5.5 : Résoudre des applications de mélange avec des systèmes d'équations

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Résolvez les applications
• Résolvez les demandes

Remarque

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

1. Multipliez 4,025 (1 562).
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.8.22.
2. Ecrivez 8,2 % sous forme décimale.
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.8.46.
3. La facture du dîner d'Earl s'élevait à 32,50$ et il voulait laisser un pourboire de 18 %. Quel doit être le pourboire ?
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 3.2.10.

Résolvez les applications

Lorsque nous avons résolu des applications mixtes avec des pièces et des billets plus tôt, nous avons commencé par créer un tableau afin de pouvoir organiser les informations. Pour un exemple de pièce de monnaie avec des pièces de cinq cents et des pièces de dix cents, la table ressemblait à ceci :

L'utilisation d'une variable signifiait que nous devions relier le nombre de pièces de cinq cents au nombre de dix cents. Nous devions décider si nous allions laisser n être le nombre de centimes et ensuite écrire le nombre de centimes en termes de n, ou si nous allions laisser d être le nombre de centimes et écrire le nombre de nickels en termes de d.

Maintenant que nous savons comment résoudre des systèmes d'équations à deux variables, nous allons simplement laisser n le nombre de nickel et d le nombre de dix cents. Nous allons écrire une équation basée sur la colonne de valeur totale, comme nous l'avons fait auparavant, et l'autre équation proviendra de la colonne des nombres.

Pour le premier exemple, nous allons résoudre un problème de ticket où les prix des billets sont en dollars entiers, de sorte que nous n'aurons pas besoin d'utiliser des décimales pour l'instant.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

La billetterie d'une salle de cinéma a vendu 147 billets pour le spectacle du soir et les recettes se sont élevées à 1 302 dollars. Combien de billets pour adultes de 11$ et combien de billets pour enfants de 8$ ont-ils été vendus ?

Réponse

Étape 1 Lisez le problème.	Nous allons créer un tableau pour organiser les informations.
Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons.	Nous recherchons le nombre de billets pour adultes et le nombre de billets pour enfants vendus.
Étape 3 Nommez ce que nous recherchons.	Soit a = le nombre de billets pour adultes. c= le nombre de billets pour enfants
Un tableau nous aidera à organiser les données. Nous proposons deux types de billets : adultes et enfants.	Écrivez a et c pour le nombre de billets.
Inscrivez le nombre total de billets vendus en bas de la colonne Numéro.	Au total, 147 ont été vendus.
Écrivez la valeur de chaque type de ticket dans la colonne Valeur.	La valeur de chaque billet adulte est de 11$. La valeur de chaque billet pour enfant est de 8$.
Le nombre multiplié par la valeur donne la valeur totale, donc la valeur totale des billets pour adultes est \(a\cdot 11=11a\) et la valeur totale des billets pour enfants est\(c\cdot 8=8c\).
Au total, la valeur totale des billets était de 1 302$.	Renseignez la colonne Valeur totale.
Étape 4. Traduisez en un système d'équations.
La colonne Nombre et la colonne Valeur totale nous fournissent le système d'équations. Nous utiliserons la méthode d'élimination pour résoudre ce système.
Multipliez la première équation par −8.
Simplifiez et ajoutez, puis résolvez pour un.
Substituez a = 42 dans la première équation, puis résolvez pour c.
Étape 5. Vérifiez la réponse au problème. 42 billets pour adultes à 11$ par billet font 462$ 105$ ; les billets pour enfants à 8$ par billet font 840$. Le total des recettes s'élève à 1 302$. ✓
Étape 6. Réponds à la question.	Le cinéma a vendu 42 billets pour adultes et 105 billets pour enfants.

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

La billetterie du zoo a vendu 553 billets par jour. Les recettes s'élevaient à 3 936 dollars. Combien de billets pour adultes à 9$ et combien de billets pour enfants à 6$ ont-ils été vendus ?

Réponse

206 billets pour adultes ont été vendus et 347 billets pour enfants ont été vendus.

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Un centre scientifique a vendu 1 363 billets lors d'un week-end chargé. Les recettes s'élevaient à 12 146$. Combien de billets pour adultes à 12$ et combien de billets pour enfants à 7$ ont-ils été vendus ?

Réponse

521 billets pour adultes ont été vendus et 842 billets pour enfants ont été vendus.

Dans l'exercice,\(\PageIndex{4}\) nous allons résoudre un problème de pièces de monnaie. Maintenant que nous savons comment travailler avec des systèmes à deux variables, il sera facile de nommer les variables dans la colonne « nombre ».

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Priam possède une collection de pièces de nickel et de pièces de rechange, d'une valeur totale de 7,30$. Le nombre de pièces de nickel est six fois inférieur à trois fois le nombre de quarts. Combien de pièces de monnaie et combien de pièces possède-t-il ?

Réponse

Étape 1 Lisez le problème.	Nous allons créer un tableau pour organiser les informations.
Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons.	Nous cherchons le nombre de pièces de cinq cents et le nombre de trimestres.
Étape 3 Nommez ce que nous recherchons.	Soit n = le nombre de nickels. q= le nombre de trimestres
Un tableau nous aidera à organiser les données. Nous avons deux types de pièces, les pièces de monnaie et les pièces de monnaie.	Écrivez n et q pour le numéro de chaque type de pièce.
Remplissez la colonne Valeur avec la valeur de chaque type de pièce.	La valeur de chaque nickel est de 0,05$. La valeur de chaque trimestre est de 0,25$.
Le nombre multiplié par la valeur donne la valeur totale, donc, la valeur totale des nickels est n (0,05) = 0,05 n et la valeur totale des trimestres est q (0,25) = 0,25 q. Au total, la valeur totale des pièces est de 7,30$.
Étape 4. Traduisez en un système d'équations.
La colonne Valeur totale donne une équation.
Nous savons également que le nombre de pièces de nickel est six fois inférieur à trois fois le nombre de quarts. Traduisez pour obtenir la deuxième équation.
Nous avons maintenant le système à résoudre.
Étape 5. Résolvez le système d'équations Nous utiliserons la méthode de substitution. Substituez n = 3 q − 6 dans la première équation. Simplifiez et résolvez pour q.
Pour trouver le nombre de nickels, remplacez q = 19 dans la deuxième équation.
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème. \(\begin{aligned} 19 \text { quarters at } \$ 0.25 &=\$ 4.75 \\ 51 \text { ickels at } \$ 0.05 &=\$ 2.55 \\ \text { Total } &=\$ 7.30 \checkmark \\ 3 \cdot 19-16 &=51 \checkmark\end{aligned}\)
Étape 7. Réponds à la question.	Priam compte 19 quarts et 51 pièces de monnaie.

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Matilda possède une poignée de pièces et de dix cents, d'une valeur totale de 8,55 dollars. Le nombre de trimestres est de 3, soit plus du double du nombre de pièces de dix cents. Combien de centimes et combien de trimestres possède-t-elle ?

Réponse

Matilda a 13 pièces de dix cents et 29 pièces.

Exercice\(\PageIndex{6}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Juan a une poche pleine de pièces de cinq cents. La valeur totale des pièces est de 8,10$. Le nombre de pièces de dix cents est inférieur au double du nombre de pièces de nickel. Combien de pièces de monnaie et combien de centimes possède Juan ?

Réponse

Juan a 36 pièces de monnaie et 63 pièces de dix cents.

Certaines applications de mélanges impliquent de combiner des aliments ou des boissons. Des exemples de situations peuvent inclure la combinaison de raisins secs et de noix pour faire un mélange montagnard ou l'utilisation de deux types de grains de café pour faire un mélange.

Exercice\(\PageIndex{7}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Carson veut fabriquer 20 livres de mélange montagnard à base de noix et de pépites de chocolat. Son budget exige que le mélange de sentiers lui coûte 7,60$ la livre. Les noix coûtent 9$ la livre et les pépites de chocolat 2$ la livre. Combien de kilos de noix et combien de kilos de pépites de chocolat devrait-il utiliser ?

Réponse

Étape 1 Lisez le problème.	Nous allons créer un tableau pour organiser les informations.
Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons.	Nous cherchons le nombre de livres de noix et le nombre de livres de pépites de chocolat.
Étape 3 Nommez ce que nous recherchons.	Soit n = le nombre de livres de noix. c= le nombre de livres de jetons
Carson mélangera des noix et des pépites de chocolat pour obtenir un mélange de randonnée. Écrivez en n et en c le nombre de livres de noix et de pépites de chocolat. Il y aura 20 livres de mélange de randonnée. Indiquez le prix par livre de chaque article dans la colonne Valeur. Remplissez la dernière colonne en utilisant
Nombre · Valeur = Valeur totale
Étape 4. Traduisez en un système d'équations. Nous obtenons les équations des colonnes Nombre et Valeur totale.
Étape 5. Résolvez le système d'équations Nous utiliserons l'élimination pour résoudre le système.
Multipliez la première équation par −2 pour éliminer c.
Simplifiez et ajoutez. Résolvez pour n.
Pour trouver le nombre de livres de pépites de chocolat, remplacez n = 16 dans la première équation, puis résolvez pour c.
	c=4
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème. \(\begin{aligned} 16+4 &=20 \checkmark \\ 9 \cdot 16+2 \cdot 4 &=152 \checkmark \end{aligned}\)
Étape 7. Réponds à la question.	Carson devrait mélanger 16 livres de noix avec 4 livres de pépites de chocolat pour créer le mélange montagnard.

Exercice\(\PageIndex{8}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Greta veut faire 5 livres d'un mélange de noix avec des cacahuètes et des noix de cajou. Son budget exige que le mélange lui coûte 6$ la livre. Les arachides coûtent 4 dollars la livre et les noix de cajou, 9 dollars la livre. Combien de kilos de cacahuètes et combien de livres de noix de cajou devrait-elle utiliser ?

Réponse

Greta devrait utiliser 3 livres de cacahuètes et 2 livres de noix de cajou.

Exercice\(\PageIndex{9}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Sammy possède la plupart des ingrédients dont il a besoin pour préparer une grande quantité de chili. Les seuls articles qui lui manquent sont les haricots et le bœuf haché. Il a besoin d'un total de 20 livres de haricots et de bœuf haché et dispose d'un budget de 3 dollars la livre. Le prix des haricots est de 1 dollar la livre et celui du bœuf haché de 5 dollars la livre. Combien de livres de haricots et combien de livres de bœuf haché devrait-il acheter ?

Réponse

Sammy devrait acheter 10 livres de haricots et 10 livres de bœuf haché.

Une autre application des problèmes de mélange concerne les produits de nettoyage concentrés, d'autres produits chimiques et les boissons mélangées. La concentration est donnée en pourcentage. Par exemple, un nettoyant ménager concentré à 20 % signifie que 20 % de la quantité totale est du nettoyant et que le reste est de l'eau. Pour obtenir 35 onces d'une concentration de 20 %, vous devez mélanger 7 onces (20 % de 35) du nettoyant avec 28 onces d'eau.

Pour ce type de problèmes de mélange, nous utiliserons le pourcentage au lieu de la valeur pour l'une des colonnes de notre tableau.

Exercice\(\PageIndex{10}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Sasheena est assistante de laboratoire dans son collège communautaire. Elle doit préparer 200 millilitres d'une solution d'acide sulfurique à 40 % pour une expérience en laboratoire. Le laboratoire ne dispose que de 25 % et 50 % de solutions dans l'entrepôt. Quelle quantité doit-elle mélanger des solutions à 25 % et à 50 % pour obtenir la solution à 40 % ?

Réponse

Étape 1 Lisez le problème.	Un chiffre peut nous aider à visualiser la situation, puis nous créerons un tableau pour organiser les informations.
Sasheena doit mélanger une partie de la solution à 25 % et une partie de la solution à 50 % pour obtenir 200 ml de la solution à 40 %.
Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons.	Nous cherchons la quantité de chaque solution dont elle a besoin.
Étape 3 Nommez ce que nous recherchons.	Soit x = nombre de ml de solution à 25 %. y = nombre de ml de solution à 50 %
Un tableau nous aidera à organiser les données. Elle mélangera x ml de 25 % avec y ml de 50 % pour obtenir 200 ml de solution à 40 %. Nous écrivons les pourcentages sous forme de décimales dans le graphique. Nous multiplions le nombre d'unités par la concentration pour obtenir la quantité totale d'acide sulfurique dans chaque solution.
Étape 4. Traduisez en un système d' équations. Nous obtenons les équations de la colonne Nombre et de la colonne Quantité.
Nous avons maintenant le système.
Étape 5. Résolvez le système d'équations. Nous allons résoudre le système par élimination. Multipliez la première équation par −0,5 pour éliminer y.
Simplifiez et ajoutez pour résoudre x.
Pour résoudre y, remplacez x = 80 dans la première équation.
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème. \(\begin{array}{rll} 80+120 &=&120 \checkmark\\ 0.25(80)+0.50(120) &=&80 \checkmark \\ &&\text{Yes!} \end{array}\)
Étape 7. Réponds à la question.	Sasheena doit mélanger 80 ml de la solution à 25 % avec 120 ml de la solution à 50 % pour obtenir les 200 ml de la solution à 40 %.

Exercice\(\PageIndex{11}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

LeBron a besoin de 150 millilitres d'une solution d'acide sulfurique à 30 % pour une expérience en laboratoire, mais n'a accès qu'à une solution à 25 % et à 50 %. Quelle quantité de solution à 25 % et quelle quantité de solution à 50 % doit-il mélanger pour obtenir la solution à 30 % ?

Réponse

LeBron a besoin de 120 ml de solution à 25 % et de 30 ml de solution à 50 %.

Exercice\(\PageIndex{12}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Anatole doit préparer 250 millilitres d'une solution d'acide chlorhydrique à 25 % pour une expérience en laboratoire. Le laboratoire ne dispose que d'une solution à 10 % et d'une solution à 40 % dans l'entrepôt. Quelle quantité de solution à 10 % et quelle quantité de solution à 40 % doit-il mélanger pour obtenir la solution à 25 % ?

Réponse

Anatole doit mélanger 125 ml de la solution à 10 % et 125 ml de la solution à 40 %.

Résolvez les demandes

La formule pour modéliser les demandes d'intérêt est I = Prt. L'intérêt, I, est le produit du principal, P, du taux, r, et du temps, t. Dans notre travail ici, nous calculerons les intérêts gagnés en un an, donc ce sera 1.

Nous modifierons les titres des colonnes dans le tableau de mélange pour afficher la formule qui vous intéresse, comme vous le verrez dans Exercice\(\PageIndex{13}\).

Exercice\(\PageIndex{13}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Adnan a 40 000 dollars à investir et espère gagner 7,1 % d'intérêt par an. Il placera une partie de l'argent dans un fonds d'actions qui rapporte 8 % par an et le reste dans des obligations qui rapportent 3 % par an. Combien d'argent doit-il investir dans chaque fonds ?

Réponse

2 000 dollars en actions et 7 200 dollars en obligations. » >

Étape 1 Lisez le problème.	Un tableau nous aidera à organiser l'information.
Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons.	Nous cherchons le montant à investir dans chaque fonds.
Étape 3. Nommez ce que nous recherchons.	Soit s = le montant investi en actions. b = le montant investi en obligations.
Inscrivez le taux d'intérêt sous forme décimale pour chaque fonds. Multipliez : Principal · Taux · Temps nécessaire pour obtenir les intérêts.
Étape 4. Traduisez en un système d' équations. Nous obtenons notre système d'équations à partir de la colonne Principale et de la colonne Intérêt.
Étape 5. Résolvez le système d'équations Résolvez par élimination. Multipliez l'équation supérieure par −0,03.
Simplifiez et ajoutez pour résoudre pour s.
Pour trouver b, remplacez s = 32 800 dans la première équation.
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème.	Nous vous laissons le chèque.
Étape 7. Réponds à la question.	Adnan devrait investir 32 800 dollars en actions et 7 200 dollars en obligations.

Avez-vous remarqué que la colonne Principal représente le montant total investi alors que la colonne Intérêts représente uniquement les intérêts gagnés ? De même, la première équation de notre système, s + b = 40 000, représente le montant total d'argent investi et la deuxième équation, 0,08 s + 0,03 b = 0,071 (40 000), représente les intérêts perçus.

Exercice\(\PageIndex{14}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Leon avait 50 000$ à investir et espère obtenir 6,2 % d'intérêt par an. Il placera une partie de l'argent dans un fonds d'actions qui rapporte 7 % par an et le reste dans un compte d'épargne qui rapporte 2 % par an. Combien d'argent doit-il investir dans chaque fonds ?

Réponse

Leon devrait placer 42 000$ dans le fonds d'actions et 8 000$ dans le compte d'épargne.

Exercice\(\PageIndex{15}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Julius a investi 7 000$ dans deux placements en actions. Une action a payé 11 % d'intérêts et l'autre a payé 13 % d'intérêts. Il a gagné 12,5 % d'intérêt sur l'investissement total. Combien d'argent a-t-il investi dans chaque action ?

Réponse

Julius a investi 1 750$ à 11 % et 5 250$ à 13 %.

Exercice\(\PageIndex{16}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Rosie doit 21 540$ sur ses deux prêts étudiants. Le taux d'intérêt de son prêt bancaire est de 10,5 % et le taux d'intérêt du prêt fédéral est de 5,9 %. Le montant total des intérêts qu'elle a payés l'année dernière s'élevait à 1 669,68$. Quel était le principal de chaque prêt ?

Réponse

Étape 1 Lisez le problème.	Un tableau nous aidera à organiser l'information.
Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons.	Nous recherchons le principal de chaque prêt.
Étape 3. Nommez ce que nous recherchons.	Soit b = le principal du prêt bancaire. f = le principal du prêt fédéral
Le montant total des prêts s'élève à 21 540$.
Enregistrez les taux d'intérêt sous forme de décimales dans le graphique.
Multipliez en utilisant la formule l = Pr t pour obtenir l'intérêt.
Étape 4. Traduisez en un système d' équations. Le système d'équations provient de la colonne Principale et de la colonne Intérêt.
Étape 5. Résolvez le système d'équations Nous utiliserons la substitution pour résoudre. Résolvez la première équation pour b.
Substituez b = − f + 21 540 dans la deuxième équation.
Simplifiez et résolvez pour f.
Pour trouver b, remplacez f = 12 870 dans la première équation.
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème.	Nous vous laissons le chèque.
Étape 7. Réponds à la question.	Le principal du prêt bancaire est de 12 870$ et le principal du prêt fédéral est de 8 670$.

Exercice\(\PageIndex{17}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Laura doit 18 000$ sur ses prêts étudiants. Le taux d'intérêt du prêt bancaire est de 2,5 % et le taux d'intérêt du prêt fédéral est de 6,9 %. Le montant total des intérêts qu'elle a payés l'année dernière s'élevait à 1 066$. Quel était le principal de chaque prêt ?

Réponse

Le principal du prêt bancaire était de 4 000$. Le principal du prêt fédéral était de 14 000$.

Exercice\(\PageIndex{18}\)

Traduisez en un système d'équations et résolvez :

Jill's Sandwich Shoppe doit 65 200 dollars sur deux prêts commerciaux, l'un à 4,5 % d'intérêt et l'autre à 7,2 % d'intérêt. Le montant total des intérêts dus l'année dernière était de 3 582$. Quel était le principal de chaque prêt ?

Réponse

Le montant du principal était de 41 200$ à 4,5 %. Le montant principal était de 24 000$ à 7,2 %.

Remarque

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à résoudre des problèmes d'application avec des systèmes d'équations linéaires.

• Problèmes de coût et de mélange de mots
• Problèmes de mélange

Concepts clés

• Tableau pour les applications relatives aux pièces et aux mélanges
  
  
• Tableau pour les demandes de concentration
  
  
• Tableau pour les demandes d'intérêts