4.7 : Problèmes d'optimisation appliquée
- Configurez et résolvez des problèmes d'optimisation dans plusieurs domaines appliqués.
Une application courante du calcul consiste à calculer la valeur minimale ou maximale d'une fonction. Par exemple, les entreprises souhaitent souvent minimiser leurs coûts de production ou maximiser leurs revenus. Lors de la fabrication, il est souvent souhaitable de minimiser la quantité de matériau utilisée pour emballer un produit d'un certain volume. Dans cette section, nous montrons comment configurer ces types de problèmes de minimisation et de maximisation et les résoudre à l'aide des outils développés dans ce chapitre.
Résolution des problèmes d'optimisation sur un intervalle fermé et limité
L'idée de base des problèmes d'optimisation qui suivent est la même. Nous avons une quantité particulière que nous souhaitons maximiser ou minimiser. Cependant, nous avons également une condition auxiliaire qui doit être satisfaite. Par exemple, dans Exemple4.7.1, nous souhaitons maximiser la superficie d'un jardin rectangulaire. Il est certain que si nous continuons à agrandir les côtés du jardin, la superficie continuera de s'agrandir. Mais que se passerait-il si nous avions des restrictions quant à la quantité de clôtures que nous pouvons utiliser pour le périmètre ? Dans ce cas, nous ne pouvons pas agrandir le jardin à notre guise. Voyons comment nous pouvons maximiser la surface d'un rectangle sous réserve de certaines contraintes sur le périmètre.
Un jardin rectangulaire doit être construit en utilisant une paroi rocheuse comme côté du jardin et des clôtures grillagées pour les trois autres côtés (Figure4.7.1). Étant donné100ft les clôtures grillagées, déterminez les dimensions qui créeraient un jardin de superficie maximale. Quelle est la surface maximale ?
![Un dessin d'un jardin comporte des lettres x et y sur les côtés verticaux et horizontaux, respectivement. Une paroi rocheuse s'étend sur toute la longueur horizontale inférieure du dessin.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11645/imageedit_1_8636557675.png)
Solution
xSoit la longueur du côté du jardin perpendiculaire à la paroi rocheuse ety la longueur du côté parallèle à la paroi rocheuse. Ensuite, la superficie du jardin est
A=x⋅y.
Nous voulons trouver la surface maximale possible sous réserve de la contrainte de la clôture totale100ft. À partir de la figure4.7.1, la quantité totale de clôtures utilisées sera2x+y. Par conséquent, l'équation de contrainte est
2x+y=100.
En résolvant cette équation poury, nous avonsy=100−2x. Ainsi, nous pouvons écrire la zone comme
A(x)=x⋅(100−2x)=100x−2x2.
Avant d'essayer de maximiser la fonction de zone,A(x)=100x−2x2, nous devons déterminer le domaine considéré. Pour construire un jardin rectangulaire, il faut certainement que les longueurs des deux côtés soient positives. Par conséquent, nous avons besoinx>0 ety>0. Depuisy=100−2x, siy>0, alorsx<50. Par conséquent, nous essayons de déterminer la valeur maximale deA(x) pourx sur l'intervalle ouvert(0,50). Nous ne savons pas si une fonction a nécessairement une valeur maximale sur un intervalle ouvert. Cependant, nous savons qu'une fonction continue a un maximum absolu (et un minimum absolu) sur un intervalle fermé. Par conséquent, considérons la fonctionA(x)=100x−2x2 sur l'intervalle fermé[0,50]. Si la valeur maximale se trouve à un point intérieur, nous avons trouvé la valeurx dans l'intervalle ouvert(0,50) qui maximise la surface du jardin.
Par conséquent, nous considérons le problème suivant :
MaximisezA(x)=100x−2x2 au fil de l'intervalle[0,50].
Comme mentionné précédemment, étant donné qu'Ail s'agit d'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, selon le théorème des valeurs extrêmes, elle a un maximum et un minimum. Ces valeurs extrêmes se produisent soit aux points finaux, soit aux points critiques. Aux points de terminaison,A(x)=0. Comme la zone est positive pour tousx dans l'intervalle ouvert(0,50), le maximum doit se produire à un point critique. En différenciant la fonctionA(x), nous obtenons
A′(x)=100−4x.
Par conséquent, le seul point critique estx=25 (Figure4.7.2). Nous concluons que la surface maximale doit se produire lorsquex=25.
![La fonction A (x) = 100x — 2x est représentée graphiquement. Au maximum, il y a une intersection de deux lignes pointillées et du texte qui se lit comme suit : « La superficie maximale est de 1 250 pieds carrés lorsque x = 25 pieds ».](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11646/imageedit_5_3984320793.png)
Ensuite, nousy=100−2x=100−2(25)=50. devons maximiser la superficie du jardin, laisserx=25ft ety=50ft. La superficie de ce jardin est de1250ft2.
Déterminez la surface maximale si nous voulons créer le même jardin rectangulaire que sur la figure4.7.2, mais nous n'avons pas200ft de clôtures.
- Allusion
-
Nous devons maximiser la fonctionA(x)=200x−2x2 sur l'intervalle[0,100].
- Réponse
-
La surface maximale est de5000ft2.
Examinons maintenant une stratégie générale pour résoudre les problèmes d'optimisation, similaire à Example4.7.1.
- Introduisez toutes les variables. Le cas échéant, dessinez une figure et étiquetez toutes les variables.
- Déterminez quelle quantité doit être maximisée ou minimisée, et pour quelle plage de valeurs des autres variables (si cela peut être déterminé à ce stade).
- Écrivez une formule pour la quantité à maximiser ou à minimiser en termes de variables. Cette formule peut impliquer plus d'une variable.
- Écrivez toutes les équations reliant les variables indépendantes de la formule à partir de l'étape3. Utilisez ces équations pour écrire la quantité à maximiser ou à minimiser en fonction d'une variable.
- Déterminez le domaine à prendre en compte pour la4 fonction étape par étape en fonction du problème physique à résoudre.
- Localisez la valeur maximale ou minimale de la fonction à partir de l'étape4. Cette étape implique généralement de rechercher des points critiques et d'évaluer une fonction aux extrémités.
Appliquons maintenant cette stratégie pour maximiser le volume d'une boîte à toit ouvert compte tenu de la quantité de matériau à utiliser.
Une boîte à couvercle ouvert doit être fabriquée à partir d'un24in.36in. morceau de carton en retirant un carré de chaque coin de la boîte et en repliant les rabats de chaque côté. Quelle taille de carré faut-il découper dans chaque coin pour obtenir une boîte avec le volume maximum ?
Solution
Étape 1 :x Soit la longueur du côté du carré à retirer de chaque coin (Figure4.7.3). Ensuite, les quatre rabats restants peuvent être repliés pour former une boîte ouverte. VSoit le volume de la boîte résultante.
![Ce chiffre comporte deux chiffres. Le premier est un rectangle dont les côtés sont de 24 pouces et 36 pouces, chaque coin ayant un carré de côté x retiré de celui-ci. Sur la deuxième photo, il y a une boîte avec des longueurs de côté de x pouces, 24 à 2 pouces et 36 à 2 pouces.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11647/imageedit_9_2876223940.png)
Étape 2 : Nous essayons de maximiser le volume d'une boîte. Le problème est donc de maximiserV.
Étape 3 : Comme indiqué à l'étape 2, essayez de maximiser le volume d'une boîte. Le volume d'une boîte est
V=L⋅W⋅H,
oùL,W, etH sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.
Étape 4 : Sur la figure4.7.3, nous voyons que la hauteur de la boîte estx en pouces, la longueur36−2x en pouces et la largeur24−2x en pouces. Par conséquent, le volume de la boîte est
V(x)=(36−2x)(24−2x)x=4x3−120x2+864x.
Étape 5 : Pour déterminer le domaine à prendre en compte, examinons la figure4.7.3. Bien sûr, nousx>0. avons besoin de plus, la longueur du côté du carré ne peut pas être supérieure ou égale à la moitié de la longueur du côté le plus court,24in. sinon l'un des rabats serait complètement coupé. Par conséquent, nous essayons de déterminer s'il existe un volume maximum de la boîte au-delà de l'intervalle ouvert.(0,12). Comme il s'Vagit d'une fonction continue sur l'intervalle fermé[0,12], nous savons qu'elleV aura un maximum absolu sur l'intervalle fermé.x Par conséquent, nous examinons l'Vintervalle fermé[0,12] et vérifions si le maximum absolu se produit à un point intérieur.
Étape 6 : PuisqueV(x) est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné[0,12],V doit avoir un maximum absolu (et un minimum absolu). CarV(x)=0 aux extrémités etV(x)>0 pour0<x<12, le maximum, il doit se produire à un point critique. Le dérivé est
V′(x)=12x2−240x+864.
Pour trouver les points critiques, nous devons résoudre l'équation
12x2−240x+864=0.
En divisant les deux côtés de cette équation par12, le problème simplifie la résolution de l'équation
x2−20x+72=0.
En utilisant la formule quadratique, nous trouvons que les points critiques sont
x=20±√(−20)2−4(1)(72)2=20±√1122=20±4√72=10±2√7.
Comme cela10+2√7 n'entre pas dans le domaine de la prise en compte, le seul point critique que nous devons prendre en compte est10−2√7. Par conséquent, le volume est maximisé si nous laissonsx=10−2√7in. le volume maximum est
V(10−2√7)=640+448√7≈1825in3.
comme le montre le graphique suivant.
![La fonction V (x) = 4x3 — 120x2 + 864x est représentée graphiquement. À son maximum, il y a une intersection de deux lignes pointillées et du texte indiquant « Le volume maximum est d'environ 1 825 pouces cubes lorsque x ≈ 4,7 pouces ».](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11648/imageedit_13_7880927588.png)
Supposons que les dimensions du carton dans l'exemple4.7.2 soient20in. de30in. Letx be la longueur de côté de chaque carré et d'écrire le volume de la boîte ouverte en fonction dex. Déterminez le domaine à prendre en compte pourx.
- Allusion
-
Le volume de la boîte estL⋅W⋅H.
- Réponse
-
V(x)=x(20−2x)(30−2x).Le domaine est[0,10].
Une île se2 trouve à un kilomètre au nord de son point le plus proche, le long d'un rivage droit. Un visiteur séjourne dans une cabane sur le rivage, à un kilomètre6 à l'ouest de ce point. Le visiteur prévoit de se rendre de la cabane à l'île. Supposons que le visiteur court à une vitesse de8 mph et nage à une vitesse de3 mph. Jusqu'où le visiteur doit-il courir avant de se baigner afin de minimiser le temps nécessaire pour atteindre l'île ?
Solution
Étape 1 :x Soit la distance parcourue et la distance parcouruey à la nage (Figure4.7.5). QueT soit le temps qu'il faut pour se rendre de la cabine à l'île.
![La cabine se trouve à x miles du rivage. De ce point sur le rivage, l'île se trouve à des kilomètres. Si vous deviez poursuivre la ligne allant de la cabine au rivage (celle des x miles) et si vous deviez tracer une ligne depuis l'île parallèlement au rivage, les lignes s'étendraient sur 3 km depuis l'île et 10 km depuis la cabine avant de se croiser.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/2485/CNX_Calc_Figure_04_07_011.jpeg)
Étape 2 : Le problème est de minimiserT.
Étape 3 : Pour trouver le temps passé à voyager de la cabine à l'île, ajoutez le temps passé à courir et le temps passé à nager. Puisque Distance = Taux × Temps,(D=R×T), le temps passé à courir est
Trunning=DrunningRrunning=x8,
et le temps passé à nager est
Tswimming=DswimmingRswimming=y3.
Par conséquent, le temps total passé à voyager est
T=x8+y3.
Étape 4 : À partir de la figure4.7.5, le segment linéaire desy miles forme l'hypoténuse d'un triangle droit avec des jambes de longueur2 mi et6−x mi. Par conséquent, par le théorème de Pythagore22+(6−x)2=y2, et nous obtenonsy=√(6−x)2+4. Ainsi, le temps total passé à voyager est donné par la fonction
T(x)=x8+√(6−x)2+43.
Étape 5 : À partir de la figure4.7.5, nous voyons cela0≤x≤6. C'[0,6]est donc le domaine à prendre en compte.
Étape 6 : CommeT(x) il s'agit d'une fonction continue sur un intervalle fermé et limité, elle a un maximum et un minimum. Commençons par rechercher les points critiques de l'Tintervalle.[0,6]. La dérivée est
T′(x)=18−12[(6−x)2+4]−1/23⋅2(6−x)=18−(6−x)3√(6−x)2+4
SiT′(x)=0,, alors
18=6−x3√(6−x)2+4
Par conséquent,
3√(6−x)2+4=8(6−x).
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous voyons que six elle satisfait à cette équation, alorsx doit satisfaire
9[(6−x)2+4]=64(6−x)2,
ce qui implique
55(6−x)2=36.
Nous concluons quex c'est un point critique, alorsx satisfait
(x−6)2=3655.
[Notez que puisque nous sommes en train de quadriller,(x−6)2=(6−x)2.]
Par conséquent, les possibilités pour les points critiques sont
x=6±6√55.
N'x=6+6/√55étant pas dans le domaine, il ne s'agit pas d'une possibilité pour un point critique. D'un autre côté,x=6−6/√55 c'est dans le domaine. Puisque nous avons quadrillé les deux côtés de l'équation \ ref {ex3eq2} pour arriver aux points critiques possibles, il reste à vérifier que l'équationx=6−6/√55 est conforme à l'équation \ ref {ex3eq1}. Commex=6−6/√55 cela répond à cette équation, nous concluons qu'ilx=6−6/√55 s'agit d'un point critique, et c'est le seul. Pour justifier que le temps est minimisé pour cette valeur dex, il suffit de vérifier les valeurs deT(x) aux extrémitésx=0 etx=6 de les comparerT(x) à la valeur du point critiquex=6−6/√55. Nous constatons queT(0)≈2.108h etT(6)≈1.417h, alors que
T(6−6/√55)≈1.368h.
Par conséquent, nous concluons qu'il yT a un minimum local àx≈5.19 mi.
Supposons que l'île1 se trouve à un kilomètre du rivage et que la distance entre la cabine et le point sur le rivage le plus proche de l'île est de15 miles. Supposons qu'un visiteur nage à une vitesse de2.5 mph et court à une vitesse de6 mph. Indiquezx la distance que le visiteur parcourra avant de nager et déterminez le temps qu'il lui faudra pour se rendre de la cabine à l'île.
- Allusion
-
L'heureT=Trunning+Tswimming.
- Réponse
-
T(x)=x6+√(15−x)2+12.5
En affaires, les entreprises souhaitent maximiser leurs revenus. Dans l'exemple suivant, nous examinons un scénario dans lequel une entreprise a collecté des données sur le nombre de voitures qu'elle est en mesure de louer, en fonction du prix qu'elle facture à ses clients pour louer une voiture. Utilisons ces données pour déterminer le prix que l'entreprise doit facturer afin de maximiser le montant d'argent qu'elle rapporte.
Les propriétaires d'une société de location de voitures ont déterminé que s'ils facturent desp dollars par jour à leurs clients pour louer une voiture50≤p≤200, le nombre de voituresn qu'ils louent par jour peut être modélisé par la fonction linéairen(p)=1000−5p. S'ils facturent$50 par jour ou moins, ils loueront toutes leurs voitures. S'ils facturent$200 par jour ou plus, ils ne loueront pas de voitures. En supposant que les propriétaires prévoient de facturer leurs clients entre une fois$50 par$200 jour et par jour pour la location d'une voiture, quel montant devraient-ils facturer pour maximiser leurs revenus ?
Solution
Étape 1 :p Soit le prix facturé par voiture et par jour etn soit le nombre de voitures louées par jour. RSoyons le revenu par jour.
Étape 2 : Le problème est de maximiserR.
Étape 3 : Le revenu (par jour) est égal au nombre de voitures louées par jour multiplié par le prix facturé par voiture et par jour, c'est-à-direR=n×p.
Étape 4 : Comme le nombre de voitures louées par jour est modélisé par la fonction linéaire,n(p)=1000−5p, les revenusR peuvent être représentés par la fonction
R(p)=n×p=(1000−5p)p=−5p2+1000p.
Étape 5 : Étant donné que les propriétaires prévoient de facturer entre$50 par voiture par jour et$200 par voiture et par jour, le problème est de trouver le revenu maximumR(p) pourp un intervalle fermé[50,200].
Étape 6 : Comme ilR s'agit d'une fonction continue sur l'intervalle fermé et limité[50,200], elle a un maximum absolu (et un minimum absolu) dans cet intervalle. Pour trouver la valeur maximale, recherchez les points critiques. La dérivée estR′(p)=−10p+1000. donc, le point critique estp=100. Quand,p=100,R(100)=$50,000. quandp=50,R(p)=$37,500. Quandp=200,R(p)=$0.
Par conséquent, le maximum absolu se situe àp=$100. La société de location de voitures doit facturer$100 par jour et par voiture afin de maximiser ses revenus, comme le montre la figure suivante.
![La fonction R (p) est représentée graphiquement. Au maximum, il y a une intersection de deux lignes pointillées et d'un texte qui se lit comme suit : « Le revenu maximum est de 50 000$ par jour lorsque le prix facturé par voiture est de 100$ par jour ».](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11650/imageedit_17_3184562295.png)
Une société de location de voitures facture à ses clientsp des dollars par jour, où60≤p≤150. Il a découvert que le nombre de voitures louées par jour peut être modélisé par la fonction linéaire.n(p)=750−5p. Combien l'entreprise doit-elle facturer à chaque client pour maximiser ses revenus ?
- Allusion
-
R(p)=n×p,oùn est le nombre de voitures louées etp le prix facturé par voiture.
- Réponse
-
L'entreprise doit facturer$75 par voiture et par jour.
Un rectangle doit être inscrit dans l'ellipse
x24+y2=1.
Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour maximiser sa surface ? Quelle est la surface maximale ?
Solution
Étape 1 : Pour qu'un rectangle soit inscrit dans l'ellipse, les côtés du rectangle doivent être parallèles aux axes. LSoit la longueur du rectangle etW sa largeur. ASoit l'aire du rectangle.
![L'ellipse x2/4 + y2 = 1 est dessinée avec ses interceptions x étant ±2 et ses interceptions y étant ±1. Un rectangle inscrit dans l'ellipse a une longueur L (dans la direction x) et une largeur W.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11649/imageedit_21_3389502767.png)
Étape 2 : Le problème est de maximiserA.
Étape 3 : La surface du rectangle estA=LW.
Étape 4 :(x,y) Soit le coin du rectangle situé dans le premier quadrant, comme indiqué sur la figure4.7.7. Nous pouvons écrire la longueurL=2x et la largeurW=2y. Depuisx24+y2=1 ety>0, nous avonsy=√1−x24. Par conséquent, la zone est
A=LW=(2x)(2y)=4x√1−x24=2x√4−x2
Étape 5 : Sur la figure4.7.7, nous voyons que pour inscrire un rectangle dans l'ellipse, lax coordonnée -du coin du premier quadrant doit satisfaire0<x<2. Le problème se réduit donc à la recherche de la valeur maximale deA(x) sur l'intervalle ouvert(0,2). Comme il yA(x) aura un maximum absolu (et un minimum absolu) sur l'intervalle fermé[0,2], nous considéronsA(x)=2x√4−x2 l'intervalle[0,2]. Si le maximum absolu se produit à un point intérieur, alors nous avons trouvé un maximum absolu dans l'intervalle ouvert.
Étape 6 : Comme mentionné précédemment,A(x) est une fonction continue sur l'intervalle fermé et limité[0,2]. Par conséquent, il a un maximum absolu (et un minimum absolu). Aux extrémitésx=0 etx=2,A(x)=0. pour0<x<2,A(x)>0.
Par conséquent, le maximum doit se produire à un point critique. En prenant la dérivée deA(x), on obtient
A′(x)=2√4−x2+2x⋅12√4−x2(−2x)=2√4−x2−2x2√4−x2=8−4x2√4−x2.
Pour trouver des points critiques, nous devons trouver oùA′(x)=0. nous pouvons voir quex c'est une solution de
8−4x2√4−x2=0,
alorsx doit satisfaire
8−4x2=0.
Parx2=2. conséquent,x=±√2 voici les solutions possibles de l'équation \ ref {ex5eq1}. Puisque nous examinons l'xintervalle[0,2], ilx=√2 est possible qu'un point critique soit atteint, mais ce n'x=−√2est pas le cas. Par conséquent, nous vérifions s'il s'√2agit d'une solution de l'équation \ ref {ex5eq1}. Commex=√2 il s'agit d'une solution de l'équation \ ref {ex5eq1}, nous concluons que√2 c'est le seul point critiqueA(x) de l'intervalle[0,2].
Par conséquent,A(x) doit avoir un maximum absolu au point critiquex=√2. Pour déterminer les dimensions du rectangle, il faut trouver la longueurL et la largeurW. Six=√2 alors
y=√1−(√2)24=√1−12=1√2.
Les dimensions du rectangle sont doncL=2x=2√2 etW=2y=2√2=√2. La surface de ce rectangle estA=LW=(2√2)(√2)=4.
Modifiez la fonction de surfaceA si le rectangle doit être inscrit dans le cercle unitairex2+y2=1. Quel est le domaine à prendre en compte ?
- Allusion
-
Si(x,y) est le sommet du carré situé dans le premier quadrant, alors l'aire du carré estA=(2x)(2y)=4xy.
- Réponse
-
A(x)=4x√1−x2.Le domaine à prendre en compte est[0,1].
Résolution des problèmes d'optimisation lorsque l'intervalle n'est pas fermé ou est illimité
Dans les exemples précédents, nous avons examiné les fonctions sur des domaines fermés et bornés. Par conséquent, le théorème des valeurs extrêmes nous a garanti que les fonctions avaient des extrêmes absolus. Examinons maintenant les fonctions pour lesquelles le domaine n'est ni fermé ni limité.
De nombreuses fonctions ont toujours au moins un extrême absolu, même si le domaine n'est pas fermé ou s'il est illimité. Par exemple, la fonctionf(x)=x2+4 over(−∞,∞) a un minimum absolu de4 atx=0. Par conséquent, nous pouvons toujours considérer les fonctions sur des domaines illimités ou des intervalles ouverts et déterminer si elles présentent des extrêmes absolus. Dans l'exemple suivant, nous essayons de minimiser une fonction sur un domaine illimité. Nous verrons que, bien que le domaine à considérer soit(0,∞), la fonction, elle a un minimum absolu.
Dans l'exemple suivant, nous cherchons à construire une boîte de moindre surface avec un volume prescrit. Il n'est pas difficile de montrer que pour une boîte à dessus fermé, par symétrie, parmi toutes les boîtes ayant un volume spécifié, un cube aura la plus petite surface. Par conséquent, nous examinons le problème modifié qui consiste à déterminer quelle boîte ouverte d'un volume donné possède la plus petite surface.
Une boîte rectangulaire avec une base carrée, un dessus ouvert et un volume216in3 de doit être construite. Quelles doivent être les dimensions de la boîte pour minimiser la surface de la boîte ? Quelle est la surface minimale ?
Solution
Étape 1 : Dessinez une boîte rectangulaire et introduisez la variablex pour représenter la longueur de chaque côté de la base carrée ;y soit la hauteur de la boîte. SSoit la surface de la boîte ouverte.
![Une boîte à base carrée est illustrée. La base a une longueur latérale x et une hauteur y.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11651/imageedit_24_7983322229.png)
Étape 2 : Nous devons minimiser la surface. Par conséquent, nous devons minimiserS.
Étape 3 : La partie supérieure de la boîte étant ouverte, il suffit de déterminer la surface des quatre côtés verticaux et de la base. La surface de chacun des quatre côtés verticaux estx⋅y. La surface de la base estx2. Par conséquent, la surface de la boîte est
S=4xy+x2.
Étape 4 : Puisque le volume de cette boîte estx2y et que le volume est donné sous forme216in3, l'équation de contrainte est
x2y=216.
En résolvant l'équation de contrainte poury, nous avonsy=216x2. Par conséquent, nous pouvons écrire la surface en fonctionx uniquement de :
S(x)=4x(216x2)+x2.
Par conséquent,S(x)=864x+x2.
Étape 5 : Puisque c'est ce que nous exigeonsx2y=216, nous ne pouvons pas l'avoirx=0. Par conséquent, nous avons besoin dex>0. D'autre part,x est autorisé à avoir n'importe quelle valeur positive. Notez qu'au fur et à mesure que la boîtex devient grande, la hauteur de la boîtey devient d'autant plus petite quex2y=216. De même, au fur et àx mesure qu'elle devient petite, la hauteur de la boîte devient d'autant plus grande. Nous concluons que le domaine est l'intervalle ouvert et illimité(0,∞). Notez que, contrairement aux exemples précédents, nous ne pouvons pas réduire notre problème à la recherche d'un maximum ou d'un minimum absolu sur un intervalle fermé et limité. Cependant, à l'étape suivante, nous découvrons pourquoi cette fonction doit avoir un minimum absolu sur l'intervalle(0,∞).
Étape 6 : Notez que,x→0+,S(x)→∞. aussi, commex→∞,S(x)→∞. CommeS il s'agit d'une fonction continue qui se rapproche de l'infini à ses extrémités, elle doit avoir un minimum absolu à certaines extrémitésx∈(0,∞). Ce minimum doit être atteint à un point critique deS. Le dérivé est
S′(x)=−864x2+2x.
Par conséquent,S′(x)=0 quand2x=864x2. En résolvant cette équation pourx, nous obtenonsx3=432, doncx=3√432=63√2. Comme c'est le seul point critique deS, le minimum absolu doit se produire àx=63√2 (voir Figure4.7.9).
Quandx=63√2,y=216(63√2)2=33√2in. par conséquent, les dimensions de la boîte doivent êtrex=63√2in. ety=33√2in. avec ces dimensions, la surface est
S(63√2)=86463√2+(63√2)2=1083√4in2
![La fonction S (x) = 864/x + x2 est représentée graphiquement. Au minimum, il y a une ligne pointillée et un texte qui se lit comme suit : « La surface minimale est de 108 fois la racine cubique de 4 pouces carrés lorsque x = 6 fois la racine cubique de 2 pouces ».](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/11652/imageedit_28_7650440976.png)
Considérez la même boîte à toit ouvert, qui doit avoir du volume216in3. Supposons que le coût du matériau pour la base soit20¢/\text{in}^2 et que le coût du matériau pour les côtés l'est30¢/\text{in}^2 et que nous essayons de minimiser le coût de cette boîte. Écrivez le coût en fonction de la longueur des côtés de la base. (xSoit la longueur latérale de la base ety la hauteur de la boîte.)
- Allusion
-
Si le coût de l'un des côtés est30¢/\text{in}^2, le coût de ce côté0.30xy en dollars.
- Réponse
-
c(x)=\dfrac{259.2}{x}+0.2x^2dollars
Concepts clés
- Pour résoudre un problème d'optimisation, commencez par dessiner un tableau et introduisez des variables.
- Trouvez une équation reliant les variables.
- Trouvez la fonction d'une variable pour décrire la quantité qui doit être minimisée ou maximisée.
- Recherchez les points critiques pour localiser les extrêmes locaux.
Lexique
- problèmes d'optimisation
- problèmes résolus en trouvant la valeur maximale ou minimale d'une fonction