3.1 : Les lois du mouvement planétaire
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Objectifs d'apprentissage
À la fin de la section, vous serez en mesure de :
- Décrivez comment Tycho Brahe et Johannes Kepler ont contribué à notre compréhension de la façon dont les planètes se déplacent autour du Soleil
- Expliquez les trois lois du mouvement planétaire de Kepler
À peu près au moment où Galilée a commencé ses expériences sur les corps qui tombaient, les efforts de deux autres scientifiques ont considérablement fait progresser notre compréhension des mouvements des planètes. Ces deux astronomes étaient l'observateur Tycho Brahe et le mathématicien Johannes Kepler. Ensemble, ils ont placé les spéculations de Copernic sur une base mathématique solide et ont ouvert la voie aux travaux d'Isaac Newton au siècle suivant.
Observatoire de Tycho Brahe
Trois ans après la publication du De Revolutionibus de Copernic, Tycho Brahe est né dans une famille de la noblesse danoise. Il s'est intéressé très tôt à l'astronomie et, jeune homme, a fait d'importantes observations astronomiques. Parmi celles-ci, il y avait une étude minutieuse de ce que nous savons aujourd'hui être une étoile qui explosait et brillait dans le ciel nocturne. Sa réputation grandissante lui a valu le patronage du roi danois Frédéric II et, à l'âge de 30 ans, Brahe a pu établir un bel observatoire astronomique sur l'île de Hven, dans la mer du Nord (Figure\(\PageIndex{1}\)). Brahe était le dernier et le plus grand des observateurs pré-télescopiques en Europe.
À Hven, Brahe a enregistré en continu les positions du Soleil, de la Lune et des planètes pendant près de 20 ans. Ses observations détaillées et précises lui ont permis de constater que les positions des planètes différaient de celles indiquées dans les tableaux publiés, basés sur les travaux de Ptolémée. Ces données étaient extrêmement précieuses, mais Brahe n'avait pas la capacité de les analyser et de développer un meilleur modèle que celui publié par Ptolémée. Il était encore plus inhibé parce qu'il était un homme extravagant et cancre, et qu'il accumulait des ennemis parmi les représentants du gouvernement. À la mort de son patron, Frédéric II, en 1597, Brahe a perdu sa base politique et a décidé de quitter le Danemark. Il a élu domicile à Prague, où il est devenu astronome de la cour de l'empereur Rodolphe de Bohême. C'est là, l'année précédant sa mort, que Brahe a trouvé un jeune mathématicien très compétent, Johannes Kepler, pour l'aider à analyser ses nombreuses données planétaires.
Johann Kepler
Johannes Kepler est né dans une famille pauvre de la province allemande du Wurtemberg et a vécu une grande partie de sa vie au milieu des troubles de la guerre de Trente ans (voir Figure\(\PageIndex{1}\)). Il a fréquenté l'université de Tübingen et a étudié pour une carrière théologique. Il y a appris les principes du système copernicien et s'est converti à l'hypothèse héliocentrique. Finalement, Kepler s'est rendu à Prague pour servir d'assistant à Brahe, qui l'a mis au travail pour essayer de trouver une théorie satisfaisante du mouvement planétaire, compatible avec la longue série d'observations faites à Hven. Brahe hésitait à fournir beaucoup de matériel à Kepler à tout moment, de peur que Kepler ne découvre lui-même les secrets du mouvement universel, privant ainsi Brahe d'une partie de sa gloire. Ce n'est qu'après la mort de Brahe en 1601 que Kepler a acquis la pleine possession de ces documents inestimables. Leur étude a occupé la majeure partie du temps de Kepler pendant plus de 20 ans.
Grâce à son analyse des mouvements des planètes, Kepler a développé une série de principes, désormais connus sous le nom de trois lois de Kepler, qui décrivent le comportement des planètes en fonction de leur trajectoire dans l'espace. Les deux premières lois du mouvement planétaire ont été publiées en 1609 dans The New Astronomy. Leur découverte a marqué une étape importante dans le développement de la science moderne.
Les deux premières lois du mouvement planétaire
La trajectoire d'un objet dans l'espace s'appelle son orbite. Kepler a d'abord supposé que les orbites des planètes étaient des cercles, mais cela ne lui a pas permis de trouver des orbites conformes aux observations de Brahe. En utilisant les données relatives à Mars, il a finalement découvert que l'orbite de cette planète avait la forme d'un cercle ou d'une ellipse quelque peu aplati. À côté du cercle, l'ellipse est le type de courbe fermée le plus simple, appartenant à une famille de courbes appelées sections coniques (Figure\(\PageIndex{2}\)).
Vous vous souvenez peut-être que dans les cours de mathématiques, dans un cercle, le centre est un point spécial. La distance entre le centre et n'importe où sur le cercle est exactement la même. Dans une ellipse, la somme de la distance entre deux points spéciaux à l'intérieur de l'ellipse et n'importe quel point de l'ellipse est toujours la même. Ces deux points à l'intérieur de l'ellipse sont appelés foyers (singulier : focus), un mot inventé à cet effet par Kepler.
Cette propriété suggère une méthode simple pour dessiner une ellipse (Figure\(\PageIndex{3}\)). Nous enroulons les extrémités d'une boucle de ficelle autour de deux punaises poussées à travers une feuille de papier pour former une planche à dessin, de manière à ce que la ficelle soit souple. Si nous poussons un crayon contre la ficelle pour la tendre, puis que nous glissons le crayon contre la ficelle tout autour des pointes, la courbe qui en résulte est une ellipse. Quel que soit l'endroit où se trouve le crayon, la somme des distances entre le crayon et les deux pointes est une longueur constante, c'est-à-dire la longueur de la ficelle. Les picots se trouvent aux deux foyers de l'ellipse.
Le diamètre le plus large de l'ellipse est appelé son axe principal. La moitié de cette distance, c'est-à-dire la distance entre le centre de l'ellipse et une extrémité, correspond au demi-grand axe, qui est généralement utilisé pour spécifier la taille de l'ellipse. Par exemple, le demi-grand axe de l'orbite de Mars, qui correspond également à la distance moyenne de la planète par rapport au Soleil, est de 228 millions de kilomètres.
La forme (rondeur) d'une ellipse dépend de la proximité des deux foyers par rapport à l'axe principal. Le rapport entre la distance entre les foyers et la longueur du demi-grand axe est appelé excentricité de l'ellipse.
Si les foyers (ou les punaises) sont déplacés au même endroit, la distance entre les foyers serait nulle. Cela signifie que l'excentricité est nulle et que l'ellipse n'est qu'un cercle ; ainsi, un cercle peut être appelé une ellipse d'excentricité nulle. Dans un cercle, le demi-grand axe serait le rayon.
Ensuite, nous pouvons réaliser des ellipses de différentes allongements (ou longueurs étendues) en faisant varier l'espacement des picots (à condition qu'ils ne soient pas plus éloignés que la longueur de la corde). Plus l'excentricité est grande, plus l'ellipse est allongée, jusqu'à une excentricité maximale de 1,0, lorsque l'ellipse devient « plate », l'autre extrémité d'un cercle.
La taille et la forme d'une ellipse sont entièrement définies par son demi-grand axe et son excentricité. À l'aide des données de Brahe, Kepler a découvert que Mars possède une orbite elliptique, avec le Soleil sur un foyer (l'autre foyer est vide). L'excentricité de l'orbite de Mars n'est que d'environ 0,1 ; son orbite, tracée à l'échelle, serait pratiquement impossible à distinguer d'un cercle, mais la différence s'est révélée essentielle pour comprendre les mouvements planétaires.
Kepler a généralisé ce résultat dans sa première loi et a déclaré que les orbites de toutes les planètes sont des ellipses. C'était un moment décisif de l'histoire de la pensée humaine : il n'était pas nécessaire de n'avoir que des cercles pour avoir un cosmos acceptable. L'univers pourrait être un peu plus complexe que ne le souhaitaient les philosophes grecs.
La deuxième loi de Kepler traite de la vitesse à laquelle chaque planète se déplace le long de son ellipse, également connue sous le nom de vitesse orbitale. En s'appuyant sur les observations de Brahe sur Mars, Kepler a découvert que la planète accélère à mesure qu'elle se rapproche du Soleil et ralentit lorsqu'elle s'éloigne du Soleil. Il a exprimé la forme précise de cette relation en imaginant que le Soleil et Mars sont reliés par une ligne droite et élastique. Lorsque Mars est plus proche du Soleil (positions 1 et 2 sur la Figure\(\PageIndex{4}\)), la ligne élastique ne s'étire pas autant et la planète se déplace rapidement. Plus loin du Soleil, comme dans les positions 3 et 4, la ligne est beaucoup étirée et la planète ne se déplace pas aussi vite. Lorsque Mars se déplace sur son orbite elliptique autour du Soleil, la ligne élastique balaie des zones de l'ellipse lorsqu'elle se déplace (les régions colorées sur notre figure). Kepler a découvert qu'à intervalles de temps égaux (t), les zones balayées dans l'espace par cette ligne imaginaire sont toujours égales ; c'est-à-dire que l'aire de la région B de 1 à 2 est la même que celle de la région A de 3 à 4.
Si une planète se déplace sur une orbite circulaire, la ligne élastique est toujours étirée de la même manière et la planète se déplace à une vitesse constante autour de son orbite. Mais, comme Kepler l'a découvert, sur la plupart des orbites, la vitesse d'une planète en orbite autour de son étoile (ou de la lune en orbite autour de sa planète) a tendance à varier parce que l'orbite est elliptique.
Troisième loi de Kepler
Les deux premières lois du mouvement planétaire de Kepler décrivent la forme de l'orbite d'une planète et nous permettent de calculer la vitesse de son mouvement à n'importe quel point de l'orbite. Kepler était heureux d'avoir découvert de telles règles fondamentales, mais elles n'ont pas satisfait sa quête de compréhension complète des mouvements planétaires. Il voulait savoir pourquoi les orbites des planètes étaient espacées telles qu'elles sont et trouver un modèle mathématique dans leurs mouvements, une « harmonie des sphères » comme il l'appelait. Pendant de nombreuses années, il a travaillé à la découverte des relations mathématiques qui régissent l'espacement des planètes et le temps nécessaire à chaque planète pour faire le tour du Soleil.
En 1619, Kepler a découvert une relation fondamentale permettant de relier les orbites des planètes à leurs distances relatives par rapport au Soleil. Nous définissons la période orbitale d'une planète, (\(P\)), comme le temps qu'il faut à une planète pour faire le tour du Soleil. Rappelez-vous également que le demi-grand axe d'une planète, a, est égal à sa distance moyenne par rapport au Soleil. La relation, maintenant connue sous le nom de troisième loi de Kepler, indique que la période orbitale d'une planète au carré est proportionnelle au demi-grand axe de son orbite cubique, ou
\[P^2 \propto a^3 \nonumber\]
Lorsque\(P\) (la période orbitale) est mesurée en années et que a est exprimé en une quantité connue sous le nom d'unité astronomique (UA), les deux côtés de la formule sont non seulement proportionnels mais égaux. Une UA est la distance moyenne entre la Terre et le Soleil et est approximativement égale à 1,5 × 108 kilomètres. Dans ces unités,
\[P^2=a^3 \nonumber\]
La troisième loi de Kepler s'applique à tous les objets en orbite autour du Soleil, y compris la Terre, et fournit un moyen de calculer leurs distances relatives par rapport au Soleil à partir du moment où ils se mettent en orbite. Examinons un exemple précis pour illustrer l'utilité de la troisième loi de Kepler.
Supposons, par exemple, que vous chronométrez le temps qu'il faut à Mars pour faire le tour du Soleil (en années terrestres). La troisième loi de Kepler peut ensuite être utilisée pour calculer la distance moyenne de Mars par rapport au Soleil. La période orbitale de Mars (1,88 année terrestre) au carré\(P^2\), ou, est de 1,882 = 3,53, et selon l'équation de la troisième loi de Kepler, cela équivaut au cube de son demi-grand axe, ou\(a^3\). Alors, quel nombre doit être coupé au cube pour obtenir 3,53 ? La réponse est 1,52 (depuis\(1.52 \times 1.52 \times 1.52 = 3.53\)). Ainsi, le demi-grand axe de Mars en unités astronomiques doit être de 1,52 UA. En d'autres termes, pour faire le tour du Soleil en un peu moins de deux ans, Mars doit être à environ 50 % (encore la moitié) plus éloignée du Soleil que la Terre.
Exemple\(\PageIndex{1}\) : calcul de périodes
Imaginez qu'un objet se déplace autour du Soleil. Quelle serait la période orbitale de l'objet si son orbite avait un demi-grand axe de 50 UA ?
Solution
D'après la troisième loi de Kepler, nous savons que (lorsque nous utilisons des unités d'années et d'UA)
\[P^2=a^3 \nonumber\]
Si l'orbite de l'objet a un demi-grand axe de 4 UA (a = 50), nous pouvons cuber 50 puis prendre la racine carrée du résultat pour obtenir P :
\[ \begin{array}{l} P = \sqrt{a^3} \\ P = \sqrt{50 \times 50 \times 50} = \sqrt{125,000} = 353.6 \text{ years} \end{array}\]
Par conséquent, la période orbitale de l'objet est d'environ 350 ans. Cela placerait notre objet hypothétique au-delà de l'orbite de Pluton.
Exercice\(\PageIndex{1}\)
Quelle serait la période orbitale d'un astéroïde (un morceau rocheux entre Mars et Jupiter) ayant un demi-grand axe de 3 UA ?
- Réponse
-
\[P = \sqrt{3 \times 3 \times 3} = \sqrt{27} = 5.2 \text{ years}\]
Les trois lois du mouvement planétaire de Kepler peuvent être résumées comme suit :
- Première loi de Kepler : chaque planète se déplace autour du Soleil sur une orbite qui est une ellipse, le Soleil se trouvant à l'un des foyers de l'ellipse.
- Deuxième loi de Kepler : La ligne droite reliant une planète et le Soleil balaie des zones égales de l'espace à intervalles de temps égaux.
- Troisième loi de Kepler : Le carré de la période orbitale d'une planète est directement proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.
Les trois lois de Kepler fournissent une description géométrique précise du mouvement planétaire dans le cadre du système copernicien. Grâce à ces outils, il a été possible de calculer les positions planétaires avec une précision considérablement améliorée. Pourtant, les lois de Kepler sont purement descriptives : elles ne nous aident pas à comprendre quelles forces de la nature obligent les planètes à suivre cet ensemble particulier de règles. Cette étape a été laissée à Isaac Newton.
Exemple\(\PageIndex{2}\) : Application de la troisième loi de Kepler
À l'aide des périodes orbitales et des demi-grands axes de Vénus et de la Terre qui sont fournis ici, calculez\(P^2\) et\(a^3\) vérifiez qu'ils obéissent à la troisième loi de Kepler. La période orbitale de Vénus est de 0,62 an et son demi-grand axe est de 0,72 UA. La période orbitale de la Terre est de 1 an et son demi-grand axe est de 1 UA.
Solution
Nous pouvons utiliser l'équation de la troisième loi de Kepler,\(P^2 \propto a^3\). Pour Vénus,\(P^2 = 0.62 \times 0.62 = 0.38 \text{ years}\) et\(a^3 = 0.72 \times 0.72 \times 0.72 = 0.37 \text{ AU}\) (l'arrondissement des chiffres entraîne parfois des écarts mineurs comme celui-ci). La période orbitale (0,38 an) se rapproche du demi-grand axe (0,37 UA).
Vénus obéit donc à la troisième loi de Kepler. Pour la Terre,\(P^2 = 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ year}\) et\(a^3 = 1.00 \times 1.00 \times 1.00 = 1.00 \text{ AU}\). La période orbitale (1,00 an) se rapproche (dans ce cas, est égale) au demi-grand axe (1,00 UA). La Terre obéit donc à la troisième loi de Kepler.
Exercice\(\PageIndex{1}\)
À l'aide des périodes orbitales et des demi-grands axes de Saturne et de Jupiter fournis ici, calculez\(P^2\) et\(a^3\) vérifiez qu'ils obéissent à la troisième loi de Kepler. La période orbitale de Saturne est de 29,46 ans et son demi-grand axe est de 9,54 UA. La période orbitale de Jupiter est de 11,86 ans et son demi-grand axe est de 5,20 UA.
- Réponse
-
Pour Saturne,\(P^2 = 29.46 \times 29.46 = 867.9 \text{ years}\) et\(a^3 = 9.54 \times 9.54 \times 9.54 = 868.3 \text{ AU}\). La période orbitale (867,9 ans) se rapproche du demi-grand axe (868,3 UA). Saturne obéit donc à la troisième loi de Kepler.
En l'honneur du scientifique qui a conçu pour la première fois les lois qui régissent les mouvements des planètes, l'équipe qui a construit le premier vaisseau spatial à rechercher des planètes orbitant autour d'autres étoiles a décidé de baptiser la sonde « Kepler ». Pour en savoir plus sur la vie de Johannes Kepler et ses lois du mouvement planétaire, ainsi que de nombreuses informations sur la mission Kepler, visitez le site Web Kepler de la NASA et suivez les liens qui vous intéressent.
Concepts clés et résumé
Les observations précises de Tycho Brahe sur les positions planétaires ont fourni les données utilisées par Johannes Kepler pour dériver ses trois lois fondamentales du mouvement planétaire. Les lois de Kepler décrivent le comportement des planètes sur leurs orbites comme suit : (1) les orbites planétaires sont des ellipses où le Soleil est placé sur un même foyer ; (2) à intervalles égaux, l'orbitale d'une planète balaie des zones égales ; et (3) la relation entre la période orbitale (\(P\)) et le demi-grand axe (\(a\)) d'un l'orbite est donnée par\(P^2 = a^3\) (lorsqu'elle\(a\) est en unités d'UA et\(P\) est en unités d'années terrestres).
Lexique
- unité astronomique (AU)
- l'unité de longueur définie comme la distance moyenne entre la Terre et le Soleil ; cette distance est d'environ 1,5 × 108 kilomètres
- excentricité
- dans une ellipse, le rapport de la distance entre les foyers et l'axe principal
- ellipse
- une courbe fermée pour laquelle la somme des distances entre n'importe quel point de l'ellipse et deux points intérieurs (appelés foyers) est toujours la même
- concentrer
- (pluriel : foyers) l'un des deux points fixes à l'intérieur d'une ellipse à partir desquels la somme des distances par rapport à tout point de l'ellipse est constante
- La première loi de Kepler
- chaque planète se déplace autour du Soleil sur une orbite qui est une ellipse, le Soleil se trouvant à l'un des foyers de l'ellipse
- La deuxième loi de Kepler
- la ligne droite reliant une planète et le Soleil balaie des zones égales de l'espace à intervalles de temps égaux
- Troisième loi de Kepler
- le carré de la période orbitale d'une planète est directement proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite
- axe principal
- le diamètre maximal d'une ellipse
- orbite
- la trajectoire d'un objet en révolution autour d'un autre objet ou point
- période orbitale (P)
- le temps qu'il faut à un objet pour se déplacer une fois autour du Soleil
- vitesse orbitale
- la vitesse à laquelle un objet (généralement une planète) orbite autour de la masse d'un autre objet ; dans le cas d'une planète, la vitesse à laquelle chaque planète se déplace le long de son ellipse
- demi-grand axe
- la moitié de l'axe principal d'une section conique, telle qu'une ellipse