10.8E : Vecteurs (exercices)

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Pour les exercices suivants, déterminez si les deux vecteurs,$\mathbf{u}$ et$\mathbf{v},$ sont égaux, où$\mathbf{u}$ a un point initial$P_{1}$ et un point terminal$P_{2},$ et$\mathbf{v}$ a un point initial$P_{3}$ et un point terminal$P_{4}$.

52. $P_{1}=(-1,4), P_{2}=(3,1), P_{3}=(5,5)$et$P_{4}=(9,2)$

53. $P_{1}=(6,11), P_{2}=(-2,8), P_{3}=(0,-1)$et$P_{4}=(-8,2)$

Pour les exercices suivants, utilisez les vecteurs$\mathbf{u}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}, \mathbf{v}=4 \mathbf{i}-3 \mathbf{j},$ et$w=-2 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}$ évaluez l'expression.

54. $u-v$

55. $2 v-u+w$

Pour les exercices suivants, trouvez un vecteur unitaire dans la même direction que le vecteur donné.

56. $a=8 i-6 j$

57. $b=-3 i-j$

Pour les exercices suivants, déterminez l'amplitude et la direction du vecteur.

58. $\langle 6,-2\rangle$

59. $\langle-3,-3\rangle$

Pour les exercices suivants, calculez$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$.

60. $u=-2 i+j$et$v=3 i+7 j$

61. $u=i+4 j$et$v=4 i+3 j$

62. $\boldsymbol{v}=\langle-3,4\rangle$Tirage au sort$\boldsymbol{v}, 2 \boldsymbol{v},$ et$\frac{1}{2} \boldsymbol{v}$

63. Compte tenu des vecteurs illustrés à la figure 4, esquissez$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$ et$3 \boldsymbol{v}$.

$Schéma des vecteurs v, 2v et 1/2 v. Le vecteur 2v est dans la même direction que v mais a une amplitude deux fois supérieure. Le vecteur 1/2 v est dans la même direction que v mais possède la moitié de la magnitude.$

Graphique 4

64. Étant donné le point initial$P_{1}=(3,2)$ et le point terminal,$P_{2}=(-5,-1),$ écrivez le vecteur$\mathbf{v}$ en termes de$\mathbf{i}$ et$\mathbf{j}$. Tracez les points et le vecteur sur le graphique.