11.3 : Paraboles
À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Tracez des paraboles verticales
- Tracez des paraboles horizontales
- Résoudre des applications avec des paraboles
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Graphique :y=−3x2+12x−12.
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.47. - Résolvez en complétant le carré :x2−6x+6=0.
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.12. - Écrivez sous forme standard :y=3x2−6x+5
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.59.
Diagramme de paraboles verticales
La prochaine section conique que nous allons examiner est une parabole. Nous définissons une parabole comme tous les points d'un plan qui se trouvent à la même distance d'un point fixe et d'une ligne fixe. Le point fixe est appelé foyer et la ligne fixe est appelée directrice de la parabole.
Une parabole est constituée de tous les points d'un plan situés à la même distance d'un point fixe et d'une ligne fixe. Le point fixe est appelé foyer et la ligne fixe est appelée directrice de la parabole.

Auparavant, nous avons appris à représenter graphiquement des paraboles verticales à partir du formulaire général ou du formulaire standard à l'aide de propriétés. Ces méthodes fonctionneront également ici. Nous allons résumer les propriétés ici.
Paraboles verticales
Formulaire général y=ax2+bx+c |
Formulaire standard y=a(x−h)2+k |
|
---|---|---|
Orientation | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >a>0 haut ;a<0 bas | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >a>0 haut ;a<0 bas |
Axe de symétrie | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >x=−b2a | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >x=h |
Sommet | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >Remplacezx=−b2a et résolvez pary. |
\ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >(h,k) |
y-intercepter | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >Laissezx=0 | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >Laissezx=0 |
x-intercepte | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >Laissezy=0 | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >Laissezy=0 |
Les graphiques montrent à quoi ressemblent les paraboles lorsqu'elles s'ouvrent vers le haut ou vers le bas. Leur position par rapport à l'axex - ou ày l'axe - n'est qu'un exemple.
Pour représenter graphiquement une parabole à partir de ces formes, nous avons utilisé les étapes suivantes.
Comment représenter graphiquement des paraboles verticalesy=ax2+bx+c ouf(x)=a(x−h)2+k utiliser les propriétés.
- Étape 1 : Déterminez si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.
- Étape 2 Trouvez l'axe de symétrie.
- Étape 3 Trouve le sommet.
- Étape 4. Trouvez ley -intercept. Trouvez le point symétrique par rapport à l'yintersection -sur l'axe de symétrie.
- Étape 5. Trouvez lesx -intercepts.
- Étape 6. Tracez la parabole.
L'exemple suivant passe en revue la méthode de représentation graphique d'une parabole à partir de la forme générale de son équation.
y=−x2+6x−8Tracez à l'aide de propriétés
Solution :
y=ax2+bx+cy=−x2+6x−8 | |
Depuis lorsa−1, la parabole s'ouvre vers le bas. | |
![]() |
|
Pour trouver l'axe de symétrie, trouvezx=−b2a. | x=−b2ax=−62(−1)x=3 |
L'axe de symétrie estx=3. | |
![]() |
|
Le sommet se trouve sur la lignex=3. | y=−x2+6x−8 |
Laissezx=3. | ![]() |
y=−9+18−8y=1 | |
Le sommet est(3,1). | |
![]() |
|
Ley -intercept se produit lorsquex=0. | y=−x2+6x−8 |
Substitutx=0. | y=−02+6⋅0−8 |
Simplifiez. | y=−8 |
Ley -intercept est(0,−8). | |
Le point(0,−8) se trouve à trois unités à gauche de la ligne de symétrie. Le point situé à trois unités à droite de la ligne de symétrie est(6,−8). | Le point symétrique par rapport à l'y-intercept est(6,−8). |
![]() |
|
Lex -intercept se produit lorsquey=0. | y=−x2+6x−8 |
Laissezy=0. | 0=−x2+6x−8 |
Tenez compte du GCF. | 0=−(x2−6x+8) |
Tenez compte du trinôme. | 0=−(x−4)(x−2) |
Résolvez pourx. | x=4,x=2 |
Lesx -intercepts sont(4,0),(2,0). | |
Tracez la parabole. | ![]() |
y=−x2+5x−6Tracez à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.24
y=−x2+8x−12Tracez à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.25
L'exemple suivant passe en revue la méthode de représentation graphique d'une parabole à partir de la forme standard de son équation,y=a(x−h)2+k.
Écrivezy=3x2−6x+5 sous forme standard, puis utilisez les propriétés de la forme standard pour représenter graphiquement l'équation.
Solution :
Réécrivez la fonctiony=a(x−h)2+k sous forme en complétant le carré. | y=3x2−6x+5y=3(x2−2x)+5y=3(x2−2x+1)+5−3y=3(x−1)2+2 |
Identifiez les constantesa,h,k. | a=3,h=1,k=2 |
Depuisa=2, la parabole s'ouvre vers le haut. | |
![]() |
|
L'axe de symétrie estx=h. | L'axe de symétrie estx=1. |
Le sommet est(h,k). | Le sommet est(1,2). |
Trouvez ley -intercept en le remplaçantx=0 par | y=3(x−1)2+2y=3⋅02−6⋅0+5y=0 |
y-intercepter(0,5) | |
Trouvez le point symétrique par rapport à(0,5) l'axe de symétrie. | (2,5) |
Trouvez lesx -intercepts. | y=3(x−1)2+20=3(x−1)2+2−2=3(x−1)2−23=(x−1)2±√−23=x−1 |
La racine carrée d'un nombre négatif nous indique que les solutions sont des nombres complexes. Il n'y a donc pasx d'interception. | |
Tracez la parabole. | ![]() |
- Écrivezy=2x2+4x+5 sous forme standard et
- utilisez les propriétés de la forme standard pour représenter graphiquement l'équation.
- Réponse
-
- y=2(x+1)2+3
Graphique 11.2.28
- Écrivezy=−2x2+8x−7 sous forme standard et
- utilisez les propriétés de la forme standard pour représenter graphiquement l'équation.
- Réponse
-
- y=−2(x−2)2+1
Graphique 11.2.29
Diagramme de paraboles horizontales
Jusqu'à présent, notre travail n'a porté que sur les paraboles qui s'ouvrent vers le haut ou vers le bas. Nous allons maintenant examiner les paraboles horizontales. Ces paraboles s'ouvrent soit vers la gauche soit vers la droite. Si nous échangeons lesx ety de nos équations précédentes contre des paraboles, nous obtenons les équations des paraboles qui s'ouvrent vers la gauche ou vers la droite.
Paraboles horizontales
Formulaire général x=ay2+by+c |
Formulaire standard x=a(y−k)2+h |
|
---|---|---|
Orientation | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >a>0 droite ;a<0 gauche | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >a>0 droite ;a<0 gauche |
Axe de symétrie | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >y=−b2a | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >y=k |
Sommet | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >Remplacezy=−b2a et résolvez parx. |
\ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >(h,k) |
x-intercepte | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >Laisserx=0 | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >Laissezx=0 |
y-intercepter | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >Laissery=0 | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >Laissezy=0 |
Les graphiques montrent à quoi ressemblent les paraboles lorsqu'elles se trouvent à gauche ou à droite. Leur position par rapport à l'axex - ou ày l'axe - n'est qu'un exemple.

En regardant ces paraboles, leurs graphes représentent-ils une fonction ? Comme les deux graphes échoueraient au test de la ligne verticale, ils ne représentent pas une fonction.
Tracer une parabole qui s'ouvre vers la gauche ou vers la droite est fondamentalement identique à ce que nous avons fait pour les paraboles qui s'ouvrent vers le haut ou vers le bas, avec l'inversion desy variablesx et.
- Étape 1 : Déterminez si la parabole s'ouvre vers la gauche ou vers la droite.
- Étape 2 : Trouvez l'axe de symétrie
- Étape 3 : Trouvez le sommet
- Étape 4 : Trouvez lex -intercept. Trouvez le point symétrique par rapport à l'xintersection -sur l'axe de symétrie.
- Étape 5 : Trouvez lesy -intercepts.
- Étape 6 : Tracez la parabole.
x=2y2Tracez à l'aide de propriétés
Solution :
![]() |
|
Depuisa=2, la parabole s'ouvre vers la droite. | |
![]() |
|
Pour trouver l'axe de symétrie, trouvezy=−b2a | y=−b2a |
y=−02(2) | |
y=0 | |
L'axe de symétrie esty=0. | |
Le sommet se trouve sur la ligney=0. | x=2y2 |
Laissezy=0. | ![]() |
x=0 | |
Le sommet est(0,0). |
Puisque le sommet est(0,0), lesy interceptionsx - et -sont toutes deux le point(0,0). Pour représenter graphiquement la parabole, nous avons besoin de plus de points. Dans ce cas, il est plus facile de choisir des valeurs dey.

Nous tracons également les points symétriquement par rapport à l'yaxe(2,1) -et à(8,2) travers celui-ci, les points(2,−1),(8,−2).
Tracez la parabole.

x=y2Tracez à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.40
x=−y2Tracez à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.41
Dans l'exemple suivant, le sommet n'est pas l'origine.
x=−y2+2y+8Tracez à l'aide de propriétés
Solution :
![]() |
|
Depuisa=−1, la parabole s'ouvre vers la gauche. | |
![]() |
|
Pour trouver l'axe de symétrie, trouvezy=−b2a |
y=−b2a |
y=−22(−1) | |
y=1 | |
L'axe de symétrie esty=1. | |
Le sommet se trouve sur la ligney=1. | x=−y2+2y+8 |
Laissezy=1. | ![]() |
x=9 | |
Le sommet est(9,1). | |
Lex -intercept se produit lorsquey=0. | x=−y2+2y+8 |
![]() |
|
x=8 | |
Lex -intercept est(8,0). | |
Le point(8,0) se trouve à une unité en dessous de la ligne de symétrie. Le point symétrique situé à une unité au-dessus de la ligne de symétrie est(8,2) |
Le point symétrique est(8,2). |
Ley -intercept se produit lorsquex=0. | x=−y2+2y+8 |
Substitutx=0. | 0=−y2+2y+8 |
Résoudre. | y2−2y−8=0 |
(y−4)(y+2)=0 | |
y=4,y=−2 | |
Lesy -intercepts sont(0,4) et(0,−2). | |
Reliez les points pour représenter graphiquement la parabole. | ![]() |
x=−y2−4y+12Tracez à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.58
x=−y2+2y−3Tracez à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.59
Dans le tableau 11.2.4, nous voyons la relation entre l'équation sous forme standard et les propriétés de la parabole. La zone Comment faire répertorie les étapes à suivre pour représenter graphiquement une parabole dans le formulaire standardx=a(y−k)2+h. Nous utiliserons cette procédure dans l'exemple suivant.
Graphex=2(y−2)2+1 à l'aide de propriétés
Solution :
![]() |
|
Identifiez les constantesa,h,k. | a=2,h=1,k=2 |
Depuisa=2, la parabole s'ouvre vers la droite. | |
![]() |
|
L'axe de symétrie esty=k. | L'axe de symétrie esty=2. |
Le sommet est(h,k). | Le sommet est(1,2). |
Trouvez lex -intercept en le remplaçanty=0. | x=2(y−2)2+1 x=2(0−2)2+1 x=9 |
Lex -intercept est(9,0). | |
Trouvez le point symétrique par rapport à(9,0) l'axe de symétrie. | (9,4) |
Trouvez lesy -intercepts. Laissezx=0. | x=2(y−2)2+10=2(y−2)2+1−1=2(y−2)2 |
Un carré ne peut pas être négatif, il n'y a donc pas de véritable solution. Il n'y a donc pasy d'interception. | |
Tracez la parabole. | ![]() |
Graphex=3(y−1)2+2 à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.63
Graphex=2(y−3)2+2 à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.64
Dans l'exemple suivant, nous remarquons que le a est négatif et que la parabole s'ouvre vers la gauche.
Graphex=−4(y+1)2+4 à l'aide de propriétés
Solution :
![]() |
|
Identifiez les constantesa,h,k. | a=−4,h=4,k=−1 |
Depuisa=−4, la parabole s'ouvre vers la gauche. | |
![]() |
|
L'axe de symétrie esty=k. | L'axe de symétrie esty=−1. |
Le sommet est(h,k). | Le sommet est(4,−1). |
Trouvez lex -intercept en le remplaçanty=0. | x=−4(y+1)2+4 x=−4(0+1)2+4 x=0 |
Lex -intercept est(0,0). | |
Trouvez le point symétrique par rapport à(0,0) l'axe de symétrie. | (0,−2) |
Trouvez lesy -intercepts. | x=−4(y+1)2+4 |
Laissezx=0. | 0=−4(y+1)2+4−4=−4(y+1)21=(y+1)2y+1=±1 |
y=−1+1y=−1−1 | |
y=0y=−2 | |
Lesy -intercepts sont(0,0) et(0,−2). | |
Tracez la parabole. | ![]() |
Graphex=−4(y+2)2+4 à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.68
Graphex=−2(y+3)2+2 à l'aide de propriétés
- Réponse
-
Graphique 11.2.69
L'exemple suivant exige que nous mettions d'abord l'équation sous forme standard, puis que nous utilisions les propriétés.
Écrivezx=2y2+12y+17 sous forme standard, puis utilisez les propriétés du formulaire standard pour représenter graphiquement l'équation.
Solution :
x=2y2+12y+17 | |
Réécrivez la fonctionx=a(y−k)2+h sous forme en complétant le carré. | x=2(y2+6y)+17 |
![]() |
|
x=2(y+3)2−1 | |
![]() |
|
Identifiez les constantesa,h,k. | a=2,h=−1,k=−3 |
Depuisa=2, la parabole s'ouvre vers la droite. | |
![]() |
|
L'axe de symétrie esty=k. | L'axe de symétrie esty=−3. |
Le sommet est(h,k). | Le sommet est(−1,−3). |
Trouvez lex -intercept en le remplaçanty=0. | x=2(y+3)2−1 x=2(0+3)2−1 x=17 |
Lex -intercept est(17,0). | |
Trouvez le point symétrique par rapport à(17,0) l'axe de symétrie. | (17,−6) |
Trouvez lesy -intercepts. Laissezx=0. |
x=2(y+3)2−10=2(y+3)2−11=2(y+3)212=(y+3)2y+3=±√12y=−3±√22 |
y=−3+√22y=−3−√22 | |
y≈−2.3y≈−3.7 | |
Lesy -intercepts sont(0,−3+√22),(0,−3−√22). | |
Tracez la parabole. | ![]() |
- Écrivezx=3y2+6y+7 sous forme standard et
- Utilisez les propriétés du formulaire standard pour représenter graphiquement l'équation.
- Réponse
-
- x=3(y+1)2+4
Graphique 11.2.77
- Écrivezx=−4y2−16y−12 sous forme standard et
- Utilisez les propriétés du formulaire standard pour représenter graphiquement l'équation.
- Réponse
-
- x=−4(y+2)2+4
Graphique 11.2.78
Résoudre des applications avec des paraboles
De nombreuses conceptions architecturales intègrent des paraboles. Il n'est pas rare que des ponts soient construits à l'aide de paraboles comme nous le verrons dans l'exemple suivant.
Trouvez l'équation de l'arc parabolique formé dans la fondation du pont illustré. Écrivez l'équation sous forme standard.

Solution :
Nous allons d'abord mettre en place un système de coordonnées et dessiner la parabole. Le graphique nous donnera les informations dont nous avons besoin pour écrire l'équation du graphique sous la forme standardy=a(x−h)2+k.
Laissez le côté inférieur gauche du pont être l'origine de la grille de coordonnées au point(0,0). Comme la base mesure les20 pieds de large, le point(20,0) représente le côté inférieur droit. Le pont mesure 10 pieds de haut au point le plus élevé. Le point le plus élevé est le sommet de la parabole, donc lay coordonnée -du |
![]() |
Identifiez le sommet,(h,k). | (h,k)=(10,10) |
h=10,k=10 | |
Remplacez les valeurs dans le formulaire standard. La valeur dea est encore inconnue. Pour trouver la valeur de,a utilisez l'un des autres points de la parabole. |
y=a(x−h)2+ky=a(x−10)2+10(x,y)=(0,0) |
Remplacez les valeurs de l'autre point dans l'équation. | y=a(x−10)2+10 0=a(0−10)2+10 |
Résolvez poura. | 0=a(0−10)2+10−10=a(−10)2−10=100a−10100=aa=−110 |
y=a(x−10)2+10 | |
Remplacez la valeur para dans l'équation. | y=−110(x−10)2+10 |
Trouvez l'équation de l'arc parabolique formé dans la fondation du pont illustré. Écrivez l'équation sous forme standard.

- Réponse
-
y=−120(x−20)2+20
Trouvez l'équation de l'arc parabolique formé dans la fondation du pont illustré. Écrivez l'équation sous forme standard.

- Réponse
-
y=−15x2+2xy=−15(x−5)2+5
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à utiliser les fonctions quadratiques et les paraboles.
- Fonctions quadratiques
- Introduction aux coniques et à la représentation graphique de paraboles horizontales
Concepts clés
- Parabole : Une parabole est constituée de tous les points d'un plan situés à la même distance d'un point fixe et d'une ligne fixe. Le point fixe est appelé foyer et la ligne fixe est appelée directrice de la parabole.
Paraboles verticales
Formulaire général y=ax2+bx+c |
Formulaire standard y=a(x−h)2+k |
|
---|---|---|
Orientation | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >a>0 haut ;a<0 bas | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >a>0 haut ;a<0 bas |
Axe de symétrie | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >x=−b2a | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >x=h |
Sommet | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >Remplacezx=−b2a et résolvez pary. |
\ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >(h,k) |
y-intercepter | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >Laissezx=0 | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >Laissezx=0 |
x-intercepte | \ (y=a x^ {2} +b x+c \) « >Laissezy=0 | \ (y=a (x-h) ^ {2} +k \) « >Laissezy=0 |
- Comment représenter graphiquement des paraboles verticalesy=ax2+bx+c ouf(x)=a(x−h)2+k) utiliser des propriétés
- Détermine si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.
- Trouvez l'axe de symétrie.
- Trouvez le sommet.
- Trouvez ley -intercept. Trouvez le point symétrique par rapport à l'yintersection -sur l'axe de symétrie.
- Trouvez lesx -intercepts.
- Tracez la parabole.
Paraboles horizontales
Formulaire général x=ay2+by+c |
Formulaire standard x=a(y−k)2+h |
|
---|---|---|
Orientation | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >a>0 droite ;a<0 gauche | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >a>0 droite ;a<0 gauche |
Axe de symétrie | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >y=−b2a | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >y=k |
Sommet | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >Remplacezy=−b2a et résolvez parx. |
\ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >(h,k) |
x-intercepte | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >Laisserx=0 | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >Laissezx=0 |
y-intercepter | \ (x=a y^ {2} +b y+c \) « >Laissery=0 | \ (x=a (y-k) ^ {2} +h \) « >Laissezy=0 |

Comment représenter graphiquement des paraboles horizontalesx=ay2+by+c oux=a(y−k)2+h utiliser des propriétés.
- Déterminez si la parabole s'ouvre vers la gauche ou vers la droite.
- Trouvez l'axe de symétrie.
- Trouvez le sommet.
- Trouvez lex -intercept. Trouvez le point symétrique par rapport à l'xintersection -sur l'axe de symétrie.
- Trouvez lesy -intercepts.
- Tracez la parabole.
Lexique
- parabole
- Une parabole est constituée de tous les points d'un plan situés à la même distance d'un point fixe et d'une ligne fixe.