5.2E : Exercices pour la section 5.2

Dans les exercices 1 à 4, exprimez les limites sous forme d'intégrales.

1)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(x^∗_i)Δx\) plus\([1,3]\)

2)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(5(x^∗_i)^2−3(x^∗_i)^3)Δx\) terminé\([0,2]\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^2_0(5x^2−3x^3)\,dx\)

3)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\sin^2(2πx^∗_i)Δx\) terminé\([0,1]\)

4)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\cos^2(2πx^∗_i)Δx\) terminé\([0,1]\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^1_0\cos^2(2πx)\,dx\)

Dans les exercices 5 à 10, donnés\(L_n\) ou\(R_n\) tels qu'indiqués, exprimez leurs limites\(n→∞\) sous forme d'intégrales définies, en identifiant les intervalles corrects.

5)\(\displaystyle L_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i−1}{n}\)

6)\(\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^1_0x\,dx\)

7)\(\displaystyle Ln=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n(1+2\frac{i−1}{n})\)

8)\(\displaystyle R_n=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n(3+3\frac{i}{n})\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^6_3x\,dx\)

9)\(\displaystyle L_n=\frac{2π}{n}\sum_{i=1}^n2π\frac{i−1}{n}\cos(2π\frac{i−1}{n})\)

10\(\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1+\frac{i}{n})\log((1+\frac{i}{n})^2)\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^2_1x\log(x^2)\,dx\)

Dans les exercices 11 à 16, évaluez les intégrales des fonctions représentées graphiquement à l'aide des formules pour les zones de triangles et de cercles, et en soustrayant les zones situées sous l'\(x\)axe.

11)

(12)

Réponse

\( 1+2⋅2+3⋅3=14\)

13)

(14)

Réponse

\(1−4+9=6\)

(15)

16)

Réponse

\(1−2π+9=10−2π\)

Dans les exercices 17 à 24, évaluez l'intégrale à l'aide de formules de surface.

17)\(\displaystyle ∫^3_0(3−x)\,dx\)

18)\(\displaystyle ∫^3_2(3−x)\,dx\)

Réponse

L'intégrale est l'aire du triangle,\(\frac{1}{2}.\)

19)\(\displaystyle ∫^3_{−3}(3−|x|)\,dx\)

(20)\(\displaystyle ∫^6_0(3−|x−3|)\,dx\)

Réponse

L'intégrale est l'aire du triangle,\(9.\)

(21)\(\displaystyle ∫^2_{−2}\sqrt{4−x^2}\,dx\)

(22)\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{4−(x−3)^2}\,dx\)

Réponse

L'intégrale est la zone\(\frac{1}{2}πr^2=2π.\)

23)\(\displaystyle ∫^{12}_0\sqrt{36−(x−6)^2}\,dx\)

(24)\(\displaystyle ∫^3_{−2}(3−|x|)\,dx\)

Réponse

L'intégrale est l'aire du « grand » triangle moins le triangle « manquant »,\(9−\frac{1}{2}.\)

Dans les exercices 25 à 28, utilisez les moyennes des valeurs aux extrémités gauche (L) et droite (R) pour calculer les intégrales des fonctions linéaires par morceaux à l'aide de graphes passant par la liste de points donnée sur les intervalles indiqués.

25)\( {(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}\) plus\( [0,8]\)

26)\({(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}\) plus\([0,8]\)

Réponse

\( L=2+0+10+5+4=21,\; R=0+10+10+2+0=22,\; \dfrac{L+R}{2}=21.5\)

27)\( {(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}\) plus\( [−4,4]\)

28)\( {(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}\) plus\( [−4,4]\)

Réponse

\( L=0+4+0+4+2=10,\;R=4+0+2+4+0=10,\;\dfrac{L+R}{2}=10\)

Supposons que\(\displaystyle ∫^4_0f(x)\,dx=5\) et\(\displaystyle ∫^2_0f(x)\,dx=−3\),\(\displaystyle ∫^4_0g(x)\,dx=−1\) et\(\displaystyle ∫^2_0g(x)\,dx=2\). Dans les exercices 29 à 34, calculez les intégrales.

(29)\(\displaystyle ∫^4_0(f(x)+g(x))\,dx\)

(30)\(\displaystyle ∫^4_2(f(x)+g(x))\,dx\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx+∫^4_2g(x)\,dx=8−3=5\)

31)\(\displaystyle ∫^2_0(f(x)−g(x))\,dx\)

32)\(\displaystyle ∫^4_2(f(x)−g(x))\,dx\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx−∫^4_2g(x)\,dx=8+3=11\)

33)\(\displaystyle ∫^2_0(3f(x)−4g(x))\,dx\)

34)\(\displaystyle ∫^4_2(4f(x)−3g(x))\,dx\)

Réponse

\(\displaystyle 4∫^4_2f(x)\,dx−3∫^4_2g(x)\,dx=32+9=41\)

Dans les exercices 35 à 38, utilisez l'identité\(\displaystyle ∫^A_{−A}f(x)\,dx=∫^0_{−A}f(x)\,dx+∫^A_0f(x)\,dx\) pour calculer les intégrales.

35)\(\displaystyle ∫^π_{−π}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\) (Indice :\(\displaystyle \sin(−t)=−\sin(t))\)

36)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{π}}_\sqrt{−π}\frac{t}{1+\cos t}dt\)

Réponse

L'integrand est impair ; l'intégrale est zéro.

37)\(\displaystyle ∫^3_1(2−x)\,dx\) (Conseil : regardez le graphique de\(f\).)

38)\(\displaystyle ∫^4_2(x−3)^3\,dx\) (Conseil : regardez le graphique de\(f\).)

Réponse

L'integrand est antisymétrique par rapport à\(x=3.\) L'intégrale est nulle.

Dans les exercices 39 à 44, étant donné cela\(\displaystyle ∫^1_0x\,dx=\frac{1}{2},\;∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3},\) et\(\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}\), calculez les intégrales.

39)\(\displaystyle ∫^1_0(1+x+x^2+x^3)\,dx\)

40)\(\displaystyle ∫^1_0(1−x+x^2−x^3)\,dx\)

Réponse

\(\displaystyle 1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)

41)\(\displaystyle ∫^1_0(1−x)^2\,dx\)

42)\(\displaystyle ∫^1_0(1−2x)^3\,dx\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^1_0(1−6x+12x^2−8x^3)\,dx=1−6\left( \frac{1}{2} \right)+12\left(\frac{1}{3}\right)−8\left(\frac{1}{4}\right)=1-3+4-2=0\)

43)\(\displaystyle ∫^1_0\left(6x−\tfrac{4}{3}x^2\right)\,dx\)

44)\(\displaystyle ∫^1_0(7−5x^3)\,dx\)

Réponse

\(7−\frac{5}{4}=\frac{23}{4}\)

Dans les exercices 45 à 50, utilisez le théorème de comparaison.

45) Montrez que\(\displaystyle ∫^3_0(x^2−6x+9)\,dx≥0.\)

46) Montrez que\(\displaystyle ∫^3_{−2}(x−3)(x+2)\,dx≤0.\)

Réponse

L'integrand est négatif\([−2,3].\)

47) Montrez cela\(\displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^3}\,dx≤∫^1_0\sqrt{1+x^2}\,dx\).

48) Montrez que\(\displaystyle ∫^2_1\sqrt{1+x}\,dx≤∫^2_1\sqrt{1+x^2}\,dx.\)

Réponse

\(x≤x^2\)fini\([1,2]\), donc\(\sqrt{1+x}≤\sqrt{1+x^2}\) fini\([1,2].\)

49) Montrez que\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin tdt≥\frac{π}{4}\) (Indice :\(\sin t≥\frac{2t}{π}\) terminé)\( [0,\frac{π}{2}])\)

50) Montrez cela\(\displaystyle ∫^{π/4}_{−π/4}\cos t\,dt≥π\sqrt{2}/4\).

Réponse

\(\cos(t)≥\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Multipliez par la longueur de l'intervalle pour obtenir l'inégalité.

Dans les exercices 51 à 56, trouvez\(f_{ave}\) la valeur moyenne\(f\) comprise entre\(a\) et\(b\), et trouvez un point\(c\), où\(f(c)=f_{ave}\)

51)\( f(x)=x^2,\; a=−1,\; b=1\)

52)\( f(x)=x^5,\; a=−1,\; b=1\)

Réponse

\(f_{ave}=0;\; c=0\)

53)\( f(x)=\sqrt{4−x^2},\; a=0,\; b=2\)

(54)\(f(x)=3−|x|,\; a=−3,\; b=3\)

Réponse

\(\frac{3}{2}\)quand\(c=±\frac{3}{2}\)

55)\(f(x)=\sin x,\; a=0,\; b=2π\)

56)\( f(x)=\cos x,\; a=0,\; b=2π\)

Réponse

\(f_{ave}=0;\; c=\dfrac{π}{2},\; \dfrac{3π}{2}\)

Dans les exercices 57 à 60, approximez la valeur moyenne en utilisant les sommes de Riemann\(L_{100}\) et\(R_{100}\). Comment votre réponse se compare-t-elle à la réponse exacte donnée ?

57) [T]\(y=\ln(x)\) sur l'intervalle\( [1,4]\) ; la solution exacte est\(\dfrac{\ln(256)}{3}−1.\)

58) [T]\(y=e^{x/2}\) sur l'intervalle\([0,1]\) ; la solution exacte est\( 2(\sqrt{e}−1).\)

Réponse

\(L_{100}=1.294,\; R_{100}=1.301;\)la moyenne exacte se situe entre ces valeurs.

59) [T]\(y=\tan x\) sur l'intervalle\([0,\frac{π}{4}]\) ; la solution exacte est\(\dfrac{2\ln(2)}{π}\).

60) [T]\(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{4−x^2}}\) sur l'intervalle\([−1,1]\) ; la solution exacte est\(\dfrac{π}{6}\).

Réponse

\(L_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5178,\; R_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5294\)

Dans les exercices 61 à 64, calculez la valeur moyenne en utilisant les sommes de Riemann de gauche\(L_N\) pour\(N=1,10,100\). Comment la précision se compare-t-elle à la valeur exacte donnée ?

61) [T]\(y=x^2−4\) sur l'intervalle\([0,2]\) ; la solution exacte est\(−\frac{8}{3}\).

62) [T]\(y=xe^{x^2}\) sur l'intervalle\([0,2]\) ; la solution exacte est\(\frac{1}{4}(e^4−1).\)

Réponse

\(L_1=0,\; L_{10}×(\frac{1}{2})=8.743493,\; L_{100}×(\frac{1}{2})=12.861728.\)La réponse exacte n'\(L_{100}\)est\(≈26.799,\) donc pas exacte.

63) [T]\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) sur l'intervalle\([0,4]\) ; la solution exacte est\(\dfrac{15}{64\ln(2)}\).

64) [T]\( y=x\sin(x^2)\) sur l'intervalle\( [−π,0]\) ; la solution exacte est\( \dfrac{\cos(π^2)−1}{2π.}\)

Réponse

\(L_1×(\frac{1}{π})=1.352,L_{10}×(\frac{1}{π})=−0.1837,L_{100}×(1π)=−0.2956.\)La réponse exacte n'\(L_{100}\)est\(≈−0.303,\) donc pas exacte à la première décimale.

65) Supposons cela\(\displaystyle A=∫^{2π}_0\sin^2t\,dt\) et\(\displaystyle B=∫^{2π}_0\cos^2t\,dt.\) montrez cela\(A+B=2π\) et\(A=B.\)

66) Supposons cela\(\displaystyle A=∫^{π/4}_{−π/4}\sec^2 t\,dt=π\) et\(\displaystyle B=∫^{π/4}_{−π/}4\tan^2 t\,dt.\) montrez-le\(A−B=\dfrac{π}{2}\).

Réponse

Utilisez\(\tan^2 θ+1=\sec^2 θ.\) ensuite,\(\displaystyle B−A=∫^{π/4}_{−π/4}1\,dx=\frac{π}{2}.\)

67) Montrer que la valeur moyenne de\(\sin^2 t\) plus\([0,2π]\) est égale à\(1/2.\) Sans autre calcul, déterminez si la valeur moyenne de\(\sin^2 t\) plus\([0,π]\) est également égale à\(1/2.\)

68) Montrer que la valeur moyenne de\(\cos^2 t\) plus\([0,2π]\) est égale à\(1/2.\) Sans autre calcul, déterminez si la valeur moyenne de\(\cos^2(t)\) plus\([0,π]\) est également égale à\(1/2.\)

Réponse

\(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos^2t\,dt=π,\)donc divisez par la longueur\(2π\) de l'intervalle. \(\cos^2t\)a ses règles\(π\), donc oui, c'est vrai.

69) Expliquez pourquoi les graphes d'une fonction quadratique (parabole)\(p(x)\) et d'une fonction linéaire\(ℓ(x)\) peuvent se croiser en au plus deux points. Supposons cela\(p(a)=ℓ(a)\) et\(p(b)=ℓ(b)\), et cela\(\displaystyle ∫^b_ap(t)\,dt>∫^b_aℓ(t)dt\). Expliquez pourquoi\(\displaystyle ∫^d_cp(t)>∫^d_cℓ(t)\,dt\) chaque fois\( a≤c<d≤b.\)

70) Supposons que la parabole\(p(x)=ax^2+bx+c\) s'ouvre vers le bas\((a<0)\) et ait un sommet de\(y=\dfrac{−b}{2a}>0\). Pour quel intervalle\([A,B]\) est\(\displaystyle ∫^B_A(ax^2+bx+c)\,dx\) le plus grand possible ?

Réponse

L'intégrale est maximisée lorsque l'on utilise le plus grand intervalle sur lequel\(p\) il n'est pas négatif. Ainsi,\(A=\frac{−b−\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) et\(B=\frac{−b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}.\)

71) Supposons qu'il\([a,b]\) puisse être subdivisé en sous-intervalles de\(a=a_0<a_1<a_2<⋯<a_N=b\) telle sorte que soit\(f≥0\) sur,\([a_{i−1},a_i]\) soit\(f≤0\) sur\([a_{i−1},a_i]\). Set\(\displaystyle A_i=∫^{a_i}_{a_{i−1}}f(t)\,dt.\)

a. Expliquez pourquoi\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=A_1+A_2+⋯+A_N.\)

b. Ensuite, expliquez pourquoi\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt≤∫^b_a|f(t)|\,dt.\)

72) Supposons\(f\) et\(g\) sont des fonctions continues telles que\(\displaystyle ∫^d_cf(t)\,dt≤∫^d_cg(t)\,dt\) pour chaque sous-intervalle\([c,d]\) de\([a,b]\). Expliquez pourquoi\( f(x)≤g(x)\) pour toutes les valeurs de\(x.\)

Réponse

Si\(f(t_0)>g(t_0)\) pour certains\(t_0∈[a,b]\), alors puisque\(f−g\) est continu, il existe un intervalle contenant\(t_0\) tel que\( f(t)>g(t)\) sur l'intervalle\([c,d]\), puis\(\displaystyle ∫^d_df(t)\,dt>∫^d_cg(t)\,dt\) sur cet intervalle.

73) Supposons que la valeur moyenne de\(f\) plus\([a,b]\) est\(1\) et que la valeur moyenne de\(f\) plus\([b,c]\) est\(1\) où\(a<c<b\). Montrez que la valeur moyenne de\(f\) plus\([a,c]\) est également\(1.\)

74) Supposons que cela\([a,b]\) puisse être partitionné, de\(a=a_0<a_1<⋯<a_N=b\) telle sorte que la valeur moyenne de\(f\) chaque sous-intervalle\([a_{i−1},a_i]=1\) soit égale à 1 pour chacun\( i=1,…,N\). Expliquez pourquoi la valeur moyenne de f over\( [a,b]\) est également égale à\(1.\)

Réponse

L'intégrale de f sur un intervalle est la même que l'intégrale de la moyenne de f sur cet intervalle. Ainsi,\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}f(t)\,dt+∫^{a_2}_a{1_f}(t)\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}f(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}1\,dt+∫^{a_2}_{a_1}1\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}1\,dt\)
\( =(a_1−a_0)+(a_2−a_1)+⋯+(a_N−a_{N−1})=a_N−a_0=b−a\).
Diviser par\(b−a\) donne l'identité souhaitée.

75) Supposons que pour chacun\(i\) d'entre\( 1≤i≤N\) eux\(\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i\). Montrez que\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)}{2}.\)

76) Supposons que pour chacun\(i\) d'entre\(1≤i≤N\) eux\(\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i^2\). Montrez ça\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\).

Réponse

\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\sum_{i=1}^N∫^i_{i−1}f(t)\,dt=\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\)

77) [T] Calculez les sommes de Riemann gauche et droite\(\displaystyle L_{10}\)\(R_{10}\) et leur moyenne\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) pour\( f(t)=t^2\) plus de\( [0,1]\). Compte tenu de cela\(\displaystyle ∫^1_0t^2\,dt=1/3\), à combien de décimales est\( \dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) exact ?

78) [T] Calculez les sommes de Riemann gauche\(L_10\) et droite\(R_{10}\), et leur moyenne\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) pour\( f(t)=(4−t^2)\) plus de\([1,2]\). Compte tenu de cela\(\displaystyle ∫^2_1(4−t^2)\,dt=1.66\), à combien de décimales est\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) exact ?

Réponse

\( L_{10}=1.815,\;R_{10}=1.515,\;\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665,\)l'estimation est donc précise à deux décimales près.

79) Si\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+t^4}\,dt=41.7133...,\) ce qui est\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+u^4}\,du?\)

80) Estimez\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt\) en utilisant les sommes des extrémités gauche et droite, chacune avec un seul rectangle. Comment la moyenne de ces sommes aux extrémités gauche et droite se compare-t-elle à la valeur réelle ?\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt?\)

Réponse

La moyenne est\(1/2,\) égale à l'intégrale dans ce cas.

81) Estimation\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt\) par comparaison avec l'aire d'un seul rectangle dont la hauteur est égale à la valeur de\(t\) au point médian\(t=\dfrac{1}{2}\). Comment cette estimation médiane se compare-t-elle à la valeur réelle ?\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt?\)

82) À partir du graphique\(\sin(2πx)\) illustré :

a. Expliquez pourquoi\(\displaystyle ∫^1_0\sin(2πt)\,dt=0.\)

b. Expliquez pourquoi, en général,\(\displaystyle ∫^{a+1}_a\sin(2πt)\,dt=0\) pour n'importe quelle valeur de\(a\).

Réponse

a. Le graphique est antisymétrique par rapport à la valeur\(t=\frac{1}{2}\) supérieure\([0,1]\), de sorte que la valeur moyenne est nulle.
b. Pour toute valeur de\(a\), le graphique entre\([a,a+1]\) représente un décalage du graphique\([0,1]\), de sorte que les surfaces nettes au-dessus et en dessous de l'axe ne changent pas et que la moyenne reste nulle.

83) Si f est 1-périodique\((f(t+1)=f(t))\), impair et intégrable\([0,1]\), est-il toujours vrai que\(\displaystyle ∫^1_0f(t)\,dt=0?\)

84) Si f est 1-périodique et\(\displaystyle ∫10f(t)\,dt=A,\) est-ce nécessairement vrai\(\displaystyle ∫^{1+a}_af(t)\,dt=A\) pour tous\(A\) ?

Réponse

Oui, l'intégrale sur tout intervalle de longueur 1 est la même.