2.1 : Résoudre des équations en utilisant les propriétés de soustraction et d'addition de l'égalité
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Vérifier la solution d'une équation
- Résolvez des équations à l'aide des propriétés de soustraction et d'addition
- Résolvez des équations à simplifier
- Traduisez en une équation et résolvez
- Traduire et résoudre des applications
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Évaluez\(x+4\) quand\(x=−3\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.5.25. - Évaluez\(15−y\) quand\(y=−5\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.5.31. - Simplifiez\(4(4n+1)−15n\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.10.49. - Traduisez en algèbre « 5 est inférieur à x. »
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.3.43.
Vérifier la solution d'une équation
Résoudre une équation, c'est comme découvrir la réponse à un casse-tête. Le but de la résolution d'une équation est de trouver la ou les valeurs de la variable qui font que chaque côté de l'équation est identique, afin d'obtenir une déclaration vraie. Toute valeur de la variable qui rend l'équation vraie est appelée solution de l'équation. C'est la réponse au casse-tête !
La solution d'une équation est la valeur d'une variable qui fournit une déclaration vraie lorsqu'elle est substituée dans l'équation.
- Remplacez la variable dans l'équation par le nombre.
- Simplifiez les expressions des deux côtés de l'équation.
- Déterminez si l'équation résultante est vraie (le côté gauche est égal au côté droit)
- Si c'est vrai, le nombre est une solution.
- Si ce n'est pas vrai, le nombre n'est pas une solution.
Déterminez si\(x = \frac{3}{2}\) c'est une solution de\(4x−2=2x+1\).
- Réponse
-
Comme la solution d'une équation est la valeur de la variable qui rend l'équation vraie, commencez par remplacer la valeur de la solution par la variable.
\(4 x-2=2 x+1\) 
\(4\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)-2 \stackrel{?}{=} 2\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)+1\) Multipliez. \(6-2 \stackrel{?}{=} 3+1\) Soustraire. \(4=4 \checkmark \) Puisque\(x = \frac{3}{2}\) les résultats donnent une vraie équation (4 est en fait égal à 4),\(\frac{3}{2}\) est une solution à l'équation\(4x−2=2x+1\).
Est-ce\(y = \frac{4}{3}\) qu'une solution de\(9y+2=6y+3\) ?
- Réponse
-
non
Est-ce\(y = \frac{7}{5}\) qu'une solution de\(5y+3=10y-4\) ?
- Réponse
-
oui
Résolvez des équations à l'aide des propriétés de soustraction et d'addition
Nous allons utiliser un modèle pour clarifier le processus de résolution d'une équation. Une enveloppe représente la variable, puisque son contenu est inconnu, et chaque compteur en représente un. Nous déposerons une enveloppe et quelques comptoirs sur notre espace de travail, comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\). Les deux côtés de l'espace de travail comportent le même nombre de compteurs, mais certains compteurs sont « cachés » dans l'enveloppe. Pouvez-vous dire combien de compteurs se trouvent dans l'enveloppe ?
À quoi penses-tu ? Quelles mesures prenez-vous en tête pour savoir combien de compteurs se trouvent dans l'enveloppe ?
Vous pensez peut-être : « Je dois retirer les 3 compteurs en bas à gauche pour obtenir l'enveloppe toute seule. Les 3 pions de gauche peuvent être jumelés à 3 de droite, ce qui me permet de les éloigner des deux côtés. Il en reste cinq sur la droite. Il doit donc y avoir 5 compteurs dans l'enveloppe. » Voir la figure\(\PageIndex{2}\) pour une illustration de ce processus.
Quelle équation algébrique correspondrait à cette situation ? Dans la figure,\(\PageIndex{3}\) chaque côté de l'espace de travail représente une expression et la ligne centrale remplace le signe égal. Nous appellerons le contenu de l'enveloppe x.
Écrivons algébriquement les étapes que nous avons suivies pour découvrir combien de compteurs se trouvaient dans l'enveloppe :
 |
|
| Tout d'abord, nous en avons retiré trois de chaque côté. |  |
| Ensuite, il nous en restait cinq. |  |
Vérifiez :
Cinq dans l'enveloppe et trois de plus font huit !
\[5+3=8\]
Notre modèle nous a donné une idée de ce que nous devons faire pour résoudre un type d'équation. L'objectif est d'isoler la variable elle-même d'un côté de l'équation. Pour résoudre mathématiquement de telles équations, nous utilisons la propriété de soustraction de l'égalité.
Pour tous les nombres a, b et c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a - c = b - c} \end{array}\]
Lorsque vous soustrayez la même quantité des deux côtés d'une équation, vous obtenez toujours l'égalité.
L'activité de mathématiques manipulatrices « Propriété de soustraction de l'égalité » vous aidera à mieux comprendre comment résoudre des équations en utilisant la propriété de soustraction de l'égalité.
Voyons comment utiliser cette propriété pour résoudre une équation. N'oubliez pas que l'objectif est d'isoler la variable d'un côté de l'équation. Et nous vérifions nos solutions en substituant la valeur dans l'équation pour nous assurer que l'énoncé est vrai.
Résoudre :\(y+37=−13\).
- Réponse
-
Pour obtenir y par lui-même, nous annulerons l'ajout de 37 en utilisant la propriété de soustraction d'égalité.
Soustrayez 37 de chaque côté pour « annuler » l'addition. 
Simplifiez. 
Vérifiez : 
substitut\(y=−50\) 
Puisque y=−50 fait de y+37=−13 une déclaration vraie, nous avons la solution à cette équation.
Résoudre :\(x+19=−27\).
- Réponse
-
\(x=−46\)
Résoudre :\(x+16=−34\).
- Réponse
-
\(x=−50\)
Que se passe-t-il lorsqu'un nombre est soustrait de la variable dans une équation, comme dans l'équation\(x−5=8\) ? Nous utilisons une autre propriété des équations pour résoudre des équations où un nombre est soustrait de la variable. Nous voulons isoler la variable, donc pour « annuler » la soustraction, nous ajouterons le nombre des deux côtés. Nous utilisons la propriété d'addition d'égalité.
Pour tous les nombres a, b et c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a + c = b + c} \end{array}\]
Lorsque vous ajoutez la même quantité des deux côtés d'une équation, vous obtenez toujours l'égalité.
Dans l'exercice\(\PageIndex{4}\), 37 a été ajouté au y et nous avons donc soustrait 37 pour « annuler » l'ajout. Dans l'exercice\(\PageIndex{7}\), nous devrons « annuler » la soustraction en utilisant la propriété d'addition d'égalité.
Résoudre :\(a−28=−37\).
- Réponse
-
Ajoutez 28 de chaque côté pour « annuler » la soustraction. 
Simplifiez. 
Vérifiez : 
substitut\(a=−9\) 
La solution\(a−28=−37\) est\(a=−9\).
Résoudre :\(n−61=−75\).
- Réponse
-
\(n=−14\)
Résoudre :\(p−41=−73\).
- Réponse
-
\(p=−32\)
Résoudre :\(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\)
- Réponse
-
Utilisez la propriété Addition d'égalité. 
Trouvez l'écran LCD pour ajouter les fractions sur la droite. \(x-\frac{5}{8}+\frac{5}{8}=\frac{6}{8}+\frac{5}{8}\) Simplifiez. \(x=\frac{11}{8}\) Vérifiez : 
substitut\(x= \frac{11}{8}\) 
Soustraire. 
Simplifiez. 
La solution\(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\) est\(x= \frac{11}{8}\).
Résoudre :\(p−\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\).
- Réponse
-
\(p = \frac{9}{6} p =\frac{3}{2}\)
Résoudre :\(q−\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\).
- Réponse
-
\(q =\frac{4}{3}\)
L'exemple suivant sera une équation avec des décimales.
Résoudre :\(n−0.63=−4.2\).
- Réponse
-
\(n-0.63=-4.2\) Utilisez la propriété Addition d'égalité. 
Ajoutez. \(n=-3.57\) Vérifiez : \(n=-3.57\) Laissez\(n=−3.57\). 
Résoudre :\(b−0.47=−2.1\).
- Réponse
-
\(b=−1.63\)
Résoudre :\(c−0.93=−4.6\).
- Réponse
-
\(c=−3.67\)
Résolvez des équations à simplifier
Dans les exemples précédents, nous avons pu isoler la variable en une seule opération. La plupart des équations que nous rencontrons en algèbre nécessiteront plus d'étapes à résoudre. En général, nous devons simplifier l'un ou les deux côtés d'une équation avant d'utiliser les propriétés de soustraction ou d'addition de l'égalité.
Vous devez toujours simplifier autant que possible avant d'essayer d'isoler la variable. N'oubliez pas que simplifier une expression signifie effectuer toutes les opérations de l'expression. Simplifiez un côté de l'équation à la fois. Notez que la simplification est différente du processus utilisé pour résoudre une équation dans laquelle nous appliquons une opération aux deux côtés.
Résoudre :\(9x−5−8x−6=7\).
- Réponse
-
Résoudre :\(8y−4−7y−7=4\).
- Réponse
-
\(y=15\)
Résoudre :\(6z+5−5z−4=3\).
- Réponse
-
\(z=2\)
Résolvez : 5 (n−4) −4n=−8.
- Réponse
-
Nous simplifions les deux côtés de l'équation autant que possible avant d'essayer d'isoler la variable.
\(5(n-4)-4 n=-8\)
Répartissez sur la gauche. \(5 n-20-4 n=-8\) Utilisez la propriété de commutation pour réorganiser les termes. \(5 n-4 n-20=-8\) Combinez les mêmes termes. \(n-20=-8\) Chaque côté est aussi simplifié que possible. Ensuite, isolez n. Annulez la soustraction à l'aide de la propriété Addition d'égalité. \(n-20 \; \color{red}{+ 20} \;\color{black}{=-8}\; \color{red}{+20}\) Ajoutez. \(n=12\) Vérifiez. Substitut n = 12.
La solution\(5(n−4)−4n=−8\) est\(n=12\).
Résoudre :\(5(p−3)−4p=−10\).
- Réponse
-
\(p=5\)
Résoudre :\(4(q+2)−3q=−8\).
- Réponse
-
\(q=−16\)
Résoudre :\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\).
- Réponse
-
Nous simplifions les deux côtés de l'équation avant d'isoler la variable.
\(3(2 y-1)-5 y=2(y+1)-2(y+3)\) Répartir des deux côtés. \(6 y-3-5 y=2 y+2-2 y-6\) Utilisez la propriété commutative de l'addition. \(6 y-5 y-3=2 y-2 y+2-6\) Combinez les mêmes termes. \(y-3=-4\) Chaque côté est aussi simplifié que possible. Ensuite, isolez y. Annulez la soustraction à l'aide de la propriété Addition d'égalité. \(y-3 \color{red} + 3 \color{black} = -4 \color{red} +3\) Ajoutez. \(y=-1\) Vérifiez. Soit y=−1.
La solution\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\) est\(y=−1\).
Résoudre :\(4(2h−3)−7h=6(h−2)−6(h−1)\).
- Réponse
-
\(h = 6\)
Résoudre :\(2(5x+2)−9x=3(x−2)−3(x−4)\).
- Réponse
-
\(x=2\)
Traduisez en une équation et résolvez
Pour résoudre des applications de manière algébrique, nous allons commencer par traduire des phrases anglaises en équations. Notre première étape consiste à rechercher le mot (ou les mots) qui se traduirait par le signe égal. Voici certains des mots les plus couramment utilisés.
Égal =
- est
- est égal à
- est identique à
- le résultat est
- donne
- était
- sera
Les étapes que nous utilisons pour traduire une phrase en équation sont répertoriées ci-dessous.
- Localisez le ou les mots « égaux ». Traduisez en signe égal (=).
- Traduisez les mots situés à gauche du ou des mots « égaux » en une expression algébrique.
- Traduisez les mots situés à droite du ou des mots « égaux » en une expression algébrique.
Traduisez et résolvez : Onze de plus que x est égal à 54.
- Réponse
-
Traduire. 
Soustrayez 11 des deux côtés. 
Simplifiez. 
Check : Est-ce que 54 onze est plus que 43 ?
\[\begin{array} {rrr} {43 + 11} &{\stackrel{?}{=}} &{54}\\ {54} &{=} &{54\checkmark} \end{array}\]
Traduisez et résolvez : Dix de plus que x est égal à 41.
- Réponse
-
\(x+10=41;x=31\)
Traduire et résoudre : Douze de moins que x est égal à 51.
- Réponse
-
y−12 = 51 ; y=63
Traduire et résoudre : La différence entre 12t et 11t est de −14.
- Réponse
-
Traduire. 
Simplifiez. 
Vérifiez :
\[\begin{array} {rrl} {12(-14) - 11(-14)} &{\stackrel{?}{=}} &{-14}\\{-168 + 154} &{\stackrel{?}{=}} &{-14} \\ {-14} &{=} &{-14\checkmark}\end{array}\]
Traduisez et résolvez : La différence entre 4x et 3x est de 14.
- Réponse
-
\(4x−3x=14;x=14\)
Traduire et résoudre : La différence entre 7a et 6a est de −8.
- Réponse
-
\(7a−6a=−8;a=−8\)
Traduire et résoudre des applications
La plupart du temps, une question qui nécessite une solution algébrique provient d'une question réelle. Pour commencer, cette question est posée en anglais (ou dans la langue de la personne qui pose la question) et non en symboles mathématiques. C'est pourquoi il est important de pouvoir traduire une situation quotidienne en langage algébrique.
Nous allons commencer par reformuler le problème en une seule phrase, attribuer une variable, puis traduire la phrase en une équation à résoudre. Lorsque vous attribuez une variable, choisissez une lettre qui vous rappelle ce que vous recherchez. Par exemple, vous pouvez utiliser q pour le nombre de trimestres si vous souhaitez résoudre un problème concernant les pièces.
La famille MacIntyre a recyclé des journaux pendant deux mois. Les deux mois de journaux pesaient au total 57 livres. Le deuxième mois, les journaux pesaient 28 livres. Combien pesaient les journaux le premier mois ?
- Réponse
-
Traduisez en une équation algébrique et résolvez :
La famille Pappas a deux chats, Zeus et Athéna. Ensemble, ils pèsent 23 livres. Zeus pèse 16 livres. Combien pèse Athéna ?
- Réponse
-
7 livres
Traduisez en une équation algébrique et résolvez :
Sam et Henry sont colocataires. Ensemble, ils ont 68 livres. Sam a 26 livres. Combien de livres possède Henry ?
- Réponse
-
42 livres
- Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
- Traduisez en une équation. Il peut être utile de reformuler le problème en une phrase avec les informations importantes.
- Résolvez l'équation en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.
Randell a payé 28 675$ pour sa nouvelle voiture. C'était 875$ de moins que le prix de l'autocollant. Quel était le prix de l'autocollant de la voiture ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf {Step 1. Read}\text{ the problem. }} &{}\\\\ {\textbf {Step 2. Identify}\text{ what we are looking for.}} &{\text{"What was the sticker price of the car?"}} \\\\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let s = the sticker price of the car.}} \\\\{\textbf {Step 4. Translate}\text{ into an equation. Restate }} &{} \\ {\text{the problem in one sentence.}} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than the sticker price}} \\ \\ {} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than s}}\\ {}&{28675 = s - 875} \\ {\textbf {Step 5. Solve}\text{ the equation. }} &{28675 + 875 = s - 875 + 875}\\ {} &{29550 = s} \\ \\ {\textbf {Step 6. Check}\text{ the answer. }} &{} \\ {\text{Is }$875\text{ less than }$29550\text{ equal to } $28675?} &{} \\ {29550 - 875 \stackrel{?}{=} 28675} &{} \\ {28675 = 28675\checkmark} &{} \\ \\ {\textbf {Step 7. Answer}\text{ the question with }} &{\text{The sticker price of the car was }$29550.} \\ {\text{a complete sentence.}} &{} \end{array}\)
Traduisez en une équation algébrique et résolvez :
Eddie a payé 19875$ pour sa nouvelle voiture. C'était 1025$ de moins que le prix de l'autocollant. Quel était le prix de l'autocollant de la voiture ?
- Réponse
-
20 900$
Traduisez en une équation algébrique et résolvez :
Le prix d'entrée pour les films pendant la journée est de 7,75$. Cela représente 3,25$ moins le prix de la nuit. Combien coûte le film la nuit ?
- Réponse
-
11,00$
Concepts clés
- Pour déterminer si un nombre est la solution d'une équation
- Remplacez la variable dans l'équation par le nombre.
- Simplifiez les expressions des deux côtés de l'équation.
- Déterminez si l'énoncé obtenu est vrai.
- Si c'est vrai, le nombre est une solution.
- Si ce n'est pas vrai, le nombre n'est pas une solution.
- Propriété supplémentaire d'égalité
- Pour tous les nombres a, b et c, si a=b, alors a+c=b+c.
- Propriété de soustraction d'égalité
- Pour tous les nombres a, b et c, si a=b, alors a−c=b−c.
- Pour traduire une phrase en équation
- Localisez le ou les mots « égaux ». Traduisez par un signe égal (=).
- Traduisez les mots situés à gauche du ou des mots « égaux » en une expression algébrique.
- Traduisez les mots situés à droite du ou des mots « égaux » en une expression algébrique.
- Pour résoudre une demande
- Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
- Traduisez en une équation. Il peut être utile de reformuler le problème en une phrase avec les informations importantes.
- Résolvez l'équation en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.
Lexique
- solution d'une équation
- La solution d'une équation est la valeur d'une variable qui fournit une déclaration vraie lorsqu'elle est substituée dans l'équation.