12 : Vecteurs dans l'espace
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Une quantité ayant une amplitude et une direction est appelée vecteur. Les vecteurs ont de nombreuses applications réelles, y compris dans des situations impliquant une force ou une vitesse. Prenons l'exemple des forces qui agissent sur un bateau qui traverse une rivière. Le moteur du bateau génère une force dans une direction et le courant de la rivière génère une force dans une autre direction. Les deux forces sont des vecteurs. Nous devons tenir compte à la fois de l'ampleur et de la direction de chaque force si nous voulons savoir où ira le bateau.
- 12.1 : Vecteurs dans le plan
- Lors de la mesure d'une force, telle que la poussée des moteurs de l'avion, il est important de décrire non seulement l'intensité de cette force, mais également la direction dans laquelle elle est appliquée. Certaines grandeurs, telles que la force, sont définies à la fois en termes de taille (également appelée magnitude) et de direction. Une quantité qui possède une amplitude et une direction est appelée vecteur.
- 12.2 : Vecteurs en trois dimensions
- Pour étendre l'utilisation des vecteurs à des applications plus réalistes, il est nécessaire de créer un cadre pour décrire l'espace tridimensionnel. Cette section présente une extension naturelle du plan de coordonnées cartésien bidimensionnel en trois dimensions.
- 12.3 : Le produit Dot
- Dans cette section, nous développons une opération appelée produit scalaire, qui nous permet de calculer le travail dans le cas où le vecteur de force et le vecteur de mouvement ont des directions différentes. Le produit scalaire nous indique essentiellement la part du vecteur de force appliquée dans la direction du vecteur de mouvement. Le produit scalaire peut également nous aider à mesurer l'angle formé par une paire de vecteurs et la position d'un vecteur par rapport aux axes de coordonnées.
- 12.4 : Le produit Cross
- Dans cette section, nous développons une opération appelée produit croisé, qui nous permet de trouver un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés. Le calcul du couple est une application importante des produits croisés, et nous examinerons le couple plus en détail plus loin dans la section.
- 12.5 : Équations des lignes et des plans dans l'espace
- Pour écrire une équation pour une droite, nous devons connaître deux points sur la ligne, ou nous devons connaître la direction de la droite et au moins un point par lequel passe la droite. En deux dimensions, nous utilisons le concept de pente pour décrire l'orientation, ou la direction, d'une ligne. En trois dimensions, nous décrivons la direction d'une ligne à l'aide d'un vecteur parallèle à la droite. Dans cette section, nous examinons comment utiliser des équations pour décrire des lignes et des plans dans l'espace.
- 12.6 : Surfaces quadriques
- Nous avons exploré des vecteurs et des opérations vectorielles dans l'espace tridimensionnel, et nous avons développé des équations pour décrire des lignes, des plans et des sphères. Dans cette section, nous utilisons notre connaissance des plans et des sphères, qui sont des exemples de figures tridimensionnelles appelées surfaces, pour explorer diverses autres surfaces qui peuvent être représentées graphiquement dans un système de coordonnées tridimensionnel.
- 12.7 : Coordonnées cylindriques et sphériques
- Dans cette section, nous examinons deux manières différentes de décrire la position de points dans l'espace, toutes deux basées sur des extensions de coordonnées polaires. Comme leur nom l'indique, les coordonnées cylindriques sont utiles pour résoudre les problèmes liés aux cylindres, tels que le calcul du volume d'un réservoir d'eau rond ou de la quantité de pétrole s'écoulant dans un tuyau. De même, les coordonnées sphériques sont utiles pour résoudre les problèmes impliquant des sphères, tels que la détermination du volume des structures en forme de dôme.