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2.7 : Résoudre les inégalités linéaires

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Représenter graphiquement les inégalités sur la ligne numérique
    • Résolvez les inégalités à l'aide des propriétés de soustraction et d'addition de
    • Résolvez les inégalités en utilisant les propriétés de division et de multiplication des inégalités
    • Résoudre les inégalités qui nécessitent une simplification
    • Traduisez en une inégalité et résolvez
    Remarque

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Traduisez de l'algèbre vers l'anglais :\(15>x\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.3.1.
    2. Résoudre :\(n−9=−42\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.1.7.
    3. Résoudre :\(−5p=−23\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.2.1.
    4. Résoudre :\(3a−12=7a−20\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.3.22.

    Représenter graphiquement les inégalités sur la droite numérique

    Vous souvenez-vous de ce que signifie pour un nombre la solution d'une équation ? La solution d'une équation est la valeur d'une variable qui fournit une déclaration vraie lorsqu'elle est substituée dans l'équation.

    Qu'en est-il de la solution à une inégalité ? Quel chiffre confirmerait l'\(x > 3\)inégalité ? Pensez-vous que « x pourrait être 4 » ? C'est exact, mais x peut aussi être 5, ou 20, ou même 3,001. Tout nombre supérieur à 3 est une solution à l'inégalité\(x > 3\).

    Nous montrons les solutions à l'inégalité\(x > 3\) sur la ligne numérique en ombrant tous les nombres situés à droite de 3, pour montrer que tous les nombres supérieurs à 3 sont des solutions. Comme le chiffre 3 lui-même n'est pas une solution, nous avons placé une parenthèse ouverte à 3. Le graphique de\(x > 3\) est illustré sur la figure\(\PageIndex{1}\). Veuillez noter que la convention suivante est utilisée : les flèches bleu clair pointent dans la direction positive et les flèches bleu foncé pointent dans la direction négative.

    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à 3 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à x égale 3 et une ligne rouge s'étendant à droite de la parenthèse.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : L'inégalité\(x > 3\) est représentée sur cette ligne numérique.

    Le graphique de l'inégalité\(x \geq 3\) ressemble beaucoup au graphique de\(x > 3\), mais nous devons maintenant montrer que 3 est également une solution. Pour ce faire, nous plaçons un crochet\(x = 3\), comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2}\).

    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure ou égale à 3 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à x égal à 3 et une ligne rouge s'étendant à droite du crochet.
    Figure\(\PageIndex{2}\) : L'inégalité\(x \geq 3\) est représentée sur cette ligne numérique.

    Notez que le symbole entre parenthèses ouvertes, (,) indique que le point final de l'inégalité n'est pas inclus. Le symbole entre crochets ouverts, [, indique que le point de terminaison est inclus.

    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    Graphique sur la ligne numérique :

    1. \(x\leq 1\)
    2. \(x<5\)
    3. \(x>−1\)
    Réponse

    1. \(x\leq 1\)Cela signifie tous les nombres inférieurs ou égaux à 1. Nous ombrons tous les chiffres sur la ligne numérique à gauche de 1 et mettons un crochet à x=1 pour montrer qu'il est inclus.
    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure ou égale à 1 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à x égal à 1 et une ligne rouge s'étendant à gauche du crochet.

    2. \(x<5\)Cela signifie tous les nombres inférieurs à 5, mais pas 5. Nous ombrons tous les chiffres sur la ligne numérique à gauche de 5 et mettons une parenthèse à x=5 pour indiquer qu'il n'est pas inclus.
    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure à 5 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à x égale 5 et une ligne rouge s'étendant à droite de la parenthèse.

    3. \(x>−1\)Cela signifie tous les nombres supérieurs à -1, mais à l'exclusion de −1. Nous ombrons tous les nombres sur la ligne numérique à droite de −1, puis nous mettons une parenthèse à x=−1 pour montrer qu'il n'est pas inclus.
    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à moins 1 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte en x égale moins 1, et une ligne rouge s'étendant à droite de la parenthèse.

    Exercice\(\PageIndex{2}\)

    Graphique sur la ligne numérique :

    1. \(x\leq −1\)
    2. \(x>2\)
    3. \(x<3\)
    Réponse
    1. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure ou égale à moins 1 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en x égal à moins 1, et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet.
    2. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à 2 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à x égale 2 et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse.
    3. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure à 3 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à x égale 3 et une ligne foncée s'étendant à gauche de la parenthèse.
    Exercice\(\PageIndex{3}\)

    Graphique sur la ligne numérique :

    1. \(x>−2\)
    2. \(x<−3\)
    3. \(x\geq −1\)
    Réponse
    1. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à moins 2 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte en x égale moins 2, et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse.
    2. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure à moins 3 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte en x égale moins 3, et une ligne foncée s'étendant à gauche de la parenthèse.
    3. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure ou égale à moins 1 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en x égal à moins 1, et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet.

    Nous pouvons également représenter les inégalités en utilisant la notation par intervalles. Comme nous l'avons vu plus haut, l'inégalité\(x>3\) signifie tous les nombres supérieurs à 3. Il n'y a pas de solution optimale à cette inégalité. En notation par intervalles, nous exprimons\(x>3\) comme\((3, \infty)\). Le symbole\(\infty\) se lit comme « infini ». Il ne s'agit pas d'un chiffre réel. La figure\(\PageIndex{3}\) montre à la fois la ligne numérique et la notation des intervalles.

    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à 3 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à x égale 3 et une ligne rouge s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, 3 virgules infinies, de parenthèses.
    Figure\(\PageIndex{3}\) : L'inégalité\(x>3\) est représentée graphiquement sur cette ligne numérique et écrite en notation par intervalles.

    L'inégalité\(x\leq 1\) signifie tous les nombres inférieurs ou égaux à 1. Il n'y a pas de limite inférieure à ces chiffres. Nous écrivons\(x\leq 1\) en notation par intervalles comme\((-\infty, 1]\). Le symbole\(-\infty\) est lu comme « infini négatif ». La figure\(\PageIndex{4}\) montre à la fois la ligne numérique et la notation des intervalles.

    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure ou égale à 1 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à x égal à 1 et une ligne rouge s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, de virgule infinie négative 1, de crochets.
    Figure\(\PageIndex{4}\) : L'inégalité\(x\leq 1\) est représentée graphiquement sur cette ligne numérique et écrite en notation par intervalles.
    INÉGALITÉS, LIGNES NUMÉRIQUES ET NOTATION PAR INTERVALLES

    Cette figure montre quatre lignes numériques, toutes dépourvues de coches. L'inégalité x est supérieure à a est représentée sur la première ligne numérique, une parenthèse ouverte en x étant égale à a et une ligne rouge s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, d'une virgule infinie, de parenthèses. L'inégalité x est supérieure ou égale à a est représentée graphiquement sur la deuxième ligne numérique, avec un crochet ouvert en x égal à a, et une ligne rouge s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme d'un crochet, d'une virgule, d'un infini, de parenthèses. L'inégalité x est inférieure à a est représentée sur la troisième ligne numérique, une parenthèse ouverte en x étant égale à a et une ligne rouge s'étendant à gauche de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, de virgule infinie négative, de parenthèses. L'inégalité x est inférieure ou égale à a est représentée graphiquement sur la dernière ligne numérique, avec un crochet ouvert en x égal à a, et une ligne rouge s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, de virgule infinie négative, de parenthèses.

    Avez-vous remarqué que la parenthèse ou le crochet de la notation par intervalles correspond au symbole situé à l'extrémité de la flèche ? Ces relations sont illustrées dans la figure\(\PageIndex{5}\).

    Cette figure montre les quatre mêmes lignes numériques que ci-dessus, avec les mêmes étiquettes de notation par intervalles. Sous la notation des intervalles pour chaque ligne numérique, un texte indique en quoi la notation sur les lignes numériques est similaire à la notation par intervalles. La première ligne numérique est un graphe où x est supérieur à a, et la notation par intervalles est entre parenthèses, une virgule infinie, entre parenthèses. Le texte ci-dessous se lit comme suit : « Les deux ont une parenthèse gauche ». La deuxième ligne numérique est un graphique où x est supérieur ou égal à a, et la notation des intervalles est entre crochets, virgule infinie, parenthèses. Le texte ci-dessous se lit comme suit : « Les deux ont un crochet gauche ». La troisième ligne numérique est un graphe où x est inférieur à a, et la notation par intervalles est entre parenthèses, virgule infinie négative, virgule a, parenthèses. Le texte ci-dessous se lit comme suit : « Les deux ont une parenthèse droite ». La dernière ligne numérique est un graphique où x est inférieur ou égal à a, et la notation des intervalles est entre parenthèses, virgule infinie négative, virgule a, parenthèses. Le texte ci-dessous se lit comme suit : « Les deux ont un crochet droit ».
    Figure\(\PageIndex{5}\) : La notation des inégalités sur une ligne numérique et dans la notation par intervalles utilise des symboles similaires pour exprimer les extrémités des intervalles.
    Exercice\(\PageIndex{4}\)

    Tracez sur la ligne numérique et écrivez en notation par intervalles.

    1. \(x \geq -3\)
    2. \(x<2.5\)
    3. \(x\leq \frac{3}{5}\)
    Réponse

    1.

      .
    Ombrez à droite de −3 et placez un crochet à −3. .
    Écrivez en notation par intervalles. .
    2.
      .
    Ombrez vers la gauche de 2,5 et placez une parenthèse à 2,5. .
    Écrivez en notation par intervalles. .
    3.
      .
    Ombrez à gauche de\(-\frac{3}{5}\), et placez un support sur\(-\frac{3}{5}\). .
    Écrivez en notation par intervalles. .
    Exercice\(\PageIndex{5}\)

    Tracez sur la ligne numérique et écrivez en notation par intervalles :

    1. \(x>2\)
    2. \(x\leq −1.5\)
    3. \(x\geq \frac{3}{4}\)
    Réponse
    1. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à 2 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à x égale 2 et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, de 2 virgules infinies, de parenthèses.
    2. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure ou égale à moins 1,5 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en x égal à moins 1,5, et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, négatif infini, virgule négative, moins 1,5, parenthèse.
    3. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure ou égale à 3/4 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à x égal à 3/4 et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, 3/4 virgule infinité, parenthèses.
    Exercice\(\PageIndex{6}\)

    Tracez sur la ligne numérique et écrivez en notation par intervalles :

    1. \(x\leq −4\)
    2. \(x\geq 0.5\)
    3. \(x<-\frac{2}{3}\)
    Réponse
    1. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure ou égale à moins 4 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en x égal à moins 4, et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, infini négatif, virgule négative, moins 4, parenthèses.
    2. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure ou égale à 0,5 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à x égal à 0,5 et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, de 0,5 virgule infinité, de parenthèses.
    3. Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 5 à 5 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est inférieure à moins 2/3 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte en x égale moins 2/3, et une ligne foncée s'étendant à gauche de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, infini négatif, virgule négative, 2/3, parenthèses.

    Résoudre les inégalités en utilisant les propriétés de soustraction et d'addition de l'inégalité

    Les propriétés de soustraction et d'addition d'Equality indiquent que si deux quantités sont égales, lorsque nous ajoutons ou soustrayons la même quantité des deux quantités, les résultats seront égaux.

    LES PROPRIÉTÉS DE L'ÉGALITÉ

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}\]

    Des propriétés similaires sont valables pour les inégalités.

    Par exemple, nous savons que −4 est inférieur à 2. .
    Si nous soustrayons 5 des deux quantités, le côté gauche est-il toujours inférieur au côté droit ? .
    On obtient −9 sur la gauche et −3 sur la droite. .
    Et nous savons que −9 est inférieur à −3. .
     

    Le signe d'inégalité est resté le même.

    Tableau\(\PageIndex{1}\)

    De même, nous pourrions montrer que l'inégalité reste également la même pour l'addition.

    Cela nous amène aux propriétés de soustraction et d'addition de l'inégalité.

    PROPRIÉTÉS DE L'INÉGALITÉ

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a < b } & { \text { if } \qquad \quad a < b } \\ { \text { then } a - c < b - c . } & { \text { then } a + c < b + c } \\\\ { \text { if } \qquad \quad a > b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}\]

    Nous utilisons ces propriétés pour résoudre les inégalités, en suivant les mêmes étapes que celles utilisées pour résoudre des équations. Pour résoudre l'inégalité\(x+5>9\), les étapes devraient ressembler à ceci :

    \[\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}\]

    Tout nombre supérieur à 4 est une solution à cette inégalité.

    Exercice\(\PageIndex{7}\)

    Résolvez l'inégalité\(n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Ajoutez\(\frac{1}{2}\) à cela les deux côtés de l'inégalité. .
    Simplifiez. .
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles.  
    Exercice\(\PageIndex{8}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}\)

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité p est supérieure ou égale à 11/12. En dessous de cette inégalité se trouve l'inégalité représentée sur une ligne numérique comprise entre 0 et 4, avec des coches à chaque entier. Il y a un crochet à p égal à 11/12, et une ligne sombre s'étend vers la droite à partir du 11/12. Sous la ligne numérique se trouve la solution écrite en notation par intervalles : crochet, virgule 11/12 infinie, parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{9}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}\)

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité r est inférieure ou égale à 11/12. En dessous de cette inégalité se trouve l'inégalité représentée sur une ligne numérique comprise entre 0 et 4, avec des coches à chaque entier. Il y a un crochet à r égal à 11/12, et une ligne sombre s'étend vers la gauche à partir de 11/12. Sous la ligne numérique se trouve la solution écrite en notation par intervalles : parenthèses, virgule infinie négative 11/12, crochet.

    Résolvez les inégalités en utilisant les propriétés de division et de multiplication des inégalités

    Les propriétés de division et de multiplication de l'égalité indiquent que si deux quantités sont égales, lorsque nous divisons ou multiplions les deux quantités par la même quantité, les résultats seront également égaux (à condition de ne pas diviser par 0).

    LES PROPRIÉTÉS DE L'ÉGALITÉ

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}\]

    Existe-t-il des propriétés similaires pour les inégalités ? Qu'arrive-t-il à une inégalité lorsque nous divisons ou multiplions les deux côtés par une constante ?

    Prenons quelques exemples numériques.

      .   .
    Divisez les deux côtés par 5. . Multipliez les deux côtés par 5. .
    Simplifiez. .   .
    Renseignez les signes d'inégalité. .   .
    Tableau\(\PageIndex{2}\)

    Les signes d'inégalité sont restés les mêmes.

    L'inégalité reste-t-elle la même lorsque nous divisons ou multiplions par un nombre négatif ?

      .   .
    Divisez les deux côtés par -5. . Multipliez les deux côtés par -5. .
    Simplifiez. .   .
    Renseignez les signes d'inégalité. .   .
    Tableau\(\PageIndex{3}\)

    Les signes d'inégalité ont inversé leur direction.

    Lorsque nous divisons ou multiplions une inégalité par un nombre positif, le signe d'inégalité reste le même. Lorsque nous divisons ou multiplions une inégalité par un nombre négatif, le signe d'inégalité s'inverse.

    Voici les propriétés de division et de multiplication de l'inégalité pour faciliter la consultation.

    PROPRIÉTÉS DE DIVISION ET DE MULTIPLICATION DES INÉGALITÉS

    Pour tous les nombres réels a, b, c

    \[\begin{array}{ll} {\text{if } a < b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a < b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}\]

    Lorsque nous divisons ou multiplions une inégalité par :

    • nombre positif, l'inégalité reste la même.
    • nombre négatif, l'inégalité s'inverse.
    Exercice\(\PageIndex{10}\)

    Résolvez l'inégalité\(7y<​​42\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Divisez les deux côtés de l'inégalité par 7.
    Depuis\(7>0\), l'inégalité reste la même.    		 .
    Simplifiez. .
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. .
    Exercice\(\PageIndex{11}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(9c>72\)

    Réponse

    \(c>8\)

    Ce chiffre est une ligne numérique comprise entre 6 et 10 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité c est supérieure à 8 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte en c égale 8 et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse.

    \((8, \infty)\)

    Exercice\(\PageIndex{12}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(12d\leq 60\)

    Réponse

    \(d\leq 5\)

    Ce chiffre est une ligne numérique allant de 3 à 7 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité d est inférieure ou égale à 5 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à d égal à 5 et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, de virgule infinie négative 5, de crochets.

    \((-\infty, 5]\)

    Exercice\(\PageIndex{13}\)

    Résolvez l'inégalité\(−10a\geq 50\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Divisez les deux côtés de l'inégalité par −10.
    Depuis\(−10<0\), l'inégalité s'inverse.    		 .
    Simplifiez. .
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. .
    Exercice\(\PageIndex{14}\)

    Résolvez chaque inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(−8q<32\)

    Réponse

    \(q>−4\)

    Ce chiffre est une ligne numérique allant de moins 6 à moins 3 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité q est supérieure à moins 4 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à q égale moins 4, et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, moins 4 virgules infinies, entre parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{15}\)

    Résolvez chaque inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(−7r\leq −70\)

    Réponse

    Ce chiffre est une ligne numérique comprise entre 9 et 13 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité r est supérieure ou égale à 10 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à r égal à 10 et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, de 10 virgules infinies, de parenthèses.

    RÉSOUDRE LES INÉGALITÉS
    Parfois, lors de la résolution d'une inégalité, la variable se retrouve sur la droite. Nous pouvons réécrire l'inégalité à l'envers pour placer la variable vers la gauche.

    \[\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}\]

    Réfléchis comme suit : « Si Xavier est plus grand qu'Alex, alors Alex est plus petit que Xavier ».

    Exercice\(\PageIndex{16}\)

    Résolvez l'inégalité\(-20 < \frac{4}{5}u\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Multipliez les deux côtés de l'inégalité par\(\frac{5}{4}\).
    Depuis\(\frac{5}{4} > 0\), l'inégalité reste la même.    		 .
    Simplifiez. .
    Réécrivez la variable sur la gauche. .
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. .
    Exercice\(\PageIndex{17}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(24 \leq \frac{3}{8}m\)

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité m est supérieure ou égale à 64. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 63 et 67 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité m est supérieure ou égale à 64 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à m égal à 64 et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, 64 virgules infinies, entre parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{18}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(-24 < \frac{4}{3}n\)

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité n est supérieure à moins 18. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique allant de moins 20 à moins 16 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité n est supérieure à moins 18 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, une parenthèse ouverte à n étant égale à moins 18, et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, moins 18 virgules infinies, entre parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{19}\)

    Résolvez l'inégalité\(\frac{t}{-2} \geq 8\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Multipliez les deux côtés de l'inégalité par −2.
    Depuis\(−2<0\), l'inégalité s'inverse.    		 .
    Simplifiez. .
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. .
    Exercice\(\PageIndex{20}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(\frac{k}{-12}\leq 15\)

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité k est supérieure ou égale à moins 180. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique allant de moins 181 à moins 177 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité k est supérieure ou égale à moins 180 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à n égal à moins 180, et une ligne sombre s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, moins 180 virgules infinis, entre parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{21}\)

    Résolvez l'inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    \(\frac{u}{-4}\geq -16\)

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité u est inférieure ou égale à 64. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 62 et 66 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité u est inférieure ou égale à 64 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en u égal à 64 et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, de virgule infinie négative 64, de crochets.

    ​​​​​

    Résoudre les inégalités qui nécessitent une simplification

    La plupart des inégalités nécessiteront plus d'une étape pour être résolues. Nous suivons les mêmes étapes que celles utilisées dans la stratégie générale de résolution d'équations linéaires, mais nous veillons à faire très attention lors de la multiplication ou de la division.

    Exercice\(\PageIndex{22}\)

    Résolvez l'inégalité\(4m\leq 9m+17\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Soustrayez 9 m des deux côtés pour collecter les variables sur la gauche. .
    Simplifiez. .
    Divisez les deux côtés de l'inégalité par −5 et inversez l'inégalité. .
    Simplifiez. .
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. .
    Exercice\(\PageIndex{23}\)

    Résolvez l'inégalité\(3q\geq 7q−23\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité q est inférieure ou égale à 23/4. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 4 et 8 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité q est inférieure ou égale à 23/4 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en q égal à 23/4 (écrit en) et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, virgule infinie négative 23/4, parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{24}\)

    Résolvez l'inégalité\(6x<10x+19\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité x est supérieure à négative 19/4. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique allant de moins 7 à moins 3, avec des coches pour chaque entier. L'inégalité x est supérieure à moins 19/4 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte en x égale moins 19/4 (écrit en) et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, de virgule négative 19/4 infinie, de parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{25}\)

    Résolvez l'\(8p+3(p−12)>7p−28\)inégalité, tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
    Simplifiez chaque côté autant que possible. 8p+3 (p−12) >7p−28
    Distribuez. 8p+3p−36>7p−28
    Combinez les mêmes termes. 11p à 36>7p−28
    Soustrayez 7p des deux côtés pour collecter les variables sur la gauche. 11p−36−7p>7p−28−7p
    Simplifiez. 4p à 36>−28
    Ajoutez 36 des deux côtés pour collecter les constantes sur la droite. 4p−36+36>−28+36
    Simplifiez. 4 p> 8
    Divisez les deux côtés de l'inégalité par 4 ; l'inégalité reste la même. \(\frac{4p}{4}>84\)
    Simplifiez. \(p>2\)
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. \((2, \infty)\)
    Exercice\(\PageIndex{26}\)

    Résolvez l'inégalité\(9y+2(y+6)>5y−24\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité y est supérieure à négative 6. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique allant de moins 7 à moins 3 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité y est supérieure à moins 6 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à y égale moins 6, et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, moins 6 virgules infinies, entre parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{27}\)

    Résolvez l'inégalité\(6u+8(u−1)>10u+32\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité u est supérieure à 10. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 9 et 13 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité u est supérieure à 10 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une parenthèse ouverte à u égale 10 et une ligne foncée s'étendant à droite de la parenthèse. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, de 10 virgules infinies, de parenthèses.

    Tout comme certaines équations sont des identités et d'autres des contradictions, les inégalités peuvent également être des identités ou des contradictions. Nous reconnaissons ces formes lorsqu'il ne nous reste que des constantes lorsque nous résolvons l'inégalité. Si le résultat est une affirmation vraie, nous avons une identité. Si le résultat est une fausse déclaration, nous avons une contradiction.

    Exercice\(\PageIndex{28}\)

    Résolvez l'inégalité\(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
    Simplifiez chaque côté autant que possible. 8x−2 (5−x) <4 (x+9) +6x
    Distribuez. 8x−10+2 x <4x+36+6x
    Combinez les mêmes termes. 10 x − 10 < 10 x+36
    Soustrayez 10 fois des deux côtés pour collecter les variables sur la gauche. 10x−10−10x<10x+36−10x
    Simplifiez. −10 < 36
    Les xx ont disparu, et nous avons une déclaration vraie. L'inégalité est une identité.
    La solution, ce sont tous des nombres réels.
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. \((-\infty, \infty)\)
    Exercice\(\PageIndex{29}\)

    Résolvez l'inégalité\(4b−3(3−b)>5(b−6)+2b\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre une inégalité qui est une identité. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique allant de moins 2 à 2 avec des coches pour chaque entier. L'identité est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une ligne sombre s'étendant dans les deux sens. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, d'infini négatif, de virgule, d'infini, de parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{30}\)

    Résolvez l'inégalité\(9h−7(2−h)<8(h+11)+8h\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre une inégalité qui est une identité. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique allant de moins 2 à 2 avec des coches pour chaque entier. L'identité est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec une ligne sombre s'étendant dans les deux sens. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous forme de parenthèses, d'infini négatif, de virgule, d'infini, de parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{31}\)

    Résolvez l'inégalité\(\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse
      .
    Multipliez les deux côtés par l'écran LCD, 24, pour effacer les fractions. .
    Simplifiez. .
    Combinez les mêmes termes. .
    Soustrayez 5a des deux côtés pour collecter les variables sur la gauche. .
    Simplifiez. .
    La déclaration est fausse ! L'inégalité est contradictoire.
      Il n'y a pas de solution.
    Représentez graphiquement la solution sur la ligne numérique. .
    Écrivez la solution en notation par intervalles. Il n'y a pas de solution.
    Exercice\(\PageIndex{32}\)

    Résolvez l'inégalité\(\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre une inégalité contradictoire. En dessous se trouve une ligne numérique allant de moins 2 à 2 avec des coches pour chaque entier. Aucune inégalité n'est représentée sur la ligne numérique. Sous la ligne numérique se trouve l'énoncé suivant : « Aucune solution ».

    Exercice\(\PageIndex{33}\)

    Résolvez l'inégalité\(\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}\), tracez la solution sur la ligne numérique et écrivez la solution en notation par intervalles.

    Réponse

    Cette figure montre une inégalité contradictoire. En dessous se trouve une ligne numérique allant de moins 2 à 2 avec des coches pour chaque entier. Aucune inégalité n'est représentée sur la ligne numérique. Sous la ligne numérique se trouve l'énoncé suivant : « Aucune solution ».

    Traduisez en une inégalité et résolvez

    Pour traduire des phrases anglaises en inégalités, nous devons reconnaître les phrases qui indiquent l'inégalité. Certains mots sont simples, comme « plus que » et « moins que ». Mais d'autres ne sont pas aussi évidents.

    Pensez à l'expression « au moins ». Que signifie « avoir au moins 21 ans » ? Cela signifie 21 ou plus. L'expression « au moins » est identique à « supérieur ou égal à ».

    Le tableau\(\PageIndex{4}\) [1]présente quelques expressions courantes qui indiquent des inégalités.

    > \(\geq\) < \(\leq\)
    « data-valign="middle » class="lt-math-15134">est supérieur à \ (\ geq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">est supérieur ou égal à est inférieur à \ (\ leq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">est inférieur ou égal à
    « data-valign="middle » class="lt-math-15134">est supérieur à \ (\ geq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">est au moins est plus petit que \ (\ leq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">est tout au plus
    « data-valign="middle » class="lt-math-15134">est plus grand que \ (\ geq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">nʼest pas inférieur à possède moins de \ (\ leq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">nʼest pas plus que
    « data-valign="middle » class="lt-math-15134">dépasse \ (\ geq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">est le minimum est inférieur à \ (\ leq \) » data-valign="middle » class="lt-math-15134">est le maximum
    Tableau\(\PageIndex{4}\)
    Exercice\(\PageIndex{34}\)

    Traduisez et résolvez. Écrivez ensuite la solution en notation par intervalles et graphiquez sur la ligne numérique.

    Douze fois c ne vaut pas plus de 96.

    Réponse
    Traduisez. .
    Résoudre : divisez les deux côtés par 12. .
    Simplifiez. .
    Écrivez en notation par intervalles. .
    Graphique sur la ligne numérique. .
    Exercice\(\PageIndex{35}\)

    Traduisez et résolvez. Écrivez ensuite la solution en notation par intervalles et graphiquez sur la ligne numérique.

    Vingt fois y est au plus égal à 100

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité 20y est inférieure ou égale à 100, puis sa solution : y est inférieur ou égal à 5. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 4 et 8 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité y est inférieure ou égale à 5 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en y égal 5 et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, de virgule infinie négative 5, de crochets.

    Exercice\(\PageIndex{36}\)

    Traduisez et résolvez. Écrivez ensuite la solution en notation par intervalles et graphiquez sur la ligne numérique.

    Neuf fois z ne vaut pas moins de 135

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité 9z est supérieure ou égale à 135, puis sa solution : z est supérieur ou égal à 15. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 14 et 18 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité z est supérieure ou égale à 15 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert en z égal à 15 et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, de 15 virgules infinies, de parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{37}\)

    Traduisez et résolvez. Écrivez ensuite la solution en notation par intervalles et graphiquez sur la ligne numérique.

    Trente de moins que x est au moins égal à 45.

    Réponse
    Traduisez. .
    Résoudre : ajoutez-en 30 des deux côtés. .
    Simplifiez. .
    Écrivez en notation par intervalles. .
    Graphique sur la ligne numérique. .
    Exercice\(\PageIndex{38}\)

    Traduisez et résolvez. Écrivez ensuite la solution en notation par intervalles et graphiquez sur la ligne numérique.

    Dix-neuf de moins que p n'est pas inférieur à 47

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité p moins 19 est supérieure ou égale à 47, puis sa solution : p est supérieur ou égal à 66. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 65 et 69 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité p est supérieure ou égale à 66 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à p égal à 66 et une ligne foncée s'étendant à droite du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de crochets, 66 virgules infinies, de parenthèses.

    Exercice\(\PageIndex{39}\)

    Traduisez et résolvez. Écrivez ensuite la solution en notation par intervalles et graphiquez sur la ligne numérique.

    Quatre de plus qu'un, c'est tout au plus 15.

    Réponse

    Cette figure montre que l'inégalité a plus 4 est inférieure ou égale à 15, puis sa solution : a est inférieur ou égal à 11. En dessous de cette inégalité se trouve une ligne numérique comprise entre 10 et 14 avec des coches pour chaque entier. L'inégalité a est inférieure ou égale à 11 est représentée graphiquement sur la ligne numérique, avec un crochet ouvert à un égal à 11 et une ligne foncée s'étendant à gauche du crochet. L'inégalité est également écrite en notation par intervalles sous la forme de parenthèses, infini négatif 11, entre parenthèses.

    Concepts clés

    • Propriété de soustraction de l'inégalité
      Pour tous les nombres a, b et c,
      si a<b alors a−c<b−c et
      si a>b alors a−c>b−c.
    • Propriété d'addition d'inégalité
      Pour tous les nombres a, b et c,
      si a<b alors a+c<b+c et
      si a>b alors a+c>b+c.
    • Propriétés de division et de multiplication de l'inégalité y
      Pour tous les nombres a, b et c,
      si a <b and c>0, alors ac <bc and ac>bc.
      si a>b et c>0, alors ac>bc et ac>bc.
      si a<b et cbc<0, then ac> et ac>bc.
      si a>b et c<0, alors ac<bc et ac<bc.
    • Lorsque nous divisons ou multiplions une inégalité par :
      • nombre positif, l'inégalité reste la même.
      • nombre négatif, l'inégalité s'inverse.