La distribution exponentielle concerne souvent le temps qui s'écoule avant qu'un événement spécifique ne se produise. Par exemple, le temps (à partir de maintenant) qui s'écoule avant qu'un tremblement de terre ne se produise a une distribution exponentielle. D'autres exemples incluent la durée, en minutes, des appels téléphoniques professionnels interurbains et la durée, en mois, d'autonomie d'une batterie de voiture. Il peut également être démontré que la valeur de la monnaie que vous avez dans votre poche ou votre sac à main suit approximativement une distribution exponentielle.
Les valeurs d'une variable aléatoire exponentielle se présentent de la manière suivante. Il y a moins de grandes valeurs et plus de petites valeurs. Par exemple, des études de marketing ont montré que le montant d'argent que les clients dépensent en un seul passage au supermarché suit une distribution exponentielle. Il y a plus de personnes qui dépensent de petites sommes d'argent et moins de personnes qui dépensent de grosses sommes d'argent.
Les distributions exponentielles sont couramment utilisées dans les calculs de la fiabilité des produits ou de la durée de vie d'un produit.
La variable aléatoire de la distribution exponentielle est continue et mesure souvent un passage dans le temps, bien qu'elle puisse être utilisée dans d'autres applications. Les questions typiques peuvent être les suivantes : « Quelle est la probabilité qu'un événement se produise dans les prochaines\(x\) heures ou les prochains jours, ou quelle est la probabilité qu'un événement se produise entre des\(x_1\) heures et des\(x_2\) heures, ou quelle est la probabilité que l'événement prenne plus de\(x_1\) heures à se produire ? ? » En résumé, la variable aléatoire\(X\) est égale (a) au temps écoulé entre les événements ou (b) au temps écoulé pour terminer une action, par exemple attendre un client. La fonction de densité de probabilité est donnée par :
où se\(\mu\) situe le temps d'attente moyen historique.
et a une moyenne et un écart type de\(1/\mu\).
Une autre forme de formule de distribution exponentielle reconnaît ce que l'on appelle souvent le facteur de décroissance. Le facteur de décroissance mesure simplement la rapidité avec laquelle la probabilité d'un événement diminue à mesure que la variable aléatoire\(X\) augmente. Lorsque la notation utilisant le paramètre de désintégration m est utilisée, la fonction de densité de probabilité est présentée comme suit :
\[f(x)=m e^{-m x}\nonumber\]
où\(m=\frac{1}{\mu}\)
Afin de calculer les probabilités pour des fonctions de densité de probabilité spécifiques, la fonction de densité cumulée est utilisée. La fonction de densité cumulée (cdf) est simplement l'intégrale du fichier pdf et est :
Let\(X\) = temps (en minutes) qu'un commis des postes passe avec un client. Les données historiques indiquent que l'heure est en moyenne égale à quatre minutes.
On considère que les\(\mu = 4\) minutes, c'est-à-dire que le temps moyen que le commis passe avec un client est de 4 minutes. N'oubliez pas que nous faisons toujours des calculs de probabilité et qu'il faut donc nous communiquer les paramètres de la population tels que la moyenne. Pour effectuer des calculs, nous devons connaître la moyenne de la distribution : le temps historique nécessaire pour fournir un service, par exemple. La connaissance de la moyenne historique permet de calculer le paramètre de désintégration, m.
\(m=\frac{1}{\mu}\). Par conséquent,\(m=\frac{1}{4}=0.25\).
Lorsque la notation utilisait le paramètre de désintégration, m, la fonction de densité de probabilité est présentée sous la forme\(f(x)=m e^{-m x}\), qui est simplement la formule d'origine avec m remplacé par\(\frac{1}{\mu}\), ou\(f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}\).
Pour calculer les probabilités d'une fonction de densité de probabilité exponentielle, nous devons utiliser la fonction de densité cumulée. Comme indiqué ci-dessous, la courbe de la fonction de densité cumulée est la suivante :
\(f(x) = 0.25e^{–0.25x}\)où x est au moins égal à zéro et\(m = 0.25\).
Par exemple,\(f(5) = 0.25e^{(-0.25)(5)} = 0.072\). En d'autres termes, la fonction a une valeur de 0,072 lorsque\(x = 5\).
Le graphique est le suivant :
Figurine\(\PageIndex{13}\)
Notez que le graphique est une courbe descendante. Quand\(x = 0\),
\(f(x) = 0.25e^{(−0.25)(0)} = (0.25)(1) = 0.25 = m\). La valeur maximale sur l'axe y est toujours\(m\) divisée par la moyenne.
Exercice\(\PageIndex{3}\)
La durée pendant laquelle les conjoints achètent des cartes d'anniversaire peut être modélisée par une distribution exponentielle, le temps moyen étant égal à huit minutes. Écrivez la distribution, énoncez la fonction de densité de probabilité et représentez la distribution sous forme graphique.
Exemple\(\PageIndex{4}\)
a. À l'aide des informations de l'exemple\(\PageIndex{3}\), déterminez la probabilité qu'un employé passe de quatre à cinq minutes avec un client sélectionné au hasard.
Réponse
a. Trouvez\(P (4 < x < 5)\).
La fonction de distribution cumulée (CDF) donne la zone à gauche. \(P(x < x) = 1 – e^{–mx}\) \(P(x < 5) = 1 – e^{(–0.25)(5)} = 0.7135\)et\(P(x < 4) = 1 – e^{(–0.25)(4)} = 0.6321\) \(P(4 < x < 5)= 0.7135 – 0.6321 = 0.0814\)
Graphique 5.14
Exercice\(\PageIndex{4}\)
Le nombre de jours avant que les voyageurs achètent leurs billets d'avion peut être modélisé par une distribution exponentielle, le délai moyen étant égal à 15 jours. Déterminez la probabilité qu'un voyageur achète un billet moins de dix jours à l'avance. Combien de jours la moitié des voyageurs attendent-ils ?
Exemple\(\PageIndex{5}\)
En moyenne, une certaine partie de l'ordinateur dure dix ans. La durée de vie de la partie informatique est distribuée de manière exponentielle.
a. Quelle est la probabilité qu'une pièce informatique dure plus de 7 ans ?
Réponse
a. Supposons\(x =\) la durée (en années) d'une pièce informatique.
\ mu = 10 donc\(m=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{10}=0.1\)
Trouvez\(P(x > 7)\). Dessine le graphique. \(P(x > 7) = 1 – P(x < 7)\).
Depuis\(P(X < x) = 1 – e^{–mx}\) lors\(P(X > x) = 1 – ( 1 –^{e–mx}) = e^{–mx}\) \(P(x > 7) = e(–0.1)(7) = 0.4966\). La probabilité qu'une pièce informatique dure plus de sept ans est de\(0.4966\).
Figurine\(\PageIndex{15}\)
b. En moyenne, combien de temps dureraient cinq pièces informatiques si elles étaient utilisées les unes après les autres ?
Réponse
b. En moyenne, une partie d'un ordinateur dure dix ans. Par conséquent, cinq parties informatiques, si elles sont utilisées l'une après l'autre, dureront en moyenne (5) (10) = 50 ans.
d. Quelle est la probabilité qu'une pièce informatique dure entre 9 et 11 ans ?
Réponse
d. Trouvez\(P (9 < x < 11)\). Dessine le graphique.
Figurine\(\PageIndex{16}\)
\(P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^{(–0.1)(11)}) – (1 – e^{(–0.1)(9)}) = 0.6671 – 0.5934 = 0.0737\). La probabilité qu'une pièce informatique dure entre 9 et 11 ans est de\(0.0737\).
Exercice\(\PageIndex{5}\)
En moyenne, une paire de chaussures de course peut durer 18 mois si elle est utilisée tous les jours. La durée de vie des chaussures de course est distribuée de façon exponentielle. Quelle est la probabilité qu'une paire de chaussures de course dure plus de 15 mois ? Combien de temps dureraient en moyenne six paires de chaussures de course si elles étaient utilisées l'une après l'autre ? Quatre-vingt pour cent des chaussures de course durent tout au plus combien de temps si elles sont utilisées quotidiennement ?
Exemple\(\PageIndex{6}\)
Supposons que la durée d'un appel téléphonique, en minutes, soit une variable aléatoire exponentielle avec un paramètre de décroissance\(\frac{1}{12}\). Le paramètre de désintégration p [est une autre façon de visualiser 1/λ. Si une autre personne arrive à un téléphone public juste avant vous, déterminez la probabilité que vous deviez attendre plus de cinq minutes. Soit X la durée d'un appel téléphonique, en minutes.
Qu'est-ce\(m, \mu\) que et\(\sigma\) ? La probabilité que vous deviez attendre plus de cinq minutes est _______.
Réponse
\(m = \frac{1}{12}\)
\(\mu = 12\)
\(\sigma = 12\)
\(P(x > 5) = 0.6592\)
Exemple\(\PageIndex{7}\)
Le temps passé à attendre entre les événements est souvent modélisé à l'aide de la distribution exponentielle. Supposons, par exemple, qu'en moyenne 30 clients par heure arrivent dans un magasin et que le temps entre les arrivées soit réparti de manière exponentielle.
Combien de minutes s'écoulent en moyenne entre deux arrivées successives ?
Lorsque le magasin ouvre pour la première fois, combien de temps faut-il en moyenne pour que trois clients arrivent ?
Après l'arrivée d'un client, déterminez la probabilité qu'il faille moins d'une minute pour que le client suivant arrive.
Après l'arrivée d'un client, déterminez la probabilité qu'il faille plus de cinq minutes pour que le client suivant arrive.
Une distribution exponentielle est-elle raisonnable dans cette situation ?
Réponse
a. Comme nous prévoyons l'arrivée de 30 clients par heure (60 minutes), nous prévoyons en moyenne qu'un client arrive toutes les deux minutes en moyenne.
b.Comme un client arrive toutes les deux minutes en moyenne, il faudra en moyenne six minutes pour que trois clients arrivent.
c. Laissez\(X =\) le temps entre les arrivées, en minutes. Par la partie a\(\mu = 2\), donc\(m = \frac{1}{2}= 0.5\).
La fonction de distribution cumulée est\(P(X < x) = 1 – e^{(-0.5)(x)}\) donc\(P(X < 1) = 1 – e^{(–0.5)(1)} = 0.3935\).
Figurine\(\PageIndex{17}\)\(P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e^{(-0.5)(5)}) = e^{–2.5} \approx 0.0821\)d.
Figurine\(\PageIndex{18}\)
Ce modèle suppose qu'un seul client arrive à la fois, ce qui peut ne pas être raisonnable puisque les clients peuvent faire leurs achats en groupe, ce qui fait que plusieurs clients arrivent en même temps. Il suppose également que le flux de clients ne change pas au cours de la journée, ce qui n'est pas valable si certains moments de la journée sont plus chargés que d'autres.
Absence de mémoire de la distribution exponentielle
Rappelons que le temps passé entre les clients pour le commis des postes dont il a été question plus haut est réparti de façon exponentielle, avec une moyenne de deux minutes. Supposons que cinq minutes se soient écoulées depuis l'arrivée du dernier client. Étant donné qu'un délai anormalement long s'est écoulé, il semble plus probable qu'un client arrive dans la minute qui suit. Avec la distribution exponentielle, ce n'est pas le cas : le temps supplémentaire passé à attendre le prochain client ne dépend pas du temps qui s'est déjà écoulé depuis le dernier client. C'est ce que l'on appelle la propriété sans mémoire. Les fonctions de densité de probabilité exponentielle et géométrique sont les seules fonctions de probabilité qui possèdent la propriété sans mémoire. Plus précisément, la propriété sans mémoire indique que
\(P(X > r + t | X > r) = P (X > t)\)pour tous\(r \geq 0\) et\(t \geq 0\)
Par exemple, si cinq minutes se sont écoulées depuis l'arrivée du dernier client, la probabilité que plus d'une minute s'écoule avant l'arrivée du client suivant est calculée en utilisant r = 5 et t = 1 dans l'équation précédente.
Il s'agit de la même probabilité que d'attendre plus d'une minute pour qu'un client arrive après l'arrivée précédente.
La distribution exponentielle est souvent utilisée pour modéliser la longévité d'un dispositif électrique ou mécanique. Dans l'exemple\(\PageIndex{5}\), la durée de vie d'une certaine partie de l'ordinateur a une distribution exponentielle avec une moyenne de dix ans. La propriété sans mémoire indique que la connaissance de ce qui s'est passé dans le passé n'a aucun effet sur les probabilités futures. Dans ce cas, cela signifie qu'une pièce ancienne n'est pas plus susceptible de tomber en panne à un moment donné qu'une pièce toute neuve. En d'autres termes, la pièce reste comme neuve jusqu'à ce qu'elle se casse soudainement. Par exemple, si la pièce a déjà duré dix ans, la probabilité qu'elle dure encore sept ans est la\(P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0.4966\) suivante : la ligne verticale est lue comme « donnée ».
Exemple\(\PageIndex{8}\)
Renseignez-vous à nouveau auprès du commis des postes où le temps qu'un commis des postes passe avec son client a une distribution exponentielle avec une moyenne de quatre minutes. Supposons qu'un client ait passé quatre minutes avec un commis des postes. Quelle est la probabilité qu'il passe au moins trois minutes supplémentaires avec le commis des postes ?
Le paramètre de désintégration de\(X\) est\(m = \frac{1}{4} = 0.25\) donc\(X \sim Exp(0.25)\).
La fonction de distribution cumulée est\(P(X < x) = 1 – e^{–0.25x}\).
Nous voulons trouver\(P (X > 7|X > 4)\). La propriété sans mémoire indique cela\(P (X > 7|X > 4) = P (X > 3)\), il suffit donc de déterminer la probabilité qu'un client passe plus de trois minutes avec un commis des postes.
Relation entre le Poisson et la distribution exponentielle
Il existe une relation intéressante entre la distribution exponentielle et la distribution de Poisson. Supposons que le temps qui s'écoule entre deux événements successifs suive la distribution exponentielle avec une moyenne d'\(\mu\)unités de temps. Supposons également que ces heures soient indépendantes, ce qui signifie que le temps entre les événements n'est pas affecté par les temps entre les événements précédents. Si ces hypothèses se confirment, le nombre d'événements par unité de temps suit une distribution de Poisson avec une moyenne\(\mu\). Rappelez-vous que s'il\(X\) a la distribution de Poisson avec une moyenne\(\mu\), alors\(P(X=x)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}\).
La formule de la distribution exponentielle :\(P(X=x)=m e^{-m x}=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}\) Où est\(m =\) le paramètre de taux, ou le temps\(\mu =\) moyen entre les occurrences.
Nous voyons que l'exponentielle est la cousine de la distribution de Poisson et qu'elles sont liées par cette formule. Il existe des différences importantes qui rendent chaque distribution pertinente pour différents types de problèmes de probabilité.
Tout d'abord, le Poisson possède une variable aléatoire discrète\(x\), où le temps, une variable continue, est artificiellement divisée en morceaux discrets. Nous avons vu que le nombre d'occurrences d'un événement dans un intervalle de temps donné suit la distribution de Poisson.\(x\)
Par exemple, le nombre de fois que le téléphone sonne par heure. En revanche, le temps entre les occurrences suit la distribution exponentielle. Par exemple. Le téléphone vient de sonner, combien de temps faudra-t-il avant qu'il sonne à nouveau ? Nous mesurons la durée de l'intervalle, une variable aléatoire continue, exponentielle, et non des événements pendant un intervalle, Poisson.
La distribution exponentielle contre la distribution de Poisson
Une chronologie est un moyen visuel de montrer à la fois les similitudes et les différences entre ces deux distributions.
Graphique 5.20
La variable aléatoire de la distribution de Poisson est discrète et compte donc les événements au cours d'une période donnée,\(t_1\) jusqu'\(t_2\)à la figure\(\PageIndex{20}\), et calcule la probabilité que ce nombre se produise. Le nombre d'événements, quatre sur le graphique, est mesuré en nombres de comptage ; par conséquent, la variable aléatoire du Poisson est une variable aléatoire discrète.
La distribution de probabilité exponentielle calcule les probabilités de passage du temps, une variable aléatoire continue. Sur la figure,\(\PageIndex{20}\) cela est représenté par la parenthèse entre t1 et la prochaine occurrence de l'événement marqué par un triangle.
Les questions de distribution classiques de Poisson sont les suivantes : « Combien de personnes arriveront à mon guichet de paiement dans l'heure qui suit ? ».
Les questions classiques de distribution exponentielle sont « combien de temps faudra-t-il avant que la personne suivante arrive » ou, en variante, « combien de temps la personne restera-t-elle ici une fois arrivée ? ».
Encore une fois, la formule de la distribution exponentielle est la suivante :
Nous voyons immédiatement la similitude entre la formule exponentielle et la formule de Poisson.
\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]
Les deux fonctions de densité de probabilité sont basées sur la relation entre le temps et la croissance ou la décroissance exponentielle. Le « e » dans la formule est une constante d'une valeur approximative de 2,71828 et constitue la base de la formule de croissance exponentielle logarithmique naturelle. Quand les gens disent que quelque chose a connu une croissance exponentielle, c'est de cela qu'ils parlent.
Un exemple de l'exponentielle et du Poisson mettra clairement en évidence les différences entre les deux. Il montrera également les applications intéressantes dont ils disposent.
Distribution de poissons
Supposons qu'historiquement, 10 clients arrivent à la caisse chaque heure. N'oubliez pas qu'il s'agit toujours d'une probabilité et qu'il faut donc nous communiquer ces valeurs historiques. Nous voyons que c'est un problème de probabilité de Poisson.
Nous pouvons intégrer ces informations dans la fonction de densité de probabilité de Poisson et obtenir une formule générale qui calculera la probabilité qu'un nombre spécifique de clients arrivent dans l'heure suivante.
La formule est pour n'importe quelle valeur de la variable aléatoire que nous avons choisie, et donc le x est placé dans la formule. Voici la formule :
\[f(x)=\frac{10^{x} e^{-10}}{x !}\nonumber\]
À titre d'exemple, la probabilité que 15 personnes arrivent à la caisse dans l'heure qui suit serait
Ici, nous avons inséré x = 15 et calculé que la probabilité que 15 personnes arrivent dans l'heure suivante est de 0,061.
Distributionexponentielle
Si nous conservons les mêmes données historiques selon lesquelles 10 clients arrivent chaque heure, mais que nous nous intéressons maintenant au temps de service qu'une personne passe au comptoir, nous utiliserions alors la distribution exponentielle. La fonction de probabilité exponentielle pour n'importe quelle valeur de x, la variable aléatoire, pour ces données historiques de compteur de caisse particulières est la suivante :
Pour calculer\(\mu\) le temps de service moyen historique, nous divisons simplement le nombre de personnes qui arrivent par heure, 10, par la période, une heure, et qui ont\(\mu = 0.1\). Historiquement, les gens passent 0,1 heure à la caisse, soit 6 minutes. Cela explique le 1 de la formule.
Il existe une confusion naturelle entre\(\mu\) la formule de Poisson et la formule exponentielle. Ils ont des significations différentes, bien qu'ils aient le même symbole. La moyenne de l'exponentielle est divisée par la moyenne de Poisson. Si l'on vous donne le nombre historique d'arrivées, vous avez la moyenne du Poisson. Si l'on vous donne un intervalle de temps historique entre les événements, vous obtenez la moyenne d'une exponentielle.
Pour reprendre l'exemple du préposé à la caisse, si nous voulions connaître la probabilité qu'une personne passe 9 minutes ou moins à la caisse, nous utilisons cette formule. Tout d'abord, nous convertissons en unités de temps identiques qui font partie d'une heure. Neuf minutes, c'est 0,15 heure. Ensuite, nous notons que nous demandons une plage de valeurs. C'est toujours le cas pour une variable aléatoire continue. Nous écrivons la question de probabilité comme suit :
\[p(x \leq 9)=1-10 e^{-10 x}\nonumber\]
Nous pouvons maintenant entrer les chiffres dans la formule et nous avons notre résultat.
\[p(x=.15)=1-10 e^{-10(.15)}=0.7769\nonumber\]
La probabilité qu'un client passe 9 minutes ou moins à passer la commande est de\(0.7769\).
Nous constatons que nous avons une forte probabilité de sortir en moins de neuf minutes et une faible probabilité d'avoir 15 clients qui arrivent dans l'heure qui suit.
