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5.1 : Propriétés des fonctions de densité de probabilité continues

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    Le graphique d'une distribution de probabilité continue est une courbe. La probabilité est représentée par l'aire sous la courbe. Nous avons déjà atteint ce concept lorsque nous avons développé des fréquences relatives à l'aide d'histogrammes dans le chapitre 2. L'aire relative d'une plage de valeurs était la probabilité de tirer au hasard une observation dans ce groupe. Toujours avec la distribution de Poisson du chapitre 4, le graphique de l'exemple\(\PageIndex{14}\) utilisait des cases pour représenter la probabilité de valeurs spécifiques de la variable aléatoire. Dans ce cas, nous avons été un peu désinvoltes car les variables aléatoires d'une distribution de Poisson sont des nombres entiers discrets et une boîte a de la largeur. Notez que l'axe horizontal, la variable aléatoire\(x\), n'a délibérément pas marqué les points le long de l'axe. La probabilité d'une valeur spécifique d'une variable aléatoire continue sera nulle car l'aire sous un point est nulle. La probabilité est une zone.

    La courbe est appelée fonction de densité de probabilité (abrégée en pdf). Nous utilisons le symbole\(f(x))\) pour représenter la courbe. \(f(x))\)est la fonction qui correspond au graphe ; nous utilisons la fonction de densité\(f(x))\) pour dessiner le graphe de la distribution de probabilité.

    L'aire sous la courbe est donnée par une fonction différente appelée fonction de distribution cumulée (en abrégé cdf). La fonction de distribution cumulée est utilisée pour évaluer la probabilité en tant que surface. Mathématiquement, la fonction de densité de probabilité cumulée est l'intégrale du pdf, et la probabilité entre deux valeurs d'une variable aléatoire continue sera l'intégrale du pdf entre ces deux valeurs : l'aire sous la courbe entre ces valeurs. N'oubliez pas que la zone sous le pdf pour toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire est une, la certitude. La probabilité peut donc être considérée comme le pourcentage relatif de certitude entre les deux valeurs d'intérêt.

    • Les résultats sont mesurés et non comptabilisés.
    • La surface entière sous la courbe et au-dessus de l'axe des abscisses est égale à 1.
    • La probabilité est déterminée pour des intervalles de valeurs x plutôt que pour des\(x\) valeurs individuelles.
    • \(P(c < x < d)\)est la probabilité que la variable aléatoire X se trouve dans l'intervalle entre les valeurs c et d.\(P(c < x < d)\) est l'aire sous la courbe, au-dessus de l'axe X, à droite\(c\) et à gauche de\(d\).
    • \(P(x = c) = 0\)La probabilité qui\(x\) prend n'importe quelle valeur individuelle est nulle. La zone située en dessous de la courbe, au-dessus de l'axe X\(x = c\) et entre et n'\(x = c\)a aucune largeur, donc aucune zone (\(\text{area }= 0\)). Comme la probabilité est égale à la surface, la probabilité est également nulle.
    • \(P(c < x < d)\)est identique au\(P(c ≤ x ≤ d)\) fait que la probabilité est égale à la surface.

    Nous trouverons la zone qui représente la probabilité à l'aide de la géométrie, des formules, de la technologie ou des tables de probabilité. En général, un calcul intégral est nécessaire pour déterminer l'aire sous la courbe pour de nombreuses fonctions de densité de probabilité. Lorsque nous utilisons des formules pour trouver la zone dans ce manuel, les formules ont été trouvées en utilisant les techniques du calcul intégral.

    Il existe de nombreuses distributions de probabilité continues. Lorsque vous utilisez une distribution de probabilité continue pour modéliser la probabilité, la distribution utilisée est sélectionnée pour modéliser et adapter au mieux la situation particulière.

    Dans ce chapitre et le suivant, nous étudierons la distribution uniforme, la distribution exponentielle et la distribution normale. Les graphiques suivants illustrent ces distributions.

    Ce graphique montre une distribution uniforme. L'axe horizontal est compris entre 0 et 10. La distribution est modélisée par un rectangle s'étendant de x = 2 à x = 8,8. Une région comprise entre x = 3 et x = 6 est ombrée à l'intérieur du rectangle. La zone ombrée représente P (3 x < 6).
    Figure\(\PageIndex{2}\) Le graphique montre une distribution uniforme avec l'aire entre\(x = 3\) et\(x = 6\) ombrée pour représenter la probabilité que la valeur de la variable aléatoire\(X\) se situe dans l'intervalle compris entre trois et six.
    Figure\(\PageIndex{3}\) Le graphique montre une distribution exponentielle avec l'aire entre\(x = 2\) et\(x = 4\) ombrée pour représenter la probabilité que la valeur de la variable aléatoire\(X\) se situe dans l'intervalle entre deux et quatre.
    Ce graphique montre une distribution exponentielle. Le graphique présente une pente descendante. Il commence à un point de l'axe Y et s'approche de l'axe des X sur le bord droit du graphique. La région située sous le graphique, de x = 2 à x = 4, est ombrée pour représenter P (2 < x < 4).
    Figure\(\PageIndex{4}\) Le graphique montre la distribution normale standard avec l'aire entre\(x = 1\) et\(x = 2\) ombrée pour représenter la probabilité que la valeur de la variable aléatoire\(X\) se situe dans l'intervalle entre un et deux.

    Pour les distributions de probabilité continues, PROBABILITÉ = SURFACE.

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Considérez la fonction\(f(x) = \frac{1}{20}\) pour\(0 ≤ x ≤ 20. x =\) un nombre réel. Le graphique de\(f(x) = \frac{1}{20}\) est une ligne horizontale. Toutefois, puisque\(0 ≤ x≤ 20, f(x)\) se limite à la partie comprise entre\(x = 0\) et\(x = 20\), inclusivement.

    Cela montre le graphique de la fonction f (x) = 1/20. Une ligne horizontale va du point (0, 1/20) au point (20, 1/20). Une ligne verticale s'étend de l'axe X jusqu'à la fin de la ligne au point (20, 1/20) créant un rectangle.
    Figurine\(\PageIndex{5}\)

    \(f(x) = \frac{1}{20}\)pour\(0 ≤ x ≤ 20\).

    Le graphique de\(f(x) =\frac{1}{20}\) est un segment de ligne horizontale lorsque\(0 ≤ x ≤ 20\).

    La zone située entre\(f(x) = \frac{1}{20}\) où\(0 ≤ x ≤ 20\) et l'axe X est l'aire d'un rectangle avec base\(= 20\) et hauteur\(= \frac{1}{20}\).

    \[\operatorname{AREA}=20\left(\frac{1}{20}\right)=1\nonumber\]

    Supposons que nous voulions trouver la zone située entre\(bf{f(x)) = \frac{1}{20}}\) et l'axe x où\(\bf{0 < x < 2}\).

    Cela montre le graphique de la fonction f (x) = 1/20. Une ligne horizontale va du point (0, 1/20) au point (20, 1/20). Une ligne verticale s'étend de l'axe X jusqu'à la fin de la ligne au point (20, 1/20) créant un rectangle. Une région est ombrée à l'intérieur du rectangle, de x = 0 à x = 2.
    Figurine\(\PageIndex{6}\)

    \[\operatorname{AREA}=(2-0)\left(\frac{1}{20}\right)=0.1\nonumber\]

    \[(2-0)=2= \text{base of rectangle}\nonumber\]

    RAPPEL

    surface d'un rectangle = (base) (hauteur).

    L'aire correspond à une probabilité. La probabilité\(x\) comprise entre zéro et deux est\(0.1\), qui peut être écrite mathématiquement comme\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

    Supposons que nous voulions trouver la zone située entre\(\bf{f(x) = \frac{1}{20}}\) et l'axe x où\(\bf{ 4 < x < 15 }\).

    Cela montre le graphique de la fonction f (x) = 1/20. Une ligne horizontale va du point (0, 1/20) au point (20, 1/20). Une ligne verticale s'étend de l'axe X jusqu'à la fin de la ligne au point (20, 1/20) créant un rectangle. Une région est ombrée à l'intérieur du rectangle de x = 4 à x = 15.
    Figurine\(\PageIndex{7}\)

    \(\operatorname{AREA}=(15-4)\left(\frac{1}{20}\right)=0.55\)

    \((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

    L'aire correspond à la probabilité\(P (4 < x < 15) = 0.55\).

    Supposons que nous voulions trouver\(P(x = 15)\). Sur un graphique x-y,\(x = 15\) est une ligne verticale. Une ligne verticale n'a aucune largeur (ou une largeur nulle). Par conséquent,\(P(x = 15) =\) (base) (hauteur)\(= (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

    Cela montre le graphique de la fonction f (x) = 1/20. Une ligne horizontale va du point (0, 1/20) au point (20, 1/20). Une ligne verticale s'étend de l'axe X jusqu'à la fin de la ligne au point (20, 1/20) créant un rectangle. Une ligne verticale s'étend de l'axe horizontal au graphique à x = 15.
    Figurine\(\PageIndex{8}\)

    \(P(X ≤ x)\), qui peut également être écrite comme\(P(X < x)\) pour les distributions continues, est appelée fonction de distribution cumulative ou CDF. Remarquez le symbole « inférieur ou égal à ». Nous pouvons également utiliser le CDF pour calculer\(P (X > x)\). Le CDF donne « zone vers la gauche » et\(P(X > x)\) donne « zone vers la droite ». Nous calculons\(P(X > x)\) les distributions continues comme suit :\(P(X > x) = 1 – P (X < x)\).

    Cela montre le graphique de la fonction f (x) = 1/20. Une ligne horizontale va du point (0, 1/20) au point (20, 1/20). Une ligne verticale s'étend de l'axe X jusqu'à la fin de la ligne au point (20, 1/20) créant un rectangle. La zone située à gauche d'une valeur, x, est ombrée.
    Figurine\(\PageIndex{9}\)

    Étiquetez le graphique avec\(f(x)\) et\(x\). Redimensionnez les\(y\) axes\(x\) et avec le maximum\(x\) et\(y\) les valeurs. \(f(x) = \frac{1}{20} , 0 ≤ x ≤ 20\).

    Pour calculer la probabilité\(x\) entre deux valeurs, consultez le graphique suivant. Ombrez la région entre\(x = 2.3\) et\(x = 12.7\). Calculez ensuite la zone ombrée d'un rectangle.

    Cela montre le graphique de la fonction f (x) = 1/20. Une ligne horizontale va du point (0, 1/20) au point (20, 1/20). Une ligne verticale s'étend de l'axe X jusqu'à la fin de la ligne au point (20, 1/20) créant un rectangle. Une région est ombrée à l'intérieur du rectangle de x = 2,3 à x = 12,7
    Figurine\(\PageIndex{10}\)

    \(P(2.3<x<12.7)=(\text { base })(\text { height })=(12.7-2.3)\left(\frac{1}{20}\right)=0.52\)

    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    Considérez la fonction\(f(x) = \frac{1}{8}\) pour\(0 \leq x \leq 8\). Tracez le graphique\(f(x))\) et trouvez\(P(2.5 < x < 7.5)\).