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8.5 : Simplifier les expressions rationnelles complexes

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Simplifiez une expression rationnelle complexe en l'écrivant sous forme de division
    • Simplifiez une expression rationnelle complexe à l'aide de l'écran LCD
    Remarque

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    Si vous manquez un problème, revenez à la section répertoriée et passez en revue les informations.

    1. Simplifiez :\(\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.25.
    2. Simplifiez :\(\frac{1−\frac{1}{3}}{4^2+4·5}\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.31.

    Les fractions complexes sont des fractions dont le numérateur ou le dénominateur contient une fraction. Dans le chapitre 1, nous avons simplifié les fractions complexes comme celles-ci :

    \[\begin{array}{cc} {\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}}&{\frac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Dans cette section, nous allons simplifier les expressions rationnelles complexes, qui sont des expressions rationnelles avec des expressions rationnelles au numérateur ou au dénominateur.

    Définition : EXPRESSION RATIONNELLE COMPLEXE

    Une expression rationnelle complexe est une expression rationnelle dans laquelle le numérateur ou le dénominateur contient une expression rationnelle.

    Voici quelques expressions rationnelles complexes :

    \(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)

    \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\)

    \(\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}\)
    N'oubliez pas que nous excluons toujours les valeurs qui mettraient tout dénominateur à zéro.

    Nous utiliserons deux méthodes pour simplifier les expressions rationnelles complexes.

    Simplifiez une expression rationnelle complexe en l'écrivant sous forme de division

    Nous avons déjà vu cette expression rationnelle complexe plus tôt dans ce chapitre.

    \(\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6}}\)

    Nous avons remarqué que les barres de fraction nous indiquaient de diviser, nous l'avons donc réécrit en tant que problème de division

    \((\frac{6x^2−7x+2}{4x−8})÷(\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6})\)

    Ensuite, nous avons multiplié la première expression rationnelle par l'inverse de la seconde, comme nous le faisons lorsque nous divisons deux fractions.

    Il s'agit d'une méthode permettant de simplifier les expressions rationnelles. Nous l'écrivons comme si nous divisions deux fractions.

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    \(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\).

    Réponse
      \(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)
    Réécrivez la fraction complexe en tant que division. \(\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}\)
    Réécrivez comme le produit de la première fois l'inverse de la seconde. \(\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}\)
    Multipliez. \(\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}\)
    Facteur pour rechercher des facteurs communs. \(\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}\)
    Simplifiez. \(\frac{y+3}{2}\)

    Y a-t-il des valeurs de y qui ne devraient pas être autorisées ? L'expression rationnelle simplifiée n'a qu'une constante dans le dénominateur. Mais l'expression rationnelle complexe originale avait des dénominateurs de y−3 et\(y^2−9\). Cette expression ne serait pas définie si y=3 ou y=−3

    Exemple\(\PageIndex{2}\)

    \(\frac{\frac{2}{x^2−1}}{\frac{3}{x+1}}\).

    Réponse

    \(\frac{2}{3(x−1)}\)

    Exemple\(\PageIndex{3}\)

    \(\frac{\frac{1}{x^2−7x+12}}{\frac{2}{x−4}}\).

    Réponse

    \(\frac{1}{2(x−3)}\)

    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    \(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}\).

    Réponse
      .
    Simplifiez le numérateur et le dénominateur.  
    Trouvez l'écran LCD et ajoutez les fractions dans le numérateur.
    Trouvez l'écran LCD et ajoutez les fractions au dénominateur.    		 .
    Simplifiez le numérateur et le dénominateur. .
    Simplifiez à nouveau le numérateur et le dénominateur. .
    Réécrivez l'expression rationnelle complexe en tant que problème de division. .
    Multipliez la première fois par l'inverse de la seconde. .
    Simplifiez. .
    Exemple\(\PageIndex{5}\)

    \(\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}+\frac{1}{12}}\).

    Réponse

    \(\frac{14}{11}\)

    Exemple\(\PageIndex{6}\)

    \(\frac{\frac{3}{4}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{5}{6}}\).

    Réponse

    \(\frac{10}{23}\)

    Comment simplifier une expression rationnelle complexe en l'écrivant sous forme de division

    Exemple\(\PageIndex{7}\)

    \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\).

    Réponse

    L'image ci-dessus comporte trois colonnes. L'image montre les étapes à suivre pour diviser des expressions rationnelles complexes en trois étapes. La première étape consiste à simplifier le numérateur et le dénominateur. Nous allons simplifier la somme du numérateur et la différence du dénominateur pour l'exemple 1 divisé par x plus 1 divisé par y divisé par x divisé par y moins y divisé par x. Trouvez un dénominateur commun et ajoutez les fractions dans le numérateur, trouvez un dénominateur commun et soustrayez les fractions du numérateur. pour obtenir 1 fois y divisé par x fois y plus 1 fois x divisé par y fois x divisé par x fois x divisé par y fois x moins y fois y divisé par x fois y divisé par x fois y. Ensuite, nous obtenons y divisé par x y plus x plus x y divisé par x carré divisé par x y moins y au carré divisé par x y. Nous avons maintenant une seule expression rationnelle dans le numérateur et un au dénominateur, y plus x divisé par x y divisé par x y au carré moins y au carré divisé par x y.La deuxième étape consiste à réécrire l'expression rationnelle complexe en tant que problème de division. Nous écrivons le numérateur divisé par le dénominateur.La troisième étape consiste à diviser les expressions. Multipliez le premier par l'inverse du second pour obtenir y plus x divisé par x y fois x y divisé par x y divisé par x au carré moins y au carré. Tenez compte de toutes les expressions si possible. Nous avons maintenant x y fois y plus x divisé par x y fois x moins y fois x plus y. Supprimez les facteurs communs. Barrez x, y et y plus x du numérateur. Biffer x, y et x plus y du dénominateur. Simplifiez pour obtenir 1 divisé par x moins y.

    Exemple\(\PageIndex{8}\)

    \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}\).

    Réponse

    \(\frac{y+x}{y−x}\)

    Exemple\(\PageIndex{9}\)

    \(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2}−\frac{1}{b^2}}\).

    Réponse

    \(\frac{ab}{b−a}\)

    Définition : SIMPLIFIEZ UNE EXPRESSION RATIONNELLE COMPLEXE EN L'ÉCRIVANT SOUS FORME DE DIVISION.
    1. Simplifiez le numérateur et le dénominateur.
    2. Réécrivez l'expression rationnelle complexe en tant que problème de division.
    3. Divisez les expressions.
    Exemple\(\PageIndex{10}\)

    \(\frac{n−\frac{4n}{n+5}}{\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n−5}}\)

    Réponse
      .
    Simplifiez le numérateur et le dénominateur.  
    Trouvez l'écran LCD et ajoutez les fractions dans le numérateur.
    Trouvez l'écran LCD et ajoutez les fractions au dénominateur.    		 .
    Simplifiez les numérateurs. .

    Soustrayez les expressions rationnelles du numérateur et ajoutez-y le dénominateur.    		 .
    Réécrivez en tant que division fractionnée. .
    Multipliez la première fois l'inverse de la seconde. .
    Tenez compte de toutes les expressions si possible. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Exemple\(\PageIndex{11}\)

    \(\frac{b−\frac{3b}{b+5}}{\frac{2}{b+5}+\frac{1}{b−5}}\).

    Réponse

    b (b+2)

    Exemple\(\PageIndex{12}\)

    \(\frac{1−\frac{3}{c+4}}{\frac{1}{c+4}+\frac{c}{3}}\).

    Réponse

    3c+3

    Simplifiez une expression rationnelle complexe à l'aide de l'écran LCD

    Nous avons « effacé » les fractions en les multipliant par l'écran LCD lorsque nous avons résolu des équations avec des fractions. Nous pouvons utiliser cette stratégie ici pour simplifier des expressions rationnelles complexes. Nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur par LCD de toutes les expressions rationnelles.

    Regardons l'expression rationnelle complexe que nous avons simplifiée d'une manière dans Example. Nous allons le simplifier ici en multipliant le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD. Lorsque nous multiplions par,\(\frac{LCD}{LCD}\) nous multiplions par 1, de sorte que la valeur reste la même.

    Exemple\(\PageIndex{13}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}\).

    Réponse
      .
    L'écran LCD de toutes les fractions de l'expression entière est 6.  
    Effacez les fractions en multipliant le numérateur et le dénominateur par cet écran LCD. .
    Distribuez. .
    Simplifiez. .
      .
      .
    Exemple\(\PageIndex{14}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{5}}\).

    Réponse

    \(\frac{7}{3}\)

    Exemple\(\PageIndex{15}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}−\frac{5}{16}}\).

    Réponse

    \(\frac{7}{3}\)

    Comment simplifier une expression rationnelle complexe à l'aide de l'écran LCD

    Exemple\(\PageIndex{16}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\).

    Réponse

    L'image ci-dessus comporte 3 colonnes. Il montre comment simplifier une expression rationnelle complexe en utilisant l'écran LCD pour 1 divisé par x plus 1 divisé par y divisé par x divisé par x divisé par y moins y divisé par x. La première étape consiste à trouver l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression rationnelle complexe. L'écran LCD de toutes les fractions est x y. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD.La deuxième étape consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par x y pour obtenir x y fois 1 divisé par x plus 1 divisé par y divisé x y fois x divisé par y moins y divisé par x.La troisième étape consiste à simplifier l'expression. Distribuez pour obtenir x y fois 1 divisé par x plus x y fois 1 divisé y par x y fois x divisé par y fois x divisé par y moins x y fois y divisé par x. Simplifiez pour obtenir y plus x divisé par x au carré moins y au carré. Supprimez les facteurs courants. Barrez y plus x dans le numérateur. Barrez x plus y dans le numérateur. Simplifiez pour obtenir 1 divisé par x moins y.

    Exemple\(\PageIndex{17}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{a}{b}−\frac{b}{a}}\).

    Réponse

    \(\frac{b+a}{a^2+b^2}\)

    Exemple\(\PageIndex{18}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{1}{x^2}−\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}\).

    Réponse

    \(\frac{y−x}{xy}\)

    Définition : SIMPLIFIEZ UNE EXPRESSION RATIONNELLE COMPLEXE EN UTILISANT L'ÉCRAN LCD.
    1. Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression rationnelle complexe.
    2. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD.
    3. Simplifiez l'expression.

    Assurez-vous de commencer par factoriser tous les dénominateurs afin de trouver l'écran LCD.

    Exemple\(\PageIndex{19}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}\).

    Réponse
      .
    Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression rationnelle complexe. L'écran LCD est (x+6) (x−6)  
    Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD. .
    Simplifiez l'expression.  
    Répartissez au dénominateur. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez. .
    Pour simplifier le dénominateur, distribuez et combinez les termes similaires. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Notez qu'il n'y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur.  
    Exemple\(\PageIndex{20}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{3}{x+2}}{\frac{5}{x−2}−\frac{3}{x^2−4}}\).

    Réponse

    \(\frac{3x−6}{5x+7}\)

    Exemple\(\PageIndex{21}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{2}{x−7}−\frac{1}{x+7}}{\frac{6}{x+7}−\frac{1}{x^2−49}}\).

    Réponse

    \(\frac{x+21}{6x+43}\)

    Exemple\(\PageIndex{22}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{4}{m^2−7m+12}}{\frac{3}{m−3}−\frac{2}{m−4}}\).

    Réponse
      .
    Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression rationnelle complexe. L'écran LCD est (m−3) (m−4)  
    Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez. .
    Distribuez. .
    Combinez les mêmes termes. .
    Exemple\(\PageIndex{23}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{3}{x^2+7x+10}}{\frac{4}{x+2}+\frac{1}{x+5}}\).

    Réponse

    \(\frac{3}{5x+22}\)

    Exemple\(\PageIndex{24}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{4y}{y+5}+\frac{2}{y+6}}{\frac{3y}{y^2+11y+30}}\).

    Réponse

    \(\frac{6y+34}{3y}\)

    Exemple\(\PageIndex{25}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{y}{y+1}}{1+\frac{1}{y−1}}\).

    Réponse
      .
    Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression rationnelle complexe.  
    L'écran LCD est (y+1) (y−1)  
    Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD. .
    Répartissez au dénominateur et simplifiez. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez le dénominateur et laissez le numérateur prendre en compte. .
      .
    Factoriez le dénominateur et supprimez les facteurs communs au numérateur. .
    Simplifiez. .
    Exemple\(\PageIndex{26}\)

    Simplifiez :\(\frac{\frac{x}{x+3}}{1+\frac{1}{x+3}}\).

    Réponse

    \(\frac{x}{x+4}\)

    Exemple\(\PageIndex{27}\)

    Simplifiez :\(\frac{1+\frac{1}{x−1}}{\frac{3}{x+1}}\).

    Réponse

    \(\frac{x(x+1)}{3(x−1)}\)

    Concepts clés

    • Pour simplifier une expression rationnelle en l'écrivant sous forme de division
      1. Simplifiez le numérateur et le dénominateur.
      2. Réécrivez l'expression rationnelle complexe en tant que problème de division.
      3. Divisez les expressions.
    • Pour simplifier une expression rationnelle complexe à l'aide de l'écran LCD
      1. Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression rationnelle complexe.
      2. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'écran LCD.
      3. Simplifiez l'expression.

    Lexique

    expression rationnelle complexe
    Une expression rationnelle complexe est une expression rationnelle dans laquelle le numérateur ou le dénominateur contient une expression rationnelle.