1.2 : Exposants et notation scientifique

Objectifs d'apprentissage

• Différentes règles des exposants
• Notation scientifique

Les mathématiciens, les scientifiques et les économistes rencontrent généralement de très grands et de très petits nombres. Mais il n'est peut-être pas évident à quel point ces chiffres sont courants dans la vie quotidienne. Par exemple, un pixel est la plus petite unité de lumière qui peut être perçue et enregistrée par un appareil photo numérique. Un appareil photo en particulier peut enregistrer une image$2,048$ pixels par$1,536$ pixels, ce qui correspond à une image en très haute résolution. Il peut également percevoir une profondeur de couleur (dégradés de couleurs) allant jusqu'à$48$ bits par image, et peut prendre l'équivalent d'$24$images par seconde. Le nombre maximum de bits d'information utilisés pour filmer un film numérique d'une heure ($3,600$-seconde) est alors extrêmement élevé.

À l'aide d'une calculatrice, nous$2,048×1$ entrons$600$ et appuyons sur ENTER.$536×48×24×3$ La calculatrice s'affiche$1.304596316E13$. Qu'est-ce que cela signifie ? La partie «$E13$ » du résultat représente l'exposant$13$ de dix, de sorte qu'il y a un maximum d'environ$1.3\times10^{13}$ bits de données dans ce film d'une heure. Dans cette section, nous passons d'abord en revue les règles des exposants, puis nous les appliquons aux calculs impliquant des nombres très grands ou très petits.

Utilisation de la règle du produit des exposants

Considérez le produit$x^3\times x^4$. Les deux termes ont la même base$x$, mais ils sont élevés à des exposants différents. Développez chaque expression, puis réécrivez l'expression résultante.

$$\begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}$$

Le résultat est que$x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7$.

Notez que l'exposant du produit est la somme des exposants des termes. En d'autres termes, lorsque vous multipliez des expressions exponentielles avec la même base, nous écrivons le résultat avec la base commune et ajoutons les exposants. Il s'agit de la règle du produit des exposants.

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

Prenons maintenant un exemple avec des nombres réels.

$2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7$

Nous pouvons toujours vérifier que cela est vrai en simplifiant chaque expression exponentielle. Nous constatons que$2^3$ c'$2^4$est$8$$16$, est et$2^7$ est$128$. Le produit$8\times16$ est égal$128$, donc la relation est vraie. Nous pouvons utiliser la règle du produit des exposants pour simplifier les expressions qui sont le produit de deux nombres ou des expressions ayant la même base mais des exposants différents.

LA RÈGLE DU PRODUIT DES EXPOSANTS

Pour tous les nombres réels a et naturels$m$ et$n$, la règle du produit des exposants stipule que

$$a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}$$

Exemple$\PageIndex{1}$: Using the Product Rule

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage.

1. $t^5\times t^3$
2. $(−3)^5\times(−3)$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

Solution

Utilisez la règle du produit (équation \ ref {prod}) pour simplifier chaque expression.

1. $t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8$
2. $(−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

À première vue, il peut sembler que nous ne pouvons pas simplifier un produit composé de trois facteurs. Cependant, en utilisant la propriété associative de multiplication, commencez par simplifier les deux premières.

$$x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber$$

Notez que nous obtenons le même résultat en ajoutant les trois exposants en une seule étape.

$$x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber$$

Exercice$\PageIndex{1}$

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage.

1. $k^6\times k^9$
2. $\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)$
3. $t^3\times t^6\times t^5$

Répondez à une

$k^{15}$

Réponse b

$\left(\dfrac{2}{y}\right)^5$

Réponse c

$t^{14}$

Utilisation de la règle du quotient des exposants

La règle du quotient des exposants nous permet de simplifier une expression qui divise deux nombres avec la même base mais des exposants différents. De la même manière que pour la règle du produit, nous pouvons simplifier une expression telle que$\dfrac{y^m}{y^n}$, où$m>n$. Prenons l'exemple$\dfrac{y^9}{y^5}$. Effectuez la division en annulant les facteurs communs.

$$\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}$$

Notez que l'exposant du quotient est la différence entre les exposants du diviseur et du dividende.

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$$

En d'autres termes, lorsque vous divisez des expressions exponentielles avec la même base, nous écrivons le résultat avec la base commune et soustrayons les exposants.

$\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4$

Pour le moment, nous devons être conscients de la maladie$m>n$. Sinon, la différence$m-n$ pourrait être nulle ou négative. Ces possibilités seront explorées prochainement. De plus, au lieu de qualifier les variables comme étant différentes de zéro à chaque fois, nous simplifierons les choses et supposerons à partir de là que toutes les variables représentent des nombres réels non nuls.

LA RÈGLE DU QUOTIENT DES EXPOSANTS

Pour tout nombre réel$a$ et tout entier naturel$m$ et$n$, de telle sorte que$m>n$ la règle du quotient des exposants stipule que

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}$$

Exemple$\PageIndex{2}$: Using the Quotient Rule

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}$

Solution

Utilisez la règle du quotient (Équation \ ref {quot}) pour simplifier chaque expression.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$=t^ {23−15} =t^8 \)
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4$

Exercice$\PageIndex{2}$

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage.

1. $\dfrac{s^{75}}{s^{68}}$
2. $\dfrac{(−3)^6}{−3}$
3. $\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}$

Répondez à une

$s^7$

Réponse b

$(−3)^5$

Réponse c

$(ef^2)^2$

Utilisation de la règle de puissance des exposants

Supposons qu'une expression exponentielle atteigne une certaine puissance. Pouvons-nous simplifier le résultat ? Oui Pour ce faire, nous utilisons la règle de puissance des exposants. Considérez l'expression$(x^2)^3$. L'expression entre parenthèses est multipliée deux fois car elle possède un exposant de$2$. Le résultat est ensuite multiplié trois fois car l'expression entière possède un exposant de$3$.

$$\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}$$

L'exposant de la réponse est le produit des exposants :$(x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6$. En d'autres termes, lorsque vous augmentez une expression exponentielle à une puissance, nous écrivons le résultat avec la base commune et le produit des exposants.

$$(a^m)^n=a^{m⋅n}$$

Veillez à faire la distinction entre les utilisations de la règle du produit et de la règle de puissance. Lorsque vous utilisez la règle du produit, différents termes ayant les mêmes bases sont élevés en exposants. Dans ce cas, vous ajoutez les exposants. Lorsque vous utilisez la règle de puissance, un terme en notation exponentielle est élevé à une puissance. Dans ce cas, vous multipliez les exposants.

Tableau$\PageIndex{1}$

Règle relative au produit	Règle du pouvoir
$5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7$	$(5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}$
$x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7$	$(x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}$
$(3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}$	$((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}$

LA RÈGLE DE PUISSANCE DES EXPOSANTS

Pour tout nombre réel a et tout entier positif m et n, la règle de puissance des exposants stipule que

$$(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}$$

Exemple$\PageIndex{3}$: Using the Power Rule

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage.

1. $(x^2)^7$
2. $((2t)^5)^3$
3. $((−3)^5)^{11}$

Solution

Utilisez la règle de puissance (équation \ ref {power}) pour simplifier chaque expression.

1. $(x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}$
2. $((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}$
3. $((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}$

Exercice$\PageIndex{3}$

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage.

1. $((3y)^8)^3$
2. $(t^5)^7$
3. $((−g)^4)^4$

Répondez à une

$(3y)^{24}$

Réponse b

$t^{35}$

Réponse c

$(−g)^{16}$

Utilisation de la règle des exposants zéro

Revenez à la règle du quotient. Nous avons posé la condition$m>n$ que la différence ne$m−n$ soit jamais nulle ou négative. Que se passerait-il si$m=n$ ? Dans ce cas, nous utiliserions la règle des exposants zéro pour simplifier l'expression en$1$. Pour voir comment cela se fait, commençons par un exemple.

$$\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber$$

Si nous devions simplifier l'expression originale en utilisant la règle du quotient, nous aurions

$$\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber$$

Si nous assimilons les deux réponses, le résultat est$t^0=1$. Cela est vrai pour tout nombre réel différent de zéro ou pour toute variable représentant un nombre réel.

$$a^0=1 \nonumber$$

La seule exception est l'expression$0^0$. Cela apparaît plus tard dans les cours plus avancés, mais pour l'instant, nous considérerons que la valeur n'est pas définie.

LA RÈGLE DES EXPOSANTS NULS

Pour tout nombre réel a non nul, la règle des exposants nuls stipule que

$$a^0=1$$

Exemple$\PageIndex{4}$: Using the Zero Exponent Rule

Simplifiez chaque expression à l'aide de la règle des exposants zéro.

1. $\dfrac{c^3}{c^3}$
2. $\dfrac{-3x^5}{x^5}$
3. $\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}$
4. $\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}$

Solution

Utilisez l'exposant zéro et d'autres règles pour simplifier chaque expression.

un. $$\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Exercice$\PageIndex{4}$

Simplifiez chaque expression à l'aide de la règle des exposants zéro.

1. $\dfrac{t^7}{t^7}$
2. $\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}$
3. $\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}$
4. $\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}$

Répondez à une

$1$

Réponse b

$\dfrac{1}{2}$

Réponse c

$1$

Réponse d

$1$

Utilisation de la règle négative des exposants

Un autre résultat utile se produit si nous assouplissons encore davantage la condition qui prévaut$m>n$ dans la règle du quotient. Par exemple, pouvons-nous simplifier$\dfrac{t^3}{t^5}$ ? Lorsque,$m<n$ c'est-à-dire lorsque la différence$m−n$ est négative, nous pouvons utiliser la règle négative des exposants pour simplifier l'expression et lui donner son inverse.

Divisez une expression exponentielle par une autre avec un exposant plus grand. Utilisez notre exemple,$\dfrac{t^3}{t^5}$.

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}$$

Si nous devions simplifier l'expression originale en utilisant la règle du quotient, nous aurions

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}$$

Nous avons rassemblé les réponses$h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}$. Cela est vrai pour tout nombre réel non nul ou pour toute variable représentant un nombre réel différent de zéro.

Un facteur avec un exposant négatif devient le même facteur avec un exposant positif s'il est déplacé sur la barre de fraction, du numérateur au dénominateur ou vice versa.

$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$et$a^n=\dfrac{1}{a^{−n}}$

Nous avons montré que l'expression exponentielle an est définie quand$n$ est un entier naturel$0$, ou le négatif d'un entier naturel. Cela signifie que an est défini pour n'importe quel entier$n$. De plus, les règles du produit et du quotient ainsi que toutes les règles que nous allons examiner s'appliquent bientôt à n'importe quel entier$n$.

LA RÈGLE NÉGATIVE DES EXPOSANTS

Pour tout nombre réel a et tout entier naturel n non nuls, la règle négative des exposants stipule que

$$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$$

Exemple$\PageIndex{5}$: Using the Negative Exponent Rule

Écrivez chacun des quotients suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}$

Solution

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}$

Exercice$\PageIndex{5}$

Écrivez chacun des quotients suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}$
2. $\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}$
3. $\dfrac{2k^4}{5k^7}$

Répondez à une

$\dfrac{1}{(-3t)^6}$

Réponse b

$\dfrac{1}{f^3}$

Réponse c

$\dfrac{2}{5k^3}$

Exemple$\PageIndex{6}$: Using the Product and Quotient Rules

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $b^2\times b^{-8}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}$

Solution

1. $b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}$

Exercice$\PageIndex{6}$

Écrivez chacun des produits suivants avec une base unique. Ne simplifiez pas davantage. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $t^{-11}\times t^6$
2. $\dfrac{25^{12}}{25^{13}}$

Répondez à une

$t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}$

Réponse b

$\dfrac{1}{25}$

Découvrir la puissance d'un produit

Pour simplifier la puissance d'un produit de deux expressions exponentielles, nous pouvons utiliser la puissance d'une règle de produit composée d'exposants, qui divise la puissance d'un produit de facteurs en produit des puissances des facteurs. Par exemple, considérez$(pq)^3$. Nous commençons par utiliser les propriétés associatives et commutatives de la multiplication pour regrouper les facteurs.

$$\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}$$

En d'autres termes,$(pq)^3=p^3\times q^3$.

LA PUISSANCE D'UN PRODUIT RÈGLE DES EXPOSANTS

Pour tous les nombres réels a et b et tout entier n, la puissance d'une règle de produit des exposants indique que

$$(ab)^n=a^nb^n$$

Exemple$\PageIndex{7}$: Using the Power of a Product Rule

Simplifiez au maximum chacun des produits suivants en utilisant la puissance d'une règle de produit. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $(ab^2)^3$
2. $(2t)^{15}$
3. $(-2w^3)^3$
4. $\dfrac{1}{(-7z)^4}$
5. $(e^{-2}f^2)^7$

Solution

Utilisez les règles de produit et de quotient ainsi que les nouvelles définitions pour simplifier chaque expression.

un.$(ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6$

b.$(2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}$

c.$(−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9$

d.$\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}$

e.$(e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$

Exercice$\PageIndex{7}$

Simplifiez au maximum chacun des produits suivants en utilisant la puissance d'une règle de produit. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $(g^2h^3)^5$
2. $(5t)^3$
3. $(-3y^5)^3$
4. $\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}$
5. $(r^3s^{-2})^4$

Répondez à une

$g^{10}h^{15}$

Réponse b

$125t^3$

Réponse c

$-27y^{15}$

Réponse d

$\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}$

Réponse e

$\dfrac{r^{12}}{s^8}$

Découvrir la puissance d'un quotient

Pour simplifier la puissance d'un quotient de deux expressions, nous pouvons utiliser la puissance d'une règle de quotient, selon laquelle la puissance d'un quotient de facteurs est le quotient des puissances des facteurs. Regardons par exemple l'exemple suivant.

$$(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$$

Réécrivons le problème d'origine différemment et examinons le résultat.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

Il ressort des deux dernières étapes que nous pouvons utiliser la puissance d'une règle de produit comme la puissance d'une règle de quotient.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

LA PUISSANCE D'UNE RÈGLE DE QUOTIENT DES EXPOSANTS

Pour tous les nombres réels a et b et tout entier n, la puissance d'une règle de quotient des exposants indique que

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$

Exemple$\PageIndex{8}$: Using the Power of a Quotient Rule

Simplifiez chacun des quotients suivants autant que possible en utilisant la puissance d'une règle de quotient. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6$
3. $\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}$
4. $(j^3k^{-2})^4$
5. $(m^{-2}n^{-2})^3$

Solution

un.$\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}$

b.$\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}$

c.$\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}$

d.$(j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}$

e.$(m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}$

Exercice$\PageIndex{8}$

Simplifiez chacun des quotients suivants autant que possible en utilisant la puissance d'une règle de quotient. Écrivez les réponses avec des exposants positifs.

1. $\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4$
3. $\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}$
4. $(p^{-4}q^3)^8$
5. $(c^{-5}d^{-3})^4$

Répondez à une

$\dfrac{b^{15}}{c^3}$

Réponse b

$\dfrac{625}{u^{32}}$

Réponse c

$\dfrac{-1}{w^{105}}$

Réponse d

$\dfrac{q^{24}}{p^{32}}$

Réponse e

$\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}$

Simplification des expressions exponentielles

Rappelez-vous que simplifier une expression signifie la réécrire en combinant des termes ou des exposants ; en d'autres termes, écrire l'expression plus simplement avec moins de termes. Les règles relatives aux exposants peuvent être combinées pour simplifier les expressions.

Exemple$\PageIndex{9}$: Simplifying Exponential Expressions

Simplifiez chaque expression et écrivez la réponse avec des exposants positifs uniquement.

1. $(6m^2n^{-1})^3$
2. $17^5\times17^{-4}\times17^{-3}$
3. $\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2$
4. $(-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)$
5. $(x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}$
6. $\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}$

Solution

un. $$\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}$$

e. $$\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}$$

f). $$\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Utilisation de la notation scientifique

Rappelons au début de la section que nous avons trouvé le numéro$1.3\times10^{13}$ lors de la description de bits d'information dans des images numériques. D'autres nombres extrêmes incluent la largeur d'un cheveu humain, qui est d'environ$0.00005\; m$, et le rayon d'un électron, qui est d'environ$0.00000000000047\; m$. Comment pouvons-nous travailler, lire, comparer et calculer efficacement avec de tels nombres ?

Une méthode abrégée pour écrire des nombres très petits et très grands est appelée notation scientifique, dans laquelle nous exprimons des nombres en termes d'exposants de$10$. Pour écrire un nombre en notation scientifique, déplacez la virgule décimale à droite du premier chiffre du nombre. Ecrivez les chiffres sous forme de nombre décimal compris entre$1$ et$10$. Comptez le nombre de positions où$n$ vous avez déplacé la virgule décimale. Multipliez le nombre$10$ décimal par une puissance de$n$. Si vous avez déplacé la décimale vers la gauche comme dans un très grand nombre,$n$ c'est positif. Si vous avez déplacé la décimale vers la droite comme dans un petit grand nombre,$n$ c'est négatif.

Par exemple, considérez le nombre$2,780,418$. Déplace la décimale vers la gauche jusqu'à ce qu'elle se trouve à droite du premier chiffre différent de zéro, c'est-à-dire$2$.

On obtient$2.780418$ en déplaçant les$6$ décimales vers la gauche. Par conséquent, l'exposant de$10$ est$6$, et il est positif car nous avons déplacé la virgule décimale vers la gauche. C'est ce à quoi nous devons nous attendre pour un grand nombre d'entre eux.

$2.780418\times{10}^6$

Travailler avec de petits nombres est similaire. Prenons, par exemple, le rayon d'un électron,$0.00000000000047\; m$. Effectuez la même série d'étapes que ci-dessus, sauf pour déplacer le point décimal vers la droite.

Veillez à ne pas inclure le début$0$ dans votre décompte. Nous déplaçons la virgule$13$ décimale vers la droite, de sorte que l'exposant de$10$ est$13$. L'exposant est négatif car nous avons déplacé le point décimal vers la droite. C'est ce à quoi il faut s'attendre pour un petit nombre.

$4.7\times{10}^{−13}$

NOTATION SCIENTIFIQUE

Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est écrit sous la forme$a\times{10}^n$, où$1≤|a|<10$ et$n$ est un entier.

Exemple$\PageIndex{10}$: Converting Standard Notation to Scientific Notation

Écrivez chaque chiffre en notation scientifique.

1. Distance de la Terre jusqu'à la galaxie d'Andromède :$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$
2. Diamètre de la galaxie d'Andromède :$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$
3. Nombre d'étoiles dans la galaxie d'Andromède :$1,000,000,000,000$
4. Diamètre de l'électron :$0.00000000000094\; m$
5. Probabilité d'être frappé par la foudre au cours d'une année donnée :$0.00000143$

Solution

a.$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$$22$ lieux

$2.4\times{10}^{22}\; m$

b.$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$$21$ lieux

$1.3\times{10}^{21}\; m$

c.$1,000,000,000,000$$12$ lieux

$1\times{10}^{12}$

d.$0.00000000000094\; m$$13$ lieux

$9.4\times{10}^{-13}\; m$

e.$0.00000143$$6$ lieux

$1.43\times{10}^6$

Analyse

Observez que, si le nombre donné est supérieur à$1$, comme dans les exemples a-c, l'exposant de$10$ est positif ; et si le nombre est inférieur à$1$, comme dans les exemples d-e, l'exposant est négatif.

Exercice$\PageIndex{10}$

Écrivez chaque chiffre en notation scientifique.

1. Dette nationale des États-Unis par contribuable (avril 2014) :$\$152,000$
2. Population mondiale (avril 2014) :$7,158,000,000$
3. Revenu national brut mondial (avril 2014) :$\$85,500,000,000,000$
4. Il est temps pour la lumière de voyager$1\; m: 0.00000000334\; s$
5. Probabilité de gagner à la loterie (correspondance$6$ des numéros$49$ possibles) :$0.0000000715$

Répondez à une

$\$1.52\times{10}^5$

Réponse b

$7.158\times{10}^9$

Réponse c

$\$8.55\times{10}^{13}$

Réponse d

$3.34\times{10}^{-9}$

Réponse e

$7.15\times{10}^{-8}$

Conversion de la notation scientifique à la notation standard

Pour convertir un nombre en notation scientifique en notation standard, il suffit d'inverser le processus. Déplacez la décimale n places vers la droite si elle$n$ est positive ou$n$ vers la gauche si elle$n$ est négative et ajoutez des zéros si nécessaire. N'oubliez pas que si elle$n$ est positive, la valeur du nombre est supérieure à$1$, et si elle$n$ est négative, la valeur du nombre est inférieure à un.

Exemple$\PageIndex{11}$: Converting Scientific Notation to Standard Notation

Convertissez chaque nombre en notation scientifique en notation standard.

1. $3.547\times{10}^{14}$
2. $−2\times{10}^6$
3. $7.91\times{10}^{−7}$
4. $−8.05\times{10}^{−12}$

Solution

un.$3.547\times{10}^{14}$

$3.54700000000000$

$\rightarrow14$lieux

$354,700,000,000,000$

b.$−2\times{10}^6$

$−2.000000$

$\rightarrow6$lieux

$−2,000,000$

c.$7.91\times{10}^{−7}$

$0000007.91$

$\rightarrow7$lieux

$0.000000791$

d.$−8.05\times{10}^{−12}$

$−000000000008.05$

$\rightarrow12$lieux

$−0.00000000000805$

Exercice$\PageIndex{11}$

Convertissez chaque nombre en notation scientifique en notation standard.

1. $7.03\times{10}^5$
2. $−8.16\times{10}^{11}$
3. $−3.9\times{10}^{−13}$
4. $8\times{10}^{−6}$

Répondez à une

$703,000$

Réponse b

$−816,000,000,000$

Réponse c

$−0.00000000000039$

Réponse d

$0.000008$

Utilisation de la notation scientifique dans les applications

La notation scientifique, utilisée avec les règles des exposants, facilite le calcul avec de grands ou de petits nombres par rapport à la notation standard. Supposons, par exemple, qu'on nous demande de calculer le nombre d'atomes dans$1\; L$ l'eau. Chaque molécule d'eau contient des$3$ atomes ($2$hydrogène et$1$ oxygène). La goutte d'eau moyenne contient environ des$1.32\times{10}{21}$ molécules d'eau et$1\; L$ de l'eau contient environ des gouttes$1.22\times{10}^{4}$ moyennes. Par conséquent, il y a environ des$3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}$ atomes dans$1\; L$ l'eau. Nous multiplions simplement les termes décimaux et ajoutons les exposants. Imaginez devoir effectuer le calcul sans utiliser de notation scientifique !

Lorsque vous effectuez des calculs avec une notation scientifique, veillez à écrire la réponse dans une notation scientifique appropriée. Prenons l'exemple du produit$(7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}$. La réponse n'est pas dans la notation scientifique appropriée car$35$ est supérieure à$10$. Considérez$35$ comme$3.5\times10$. Cela ajoute dix à l'exposant de la réponse.

$(35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}$

Exemple$\PageIndex{12}$: Using Scientific Notation

Effectuez les opérations et écrivez la réponse en notation scientifique.

1. $(8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})$
2. $(4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})$
3. $(2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})$
4. $(1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)$
5. $(3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)$

Des solutions

un. $$\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

e. $$\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}$$

Exercice$\PageIndex{12}$

Effectuez les opérations et écrivez la réponse en notation scientifique.

1. $(−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})$
2. $(1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})$
3. $(3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)$
4. $(9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})$
5. $(−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)$

Répondez à une

$−8.475\times{10}^6$

Réponse b

$8\times{10}^{−8}$

Réponse c

$2.976\times{10}^{13}$

Réponse d

$−4.3\times{10}^6$

Réponse e

$≈1.24\times{10}^{15}$

Exemple$\PageIndex{13}$: Applying Scientific Notation to Solve Problems

En avril 2014, la population des États-Unis était composée de$308,000,000$ personnes. La dette nationale était d'environ$\$17,547,000,000,000$. Écrivez chaque chiffre en notation scientifique, en arrondissant les chiffres à deux décimales, et trouvez le montant de la dette par citoyen américain. Écrivez la réponse dans des notations scientifiques et standard.

Solution

La population était$308,000,000=3.08\times{10}^8$.

La dette nationale l'était$$17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}$.

Pour connaître le montant de la dette par citoyen, divisez la dette nationale par le nombre de citoyens.

$$\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}$$

La dette par citoyen à l'époque était d'environ$$5.7\times{10}^4$, ou$$57,000$.

Exercice$\PageIndex{13}$

Un corps humain moyen contient environ des globules$30,000,000,000,000$ rouges. Chaque cellule mesure environ de$0.000008\; m$ long. Écrivez chaque chiffre en notation scientifique et trouvez la longueur totale si les cellules ont été posées bout à bout. Écrivez la réponse dans des notations scientifiques et standard.

Réponse

Nombre de cellules :$3\times{10}^{13}$ ; longueur d'une cellule :$8\times{10}^{−6}\; m$ ; longueur totale :$2.4\times{10}^8\; m$ ou$240,000,000\; m$.

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur les exposants et la notation scientifique.

Notation exponentielle

Propriétés des exposants

Exposant zéro

Simplifier les expressions d'exposant

Règle du quotient pour les exposants

Notation scientifique

Conversion en notation décimale

Équations clés

Règles des exposants Pour les nombres réels non nuls a et b et les entiers m et n
Règle relative au produit	$a^m⋅a^n=a^{m+n}$
Règle du quotient	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$
Règle du pouvoir	$(a^m)^n=a^{m⋅n}$
Règle de l'exposant zéro	$a^0=1$
Règle négative	$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$
Règle sur le pouvoir d'un produit	$(a⋅b)^n=a^n⋅b^n$
Pouvoir d'une règle du quotient	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Concepts clés

• Les produits d'expressions exponentielles ayant la même base peuvent être simplifiés en ajoutant des exposants. Voir l'exemple.
• Les quotients d'expressions exponentielles ayant la même base peuvent être simplifiés en soustrayant des exposants. Voir l'exemple.
• Les puissances des expressions exponentielles ayant la même base peuvent être simplifiées en multipliant les exposants. Voir l'exemple.
• Une expression avec un exposant zéro est définie comme 1. Voir l'exemple.
• Une expression avec un exposant négatif est définie comme une expression réciproque. Voir Exemple et Exemple.
• La puissance d'un produit de facteurs est la même que celle du produit des puissances des mêmes facteurs. Voir l'exemple.
• La puissance d'un quotient de facteurs est la même que celle des puissances des mêmes facteurs. Voir l'exemple.
• Les règles relatives aux expressions exponentielles peuvent être combinées pour simplifier les expressions plus complexes. Voir l'exemple.
• La notation scientifique utilise des puissances de 10 pour simplifier des nombres très grands ou très petits. Voir Exemple et Exemple.
• La notation scientifique peut être utilisée pour simplifier les calculs avec des nombres très grands ou très petits. Voir Exemple et Exemple.