6 : Applications de l'intégration
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Dans ce chapitre, nous utilisons des intégrales définies pour calculer la force exercée sur le barrage lorsque le réservoir est plein et nous examinons comment les changements du niveau d'eau affectent cette force. La force hydrostatique n'est qu'une des nombreuses applications des intégrales définies que nous explorons dans ce chapitre. Des applications géométriques telles que la surface et le volume aux applications physiques telles que la masse et le travail, en passant par les modèles de croissance et de décroissance, les intégrales définies constituent un outil puissant pour nous aider à comprendre et à modéliser le monde qui nous entoure.
- 6.0 : Prélude aux applications d'intégration
- Le barrage Hoover est une merveille d'ingénierie. Lorsque le lac Mead, le réservoir situé derrière le barrage, est plein, le barrage résiste à une grande force. Cependant, les niveaux d'eau du lac varient considérablement en raison des sécheresses et de la variation de la demande en eau.
- 6.1 : Zones entre les courbes
- Tout comme les intégrales définies peuvent être utilisées pour trouver l'aire sous une courbe, elles peuvent également être utilisées pour trouver l'aire entre deux courbes. Pour trouver l'aire entre deux courbes définies par des fonctions, intégrez la différence des fonctions. Si les graphes des fonctions se croisent ou si la région est complexe, utilisez la valeur absolue de la différence des fonctions. Dans ce cas, il peut être nécessaire d'évaluer deux intégrales ou plus.
- 6.2 : Déterminer les volumes en tranchant
- Dans cette section, nous utilisons des intégrales définies pour trouver des volumes de solides tridimensionnels. Nous envisageons trois approches (tranchage, disques et rondelles) pour déterminer ces volumes, en fonction des caractéristiques du solide.
- 6.3 : Volumes de révolution - Coques cylindriques
- Dans cette section, nous examinons la méthode des coques cylindriques, dernière méthode pour déterminer le volume d'un solide en révolution. Nous pouvons utiliser cette méthode sur les mêmes types de solides que la méthode des disques ou la méthode des rondelles ; cependant, avec les méthodes des disques et des rondelles, nous intégrons le long de l'axe des coordonnées parallèle à l'axe de révolution. Avec la méthode des coques cylindriques, nous intégrons le long de l'axe de coordonnées perpendiculaire à l'axe de révolution.
- 6.4 : Longueur de l'arc d'une courbe et surface
- La longueur de l'arc d'une courbe peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie. La longueur de l'arc est d'abord approximée à l'aide de segments de ligne, ce qui génère une somme de Riemann. Le fait de prendre une limite nous donne alors la formule intégrale définie. Le même processus peut être appliqué aux fonctions de y. Les concepts utilisés pour calculer la longueur de l'arc peuvent être généralisés pour trouver la surface d'une surface de révolution. Les intégrales générées à la fois par les formules de longueur d'arc et de surface sont souvent difficiles à évaluer.
- 6.5 : Applications physiques de l'intégration
- Dans cette section, nous examinons certaines applications physiques de l'intégration. Plusieurs applications physiques de l'intégrale définie sont courantes en ingénierie et en physique. Des intégrales définies peuvent être utilisées pour déterminer la masse d'un objet si sa fonction de densité est connue. Le travail peut également être calculé en intégrant une fonction de force ou en neutralisant la force de gravité, comme dans le cas d'un problème de pompage. Des intégrales définies peuvent également être utilisées pour calculer la force exercée sur un objet immergé dans un liquide.
- 6.6 : Moments et centres de la messe
- Dans cette section, nous examinons les centres de masse (également appelés centroïdes, sous certaines conditions) et les moments. L'idée de base du centre de gravité est la notion de point d'équilibre. Beaucoup d'entre nous ont vu des artistes faire tourner des planches au bout de bâtons. Les interprètes essaient de faire tourner plusieurs d'entre eux sans laisser tomber aucun d'entre eux. Mathématiquement, ce point idéal est appelé le centre de gravité de la plaque.
- 6.7 : Intégrales, fonctions exponentielles et logarithmes
- Nous avons déjà examiné les fonctions exponentielles et les logarithmes dans les chapitres précédents. Nous avons toutefois passé sous silence certains détails essentiels lors des discussions précédentes. Par exemple, nous n'avons pas étudié comment traiter les fonctions exponentielles avec des exposants irrationnels. La définition du nombre e est un autre domaine dans lequel le développement précédent était quelque peu incomplet. Nous disposons désormais des outils nécessaires pour traiter ces concepts d'une manière plus rigoureuse sur le plan mathématique, et nous le faisons dans cette section.
- 6.8 : Croissance et décroissance exponentielles
- L'une des applications les plus courantes des fonctions exponentielles concerne les modèles de croissance et de décroissance. La croissance et la décroissance exponentielles se manifestent dans de nombreuses applications naturelles. Qu'il s'agisse de la croissance démographique et de l'intérêt croissant continu, de la désintégration radioactive et de la loi de refroidissement de Newton, les fonctions exponentielles sont omniprésentes dans la nature. Dans cette section, nous examinons la croissance et la décroissance exponentielles dans le contexte de certaines de ces applications.
- 6.9 : Calcul des fonctions hyperboliques
- Les fonctions hyperboliques nous ont été présentées dans Introduction aux fonctions et aux graphes, ainsi que certaines de leurs propriétés de base. Dans cette section, nous examinons les formules de différenciation et d'intégration pour les fonctions hyperboliques et leurs inverses.
Vignette : région située entre deux fonctions.