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2.6 : Résoudre une formule pour une variable spécifique

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Utilisez la formule Distance, Taux et Temps
    • Résoudre une formule pour une variable spécifique
    Questionnaire

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Résoudre :\(15t=120\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.2.1.
    2. Résoudre :\(6x+24=96\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.3.1.

    Utilisez la formule de distance, de taux et de temps

    Une formule que vous utiliserez souvent en algèbre et dans la vie de tous les jours est la formule de la distance parcourue par un objet se déplaçant à une vitesse constante. Rate est un mot équivalent pour « vitesse ». L'idée de base du taux vous est peut-être déjà familière. Savez-vous quelle distance vous parcourez si vous conduisez à un rythme régulier de 60 miles par heure pendant 2 heures ? (Cela peut se produire si vous utilisez le régulateur de vitesse de votre voiture lorsque vous conduisez sur l'autoroute.) Si vous avez dit 120 miles, vous savez déjà comment utiliser cette formule !

    DISTANCE, FRÉQUENCE ET TEMPS

    Pour un objet se déplaçant à une vitesse uniforme (constante), la distance parcourue, le temps écoulé et la vitesse sont liés par la formule :

    \[\begin{array} {lllll}{ d = r t} &{\text { where }} &{ d} &{=} &{\text{distance}} \\ {} &{} &{ r} &{=} &{\text{rate}} \\{} &{} &{ t} &{=} &{\text{time}} \end{array}\]

    Nous utiliserons la stratégie de résolution des applications que nous avons utilisée plus tôt dans ce chapitre. Lorsque notre problème nécessite une formule, nous changeons l'étape 4. Au lieu d'écrire une phrase, nous écrivons la formule appropriée. Nous écrivons les étapes révisées ici à titre de référence.

    RÉSOLVEZ UNE APPLICATION (À L'AIDE D'UNE FORMULE).
    1. Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
    2. Déterminez ce que nous recherchons.
    3. Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
    4. Traduisez en une équation. Écrivez la formule appropriée à la situation. Remplacer dans les informations données.
    5. Résolvez l'équation en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
    6. Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
    7. Répondez à la question par une phrase complète.

    Vous pouvez créer un mini-graphique pour résumer les informations relatives au problème. Reportez-vous au graphique de ce premier exemple.

    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    Jamal fait du vélo à une vitesse uniforme de 12 miles par heure pendant des\(3\frac{1}{2}\) heures. Quelle distance a-t-il parcourue ?

    Réponse
    Étape 1. Lisez le problème.  
    Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. distance parcourue
    Étape 3. Nom. Choisissez une variable pour la représenter. Soit d = distance.
    Étape 4. Traduire : Écrivez la formule appropriée. \(d=rt\)
      .
    Remplacer dans les informations données. \(d = 12\cdot 3\frac{1}{2}\)
    Étape 5. Résolvez l'équation. \(d=42\text{ miles}\)
    Étape 6. Vérifiez  
    Est-ce que 42 miles ont du sens ?  
    Jamal chevauche :  
    .  
    Étape 7. Répondez à la question par une phrase complète. Jamal a parcouru 42 miles.
    Exercice\(\PageIndex{2}\)

    Lindsay a roulé pendant des\(5\frac{1}{2}\) heures à 60 milles à l'heure. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

    Réponse

    330 milles

    Exercice\(\PageIndex{3}\)

    Trinh a marché pendant des\(2\frac{1}{3}\) heures à raison de 5 miles par heure. Jusqu'où a-t-elle marché ?

    Réponse

    7 milles

    Exercice\(\PageIndex{4}\)

    Rey prévoit de quitter sa maison de San Diego en voiture pour rendre visite à sa grand-mère à Sacramento, sur une distance de 520 miles. S'il peut conduire à une vitesse constante de 65 milles à l'heure, combien d'heures durera le trajet ?

    Réponse
    Étape 1. Lisez le problème.  
    Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. Combien d'heures (heure)
    Étape 3. Nom.
    Choisissez une variable pour la représenter.    		 Soit t = heure.
      .
    Étape 4. Traduire.
    Écrivez la formule appropriée.    		 \(d=rt\)
    Remplacer dans les informations données. \(520 = 65t\)
    Étape 5. Résolvez l'équation. \(t = 8\)
    Étape 6. Vérifiez. Remplacez les nombres dans
    la formule et assurez-vous que le résultat est
    vrai.    		  
    \(\begin{array}{lll} {d} &{=} &{rt} \\ {520} &{\stackrel{?}{=}} &{65\cdot 8}\\ {520} &{=} &{520\checkmark} \end{array}\)  
    Étape 7. Répondez à la question par une phrase complète. Le voyage de Rey durera 8 heures.
    Exercice\(\PageIndex{5}\)

    Lee veut se rendre en voiture de Phoenix à l'appartement de son frère à San Francisco, situé à 770 miles. S'il conduit à une vitesse constante de 70 milles à l'heure, combien d'heures durera le trajet ?

    Réponse

    11 heures

    Exercice\(\PageIndex{6}\)

    Yesenia se trouve à 27 km de Chicago. Si elle doit être à Chicago dans 3 heures, à quel rythme doit-elle conduire ?

    Réponse

    56 mi/h

    Résoudre une formule pour une variable spécifique

    Vous connaissez probablement certaines formules de géométrie. Une formule est une description mathématique de la relation entre les variables. Les formules sont également utilisées dans les sciences, telles que la chimie, la physique et la biologie. En médecine, ils sont utilisés pour les calculs de délivrance de médicaments ou de détermination de l'indice de masse corporelle. Les tableurs s'appuient sur des formules pour effectuer des calculs. Il est important de se familiariser avec les formules et de pouvoir les manipuler facilement.

    Dans Exercice\(\PageIndex{1}\) et exercice\(\PageIndex{4}\), nous avons utilisé la formule\(d=rt\). Cette formule donne la valeur de d, distance, lorsque vous remplacez par les valeurs de r et t, le taux et le temps. Mais dans Exercise\(\PageIndex{4}\), nous avons dû trouver la valeur de t. Nous l'avons remplacée par des valeurs de d et de r, puis nous avons utilisé l'algèbre pour résoudre tt. Si vous deviez le faire souvent, vous vous demandez peut-être pourquoi il n'existe pas de formule qui donne la valeur de t lorsque vous la remplacez par les valeurs de d et r. Nous pouvons créer une formule comme celle-ci en résolvant la formule\(d=rt\) de t.

    Résoudre une formule pour une variable spécifique signifie isoler cette variable d'un côté du signe égal avec un coefficient de 1. Toutes les autres variables et constantes se trouvent de l'autre côté du signe égal. Pour voir comment résoudre une formule pour une variable spécifique, nous allons commencer par la formule de distance, de taux et de temps.

    Exercice\(\PageIndex{7}\)

    Résolvez la formule d=rt pour t :

    1. lorsque d=520 et r=65
    2. en général
    Réponse

    Nous écrirons les solutions côte à côte pour démontrer que la résolution d'une formule en général utilise les mêmes étapes que lorsque nous avons des nombres à substituer.

    1. lorsque d=520 et r=65 2. en général
    Écrivez la formule. \(d=rt\) Écrivez la formule. \(d=rt\)
    Substitut. \(520=65t\)    
    Divisez, pour l'isoler. \(\frac{520}{65} = \frac{65t}{65}\) Divisez, pour l'isoler. \(\frac{d}{r} = \frac{rt}{t}\)
    Simplifiez. \(8 = t\) Simplifiez. \(\frac{d}{r}=t\)

    Nous disons que la formule\(t = \frac{d}{r}\) est résolue pour t.

    Exercice\(\PageIndex{8}\)

    Résolvez la formule\(d=rt\) pour r :

    1. lorsque d=180 et t=4
    2. en général
    Réponse
    1. \(r = 45\)
    2. \(r = \frac{d}{t}\)
    Exercice\(\PageIndex{9}\)

    Résolvez la formule\(d=rt\) pour r :

    1. lorsque d=780 et t=12
    2. en général
    Réponse
    1. \(r = 65\)
    2. \(r = \frac{d}{rt\)
    Exercice\(\PageIndex{10}\)

    Résolvez la formule\(A = \frac{1}{2}bh\) pour h :

    1. quand\(A = 90\) et\(b = 15\)
    2. en général
    Réponse
    1. quand\(A = 90\) et\(b = 15\) 2. en général
    Écrivez la formule. . Écrivez la formule. .
    Substitut. .    
    Efface les fractions. . Efface les fractions. .
    Simplifiez. . Simplifiez. .
    Résolvez pour h. . Résolvez pour hh. .
    Nous pouvons maintenant trouver la hauteur d'un triangle, si nous connaissons l'aire et la base, en utilisant la formule\(h = \frac{2A}{b}\)
    Exercice\(\PageIndex{11}\)

    Résolvez la formule\(A = \frac{1}{2}bh\) pour h :

    1. quand\(A = 170\) et\(b = 17\)
    2. en général
    Réponse
    1. \(h = 20\)
    2. \(h = \frac{2A}{b}\)
    Exercice\(\PageIndex{12}\)

    Résolvez la formule\(A = \frac{1}{2}bh\) pour h :

    1. quand\(A = 62\) et\(h = 31\)
    2. en général
    Réponse
    1. \(b = 4\)
    2. \(b = \frac{2A}{h}\)

    La formule\(I=Prt\) est utilisée pour calculer l'intérêt simple, I, pour un principal, P, investi au taux r pendant t années.

    Exercice\(\PageIndex{13}\)

    Résolvez la formule I=Prt pour trouver le principal, P :

    1. lorsque I = 5 600$, r = 4 %, t = 7 ans
    2. en général
    Réponse
    1. I = 5 600$, r = 4 %, t = 7 ans 2. en général
    Écrivez la formule. . Écrivez la formule. .
    Substitut. .    
    Simplifiez. . Simplifiez. .
    Divisez, pour isoler P. . Divisez, pour isoler P. .
    Simplifiez. . Simplifiez. .
    Le principal est .   .
    Exercice\(\PageIndex{14}\)

    Résolvez la formule I=Prt pour trouver le principal, P :

    1. lorsque I = 2160$, r = 6 %, t = 3 ans
    2. en général
    Réponse
    1. 12 000$
    2. \(P = \frac{1}{rt}\)
    Exercice\(\PageIndex{15}\)

    Résolvez la formule I=Prt pour trouver le principal, P :

    1. lorsque I = 5400$, r = 12 %, t = 5 ans
    2. en général
    Réponse
    1. 9 000$
    2. \(P = \frac{1}{rt}\)
    Plus tard dans ce cours, et dans les futurs cours d'algèbre, vous rencontrerez des équations qui relient deux variables, généralement x et y. Vous pouvez recevoir une équation résolue pour y et avoir besoin de la résoudre pour x, ou vice versa. Dans l'exemple suivant, on nous donne une équation avec x et y du même côté et nous allons la résoudre pour y.
    Exercice\(\PageIndex{16}\)

    Résolvez la formule 3x+2y=18 pour y :

    1. lorsque x=4
    2. en général
    Réponse
    1. lorsque x=4 2. en général
      .   .
    Substitut. .    
    Soustrayez pour isoler le
    terme Y.    		 . Soustrayez pour isoler le
    terme Y.    		 .
    Diviser. . Diviser. .
    Simplifiez. . Simplifiez. .
    Exercice\(\PageIndex{17}\)

    Résolvez la formule 3x+4y=10 pour y :

    1. quand\(x = \frac{14}{3}\)
    2. en général
    Réponse
    1. \(y = -1\)
    2. \(y = \frac{10 - 3x}{4}\)
    Exercice\(\PageIndex{18}\)

    Résolvez la formule 5x+2y=18 pour y :

    1. quand\(x = 4\)
    2. en général
    Réponse
    1. \(y = -1\)
    2. \(y = \frac{18 - 5x}{2}\)
    Dans Exercice\(\PageIndex{7}\) through\(\PageIndex{18}\) Exercise, nous avons utilisé les chiffres de la partie 1 comme guide pour résoudre en général la question de la deuxième partie. Nous allons maintenant résoudre une formule en général sans utiliser de chiffres comme guide.
    Exercice\(\PageIndex{19}\)

    Résolvez la formule P=a+B+C pour a.

    Réponse
    Nous allons isoler aa d'un côté de l'équation. .
    b et c sont ajoutés à a, donc nous les soustrayons des deux côtés de l'équation. .
    Simplifiez. .
    .
    Exercice\(\PageIndex{20}\)

    Résolvez la formule P=a+B+C pour b.

    Réponse

    b=p−a−c

    Exercice\(\PageIndex{21}\)

    Résolvez la formule P=a+B+C pour c.

    Réponse

    C=p−a−B

    Exercice\(\PageIndex{22}\)

    Résolvez la formule 6x+5y=13 pour y.

    Réponse
      .
    Soustrayez 6x des deux côtés pour isoler le terme par y. .
    Simplifiez. .
    Divisez par 5 pour obtenir le coefficient 1. .
    Simplifiez. .

    La fraction est simplifiée. Nous ne pouvons pas diviser 13−6x par 5.

    Exercice\(\PageIndex{23}\)

    Résolvez la formule 4x+7y=9 pour y.

    Réponse

    \(y = \frac{9 - 4x}{7}\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\)

    Résolvez la formule 5x+8y=1 pour y.

    Réponse

    \(y = \frac{1 - 5x}{8}\)

    Concepts clés

    • Pour résoudre une demande (à l'aide d'une formule)
      1. Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
      2. Déterminez ce que nous recherchons.
      3. Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
      4. Traduisez en une équation. Écrivez la formule appropriée à la situation. Remplacer dans les informations données.
      5. Résolvez l'équation en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
      6. Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
      7. Répondez à la question par une phrase complète.
    • Distance, vitesse et temps
      Pour un objet se déplaçant à une vitesse uniforme (constante), la distance parcourue, le temps écoulé et la vitesse sont liés par la formule : d=rt où d = distance, r = vitesse, t = temps.
    • Résoudre une formule pour une variable spécifique signifie obtenir cette variable elle-même avec un coefficient de 1 d'un côté de l'équation et toutes les autres variables et constantes de l'autre côté.