3.3 : La loi universelle de la gravitation de Newton
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objectifs d'apprentissage
À la fin de la section, vous serez en mesure de :
- Expliquer ce qui détermine la force de gravité
- Décrivez comment la loi universelle de la gravitation de Newton élargit notre compréhension des lois de Kepler
Les lois du mouvement de Newton montrent que les objets au repos resteront au repos et que ceux en mouvement continueront à se déplacer uniformément en ligne droite à moins d'être sollicités par une force. Ainsi, c'est la ligne droite qui définit l'état de mouvement le plus naturel. Mais les planètes se déplacent en ellipses, et non en lignes droites ; par conséquent, une certaine force doit dévier leur trajectoire. Cette force, a proposé Newton, était la gravité.
À l'époque de Newton, la gravité n'était associée qu'à la Terre. L'expérience quotidienne nous montre que la Terre exerce une force gravitationnelle sur les objets qui se trouvent à sa surface. Si vous lâchez quelque chose, il accélère vers la Terre lorsqu'il tombe. Newton pensait que la gravité de la Terre pouvait s'étendre jusqu'à la Lune et produire la force nécessaire pour courber la trajectoire de la Lune à partir d'une ligne droite et la maintenir sur son orbite. Il a également émis l'hypothèse que la gravité ne se limite pas à la Terre, mais qu'il existe une force d'attraction générale entre tous les corps matériels. Si tel est le cas, la force d'attraction entre le Soleil et chacune des planètes pourrait les maintenir sur leurs orbites. (Cela peut sembler faire partie de notre réflexion quotidienne d'aujourd'hui, mais c'était un aperçu remarquable de l'époque de Newton.)
Une fois que Newton a émis l'hypothèse audacieuse qu'il existait une attraction universelle entre tous les corps partout dans l'espace, il a dû déterminer la nature exacte de cette attraction. La description mathématique précise de cette force gravitationnelle devait dicter que les planètes se déplacent exactement comme Kepler les avait décrites (comme indiqué dans les trois lois de Kepler). De plus, cette force gravitationnelle devait prédire le comportement correct des corps qui tombaient sur Terre, comme l'a observé Galilée. Comment la force de gravité doit-elle dépendre de la distance pour que ces conditions soient remplies ?
La réponse à cette question nécessitait des outils mathématiques qui n'avaient pas encore été développés, mais cela n'a pas dissuadé Isaac Newton, qui a inventé ce que nous appelons aujourd'hui le calcul pour résoudre ce problème. Il a finalement pu conclure que l'amplitude de la force de gravité devait diminuer avec l'augmentation de la distance entre le Soleil et une planète (ou entre deux objets quelconques), proportionnellement au carré inverse de leur séparation. En d'autres termes, si une planète était deux fois plus éloignée du Soleil, la force serait\((1/2)^2\), ou\(1/4\) plus, importante. Si vous placez la planète trois fois plus loin, la force sera\((1/3)^2\), ou\(1/9\) aussi grande.
Newton a également conclu que l'attraction gravitationnelle entre deux corps doit être proportionnelle à leurs masses. Plus la masse d'un objet est élevée, plus l'attraction de sa force gravitationnelle est forte. L'attraction gravitationnelle entre deux objets quelconques est donc donnée par l'une des équations les plus connues de toute la science :
\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M-2}{R^2} \nonumber\]
où\(F_{gravity}\) est la force gravitationnelle entre deux objets,\(M_1\)\(M_2\) les masses des deux objets et\(R\) leur séparation. \(G\)est un nombre constant connu sous le nom de constante gravitationnelle universelle, et l'équation elle-même résume symboliquement la loi universelle de la gravitation de Newton. Avec une telle force et les lois du mouvement, Newton a pu démontrer mathématiquement que les seules orbites autorisées étaient exactement celles décrites par les lois de Kepler.
La loi universelle de la gravitation de Newton fonctionne pour les planètes, mais est-elle vraiment universelle ? La théorie gravitationnelle devrait également prédire l'accélération observée de la Lune vers la Terre lorsqu'elle tourne autour de la Terre, ainsi que de tout objet (par exemple, une pomme) tombé près de la surface de la Terre. La chute d'une pomme est quelque chose que nous pouvons mesurer assez facilement, mais pouvons-nous l'utiliser pour prédire les mouvements de la Lune ?
Rappelons que selon la deuxième loi de Newton, les forces provoquent une accélération. La loi universelle de la gravitation de Newton dit que la force agissant sur (et donc l'accélération) d'un objet vers la Terre doit être inversement proportionnelle au carré de sa distance par rapport au centre de la Terre. On observe que des objets tels que des pommes à la surface de la Terre, à une distance d'un rayon de la Terre du centre de la Terre, accélèrent vers le bas à une vitesse de 9,8 mètres par seconde par seconde (9,8\(\text{m}/\text{s}^2\)).
C'est cette force de gravité à la surface de la Terre qui nous donne notre idée du poids. Contrairement à votre masse, qui resterait la même sur n'importe quelle planète ou lune, votre poids dépend de la force de gravité locale. Vous pèseriez donc moins sur Mars et sur la Lune que sur Terre, même si votre masse ne change pas. (Ce qui signifie que vous devrez toujours vous contenter des desserts à la cafétéria de l'université à votre retour !)
La Lune se trouve à 60 rayons du centre de la Terre. Si la gravité (et l'accélération qu'elle provoque) faiblit avec la distance au carré, l'accélération subie par la Lune devrait être bien inférieure à celle de la pomme. L'accélération doit être\((1/60)^2 = 1/3600\) (ou 3 600 fois inférieure), soit environ 0,00272\(\text{m}/\text{s}^2\). Il s'agit précisément de l'accélération observée de la Lune sur son orbite. (Comme nous le verrons, la Lune ne tombe pas sur Terre avec cette accélération, mais tombe autour de la Terre.) Imaginez le frisson que Newton a dû ressentir en réalisant qu'il avait découvert et vérifié une loi qui s'applique à la Terre, aux pommes, à la Lune et, pour autant qu'il sache, à tout ce qui se trouve dans l'univers.
Exemple\(\PageIndex{1}\) : calcul du poids
Selon quel facteur le poids d'une personne à la surface de la Terre changerait-il si la Terre avait sa masse actuelle mais huit fois son volume actuel ?
Solution
Avec un volume huit fois plus élevé, le rayon de la Terre doublerait. Cela signifie que la force gravitationnelle à la surface diminuerait d'un facteur de\((1/2)^2 = 1/4\), de sorte qu'une personne ne pèserait qu'un quart de plus.
Exercice\(\PageIndex{1}\)
Selon quel facteur le poids d'une personne à la surface de la Terre changerait-il si la Terre avait sa taille actuelle mais seulement un tiers de sa masse actuelle ?
- Réponse
-
Avec un tiers de sa masse actuelle, la force gravitationnelle à la surface diminuerait d'un tiers, de sorte qu'une personne ne pèserait qu'un tiers de ce poids.
La gravité est une propriété « intégrée » de la masse. Chaque fois qu'il y a des masses dans l'univers, elles interagissent par la force d'attraction gravitationnelle. Plus il y a de masse, plus la force d'attraction est grande. Ici, sur Terre, la plus grande concentration de masse est, bien entendu, la planète sur laquelle nous nous trouvons, et son attraction domine les interactions gravitationnelles que nous subissons. Mais tout ce qui a de la masse attire tout le reste qui a de la masse partout dans l'univers.
La loi de Newton implique également que la gravité ne devient jamais nulle. Il s'affaiblit rapidement avec la distance, mais il continue d'agir dans une certaine mesure, quelle que soit la distance à laquelle vous vous trouvez. L'attraction du Soleil est plus forte à Mercure qu'à Pluton, mais elle peut être ressentie bien au-delà de Pluton, où les astronomes ont de bonnes preuves qu'il fait continuellement bouger un très grand nombre de petits corps glacés sur d'énormes orbites. Et l'attraction gravitationnelle du Soleil se joint à celle de milliards d'autres étoiles pour créer l'attraction gravitationnelle de notre galaxie de la Voie lactée. Cette force, à son tour, peut faire tourner d'autres galaxies plus petites autour de la Voie lactée, et ainsi de suite.
Vous vous demandez peut-être pourquoi les astronautes à bord de la navette spatiale semblent-ils ne pas être soumis à des forces gravitationnelles lorsque nous voyons à la télévision des images des astronautes et des objets flottant dans l'engin spatial ? Après tout, les astronautes de la navette ne se trouvent qu'à quelques centaines de kilomètres au-dessus de la surface de la Terre, ce qui n'est pas une distance significative par rapport à la taille de la Terre. La gravité n'est donc certainement pas beaucoup plus faible que beaucoup plus loin. Les astronautes se sentent « en apesanteur » (c'est-à-dire qu'ils ne ressentent pas la force gravitationnelle qui agit sur eux) pour la même raison que les passagers d'un ascenseur dont le câble est cassé ou d'un avion dont les moteurs ne fonctionnent plus se sentent en apesanteur : ils tombent (Figure\(\PageIndex{1}\)). 1
Lorsqu'ils tombent, ils tombent librement et accélèrent au même rythme que tout ce qui les entoure, y compris leur vaisseau spatial ou l'appareil photo avec lequel ils prennent des photos de la Terre. Ce faisant, les astronautes ne ressentent aucune force supplémentaire et se sentent donc « en apesanteur ». Contrairement aux passagers des ascenseurs qui tombent, les astronautes tombent autour de la Terre, et non pas sur Terre ; ils continueront donc de tomber et sont considérés comme « en orbite » autour de la Terre (voir la section suivante pour plus d'informations sur les orbites).
Masse et mouvement orbitaux
Les lois de Kepler décrivent les orbites des objets dont les mouvements sont décrits par les lois du mouvement de Newton et la loi de la gravité. Le fait de savoir que la gravité est la force qui attire les planètes vers le Soleil a toutefois permis à Newton de repenser la troisième loi de Kepler. Rappelons que Kepler avait découvert une relation entre la période orbitale de la révolution d'une planète et sa distance par rapport au Soleil. Mais la formulation de Newton introduit le facteur supplémentaire des masses du Soleil (M 1) et de la planète (M 2), toutes deux exprimées en unités de la masse du Soleil. La loi universelle de la gravitation de Newton peut être utilisée pour montrer mathématiquement que cette relation est en fait
\[a^3=(M_1+M_2) \times P^2 \nonumber\]
où\(a\) est le demi-grand axe et\(P\) la période orbitale.
Comment Kepler a-t-il oublié ce facteur ? En unités de masse du Soleil, la masse du Soleil est de 1, et en unités de masse du Soleil, la masse d'une planète type est un facteur négligeable. Cela signifie que la somme de la masse du Soleil et de la masse d'une planète, (\(M_1 + M_2\)), est très, très proche de 1. Cela fait que la formule de Newton ressemble presque à celle de Kepler ; la masse minuscule des planètes par rapport au Soleil est la raison pour laquelle Kepler n'a pas réalisé que les deux masses devaient être incluses dans le calcul. Il existe toutefois de nombreuses situations en astronomie dans lesquelles nous devons inclure les deux termes de masse, par exemple, lorsque deux étoiles ou deux galaxies gravitent autour de l'autre.
L'inclusion du terme de masse nous permet d'utiliser cette formule d'une nouvelle manière. Si nous pouvons mesurer les mouvements (distances et périodes orbitales) d'objets agissant sous leur gravité mutuelle, alors la formule nous permettra de déduire leurs masses. Par exemple, nous pouvons calculer la masse du Soleil en utilisant les distances et les périodes orbitales des planètes, ou la masse de Jupiter en notant les mouvements de ses lunes.
En effet, la reformulation par Newton de la troisième loi de Kepler est l'un des concepts les plus puissants de l'astronomie. Notre capacité à déduire la masse des objets à partir de leurs mouvements est essentielle pour comprendre la nature et l'évolution de nombreux corps astronomiques. Nous utiliserons cette loi à plusieurs reprises tout au long de ce texte dans des calculs qui vont des orbites des comètes aux interactions des galaxies.
Exemple\(\PageIndex{2}\) : calcul des effets de la gravité
On trouve une planète comme la Terre en orbite autour de son étoile à une distance de 1 UA en 0,71 par année terrestre. Pouvez-vous utiliser la version de Newton de la troisième loi de Kepler pour déterminer la masse de l'étoile ? (N'oubliez pas que par rapport à la masse d'une étoile, la masse d'une planète semblable à la Terre peut être considérée comme négligeable.)
Solution
Dans la formule\(a^3 = (M_1 + M_2) \times P_2\), le facteur\(M_1 + M_2\) serait maintenant approximativement égal à\(M_1\) (la masse de l'étoile), puisque la masse de la planète est si petite en comparaison. Ensuite, la formule devient\(a_3 = M_1 \times P_2\), et nous pouvons résoudre\(M_1\) :
\[M_1= \frac{a^3}{P^2} \nonumber\]
Depuis\(a = 1\)\(a^3 = 1\), donc
\[M_1= \frac{1}{P_2}= \frac{1}{0.71^2}=\frac{1}{0.5}=2 \nonumber\]
La masse de l'étoile est donc le double de la masse de notre Soleil. (Souvenez-vous que cette façon d'exprimer la loi a des unités en termes de Terre et de Soleil, de sorte que les masses sont exprimées en unités de la masse de notre Soleil.)
Exercice\(\PageIndex{2}\)
Supposons qu'une étoile ayant une masse deux fois supérieure à celle de notre Soleil ait une planète semblable à la Terre qui a mis 4 ans à orbiter autour de l'étoile À quelle distance (demi-grand axe) cette planète tournerait-elle autour de son étoile ?
- Réponse
-
Encore une fois, nous pouvons négliger la masse de la planète. Des années\(M_1 = 2\) et des\(P = 4\) années. La formule est\(a^3 = M_1 \times P_2\) la suivante\(a^3 = 2 \times 4^2 = 2 × 16 = 32\). Donc a est la racine cubique de 32. Pour le trouver, vous pouvez simplement demander à Google : « Qu'est-ce que la racine cubique de 32 ? » et obtenez la réponse 3.2 UA.
Vous pourriez essayer une simulation qui vous permet de déplacer le Soleil, la Terre, la Lune et la station spatiale afin de voir les effets de la modification de leurs distances sur leurs forces gravitationnelles et leurs trajectoires orbitales. Vous pouvez même désactiver la gravité et voir ce qui se passe.
Résumé
La gravité, la force d'attraction entre toutes les masses, est ce qui maintient les planètes en orbite. La loi universelle de la gravitation de Newton relie la force gravitationnelle à la masse et à la distance :
\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M_2}{R^2} \nonumber\]
C'est la force de gravité qui nous donne notre idée du poids. Contrairement à la masse, qui est constante, le poids peut varier en fonction de la force de gravité (ou d'accélération) que vous ressentez. Lorsque les lois de Kepler sont réexaminées à la lumière de la loi gravitationnelle de Newton, il devient clair que les masses des deux objets sont importantes pour la troisième loi, qui devient
\[a^3 = (M_1 + M_2) \times P^2 \nonumber\]
Les effets gravitationnels mutuels nous permettent de calculer les masses d'objets astronomiques, des comètes aux galaxies.
Notes
2 Dans le film Apollo 13, les scènes dans lesquelles les astronautes étaient « en apesanteur » ont en fait été filmées dans un avion qui tombait. Comme vous pouvez l'imaginer, l'avion n'est tombé que pendant de courtes périodes avant que les moteurs ne s'enclenchent à nouveau.
Lexique
- gravité
- l'attraction mutuelle de corps ou de particules matériels