2.2 : Résoudre des équations en utilisant les propriétés de division et de multiplication de l'égalité
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Résolvez des équations à l'aide des propriétés de division et de multiplication
- Résolvez des équations à simplifier
- Traduisez en une équation et résolvez
- Traduire et résoudre des applications
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Simplifiez :\(−7(\frac{1}{-7})\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.13. - Évaluez\(9x+2\) quand\(x=−3\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.5.34.
Résolvez des équations à l'aide des propriétés de division et de multiplication
Vous avez peut-être remarqué que toutes les équations que nous avons résolues jusqu'à présent étaient de la forme\(x+a=b\) ou\(x−a=b\). Nous avons pu isoler la variable en ajoutant ou en soustrayant le terme constant sur le côté de l'équation avec la variable. Nous allons maintenant voir comment résoudre des équations qui ont une variable multipliée par une constante et qui nécessiteront donc une division pour isoler la variable.
Regardons à nouveau notre puzzle avec les enveloppes et les compteurs de la figure\(\PageIndex{1}\).
Dans l'illustration, deux enveloppes identiques contiennent le même nombre de compteurs. N'oubliez pas que le côté gauche de l'espace de travail doit être égal au côté droit, mais que les compteurs du côté gauche sont « cachés » dans les enveloppes. Alors, combien de compteurs y a-t-il dans chaque enveloppe ?
Comment déterminer le nombre ? Nous devons séparer les comptoirs du côté droit en deux groupes de même taille pour correspondre aux deux enveloppes du côté gauche. Les 6 compteurs divisés en 2 groupes égaux donnent 3 compteurs dans chaque groupe (depuis\(6\div 2=3\)).
Quelle équation modélise la situation illustrée dans la Figure\(\PageIndex{2}\) ? Il y a deux enveloppes, chacune contenant xx compteurs. Ensemble, les deux enveloppes doivent contenir au total 6 compteurs.
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| Si nous divisons les deux côtés de l'équation par 2, comme nous l'avons fait pour les enveloppes et les compteurs, |  |
| nous obtenons : |  |
Nous avons constaté que chaque enveloppe contient 3 compteurs. Est-ce que cela vérifie ? Nous le savons\(2\cdot 3=6\), donc ça marche ! Trois pions dans chacune des deux enveloppes font six !
Cet exemple mène à la Division Property of Equality.
Pour tous les nombres a, b et c, et\(c\neq 0\),
\[\begin{array} {llll} {\text { If }} &{a} &{=} &{b} \\ {\text {then}} & {\frac { a } { c }} &{=} &{\frac { b } { c }} \end{array}\]
Lorsque vous divisez les deux côtés d'une équation par un nombre différent de zéro, vous obtenez toujours l'égalité.
L'activité de mathématiques manipulatrices « Propriété de division de l'égalité » vous aidera à mieux comprendre comment résoudre des équations à l'aide de la propriété de division de l'égalité.
L'objectif de la résolution d'une équation est d' « annuler » l'opération sur la variable. Dans l'exemple suivant, la variable est multipliée par 5, nous allons donc diviser les deux côtés par 5 pour « annuler » la multiplication.
Résoudre :\(5x=−27\).
- Réponse
-
Pour isoler x, « annulez » la multiplication par 5. 
Divisez pour « annuler » la multiplication. 
Simplifiez. 
Vérifiez : 
Substitut\(-\frac{27}{5}\) de x. 
Puisqu'il s'agit d'une déclaration vraie,\(x = -\frac{27}{5}\)
est la solution à\(5x=−27\).
Résoudre :\(3y=−41\).
- Réponse
-
\(y = -\frac{41}{3}\)
Résoudre :\(4z=−55\).
- Réponse
-
\(y = -\frac{55}{4}\)
Considérez l'équation\(\frac{x}{4} = 3\). Nous voulons savoir quel nombre divisé par 4 donne 3. Donc, pour « annuler » la division, il faudra multiplier par 4. La propriété de multiplication de l'égalité nous permettra de le faire. Cette propriété indique que si nous commençons par deux quantités égales et que nous multiplions les deux par le même nombre, les résultats sont égaux.
Pour tous les nombres a, b et c,
\[\begin{array} {llll} {\text {If}} &{a} & {=} &{b} \\ {\text {then}} &{a c} &{=} &{b c} \end{array}\]
Si vous multipliez les deux côtés d'une équation par le même nombre, vous obtenez toujours l'égalité.
Résoudre :\(\frac{y}{-7} = -14\)
- Réponse
-
Ici y est divisé par −7. Il faut multiplier par −7 pour isoler y.
Multipliez les deux côtés par −7. 
Multipliez. 
Simplifiez. 
Vérifiez :\(\frac{y}{-7} = -14\) Substitut y=98. 
Diviser. 
Résoudre :\(\frac{a}{-7} = -42\)
- Réponse
-
\(a = 294\)
Résoudre :\(\frac{b}{-6} = -24\)
- Réponse
-
\(b = 144\)
Résoudre :\(-n = 9\)
- Réponse
-
N'oubliez pas que −n est équivalent à −1n. 
Divisez les deux côtés par −1. 
Diviser. 
Notez qu'il existe deux autres manières de résoudre −n=9. Nous pouvons également résoudre cette équation en multipliant les deux côtés par -1 et également en prenant l'opposé des deux côtés. Vérifiez : 
Substitut n=−9. 
Simplifiez. 
Résoudre :\(−k=8\).
- Réponse
-
\(k = -8\)
Résoudre :\(−g=3\).
- Réponse
-
\(g = -3\)
Résoudre :\(\frac{3}{4}x = 12\)
- Réponse
-
Puisque le produit d'un nombre et de son inverse est 1, notre stratégie sera d'isoler x en le multipliant par l'inverse de\(\frac{3}{4}\).
Multipliez par l'inverse de\(\frac{3}{4}\). 
Les réciproques se multiplient à 1. 
Multipliez. 
Notez que nous aurions pu diviser les deux côtés de l'équation\(\frac{3}{4}x = 12\) par\(\frac{3}{4}\) pour isoler x. Bien que cela fonctionne, la plupart des gens trouveraient plus facile de multiplier par l'inverse. Vérifiez : 
Substitut\(x=16\). 
Résoudre :\(\frac{2}{5}n=14\).
- Réponse
-
\(n = 35\)
Résoudre :\(\frac{5}{6}y=15\).
- Réponse
-
\(y = 18\)
Dans l'exemple suivant, tous les termes variables se trouvent sur le côté droit de l'équation. Comme toujours, notre objectif en résolvant l'équation est d'isoler la variable.
Résoudre :\(\frac{8}{15} = -\frac{4}{5}x\)
- Réponse
-
Multipliez par l'inverse de\(-\frac{4}{5}\). 
Les réciproques se multiplient à 1. 
Multipliez. 
Vérifiez : 
Laissez\(x = -\frac{2}{3}\). 
Résoudre :\(\frac{9}{25} = -\frac{4}{5}z\)
- Réponse
-
\(z = - \frac{9}{5}\)
\(\frac{5}{6} = -\frac{8}{3}r\)
- Réponse
-
\(r = -\frac{5}{16}\)
Résolvez des équations à simplifier
De nombreuses équations commencent par être plus compliquées que celles avec lesquelles nous avons travaillé.
Avec ces équations plus complexes, la première étape consiste à simplifier les deux côtés de l'équation autant que possible. Cela implique généralement de combiner des termes similaires ou d'utiliser la propriété distributive.
Résoudre :\(14−23=12y−4y−5y\).
- Réponse
-
Commencez par simplifier chaque côté de l'équation.
Simplifiez chaque côté. 
Divisez les deux côtés par 3 pour isoler y. 
Diviser. 
Vérifiez : 
Substitut\(y=−3\). 
Résoudre :\(18−27=15c−9c−3c\).
- Réponse
-
\(c=−3\)
Résoudre :\(18−22=12x−x−4x\).
- Réponse
-
\(x = -\frac{4}{7}\)
Résoudre :\(−4(a−3)−7=25\).
- Réponse
-
Ici, nous allons simplifier chaque côté de l'équation en utilisant d'abord la propriété distributive.
Distribuez. 
Simplifiez. 
Simplifiez. 
Divisez les deux côtés par\(-4\) pour isoler un. 
Diviser. 
Vérifiez : 
substitut\(a = -5\) 
Résoudre :\(−4(q−2)−8=24\).
- Réponse
-
\(q=−6\)
Résoudre :\(−6(r−2)−12=30\).
- Réponse
-
\(r=−5\)
Nous avons maintenant abordé les quatre propriétés de l'égalité : soustraction, addition, division et multiplication. Nous les listerons tous ensemble ici pour faciliter la consultation.
Lorsque vous ajoutez, soustrayez, multipliez ou divisez la même quantité des deux côtés d'une équation, vous obtenez toujours l'égalité.
\ [\ begin {array} {ll} {\ textbf {Propriété de soustraction d'égalité}} & {\ textbf {Propriété d'égalité d'addition}} \ \
{\ text {Pour tous les nombres réels a, b et c,}} & {\ text {Pour tous les nombres réels a, b et c,}}
\ \ {\ text {if} a = b,} et {\ text {if} a = b,}
\ \ {\ text {puis} a - c = b - c} & {\ text {then} a + c = b + c}
\ \ {\ textbf {Propriété de division de l'égalité}} & {\ textbf {Propriété de multiplication de l'égalité}} \ \
{\ text {Pour tous les nombres réels a, b et c,}} & {\ text {Pour tous les nombres réels a, b et c,}}
\ \ {\ text {si} a = b,} et {\ text {if} a = b,}
\ \ {\ text {alors} a - c = b - c} & {\ text {alors} a + c = b + c}
\ end {tableau} \]
Lorsque vous ajoutez, soustrayez, multipliez ou divisez la même quantité des deux côtés d'une équation, vous obtenez toujours l'égalité.
Traduisez en une équation et résolvez
Dans les prochains exemples, nous allons traduire des phrases en équations, puis résoudre les équations. Vous pouvez consulter le tableau de traduction du chapitre précédent.
Traduire et résoudre : Le nombre 143 est le produit de −11 et y.
- Réponse
-
Traduisez. 
Divisez par −11. 
Simplifiez. 
Vérifiez :
\[\begin{array} {lll} {143} &{=} &{-11y} \\ {143} &{\stackrel{?}{=}} &{-11(-13)} \\ {143} &{=} &{143\checkmark} \end{array}\]
Traduire et résoudre : Le nombre 132 est le produit de −12 et y.
- Réponse
-
132 = −12 ans ; y = −11
Traduire et résoudre : Le nombre 117 est le produit de −13 et z.
- Réponse
-
117 = − 13 z ; z = −9
Traduire et résoudre : n divisé par 8 vaut −32.
- Réponse
-
Commencez par traduire la phrase en équation.
Traduire.
Multipliez les deux côtés par 8. 
Simplifiez. 
Vérifiez : Est-ce que nn divisé par 8 est égal à −32 ? Laissez\(n=−256\). Est-ce que −256 divisé par 88 est égal à −32 ? Traduisez. \(\frac{-256}{8} \stackrel{?}{=} -32\) Simplifiez. \(−32=−32\checkmark\)
Traduire et résoudre : nn divisé par 7 est égal à −21.
- Réponse
-
\(\frac{n}{7}=−21; n=−147\)
Traduire et résoudre : n divisé par 8 est égal à −56.
- Réponse
-
\(\frac{n}{8}=−56;n=−448\)
Traduire et résoudre : Le quotient de yy et −4 est de 68.
- Réponse
-
Commencez par traduire la phrase en équation.
Traduisez. 
Multipliez les deux côtés par -4. 
Simplifiez. 
Vérifiez : Le quotient de y et −4 est-il égal à 68 ? Soit y=−272. Le quotient de −272 et −4 est-il égal à 68 ? Traduisez. \(\frac{-272}{-4} \stackrel{?}{=} 68\) Simplifiez. \(68 = 68\checkmark\)
Traduire et résoudre : Le quotient de q et −8 est de 72.
- Réponse
-
\(\frac{q}{-8}=72;q=−576\)
Traduire et résoudre : Le quotient de p et −9 est de 81.
- Réponse
-
\(\frac{p}{-9}=81;p=−729\)
Traduisez et résolvez : Les trois quarts de p font 18.
- Réponse
-
Commencez par traduire la phrase en équation. N'oubliez pas que « de » se traduit par une multiplication.
Traduisez. 
Multipliez les deux côtés par\(\frac{4}{3}\). 
Simplifiez. 
Vérifiez : Les trois quarts de p sont-ils égaux à 18 ? Soit p = 24. Les trois quarts de 24 sont-ils égaux à 18 ? Traduisez. \(\frac{3}{4}\cdot 24 \stackrel{?}{=} 18\) Simplifiez. \(18=18\checkmark\)
Traduisez et résolvez : Les deux cinquièmes de f font 16.
- Réponse
-
\(\frac{2}{5}f=16; f=40\)
Traduisez et résolvez : Les trois quarts de f font 21.
- Réponse
-
\(\frac{3}{4}f=21; f=28\)
Traduire et résoudre : La somme des trois huitièmes et de x est égale à la moitié.
- Réponse
-
Commencez par traduire la phrase en équation.
Traduisez. 
Soustrayez\(\frac{3}{8}\) de chaque côté. 
Simplifiez et réécrivez les fractions avec des dénominateurs communs. 
Simplifiez. 
Vérifiez : La somme des trois huitièmes et de x est-elle égale à la moitié ? Laissez\(x=\frac{1}{8}\). La somme des trois huitièmes et d'un huitième est-elle égale à la moitié ? Traduisez. \(\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\) Simplifiez. \(\frac{4}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\) Simplifiez. \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \checkmark\)
Traduire et résoudre : La somme des cinq huitièmes et de x est égale à un quart.
- Réponse
-
\(\frac{5}{8} + x = \frac{1}{4}; x = -\frac{3}{8}\)
Traduire et résoudre : La somme des trois quarts et de x est égale à cinq sixièmes.
- Réponse
-
\(\frac{3}{4} + x = \frac{5}{6}; x = \frac{1}{12}\)
Traduire et résoudre des applications
Pour résoudre des applications à l'aide des propriétés de division et de multiplication de l'égalité, nous allons suivre les mêmes étapes que celles utilisées dans la section précédente. Nous allons reformuler le problème en une seule phrase, attribuer une variable, puis traduire la phrase en une équation à résoudre.
Denae a acheté 6 livres de raisins pour 10,74$. Quel était le coût d'une livre de raisin ?
- Réponse
-
\[\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The cost of 1 pound of grapes}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let c = the cost of one pound.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{\text{The cost of 6 pounds is }$10.74} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{6c = 10.74} \\ {\text{Solve.}} &{\frac{6c}{c} = \frac{10.74}{6}} \\ {} &{c = 1.79} \\\\ {} &{\text{The grapes cost }$ 1.79 \text{ per pound.}} \\ \\ {\text{Check: If one pound costs }$1.79, do} &{} \\ {\text{6 pounds cost }$ 10.74?} &{} \\\\ {6(1.79) \stackrel{?}{=} 10.74} &{} \\ {10.74 = 10.74\checkmark} &{} \end{array}\]
Traduisez et résolvez :
Arianna a acheté un paquet de 24 bouteilles d'eau pour 9,36$. Quel était le prix d'une bouteille d'eau ?
- Réponse
-
0,39$
Traduisez et résolvez :
Au JB's Bowling Alley, 6 personnes peuvent jouer sur une voie pour 34,98$. Quel est le coût pour chaque personne ?
- Réponse
-
5,83$
Andreas a acheté une voiture d'occasion pour 12 000$. Comme la voiture avait 4 ans, son prix était le même que celui\(\frac{3}{4}\) d'origine, lorsque la voiture était neuve. Quel était le prix initial de la voiture ?
- Réponse
-
\[\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The original price of the car}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let p = the original price.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{$12000\text{ is }\frac{3}{4} \text{ of the original price.}} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{12000 = \frac{3}{4}p} \\ {} &{\frac{3}{4}(12000) = \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}p}\\ {}&{16000 = p} \\{\text{Solve.}} &{} \\\\ {} &{\text{The original cost of the car was }$ 16000.} \\ \\ {\text{Check: Is }\frac{3}{4} \text{ of }$16000 \text{ equal to }$12000} &{} \\\\ {\frac{3}{4}\cdot 16000 \stackrel{?}{=} 12000} &{} \\ {12000 = 12000\checkmark} &{} \end{array}\]
Traduisez et résolvez :
L'impôt foncier annuel sur la maison du Mehta est de 1 800 dollars, calculé sur la base\(\frac{15}{1000}\) de la valeur imposable de la maison. Quelle est la valeur estimée de la maison du Mehta ?
- Réponse
-
120 000$
Traduisez et résolvez :
Stella a planté 14 fleurs dans\(\frac{2}{3}\) son jardin. De combien de fleurs aurait-elle besoin pour remplir tout le jardin ?
- Réponse
-
21 appartements
Concepts clés
- La propriété d'égalité de division : pour tous les nombres a, b et c, et\(c\neq 0\), si\(a=b\), alors\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\).
Lorsque vous divisez les deux côtés d'une équation par un nombre différent de zéro, vous obtenez toujours l'égalité. - La propriété de multiplication de l'égalité : pour tous les nombres a, b et c, si\(a=b\), alors\(ac = bc\).
Si vous multipliez les deux côtés d'une équation par le même nombre, vous obtenez toujours l'égalité.