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2.5 : Résoudre des équations avec des fractions ou des décimales

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Résoudre des équations avec des coefficients
    • Résoudre des équations avec des coefficients
    Remarque

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Multipliez :\(8\cdot 38\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.16.
    2. Trouvez l'écran LCD de\(\frac{5}{6}\) et\(\frac{1}{4}\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.7.16.
    3. Multipliez 4,78 par 100.
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.8.22.

    Résoudre des équations avec des coefficients

    Utilisons la stratégie générale de résolution d'équations linéaires présentée précédemment pour résoudre l'équation,\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

      .
    Pour isoler le terme x, soustrayez-le\(\frac{1}{2}\) des deux côtés. .
    Simplifiez le côté gauche. .
    Changez les constantes en fractions équivalentes à l'aide de l'écran LCD. .
    Soustraire. .
    Multipliez les deux côtés par l'inverse de\(\frac{1}{8}\). .
    Simplifiez. .
    Tableau\(\PageIndex{1}\)

    Cette méthode a bien fonctionné, mais de nombreux étudiants ne se sentent pas très confiants lorsqu'ils voient toutes ces fractions. Nous allons donc montrer une méthode alternative pour résoudre des équations avec des fractions. Cette méthode alternative élimine les fractions.

    Nous appliquerons la propriété de multiplication de l'égalité et multiplierons les deux côtés d'une équation par le plus petit dénominateur commun de toutes les fractions de l'équation. Le résultat de cette opération sera une nouvelle équation, équivalente à la première, mais sans fractions. Ce processus est appelé « effacement » de l'équation des fractions.

    Résolvons une équation similaire, mais cette fois, utilisons la méthode qui élimine les fractions.

    Exercice\(\PageIndex{1}\): How to Solve Equations with Fraction Coefficients

    Résoudre :\(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)

    Réponse

    Cette figure est un tableau composé de trois colonnes et de trois lignes. La première colonne est une colonne d'en-tête qui contient les noms et les numéros de chaque étape. La deuxième colonne contient d'autres instructions écrites. La troisième colonne contient des données mathématiques. Dans la rangée supérieure du tableau, la première cellule de gauche se lit comme suit : « Étape 1. Trouvez le plus petit dénominateur commun de toutes les fractions de l'équation. » Le texte de la deuxième cellule se lit comme suit : « Qu'est-ce que l'écran LCD de 1/6, 1/3 et 5/6 ? » La troisième cellule contient l'équation un sixième y moins 1/3 égale 5/6, avec LCD égal à 6 écrit à côté.Dans la deuxième rangée du tableau, la première cellule indique : « Étape 2. Multipliez les deux côtés de l'équation par cet écran LCD. Cela efface les fractions. » Dans la deuxième cellule, les instructions indiquent : « Multipliez les deux côtés de l'équation par l'écran LCD 6. Utilisez la propriété distributive. Simplifiez et remarquez qu'il n'y a plus de fractions ! » La troisième cellule contient l'équation 6 fois un sixième y moins 1/3, avec un sixième y moins 1/3 entre parenthèses, équivaut à 6 fois 5/6, avec « 6 fois » écrit en rouge des deux côtés. En dessous se trouve la même équation avec le 6 réparti des deux côtés : 6 fois un sixième y moins 6 fois 1/3 équivaut à 6 fois 5/6. En dessous se trouve l'équation y moins 2 égale 5.Dans la troisième rangée du tableau, la première cellule indique : « Étape 3. Résolvez en utilisant la stratégie générale pour résoudre des équations linéaires. » Dans la deuxième cellule, les instructions indiquent : « Isolez le terme x, ajoutez 2. Simplifiez. » La troisième cellule contient l'équation avec 2 ajouté des deux côtés : y moins 2 plus 2 équivaut à 5 plus 2, avec « plus 2 » écrit en rouge des deux côtés. En dessous se trouve l'équation y égale 7.

    Exercice\(\PageIndex{2}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\)

    Réponse

    \(x= \frac{1}{2}\)

    Exercice\(\PageIndex{3}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

    Réponse

    \(x = -2\)

    Remarquez que dans l'exercice\(\PageIndex{1}\), une fois que nous avons effacé l'équation des fractions, l'équation était similaire à celles que nous avons résolues plus tôt dans ce chapitre. Nous avons remplacé le problème par un problème que nous savions déjà résoudre ! Nous avons ensuite utilisé la stratégie générale pour résoudre des équations linéaires.

    STRATÉGIE POUR RÉSOUDRE DES ÉQUATIONS À COEFFICIENTS DE FRACTION
    1. Détermine le plus petit dénominateur commun de toutes les fractions de l'équation.
    2. Multipliez les deux côtés de l'équation par cet écran LCD. Cela efface les fractions.
    3. Résolvez en utilisant la stratégie générale de résolution d'équations linéaires.
    Exercice\(\PageIndex{4}\)

    Résoudre :\(6 = \frac{1}{2}v + \frac{2}{5}v - \frac{3}{4}v\)

    Réponse

    Nous voulons effacer les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD de toutes les fractions de l'équation.

    Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'équation. .
    L'écran LCD est de 20.  
    Multipliez les deux côtés de l'équation par 20. .
    Distribuez. .
    Simplifiez-vous : remarquez qu'il n'y a plus de fractions ! .
    Combinez les mêmes termes. .
    Divisez par 3. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit v = 40. .  
      .  
      .  
    Exercice\(\PageIndex{5}\)

    Résoudre :\(7 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x - \frac{2}{3}x\)

    Réponse

    \(x = 12\)

    Exercice\(\PageIndex{6}\)

    Résoudre :\(-1 = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}u - \frac{2}{3}u\)

    Réponse

    \(u = -12\)

    Dans l'exemple suivant, nous avons à nouveau des variables des deux côtés de l'équation.

    Exercice\(\PageIndex{7}\)

    Résoudre :\(a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}a - \frac{1}{2}\)

    Réponse
      .
    Trouvez l'écran LCD de toutes les fractions de l'équation.
    L'écran LCD est de 8.    		  
    Multipliez les deux côtés par l'écran LCD. .
    Distribuez. .
    Simplifiez-vous : plus de fractions. .
    Soustrayez 3a3a des deux côtés. .
    Simplifiez. .
    Soustrayez 6 des deux côtés. .
    Simplifiez. .
    Divisez par 5. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit a=−2. .  
      .  
      .  
      .  
    Exercice\(\PageIndex{8}\)

    Résoudre :\(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}\)

    Réponse

    \(x = -1\)

    Exercice\(\PageIndex{9}\)

    Résoudre :\(c + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\)

    Réponse

    \(c = -2\)

    Dans l'exemple suivant, nous commençons par utiliser la propriété distributive. Cette étape efface immédiatement les fractions.

    Exercice\(\PageIndex{10}\)

    Résoudre :\(-5 = \frac{1}{4}(8x + 4)\)

    Réponse
      .
    Distribuez. .
    Simplifiez.
    Maintenant, il n'y a plus de fractions.    		 .
    Soustrayez 1 des deux côtés. .
    Simplifiez. .
    Divisez par 2. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit x=−3. .  
      .  
      .  
      .  
    Exercice\(\PageIndex{11}\)

    Résoudre :\(-11 = \frac{1}{2}(6p + 2)\)

    Réponse

    \(p = -4\)

    Exercice\(\PageIndex{12}\)

    Résoudre :\(8 = \frac{1}{3}(9q + 6)\)

    Réponse

    \(q = 2\)

    Dans l'exemple suivant, même après distribution, nous avons encore des fractions à effacer.

    Exercice\(\PageIndex{13}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{2}(y - 5) = \frac{1}{4}(y - 1)\)

    Réponse
      .
    Distribuez. .
    Simplifiez. .
    Multipliez par l'écran LCD, 4. .
    Distribuez. .
    Simplifiez. .
    Collectez les variables sur la gauche. .
    Simplifiez. .
    Collectez les constantes sur la droite. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit y = 9. .  
    Terminez la vérification vous-même.
    Exercice\(\PageIndex{14}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{5}(n + 3) = \frac{1}{4}(n + 2)\)

    Réponse

    \(n = 2\)

    Exercice\(\PageIndex{15}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{2}(m - 3) = \frac{1}{4}(m - 7)\)

    Réponse

    \(m = -1\)

    Exercice\(\PageIndex{16}\)

    Résoudre :\(\frac{5x - 3}{4} = \frac{x}{2}\)

    Réponse
      .
    Multipliez par l'écran LCD, 4. .
    Simplifiez. .
    Collectez les variables sur la droite. .
    Simplifiez. .
    Diviser. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit x = 1. .  
      .  
      .  
    Exercice\(\PageIndex{17}\)

    Résoudre :\(\frac{4y - 7}{3} = \frac{y}{6}\)

    Réponse

    \(y = 2\)

    Exercice\(\PageIndex{18}\)

    Résoudre :\(\frac{-2z - 5}{4} = \frac{z}{8}\)

    Réponse

    \(z = -2\)

    Exercice\(\PageIndex{19}\)

    Résoudre :\(\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3\)

    Réponse
      .
    Multipliez par l'écran LCD, 12. .
    Distribuez. .
    Simplifiez. .
    Collectez les variables sur la droite. .
    Simplifiez. .
    Collectez les constantes sur la gauche. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit a=−12. .  
      .  
      .  
    Exercice\(\PageIndex{20}\)

    Résoudre :\(\frac{b}{10} + 2 = \frac{b}{4} + 5\)

    Réponse

    \(b = -20\)

    Exercice\(\PageIndex{21}\)

    Résoudre :\(\frac{c}{6} + 3 = \frac{c}{3} + 4\)

    Réponse

    \(c= -6\)

    Exercice\(\PageIndex{22}\)

    Résoudre :\(\frac{4q + 3}{2}+ 6 = \frac{3q + 5}{4}\)

    Réponse
      .
    Multipliez par l'écran LCD, 4. .
    Distribuez. .
    Simplifiez. .
    .
    .
    Collectez les variables sur la gauche. .
    Simplifiez. .
    Collectez les constantes sur la droite. .
    Simplifiez. .
    Divisez par 5. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : .  
    Soit q=−5. .  
    Terminez la vérification vous-même.
    Exercice\(\PageIndex{23}\)

    Résoudre :\(\frac{3r + 5}{6}+ 1 = \frac{4r + 3}{3}\)

    Réponse

    \(r = 1\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\)

    Résoudre :\(\frac{2s + 3}{2}+ 1 = \frac{3s + 2}{4}\)

    Réponse

    \(s = -8\)

    Résoudre des équations avec des coefficients

    Certaines équations contiennent des décimales. Ce type d'équation se produira lorsque nous résoudrons des problèmes liés à l'argent ou aux pourcentages. Mais les décimales peuvent également être exprimées sous forme de fractions. Par exemple,\(0.3 = \frac{3}{10}\) et\(0.17 = \frac{17}{100}\). Ainsi, avec une équation avec des décimales, nous pouvons utiliser la même méthode que celle que nous avons utilisée pour effacer les fractions : multiplier les deux côtés de l'équation par le plus petit dénominateur commun.

    Exercice\(\PageIndex{25}\)

    Résoudre :\(0.06x + 0.02 = 0.25x - 1.5\)

    Réponse

    Regardez les décimales et pensez aux fractions équivalentes.

    \(0.06 = \frac { 6 } { 100 } \quad 0.02 = \frac { 2 } { 100 } \quad 0.25 = \frac { 25 } { 100 } \quad 1.5 = 1 \frac { 5 } { 10 }\)

    Remarquez que l'écran LCD est de 100.

    En multipliant par l'écran LCD, nous supprimerons les décimales de l'équation.

      .
    Multipliez les deux côtés par 100. .
    Distribuez. .
    Multipliez, et maintenant nous n'avons plus de décimales. .
    Collectez les variables sur la droite. .
    Simplifiez. .
    Collectez les variables sur la droite. .
    Simplifiez. .
    Divisez par 19. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez : Soit x=8
    .    		  
    Exercice\(\PageIndex{26}\)

    Résoudre :\(0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4\)

    Réponse

    \(h = 12\)

    Exercice\(\PageIndex{27}\)

    Résoudre :\(0.65k - 0.1 = 0.4k - 0.35\)

    Réponse

    \(k = -1\)

    L'exemple suivant utilise une équation typique des applications monétaires du chapitre suivant. Notez que nous distribuons la décimale avant d'effacer toutes les décimales.

    Exercice\(\PageIndex{28}\)

    Résoudre :\(0.25x + 0.05(x + 3) = 2.85\)

    Réponse
      .
    Distribuez d'abord. .
    Combinez les mêmes termes. .
    Pour effacer les décimales, multipliez par 100. .
    Distribuez. .
    Soustrayez 15 des deux côtés. .
    Simplifiez. .
    Divisez par 30. .
    Simplifiez. .
    Vérifiez-le vous-même en remplaçant x=9 dans l'équation d'origine.
    Exercice\(\PageIndex{29}\)

    Résoudre :\(0.25n + 0.05(n + 5) = 2.95\)

    Réponse

    \(n = 9\)

    Exercice\(\PageIndex{30}\)

    Résoudre :\(0.10d + 0.05(d -5) = 2.15\)

    Réponse

    \(d = 16\)

    Concepts clés

    • Stratégie pour résoudre une équation avec des coefficients de fraction
      1. Détermine le plus petit dénominateur commun de toutes les fractions de l'équation.
      2. Multipliez les deux côtés de l'équation par cet écran LCD. Cela efface les fractions.
      3. Résolvez en utilisant la stratégie générale de résolution d'équations linéaires.