}{4000-1}}}=\pm 1.95\nonumber\]

\[f(Z)=0.4744 \cdot 2=0.9488\nonumber\]

Notez que « diffère moins » fait référence à la zone située des deux côtés de la moyenne à moins de 2 livres à droite ou à gauche.

Exemple\(\PageIndex{2}\)

Lorsqu'un client passe une commande auprès de Rudy's On-Line Office Supplies, un système informatique d'information comptable (AIS) vérifie automatiquement si le client a dépassé sa limite de crédit. Les dossiers antérieurs indiquent que la probabilité que les clients dépassent leur limite de crédit est de 0,06.

Supposons qu'un jour donné, 3 000 commandes soient passées au total. Si nous sélectionnons 360 commandes au hasard, quelle est la probabilité qu'entre 10 et 20 clients dépassent leur limite de crédit ?

Réponse

Solution 7.2

\(N=3000, \quad n=360, \quad p=0.06\)

\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3000-360}{3000-1}}=0.0117\nonumber\]

\[p_{1}=\frac{10}{360}=0.0278, \quad p_{2}=\frac{20}{360}=0.0556\nonumber\]

\[Z=\frac{p^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{0.0278-0.06}{0.011744}=-2.74\nonumber\]

\[p\left(\frac{0.0278-0.06}{0.011744}<\frac{0.0556-0.06}{0.011744}\right)\]