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5.4 : Résolvez des applications avec des systèmes d'équations

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Traduire en un système d'équations
    • Résoudre des applications de traduction directe
    • Résoudre des applications géométriques
    • Résolvez des applications de mouvement
    Remarque

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. La somme de deux fois un nombre et neuf est 31. Trouve le numéro.
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 3.1.10.
    2. Les jumeaux Jon et Ron ont gagné ensemble 96 000$ l'an dernier. Ron a gagné 8 000$, soit plus de trois fois ce que Jon a gagné. Combien gagnait chacun des jumeaux ?
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 3.1.31.
    3. Alessio fait du vélo\(3\frac{1}{2}\) pendant des heures à raison de 10 miles par heure. Jusqu'où a-t-il parcouru ?
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.6.1.

    Précédemment, dans ce chapitre, nous avons résolu plusieurs applications avec des systèmes d'équations linéaires. Dans cette section, nous allons examiner certains types spécifiques d'applications qui associent deux quantités. Nous allons traduire les mots en équations linéaires, décider quelle est la méthode la plus pratique à utiliser, puis les résoudre.

    Nous utiliserons notre stratégie de résolution de problèmes pour les systèmes d'équations linéaires.

    UTILISER UNE STRATÉGIE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES POUR LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES.

    1. Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
    2. Identifiez ce que nous recherchons.
    3. Nommez ce que nous recherchons. Choisissez des variables pour représenter ces quantités.
    4. Traduisez en un système d'équations.
    5. Résolvez le système d'équations en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
    6. Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
    7. Répondez à la question par une phrase complète.

    Traduire en un système d'équations

    Bon nombre des problèmes que nous avons résolus dans les applications précédentes concernaient deux quantités. Voici deux exemples tirés du chapitre sur les modèles mathématiques.

    • La somme de deux nombres est moins quatorze. Un chiffre est quatre de moins que l'autre. Trouve les numéros.
    • Un couple marié gagne 110 000$ par an. La femme gagne 16 000$ de moins que le double de ce que gagne son mari. Que gagne le mari ?

    Dans ce chapitre, nous avons traduit chaque situation en une seule équation en utilisant une seule variable. Parfois, il était un peu difficile de trouver comment nommer les deux quantités, n'est-ce pas ?

    Voyons comment traduire ces deux problèmes en un système d'équations à deux variables. Nous nous concentrerons sur les étapes 1 à 4 de notre stratégie de résolution de problèmes.

    Exercice\(\PageIndex{1}\): How to Translate to a System of Equations

    Traduisez en un système d'équations :

    La somme de deux nombres est moins quatorze. Un chiffre est quatre de moins que l'autre. Trouve les numéros.

    Réponse

    Cette figure comporte quatre lignes et trois colonnes. La première ligne se lit comme suit : « Étape 1 : Lisez le problème. Assurez-vous de bien comprendre tous les mots et toutes les idées. C'est un problème de chiffres. La somme de deux nombres est moins quatorze. Un chiffre est quatre de moins que l'autre. Trouve les numéros. »La deuxième rangée se lit comme suit : « Étape 2 : Identifiez ce que vous recherchez. « Trouve les numéros. » Nous recherchons 2 numéros. »La troisième rangée se lit comme suit : « Étape 3 : Nommez ce que vous recherchez. Choisissez des variables pour représenter ces quantités. Nous utiliserons deux variables, m et n. Laissez-moi = un chiffre n = deuxième nombre. »La quatrième rangée se lit comme suit : « Étape 4 : traduire en un système d'équations. Nous allons écrire une équation pour chaque phrase. » La figure montre ensuite comment « La somme des nombres est de -14 » devient m + n = -14 et « Un chiffre est quatre de moins que l'autre » devient m = n — 4. La figure indique alors : « Le système est m + n = -14 et m = n — 4 ».

    Exercice\(\PageIndex{2}\)

    Traduisez en un système d'équations :

    La somme de deux nombres est moins vingt-trois. Un chiffre est inférieur de 7 à l'autre. Trouve les numéros.

    Réponse

    \(\left\{\begin{array}{l}{m+n=-23} \\ {m=n-7}\end{array}\right.\)

    Exercice\(\PageIndex{3}\)

    Traduisez en un système d'équations :

    La somme de deux nombres est moins dix-huit. Un chiffre est 40 de plus que l'autre. Trouve les numéros.

    Réponse

    \(\left\{\begin{array}{l}{m+n=-18} \\ {m=n+40}\end{array}\right.\)

    Nous allons faire un autre exemple où nous nous arrêtons après avoir écrit le système d'équations.

    Exercice\(\PageIndex{4}\)

    Traduisez en un système d'équations :

    Un couple marié gagne 110 000$ par an. La femme gagne 16 000$ de moins que le double de ce que gagne son mari. Que gagne le mari ?

    Réponse

    \(\begin{array}{ll}{\text {We are looking for the amount that }} & {\text {Let } h=\text { the amount the husband earns. }} \\ {\text {the husband and wife each earn. }} & { w=\text { the amount the wife earns }} \\ {\text{Translate.}} & {\text{A married couple together earns \$110,000.} }\\ {} & {w+h=110000} \\ & \text{The wife earns \$16,000 less than twice what} \\ & \text{husband earns.} \\ & w=2h−16,000 \\ \text{The system of equations is:} & \left\{\begin{array}{l}{w+h=110,000} \\ {w=2 h-16,000}\end{array}\right.\end{array}\)

    Exercice\(\PageIndex{5}\)

    Traduisez en un système d'équations :

    Le revenu total du ménage d'un couple est de 84 000$. Le mari gagne 18 000$ de moins que le double de ce que gagne la femme. Combien gagne la femme ?

    Réponse

    \(\left\{\begin{array}{l}{w+h=84,000} \\ {h=2 w-18,000}\end{array}\right.\)

    Exercice\(\PageIndex{6}\)

    Traduisez en un système d'équations :

    Un employé senior gagne 5$ de moins que le double de ce que gagne un nouvel employé par heure. Ensemble, ils gagnent 43$ de l'heure. Combien gagne chaque employé par heure ?

    Réponse

    \(\left\{\begin{array}{l}{s=2 n-5} \\ {s+n=43}\end{array}\right.\)

    Résoudre des applications de traduction directe

    Nous avons mis en place, mais nous n'avons pas résolu, les systèmes d'équations dans Exercice\(\PageIndex{1}\) et Exercice\(\PageIndex{4}\) Maintenant, nous allons traduire une situation en un système d'équations, puis la résoudre.

    Exercice\(\PageIndex{7}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Devon a 26 ans de plus que son fils Cooper. La somme de leurs âges est de 50 ans. Trouvez leur âge.

    Réponse
    Étape 1 Lisez le problème.  
    Étape 2 Identifiez ce que nous recherchons. Nous recherchons les âges de Devon et Cooper.
    Étape 3 Nommez ce que nous recherchons. Soit d = l'âge de Devon.
    c= L'âge de Cooper
    Étape 4. Traduisez en un système d'équations. Devon a 26 ans de plus que Cooper.
      .
      La somme de leurs âges est de 50 ans.
      .
    Le système est le suivant : .
    Étape 5. Résolvez le système d'équations.

    Résolvez par substitution.    		 .
    Remplacez c + 26 dans la deuxième équation. .
    Résolvez pour c. .
      .
      .
    Remplacez c = 12 dans la première équation, puis résolvez pour d. .
      .
    Étape 6. Vérifiez la réponse au problème. Devon a-t-il 26 ans de plus que Cooper ?
    Oui, 38 c'est 26 de plus que 12.
    La somme de leurs âges est-elle de 50 ans ?
    Oui, 38 plus 12 font 50.
    Étape 7. Réponds à la question. Devon a 38 ans et Cooper a 12 ans.
    Exercice\(\PageIndex{8}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Ali a 12 ans de plus que sa plus jeune sœur, Jameela. La somme de leurs âges est de 40 ans. Trouvez leur âge.

    Réponse

    Ali a 26 ans et Jameela 14 ans.

    Exercice\(\PageIndex{9}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Le père de Jake a 6 ans plus que 3 fois l'âge de Jake. La somme de leurs âges est de 42 ans. Trouvez leur âge.

    Réponse

    Jake a 9 ans et son père 33 ans.

    Exercice\(\PageIndex{10}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Lorsque Jenna a passé 10 minutes sur l'appareil elliptique, puis a fait de l'entraînement en circuit pendant 20 minutes, son application de fitness indique qu'elle a brûlé 278 calories. Lorsqu'elle a passé 20 minutes sur le vélo elliptique et 30 minutes d'entraînement en circuit, elle a brûlé 473 calories. Combien de calories brûle-t-elle par minute sur le vélo elliptique ? Combien de calories brûle-t-elle pour chaque minute d'entraînement en circuit ?

    Réponse
    Étape 1 Lisez le problème.  
    Étape 2. Identifiez ce que nous recherchons. Nous recherchons le nombre de
    calories brûlées par minute sur le
    vélo elliptique et par minute d'entraînement en
    circuit.
    Étape 3. Nommez ce que nous recherchons. Soit e = nombre de calories brûlées par minute sur le vélo elliptique.
    c= nombre de calories brûlées par minute pendant l'entraînement en circuit
    Étape 4. Traduisez en un système d'équations. 10 minutes d'
    entraînement sur vélo elliptique et sur circuit pendant 20 minutes, vous avez brûlé
    278 calories
      .
      20 minutes sur le vélo elliptique et
    30 minutes d'entraînement en circuit ont brûlé
    473 calories
      .
    Le système est le suivant : .
    Étape 5. Résolvez le système d'équations.  
    Multipliez la première équation par −2 pour obtenir les coefficients opposés de e. .
    Simplifiez et ajoutez les équations.

    Résolvez pour c.    		 .
    Remplacez c = 8,3 dans l'une des équations originales pour résoudre e. .
      .
      .
      .
      .
    Étape 6. Vérifiez la réponse au problème. Vérifiez vous-même les calculs.
    .  
    Étape 7. Réponds à la question. Jenna brûle 8,3 calories par minute en
    circuit et 11,2 calories par
    minute lorsqu'elle est sur un vélo elliptique.
    Exercice\(\PageIndex{11}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Mark est allé à la salle de sport et a fait 40 minutes de yoga chaud Bikram et 10 minutes de jump jacks. Il a brûlé 510 calories. La prochaine fois qu'il est allé à la salle de sport, il a fait 30 minutes de yoga chaud Bikram et 20 minutes de jump jacks brûlant 470 calories. Combien de calories ont été brûlées par minute de yoga ? Combien de calories ont été brûlées pour chaque minute passée à sauter ?

    Réponse

    Mark a brûlé 11 calories pour chaque minute de yoga et 7 calories pour chaque minute de saut d'obstacles.

    Exercice\(\PageIndex{12}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Erin a passé 30 minutes sur le rameur et 20 minutes à soulever des poids au gymnase et a brûlé 430 calories. Lors de sa prochaine visite au gymnase, elle a passé 50 minutes sur le rameur et 10 minutes à soulever des poids et a brûlé 600 calories. Combien de calories brûlait-elle par minute sur le rameur ? Combien de calories a-t-elle brûlées par minute d'haltérophilie ?

    Réponse

    Erin a brûlé 11 calories par minute passée sur le rameur et 5 calories par minute d'haltérophilie.

    Résoudre des applications géométriques

    Lorsque nous avons découvert les modèles mathématiques, nous avons résolu des applications de géométrie en utilisant les propriétés des triangles et des rectangles. Nous allons maintenant ajouter à notre liste certaines propriétés des angles.

    Les mesures de deux angles complémentaires s'ajoutent à 90 degrés. Les mesures de deux angles supplémentaires s'ajoutent à 180 degrés.

    ANGLES COMPLÉMENTAIRES ET SUPPLÉMENTAIRES

    Deux angles sont complémentaires si la somme des mesures de leurs angles est de 90 degrés.

    Deux angles sont supplémentaires si la somme des mesures de leurs angles est de 180 degrés.

    Si deux angles sont complémentaires, on dit qu'un angle est complémentaire de l'autre.

    Si deux angles sont complémentaires, on dit qu'un angle est le complément de l'autre.

    Exercice\(\PageIndex{13}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    La différence entre deux angles complémentaires est de 26 degrés. Trouvez les mesures des angles.

    Réponse

    \(\begin{array}{ll}{\textbf {Step 1. Read}\text{ the problem. }} & {} \\ {\textbf {Step 2. Identify}\text{ what we are looking for.}} & {\text {We are looking for the measure of each angle.}} \\ \\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.}} & {\text{Let x = the measure of the first angle.} }\\ {} & \text{y = the measure of the second angle} \\ \textbf{Step 4. Translate}\text{ into a system of equations.}& \text{The angles are complementary.} \\ & \text{x+y=90} \\ & \text{The difference of the two angles is 26 degrees.} \\ & \text{x−y=26} \\ \\ \text{The system is} & {\left\{\begin{array}{l}{x+y=90} \\ {x-y=26}\end{array}\right.} \\ \textbf{Step 5. Solve}\text{ the system of equations by elimination.} \\& \left\{\begin{array}{l}{x+y=90} \\ \underline{x-y=26}\end{array}\right. \\ & \quad2x\quad=116 \\ \text{Substitute x = 58 into the first equation.}& \begin{array}{lrll} &x&=&58 \\ &x+y&=&90 \\ &58+y&=&90 \\ &y&=&32\end{array} \\ \textbf{Step 6. Check}\text{ the answer in the problem.} & \\ 58+32=90\checkmark\\ 58-32=36\checkmark \\ \\ \textbf{Step 7. Answer}\text{ the question.} & \text{The angle measures are 58 degrees and 32 degrees.}\end{array}\)

    Exercice\(\PageIndex{14}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    La différence entre deux angles complémentaires est de 20 degrés. Trouvez les mesures des angles.

    Réponse

    Les mesures d'angle sont de 55 degrés et 35 degrés.

    Exercice\(\PageIndex{15}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    La différence entre deux angles complémentaires est de 80 degrés. Trouvez les mesures des angles.

    Réponse

    Les mesures d'angle sont de 5 degrés et 85 degrés.

    Exercice\(\PageIndex{16}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Deux angles sont complémentaires. La mesure de l'angle le plus grand est inférieure de douze degrés à cinq fois la mesure de l'angle le plus petit. Trouvez les mesures des deux angles.

    Réponse
    Étape 1. Lisez le problème.  
    Étape 2. Identifiez ce que nous recherchons. Nous cherchons la mesure de chaque angle.
    Étape 3. Nommez ce que nous recherchons. Soit x la mesure du premier angle.
    y = la mesure du deuxième angle
    Étape 4. Traduisez en un système d'équations. Les angles sont complémentaires.
      .
      L'angle le plus grand est douze fois moins que cinq fois l'angle le plus petit
      .
    Le système est le suivant :


    Étape 5. Résolvez le système de substitution d'équations.    		 .
    Dans la première équation, remplacez 5 x − 12 par y. .
    Résolvez pour x. .
      .
      .
    Remplacez 32 par dans la deuxième équation, puis résolvez par y. .
      .
      .
    Étape 6. Vérifiez la réponse au problème.

    \(\begin{aligned} 32+158 &=180 \checkmark \\ 5 \cdot 32-12 &=147 \checkmark \end{aligned}\)    		  
    Étape 7. Réponds à la question. Les mesures d'angle sont 148 et 32.
    Exercice\(\PageIndex{17}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Deux angles sont complémentaires. La mesure de l'angle le plus grand est de 12 degrés, soit trois fois plus que le plus petit angle. Trouvez les mesures des angles.

    Réponse

    Les mesures d'angle sont de 42 degrés et 138 degrés.

    Exercice\(\PageIndex{18}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Deux angles sont complémentaires. La mesure de l'angle le plus grand est 18 fois moins que le double de la mesure de l'angle le plus petit. Trouvez les mesures des angles.

    Réponse

    Les mesures d'angle sont de 66 degrés et 114 degrés.

    Exercice\(\PageIndex{19}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Randall dispose de 125 pieds de clôture pour fermer la partie rectangulaire de son jardin adjacente à sa maison. Il n'aura besoin que de clôturer sur trois côtés, car le quatrième côté sera le mur de la maison. Il veut que la longueur de la cour clôturée (parallèle au mur de la maison) soit 5 pieds plus que quatre fois plus longue que la largeur. Trouvez la longueur et la largeur.

    Réponse
    Étape 1. Lisez le problème.  
    Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. Nous recherchons la longueur et la largeur.
      .
    Étape 3. Nommez ce que nous recherchons. Soit L = la longueur de la cour clôturée.
    W = la largeur de la cour clôturée
    Étape 4. Traduisez en un système d'équations. Une longueur et deux largeurs sont égales à 125.
      .
      La longueur sera de 5 pieds de plus que quatre fois la largeur.
      .
    Le système est le suivant :

    Étape 5. Résolvez le système d'équations par substitution.    		 .
    Substituez L = 4 W + 5 dans la première
    équation, puis résolvez pour W.    		 .
      .
      .
    Remplacez W par 20 dans la deuxième
    équation, puis résolvez par L.    		 .
      .
      .
      .
    Étape 6. Vérifiez la réponse au problème.

    \(\begin{array}{rll} 20+28+20&=&125\checkmark \\ 85 &=&4\cdot 20 + 5\checkmark\end{array}\)    		  
    Étape 7. Répondez à l'équation. La longueur est de 85 pieds et la largeur de 20 pieds.
    Exercice\(\PageIndex{20}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Mario veut installer une clôture rectangulaire autour de la piscine de son jardin. Comme un côté est adjacent à la maison, il n'aura besoin que de clôturer trois côtés. Il y a deux côtés longs et le côté le plus court est parallèle à la maison. Il a besoin de 155 pieds de clôture pour clôturer la piscine. La longueur du côté long est inférieure de 10 pieds au double de la largeur. Déterminez la longueur et la largeur de la zone de piscine à clôturer.

    Réponse

    La longueur est de 60 pieds et la largeur de 35 pieds.

    Exercice\(\PageIndex{21}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Alexis veut construire un parc à chiens rectangulaire dans sa cour, à côté de la clôture de son voisin. Elle utilisera 136 pieds de clôture pour clôturer complètement le parc à chiens rectangulaire. La longueur de la piste pour chiens le long de la clôture du voisin sera inférieure de 16 pieds au double de la largeur. Déterminez la longueur et la largeur du parc pour chiens.

    Réponse

    La longueur est de 60 pieds et la largeur de 38 pieds.

    Résolvez des applications de mouvements

    Nous avons utilisé un tableau pour organiser les informations en problèmes de mouvement uniformes lorsque nous les avons présentés plus tôt. Nous allons continuer à utiliser le tableau ici. L'équation de base était D = rt où D est la distance parcourue, r est le taux et t est le temps.

    Notre premier exemple d'application de mouvement uniforme concernera une situation similaire à certaines que nous avons déjà vues, mais nous pouvons maintenant utiliser deux variables et deux équations.

    Exercice\(\PageIndex{22}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Joni a quitté Saint-Louis sur l'autoroute, se dirigeant vers l'ouest en direction de Denver à une vitesse de 110 miles à l'heure. Une demi-heure plus tard, Kelly a quitté Saint-Louis sur le même itinéraire que Joni, parcourant 78 miles à l'heure. Combien de temps faudra-t-il à Kelly pour rattraper Joni ?

    Réponse

    Un diagramme est utile pour nous aider à visualiser la situation.

    Cette figure montre un schéma. Denver est sur la gauche et Saint-Louis sur la droite. Un rayon s'étend de Saint-Louis à Denver. Il est étiqueté « Joni » et « 65 m p h ». Un autre rayon s'étend de Saint-Louis à Denver. Il est étiqueté « Kelly (1/2 heure plus tard) » et « 78 m p h ».

    Identifiez et nommez ce que nous recherchons.
    Un graphique nous aidera à organiser les données.
    Nous connaissons les taux de Joni et de Kelly, et
    nous les inscrivons donc dans le graphique.    		  
    Nous cherchons la durée pendant laquelle Kelly,
    k, et Joni, j, conduiront chacune.
    Puisque D=r·t, nous pouvons remplir la colonne Distance.    		 .
    Traduisez en un système d'équations.
    Pour créer le système d'équations, il faut reconnaître que Kelly et Joni parcourront la même distance. Donc, 65 m = 78 k.

    De plus, puisque Kelly est partie plus tard, son temps sera inférieur de 12 à 12 heures à celui de Joni.

    Donc, k=j−12.
    Nous avons maintenant le système. .
    Résolvez le système d'équations par substitution. .
    Substituez k=j−12 dans la deuxième équation, puis résolvez pour j. .
      .
      .
      .
    Pour trouver le temps de Kelly, remplacez j = 3 dans la première équation, puis résolvez par k. .
      .
      .
    Vérifiez la réponse au problème.
    Joni 3 heures (65 mph) = 195 miles.
    \(2\frac{1}{2}\)Heures de Kelly (78 mi/h) = 195 miles.
    Oui, ils auront parcouru la même distance
    lors de leur rencontre.    		  
    Réponds à la question. Kelly rattrapera Joni dans\(2\frac{1}{2}\) quelques heures.
    D'ici là, Joni aura voyagé 3 heures.
    Exercice\(\PageIndex{23}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez : Mitchell a quitté Détroit sur l'autoroute en direction du sud en direction d'Orlando à une vitesse de 60 miles à l'heure. Clark a quitté Détroit une heure plus tard, à une vitesse de 75 milles à l'heure, en suivant le même itinéraire que Mitchell. Combien de temps faudra-t-il à Clark pour attraper Mitchell ?

    Réponse

    Clark mettra 4 heures à attraper Mitchell.

    Exercice\(\PageIndex{24}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez : Charlie a quitté la maison de sa mère en voyageant à une vitesse moyenne de 58 miles par heure. Sa sœur Sally est partie 15 minutes (1/4 heure) plus tard en empruntant le même itinéraire à une vitesse moyenne de 42 miles par heure. Combien de temps avant que Sally ne rattrape Charlie ?

    Réponse

    Sally mettra des\(1\frac{1}{2}\) heures à rattraper Charlie.

    De nombreuses applications réelles du mouvement uniforme sont dues aux effets des courants, de l'eau ou de l'air, sur la vitesse réelle d'un véhicule. Les vols d'avion de fond aux États-Unis prennent généralement plus de temps vers l'ouest que vers l'est en raison des courants de vent dominants.

    Jetons un coup d'œil à un bateau qui circule sur une rivière. Selon la direction que prend le bateau, le courant de l'eau le ralentit ou l'accélère.

    La figure\(\PageIndex{1}\) et\(\PageIndex{2}\) la figure montrent comment un courant fluvial affecte la vitesse à laquelle un bateau se déplace réellement. Nous appellerons la vitesse du bateau en eau calme b et la vitesse du courant de la rivière c.

    Sur la figure,\(\PageIndex{1}\) le bateau se dirige vers l'aval, dans la même direction que le courant de la rivière. Le courant aide à pousser le bateau, de sorte que la vitesse réelle du bateau est plus rapide que sa vitesse en eau calme. La vitesse réelle à laquelle le bateau se déplace est de b + c.

    Cette figure montre un bateau flottant dans l'eau. Sur la droite, il y a une flèche pointant vers le bateau. Il est étiqueté « c ». Sur la gauche, une flèche pointe dans la direction opposée au bateau. Il est étiqueté « b ».
    Figurine\(\PageIndex{1}\)

    Sur la figure,\(\PageIndex{2}\) le bateau remonte, à l'opposé du courant de la rivière. Le courant va à contre-courant, de sorte que la vitesse réelle du bateau est plus lente que sa vitesse en eau calme. La vitesse réelle du bateau est b−c.

    Cette figure montre un bateau flottant dans l'eau. Sur la gauche se trouvent une flèche pointant à l'opposé du bateau étiqueté « b » et une flèche pointant vers le bateau étiqueté « c ».
    Figurine\(\PageIndex{2}\)

    Nous allons donner quelques chiffres à cette situation dans l'exercice\(\PageIndex{25}\).

    Exercice\(\PageIndex{25}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Un bateau de croisière fluviale a navigué à 60 milles en aval pendant 4 heures, puis a mis 5 heures de navigation en amont pour regagner le quai. Trouvez la vitesse du navire en eau calme et la vitesse du courant de la rivière.

    Réponse

    Lisez le problème.

    Il s'agit d'un problème de mouvement uniforme et une image nous aidera à visualiser la situation.

    Cette figure montre une flèche nommée « c » qui continue vers la droite, représentant la vague. Sous la vague se trouve un rayon qui pointe vers la droite et est étiqueté « quatre heures ». Sous ce rayon se trouve un autre rayon pointant vers la gauche et étiqueté « cinq heures ». Il a la même longueur que le rayon étiqueté « quatre heures ». Il y a une parenthèse sous le rayon intitulée « Cinq heures ». Le support est étiqueté « 60 miles ».

    Identifiez ce que nous recherchons. Nous recherchons la vitesse du navire
    en eau calme et la vitesse du courant.
    Nommez ce que nous recherchons. Soit s=s= la vitesse du navire en eau calme.
    c=c= la vitesse du courant
    Un tableau nous aidera à organiser l'information.
    Le navire part vers l'aval puis vers l'amont.
    En aval, le courant aide le
    navire ; par conséquent, le débit réel du navire est de s + c.
    En remontant, le courant ralentit le navire ;
    par conséquent, la vitesse réelle est de s − c.    		 .
    En aval, cela prend 4 heures.
    En amont, cela prend 5 heures.
    Dans chaque sens, la distance est de 60 miles.    		  
    Traduisez en un système d'équations.
    Puisque la vitesse multipliée par le temps est une distance, nous pouvons
    écrire le système d'équations.    		 .
    Résolvez le système d'équations.
    Distribuez pour mettre les deux équations sous
    forme standard, puis résolvez par élimination.    		 .
    Multipliez l'équation du haut par 5 et l'équation du bas par 4.
    Ajoutez les équations, puis résolvez pour s.    		 .
    Remplacez s = 13,5 dans l'une des équations d'origine. .
      .
      .
      .
     

    5,4-43 .jpg
    Vérifiez la réponse au problème.

    Le débit en aval serait de
    13,5 + 1,5 = 15 mi/h.
    En 4 heures, le navire parcourrait
    15 · 4 = 60 miles.
    Le débit en amont serait de
    13,5 − 1,5 = 12 mi/h.
    En 5 heures, le navire parcourrait
    12 · 5 = 60 miles.    		  
    Réponds à la question. La vitesse du navire est de 13,5 mi/h et
    la vitesse du courant est de 1,5 mi/h.
    Exercice\(\PageIndex{26}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez : une croisière en bateau sur le Mississippi a parcouru 120 miles en amont pendant 12 heures, puis a mis 10 heures pour retourner au quai. Trouvez la vitesse du bateau fluvial en eau calme et la vitesse du courant de la rivière.

    Réponse

    La vitesse du bateau est de 11 mi/h et la vitesse du courant est de 1 mi/h.

    Exercice\(\PageIndex{27}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez : Jason a pagayé son canot 24 miles en amont pendant 4 heures. Il lui a fallu 3 heures pour rentrer en pagaie. Trouvez la vitesse du canot en eau calme et la vitesse du courant de la rivière.

    Réponse

    La vitesse du canot est de 7 mi/h et la vitesse du courant est de 1 mi/h.

    Les courants de vent affectent la vitesse des avions de la même manière que les courants d'eau influent sur la vitesse des bateaux. Nous verrons cela dans Exercice\(\PageIndex{28}\). Un courant de vent dans la même direction que celle de l'avion est appelé vent arrière. Un courant de vent soufflant dans la direction opposée à celle de l'avion est appelé vent de face.

    Exercice\(\PageIndex{28}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez :

    Un jet privé peut parcourir 1 095 miles en trois heures avec un vent arrière, mais seulement 987 miles en trois heures dans un vent de face. Trouvez la vitesse du jet dans l'air calme et la vitesse du vent.

    Réponse

    Lisez le problème.

    Il s'agit d'un problème de mouvement uniforme et une image nous aidera à le visualiser.

    Cette figure montre une flèche intitulée « 3 heures » qui continue vers la droite, représentant le vent. Sous la vague se trouve un rayon qui pointe vers la droite et est étiqueté « j plus w est égal à 365 » et « 1 095 miles ». Sous ce rayon se trouve un autre rayon pointant vers la gauche, étiqueté « j moins w est égal à 329 » et « 987 miles ».

    Identifiez ce que nous recherchons. Nous recherchons la vitesse du jet
    dans l'air calme et la vitesse du vent.
    Nommez ce que nous recherchons. Soit j = la vitesse du jet dans l'air calme.
    w= la vitesse du vent
    Un tableau nous aidera à organiser l'information.
    Le jet effectue deux voyages, l'un par vent arrière
    et l'autre par vent de face.
    Dans un vent arrière, le vent aide le jet et
    la vitesse est donc j + w.
    Dans un vent de face, le vent ralentit le jet et la vitesse est
    donc j − w.    		 .
    Chaque trajet dure 3 heures.
    Dans un vent arrière, le jet parcourt 1 095 miles.
    Dans un vent de face, le jet parcourt 987 miles.    		  
    Traduisez en un système d'équations.
    Puisque le rythme multiplié par le temps est une distance, nous obtenons le
    système d'équations.    		 .
    Résolvez le système d'équations.
    Distribuez, puis résolvez par élimination.    		 .
    Ajoutez et résolvez pour j.

    Remplacez j = 347 dans l'une des
    équations d'origine, puis résolvez pour w.    		 .
      .
      .
      .
      .
    Vérifiez la réponse au problème.

    Avec le vent arrière, la vitesse réelle du
    jet serait de
    347 + 18 = 365 mi/h.
    En 3 heures, le jet parcourrait
    365 · 3 = 1095 miles.
    Face au vent de face, la
    vitesse réelle du jet serait de
    347 − 18 = 329 mi/h.
    En 3 heures, le jet parcourrait
    329 · 3 = 987 miles.    		  
    Réponds à la question. La vitesse du jet est de 347 mi/h et la
    vitesse du vent est de 18 mi/h.
    Exercice\(\PageIndex{29}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez : un petit jet peut parcourir 1 325 miles en 5 heures avec un vent arrière, mais seulement 1 025 miles en 5 heures dans un vent de face. Trouvez la vitesse du jet dans l'air calme et la vitesse du vent.

    Réponse

    La vitesse du jet est de 235 mi/h et la vitesse du vent est de 30 mi/h.

    Exercice\(\PageIndex{30}\)

    Traduisez en un système d'équations, puis résolvez : un jet commercial peut parcourir 1 728 miles en 4 heures avec un vent arrière, mais seulement 1 536 miles en 4 heures dans un vent de face. Trouvez la vitesse du jet dans l'air calme et la vitesse du vent.

    Réponse

    La vitesse du jet est de 408 mi/h et la vitesse du vent est de 24 mi/h.

    Lexique

    angles complémentaires
    Deux angles sont complémentaires si la somme des mesures de leurs angles est en\(90\) degrés.
    angles supplémentaires
    Deux angles sont supplémentaires si la somme des mesures de leurs angles est en\(180\) degrés.