5.4 : Formules d'intégration et théorème du changement net

Objectifs d'apprentissage

• Appliquez les formules d'intégration de base.
• Expliquez la signification du théorème du changement net.
• Utilisez le théorème du changement net pour résoudre les problèmes appliqués.
• Appliquez les intégrales des fonctions paires et impaires.

Dans cette section, nous utilisons certaines formules d'intégration de base étudiées précédemment pour résoudre certains problèmes appliqués clés. Il est important de noter que ces formules sont présentées en termes d'intégrales indéfinies. Bien que les intégrales définies et indéfinies soient étroitement liées, il y a quelques différences clés à garder à l'esprit. Une intégrale définie est soit un nombre (lorsque les limites d'intégration sont des constantes), soit une fonction unique (lorsque l'une des limites d'intégration ou les deux sont des variables). Une intégrale indéfinie représente une famille de fonctions qui diffèrent toutes par une constante. Au fur et à mesure que vous vous familiariserez avec l'intégration, vous saurez quand utiliser des intégrales définies et quand utiliser des intégrales indéfinies. Vous allez naturellement choisir la bonne approche pour un problème donné sans trop y penser. Cependant, jusqu'à ce que ces concepts soient ancrés dans votre esprit, réfléchissez bien à la question de savoir si vous avez besoin d'une intégrale définie ou d'une intégrale indéfinie et assurez-vous d'utiliser la notation appropriée en fonction de votre choix.

formules d'intégration de base

Rappelons les formules d'intégration données dans la section sur les antidérivés et les propriétés des intégrales définies. Examinons quelques exemples de la manière d'appliquer ces formules et propriétés.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Integrating a Function Using the Power Rule

Utilisez la règle d'alimentation pour intégrer la fonction\( \displaystyle ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt\).

Solution

La première étape consiste à réécrire la fonction et à la simplifier afin que nous puissions appliquer la règle de puissance :

\[ \begin{align*} ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt &=∫^4_1t^{1/2}(1+t)\,dt \\[4pt] &=∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt. \end{align*}\]

Appliquez maintenant la règle de puissance :

\[ \begin{align*} ∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt &= \left . \left(\frac{2}{3}t^{3/2}+\frac{2}{5}t^{5/2}\right) \right|^4_1 \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(4)^{3/2}+\frac{2}{5}(4)^{5/2} \right]− \left[\frac{2}{3}(1)^{3/2}+\frac{2}{5}(1)^{5/2}\right] \\[4pt] &=\frac{256}{15}. \end{align*}\]

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Trouvez l'intégrale définie de\( f(x)=x^2−3x\) sur l'intervalle\([1,3].\)

Allusion

Suivez la procédure décrite dans Exemple\(\PageIndex{1}\) pour résoudre le problème.

Réponse

\[ \int_1^3 \left(x^2 - 3x\right) \, dx = −\frac{10}{3} \nonumber \]

Le théorème du changement net

Le théorème de la variation nette prend en compte l'intégrale d'un taux de variation. Il indique que lorsqu'une quantité change, la nouvelle valeur est égale à la valeur initiale plus l'intégrale du taux de variation de cette quantité. La formule peut être exprimée de deux manières. La seconde est plus familière ; il s'agit simplement de l'intégrale définie.

Théorème du changement net

La nouvelle valeur d'une quantité variable est égale à la valeur initiale plus l'intégrale du taux de variation :

\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)dx \label{Net1} \]

ou

\[∫^b_aF'(x)dx=F(b)−F(a). \label{Net2} \]

La soustraction\(F(a)\) des deux côtés de l'équation \ ref {Net1} donne l'équation \ ref {Net2}. Comme ce sont des formules équivalentes, celle que nous utilisons dépend de l'application.

L'importance du théorème du changement net réside dans les résultats. La variation nette peut être appliquée à la surface, à la distance et au volume, pour ne citer que quelques applications. La variation nette prend automatiquement en compte les quantités négatives sans avoir à écrire plus d'une intégrale. Pour illustrer, appliquons le théorème du changement net à une fonction de vitesse dans laquelle le résultat est un déplacement.

Nous en avons examiné un exemple simple dans la section The Definite Integral. Supposons qu'une voiture se déplace plein nord (la direction positive) à 40 mi/h entre 14 h et 16 h, puis qu'elle se déplace vers le sud à 30 mi/h entre 16 h et 17 h. Nous pouvons représenter ce mouvement sur un graphique comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\).

Figure\(\PageIndex{1}\) : Le graphique montre la vitesse en fonction du temps pour un mouvement donné d'une voiture.

Comme nous l'avons fait auparavant, nous pouvons utiliser des intégrales définies pour calculer le déplacement net ainsi que la distance totale parcourue. Le déplacement net est donné par

\[ ∫^5_2v(t)\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_4−30\,dt=80−30=50. \nonumber \]

Ainsi, à 17 heures, la voiture se trouve à 80 km au nord de sa position de départ. La distance totale parcourue est donnée par

\[ ∫^5_2|v(t)|\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_430\,dt=80+30=110. \nonumber \]

Ainsi, entre 14 heures et 17 heures, la voiture a parcouru un total de 110 miles.

En résumé, le déplacement net peut inclure à la fois des valeurs positives et négatives. En d'autres termes, la fonction de vitesse prend en compte la distance vers l'avant et la distance vers l'arrière. Pour déterminer le déplacement net, intégrez la fonction de vitesse sur l'intervalle. La distance totale parcourue, en revanche, est toujours positive. Pour déterminer la distance totale parcourue par un objet, quelle que soit sa direction, nous devons intégrer la valeur absolue de la fonction de vitesse.

Exemple\(\PageIndex{2}\): Finding Net Displacement

À partir d'une fonction de vitesse\(v(t)=3t−5\) (en mètres par seconde) pour une particule en mouvement de temps\(t=0\) à autre,\(t=3,\) déterminez le déplacement net de la particule.

Solution

En appliquant le théorème du changement net, nous avons

\[ ∫^3_0(3t−5)\,dt=\left(\frac{3t^2}{2}−5t\right)\bigg|^3_0=\left[\frac{3(3)^2}{2}−5(3)\right]−0=\frac{27}{2}−15=\frac{27}{2}−\frac{30}{2}=−\frac{3}{2}. \nonumber \]

Le déplacement net est de\( −\frac{3}{2}\) m (Figure\(\PageIndex{2}\)).

Figure\(\PageIndex{2}\) : Le graphique montre la vitesse en fonction du temps pour une particule se déplaçant à l'aide d'une fonction de vitesse linéaire.

Exemple\(\PageIndex{3}\): Finding the Total Distance Traveled

Utilisez l'exemple\(\PageIndex{2}\) pour trouver la distance totale parcourue par une particule en fonction de la fonction de vitesse\(v(t)=3t−5\) m/sec sur un intervalle de temps\([0,3].\)

Solution

La distance totale parcourue inclut à la fois les valeurs positives et négatives. Par conséquent, nous devons intégrer la valeur absolue de la fonction de vitesse pour trouver la distance totale parcourue.

Pour continuer avec l'exemple, utilisez deux intégrales pour trouver la distance totale. Tout d'abord, trouvez l'\(t\)-intercept de la fonction, puisque c'est là que se produit la division de l'intervalle. Définissez l'équation à zéro et résolvez pour\(t\). Ainsi,

\[ \begin{align*} 3t−5 &=0 \\[4pt] 3t &=5 \\[4pt] t &=\frac{5}{3}. \end{align*}\]

Les deux sous-intervalles sont\( \left[0,\frac{5}{3}\right]\) et\( \left[\frac{5}{3},3\right]\). Pour connaître la distance totale parcourue, intégrez la valeur absolue de la fonction. Puisque la fonction est négative sur l'intervalle\(\left[0,\frac{5}{3}\right]\), nous avons\(\big|v(t)\big|=−v(t)\) dépassé cet intervalle. C'est terminé\(\left[ \frac{5}{3},3\right]\), la fonction est positive, donc\(\big|v(t)\big|=v(t)\). Ainsi, nous avons

\ [\ begin {align*} hide^3_0|v (t) | \, dt &=^^ {5/3} _0−v (t) \, dt+hide^3_ {5/3} v (t) \, dt \ \ [4 points]
&=^ {5/3} _0 5−3t \, dt+hide^3_ {5/3} 3t−5 \ dt \ \ [4 points]
&= \ left (5t− \ frac {3t^2}} \ droite) \ bigg|^ {5/3} _0+ \ left (\ frac {3t^2} {2} −5t \ right) \ bigg|^3_ {5/3} \ \ [4 points]
&= \ left [5 (\ frac {5} {3}) − frac {3 (5/3) ^2} {2} \ droite] −0+ \ gauche [\ frac {27} {2} −15 \ droite] − \ gauche [\ frac {3 (5/3) ^2} {2} − \ frac {25} {3} \ droite] \ \ [4 points]
&= \ frac {25} {3} − \ frac {25} {6}} + \ frac {27} {2} −15− \ frac {25} {6} + \ frac {25} {3} \ \ [4 points]
&= \ frac {41} {6} \ end {align*} \]

Ainsi, la distance totale parcourue est\( \frac{14}{6}\) de m.

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Déterminez le déplacement net et la distance totale parcourue en mètres en fonction de la fonction\(f(t)=\frac{1}{2}e^t−2\) de vitesse sur l'intervalle\([0,2]\).

Allusion

Suivez les procédures décrites dans Exemples\(\PageIndex{2}\) et\(\PageIndex{3}\). Notez que\(f(t)≤0\) pour\(t≤\ln 4\) et\(f(t)≥0\) pour\(t≥\ln 4\).

Réponse

Déplacement net :\( \frac{e^2−9}{2}≈−0.8055\) m ; distance totale parcourue :\( 4\ln 4−7.5+\frac{e^2}{2}≈1.740\) m.

Appliquer le théorème du changement net

Le théorème du changement net peut être appliqué au débit et à la consommation de fluides, comme indiqué dans l'exemple\(\PageIndex{4}\).

Exemple\(\PageIndex{4}\): How Many Gallons of Gasoline Are Consumed?

Si le moteur d'un bateau à moteur démarre\(t=0\) et que le bateau consomme de l'essence à raison de\(5−t^3\) gal/h, quelle quantité d'essence est consommée au cours des premières\(2\) heures ?

Solution

Exprimez le problème sous la forme d'une intégrale définie, intégrez et évaluez à l'aide du théorème fondamental du calcul. Les limites d'intégration sont les extrémités de l'intervalle [0,2]. Nous avons

\[ \begin{align*} ∫^2_0\left(5−t^3\right)\,dt &=\left(5t−\frac{t^4}{4}\right)∣^2_0 \\[4pt] &=\left[5(2)−\frac{(2)^4}{4}\right]−0 \\[4pt] &=10−\frac{16}{4} \\[4pt] &=6. \end{align*} \nonumber \]

Ainsi, le bateau à moteur consomme des\(6\) gallons d'essence en\(2\) quelques heures.

Exemple\(\PageIndex{5}\): Chapter Opener: Iceboats

Comme nous l'avons vu au début du chapitre, les meilleurs pilotes de bateaux sur glace peuvent atteindre des vitesses jusqu'à cinq fois supérieures à la vitesse du vent. Andrew est un plaisancier de niveau intermédiaire, il atteint donc des vitesses qui ne sont que deux fois supérieures à la vitesse du vent.

Figure\(\PageIndex{3}\) : (source : modification de l'œuvre de Carter Brown, Flickr)

Supposons qu'Andrew sorte de son bateau à glace un matin alors qu'\(5\)une légère brise souffle toute la matinée. Alors qu'Andrew installe son bateau à glace, le vent commence à se lever. Au cours de sa première demi-heure de navigation sur glace, la vitesse du vent augmente selon la fonction.\(v(t)=20t+5.\) Pendant la deuxième demi-heure de sortie d'Andrew, le vent reste constant à\(15\) mi/h. En d'autres termes, la vitesse du vent est donnée par

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\15, & \text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases} \nonumber \]

Si l'on se souvient que le bateau à glace d'Andrew se déplace deux fois plus vite que le vent, et en supposant qu'il s'éloigne en ligne droite de son point de départ, à quelle distance se trouve-t-il de son point de départ au bout d'\(1\)une heure ?

Solution

Pour déterminer la distance parcourue par Andrew, nous devons intégrer sa vitesse, qui est le double de la vitesse du vent. Alors

\[\text{Distance} = ∫^1_02v(t)\,dt. \nonumber \]

En substituant les expressions qui nous ont été données\(v(t)\), nous obtenons

\ [\ begin {align*} ½^1_02v (t) \, dt &=^^ {1/2} _02v (t) \, dt+lq^1_ {1/2} 2v (t) \, dt \ \ [4 points]
&=^ {1/2} _02 (20t+5) \, dt+98.^1_ {1/3} 2 (15) \, dt \ \ [4 points]
&=^^ {1/2} _0 (40t+10) \, dt+^1_ {1/2} 30 \, dt \ \ [4 points]
&= \ grand [20t^2+10 t \ gros] \ bigg|^ {1/2} _0+ \ grand [30 t \ gros] \ bigg|^1_ {1/2} \ \ [4 points]
&= \ left (\ frac {20} {4} +5 \ right) −0+ (30−15) \ \ [4 points]
&=25. \ end {align*} \]

Andrew est à 40 km de son point de départ après 1 heure.

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Supposons qu'au lieu de rester stable pendant la deuxième demi-heure de sortie d'Andrew, le vent commence à se calmer selon la fonction.\(v(t)=−10t+15.\) En d'autres termes, la vitesse du vent est donnée par

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\−10t+15, &\text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases}. \nonumber \]

Dans ces conditions, à quelle distance se trouve Andrew de son point de départ au bout d'une heure ?

Allusion

N'oubliez pas que le bateau à glace d'Andrew se déplace deux fois plus vite que le vent.

Réponse

\(17.5\)mi

Intégration de fonctions paires et impaires

Nous avons vu dans Fonctions et graphes qu'une fonction paire est une fonction dans laquelle,\(f(−x)=f(x)\) pour tous les\(x\) membres du domaine, le graphe de la courbe reste inchangé lorsqu'il\(x\) est remplacé par\(−x\). Les graphes des fonctions paires sont symétriques par rapport à\(y\) l'axe. Une fonction impaire est une fonction dans laquelle\(f(−x)=−f(x)\) tous se\(x\) trouvent dans le domaine, et le graphe de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.

Les intégrales des fonctions paires, lorsque les limites d'intégration sont comprises entre\(−a\) et\(a\), impliquent deux zones égales, car elles sont symétriques par rapport à l'\(y\)axe. Intégrales de fonctions impaires, lorsque les limites d'intégration sont évaluées de la même manière\([−a,a],\) à zéro parce que les zones situées au-dessus et en dessous de\(x\) l'axe sont égales.

Intégrales des fonctions paires et impaires

Pour des fonctions régulières et continues telles que\(f(−x)=f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=2∫^a_0f(x)\,dx. \nonumber \]

Pour les fonctions impaires continues telles que\(f(−x)=−f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=0. \nonumber \]

Exemple\(\PageIndex{6}\): Integrating an Even Function

Intégrez la fonction pair\(\displaystyle ∫^2_{−2}(3x^8−2)\,dx\) et vérifiez que la formule d'intégration pour les fonctions paires est correcte.

Solution

La symétrie apparaît dans les graphiques de la figure\(\PageIndex{4}\). Le graphique (a) montre la région située en dessous de la courbe et au-dessus de l'\(x\)axe. Nous devons zoomer énormément sur ce graphique pour voir la région. Le graphique (b) montre la région au-dessus de la courbe et en dessous de l'\(x\)axe. La zone signée de cette région est négative. Les deux vues illustrent la symétrie autour de\(y\) l'axe -d' une fonction paire. Nous avons

\ [\ begin {align*} ^2_ {−2} (3x^8−2) \, dx &= \ left (\ frac {x^9} {3} −2x \ right) ^2_ {−2} \ \ [4pt]
&= \ left [\ frac {(2) ^9} {3} −2 (2) \ droite] − \ gauche [\ frac {(2) ^9} {3} −2 (2) \ droite] − \ gauche [\ frac {(2) ^9} {3} −2 (2) \ droite] − \ gauche [ac {(−2) ^9} {3} −2 (−2) \ droite] \ \ [4 points]
&= \ gauche (\ frac {512} {3} −4 \ droite) − \ gauche (− \ frac {512} {3} +4 \ droite) \ \ [4 points]
&= \ frac {1000} {3} . \ end {align*} \]

Pour vérifier la formule d'intégration des fonctions paires, nous pouvons calculer l'intégrale de\(0\) à\(2\) et la doubler, puis vérifier que nous obtenons la même réponse.

\[ ∫^2_0(3x^8−2)\,dx=\left(\frac{x^9}{3}−2x\right)\bigg|^2_{0}=\frac{512}{3}−4=\frac{500}{3} \nonumber \]

Puisque\( 2⋅\frac{500}{3}=\frac{1000}{3},\) nous avons vérifié la formule pour les fonctions paires dans cet exemple particulier.

Figure\(\PageIndex{4}\) : Le graphique (a) montre la zone positive entre la courbe et l'\(x\)axe, tandis que le graphique (b) montre la zone négative entre la courbe et l'\(x\)axe. Les deux vues montrent la symétrie autour de l'\(y\)axe.

Exemple\(\PageIndex{7}\): Integrating an Odd Function

Évaluez l'intégrale définie de la fonction impaire\(−5 \sin x\) sur l'intervalle\([−π,π].\)

Solution

Le graphique est illustré dans la figure\(\PageIndex{5}\). Nous pouvons voir la symétrie autour de l'origine par la zone positive au-dessus de\(x\) l'axe -au-dessus\([−π,0]\) et par la zone négative sous l'\(x\)axe -au-dessus de\([0,π].\) nous

\[ \begin{align*} ∫^π_{−π}−5\sin x \,dx &=−5(−\cos x)\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=5\cos x\,\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=[5\cos π]−[5\cos(−π)] \\[4pt] &=−5−(−5)=0. \end{align*}\]

Figure : Le\(\PageIndex{5}\) graphique montre les zones situées entre une courbe et l'axe\(x\) -pour une fonction impaire.

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Intégrez la fonction\(\displaystyle ∫^2_{−2}x^4\,dx.\)

Allusion

Intégrez une fonction uniforme.

Réponse

\(\dfrac{64}{5}\)

Concepts clés

• Le théorème de variation nette indique que lorsqu'une quantité change, la valeur finale est égale à la valeur initiale plus l'intégrale du taux de variation. La variation nette peut être un nombre positif, un nombre négatif ou zéro.
• L'aire sous une fonction paire sur un intervalle symétrique peut être calculée en doublant l'aire sur l'\(x\)axe positif. Pour une fonction impaire, l'intégrale sur un intervalle symétrique est égale à zéro, car la moitié de l'aire est négative.

Équations clés

• Théorème du changement net\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)\,dx\nonumber \] ou\[∫^b_aF'(x)\,dx=F(b)−F(a) \nonumber \]

Lexique

théorème du changement net

si nous connaissons le taux de variation d'une quantité, le théorème de variation nette indique que la quantité future est égale à la quantité initiale plus l'intégrale du taux de variation de la quantité