5.2E : Exercices

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Déterminer le type de polynômes

Dans les exercices suivants, déterminez si le polynôme est un polynôme, un binôme, un trinôme ou un autre polynôme. Donnez également le degré de chaque polynôme.

1. ⓐ$47x^5−17x^2y^3+y^2$
ⓑ$5c^3+11c^2−c−8$
ⓒ$59ab+13b$
ⓓ$4$
ⓔ$4pq+17$

Réponse: ⓐ trinôme, degré 5
ⓑ autre polynôme, degré 3
ⓒ binôme, degré 2
ⓓ monomial, degré 0
ⓔ binôme, degré 2 binôme, degré 2

2. ⓐ$x^2−y^2$
ⓑ$−13c^4$
ⓒ$a^2+2ab−7b^2$
ⓓ$4x^2y^2−3xy+8$
ⓔ$19$

3. ⓐ$8y−5x$
ⓑ$y^2−5yz−6z^2$
ⓒ$y^3−8y^2+2y−16$
ⓓ$81ab^4−24a^2b^2+3b$
ⓔ$−18$

Réponse: ⓐ binôme, degré 1
ⓑ trinôme, degré 2
ⓒ autre polynôme, degré 3
ⓓ trinôme, degré 5
ⓔ monomial, degré 0

4. ⓐ$11y^2$
ⓑ$−73$
ⓒ$6x^2−3xy+4x−2y+y^2$
ⓓ$4y^2+17z^2$
ⓔ$5c^3+11c^2−c−8$

5. ⓐ$5a^2+12ab−7b^2$
ⓑ$18xy^2z$
ⓒ$5x+2$
ⓓ$y^3−8y^2+2y−16$
ⓔ$−24$

Réponse: ⓐ trinôme, degré 2
ⓑ monomial, degré 4
ⓒ binomial, degré 1
ⓓ autre polynôme, degré 3
ⓔ monomial, degré 0

6. ⓐ$9y^3−10y^2+2y−6$
ⓑ$−12p^3q$
ⓒ$a^2+9ab+18b^2$
ⓓ$20x^2y^2−10a^2b^2+30$
ⓔ$17$

7. ⓐ$14s−29t$
ⓑ$z^2−5z−6$
ⓒ$y^3−8y^2z+2yz^2−16z^3$
ⓓ$23ab^2−14$
ⓔ$−3$

Réponse: ⓐ binomial, degré 1
ⓑ trinôme, degré 2
ⓒ autre polynôme, degré 3
ⓓ binôme, degré 3
ⓔ monomial, degré 0

8. ⓐ$15xy$
ⓑ$15$
ⓒ$6x^2−3xy+4x−2y+y^2$
ⓓ$10p−9q$
ⓔ$m^4+4m^3+6m^2+4m+1$

Ajouter et soustraire des polynômes

Dans les exercices suivants, ajoutez ou soustrayez les monômes.

9. ⓐ$7x^2+5x^2$
ⓑ$4a−9a$

Réponse: ⓐ$12x^2$ ⓑ$−5a$

10. ⓐ$4y^3+6y^3$
ⓑ$−y−5y$

11. ⓐ$−12w+18w$
ⓑ$7x^2y−(−12x^2y)$

Réponse: ⓐ$6w$
ⓑ$19x^2y$

12. ⓐ$−3m+9m$
ⓑ$15yz^2−(−8yz^2)$

13. $7x^2+5x^2+4a−9a$

Réponse: $12x^2−5a$

14. $4y^3+6y^3−y−5y$

15. $−12w+18w+7x^2y−(−12x^2y)$

Réponse: $6w+19x^2y$

16. $−3m+9m+15yz^2−(−8yz^2)$

17. ⓐ$−5b−17b$
ⓑ$3xy−(−8xy)+5xy$

Réponse: ⓐ$−22b$
ⓑ$16xy$

18. ⓐ$−10x−35x$
ⓑ$17mn^2−(−9mn^2)+3mn^2$

19. ⓐ$12a+5b−22a$
ⓑ$pq^2−4p−3q^2$

Réponse: ⓐ$−10a+5b$
ⓑ$pq^2−4p−3q^2$

20. ⓐ$14x−3y−13x$
ⓑ$a^2b−4a−5ab^2$

21. ⓐ$2a^2+b^2−6a^2$
ⓑ$x^2y−3x+7xy^2$

Réponse: ⓐ$−4a^2+b^2$
ⓑ$x^2y−3x+7xy^2$

22. ⓐ$5u^2+4v^2−6u^2$
ⓑ$12a+8b$

23. ⓐ$xy^2−5x−5y^2$
ⓑ$19y+5z$

Réponse: ⓐ$xy^2−5x−5y^2$
ⓑ$19y+5z$

24. $12a+5b−22a+pq^2−4p−3q^2$

25. $14x−3y−13x+a^2b−4a−5ab^2$

Réponse: $x−3y+a^2b−4a−5ab^2$

26. $2a^2+b^2−6a^2+x^2y−3x+7xy^2$

27. $5u^2+4v^2−6u^2+12a+8b$

Réponse: $−u^2+4v^2+12a+8b$

28. $xy^2−5x−5y^2+19y+5z$

29. Ajoutez :$4a,−3b,−8a$

Réponse: $−4a−3b$

30. Ajoutez :$4x,3y,−3x$

31. Soustraire$5x^6$ de$−12x^6$

Réponse: $−7x^6$

32. Soustraire$2p^4$ de$−7p^4$

Dans les exercices suivants, ajoutez les polynômes.

33. $(5y^2+12y+4)+(6y^2−8y+7)$

Réponse: $11y^2+4y+11$

34. $(4y^2+10y+3)+(8y^2−6y+5)$

35. $(x^2+6x+8)+(−4x^2+11x−9)$

Réponse: $−3x^2+17x−1$

36. $(y^2+9y+4)+(−2y^2−5y−1)$

37. $(8x^2−5x+2)+(3x^2+3)$

Réponse: $11x^2−5x+5$

38. $(7x^2−9x+2)+(6x^2−4)$

39. $(5a^2+8)+(a^2−4a−9)$

Réponse: $6a^2−4a−1$

40. $(p^2−6p−18)+(2p^2+11)$

Dans les exercices suivants, soustrayez les polynômes.

41. $(4m^2−6m−3)−(2m^2+m−7)$

Réponse: $2m^2−7m+4$

42. $(3b^2−4b+1)−(5b^2−b−2)$

43. $(a^2+8a+5)−(a^2−3a+2)$

Réponse: $11a+3$

44. $(b^2−7b+5)−(b^2−2b+9)$

45. $(12s^2−15s)−(s−9)$

Réponse: $12s^2−14s+9$

46. $(10r^2−20r)−(r−8)$

Dans les exercices suivants, soustrayez les polynômes.

47. Soustraire$(9x^2+2)$ de$(12x^2−x+6)$

Réponse: $3x^2−x+4$

48. Soustraire$(5y^2−y+12)$ de$(10y^2−8y−20)$

49. Soustraire$(7w^2−4w+2)$ de$(8w^2−w+6)$

Réponse: $w^2+3w+4$

50. Soustraire$(5x^2−x+12)$ de$(9x^2−6x−20)$

Dans les exercices suivants, déterminez la différence entre les polynômes.

51. Trouvez la différence entre$(w^2+w−42)$ et$(w^2−10w+24)$

Réponse: $11w−64$

52. Trouvez la différence entre$(z^2−3z−18)$ et$(z^2+5z−20)$

Dans les exercices suivants, ajoutez les polynômes.

53. $(7x^2−2xy+6y^2)+(3x^2−5xy)$

Réponse: $10x^2−7xy+6y^2$

54. $(−5x^2−4xy−3y^2)+(2x^2−7xy)$

55. $(7m^2+mn−8n^2)+(3m^2+2mn)$

Réponse: $10m^2+3mn−8n^2$

56. $(2r^2−3rs−2s^2)+(5r^2−3rs)$

Dans les exercices suivants, ajoutez ou soustrayez les polynômes.

57. $(a^2−b^2)−(a^2+3ab−4b^2)$

Réponse: $−3ab+3b^2$

58. $(m^2+2n^2)−(m^2−8mn−n^2)$

59. $(p^3−3p^2q)+(2pq^2+4q^3)−(3p^2q+pq^2)$

Réponse: $p^3−6p^2q+pq^2+4q^3$

60. $(a^3−2a^2b)+(ab^2+b^3)−(3a^2b+4ab^2)$

61. $(x^3−x^2y)−(4xy^2−y^3)+(3x^2y−xy^2)$

Réponse: $x^3+2x^2y−5xy^2+y^3$

62. $(x^3−2x^2y)−(xy^2−3y^3)−(x^2y−4xy^2)$

Evaluer une fonction polynomiale pour une valeur donnée

Dans les exercices suivants, recherchez les valeurs de fonction pour chaque fonction polynomiale.

Dans les exercices suivants, déterminez la hauteur de chaque fonction polynomiale.

67. Un peintre laisse tomber un pinceau d'une plate-forme de quelques$75$ pieds de haut. La fonction polynomiale$h(t)=−16t^2+75$ donne la hauteur du pinceau$t$ quelques secondes après sa chute. Trouvez la hauteur au bout de$t=2$ quelques secondes.

Réponse: La hauteur est de 11 pieds.

68. Une fille fait tomber une balle de la falaise dans l'océan. Le polynôme$h(t)=−16t^2+200$ donne la hauteur d'une balle$t$ quelques secondes après sa chute. Trouvez la hauteur au bout de$t=3$ quelques secondes.

69. Un fabricant de haut-parleurs stéréo a découvert que les recettes provenant de la vente des haut-parleurs au coût de chaque$p$ enceinte sont données par la fonction polynomiale$R(p)=−4p^2+420p$. Trouvez les revenus perçus en$p=60$ dollars.

Réponse: Les recettes s'élèvent à 10 800$.

70. Un fabricant des chaussures de basket-ball les plus récentes a découvert que les recettes provenant de la vente de ces chaussures au coût de$p$ dollars chacune sont données par le polynôme$R(p)=−4p^2+420p$. Trouvez les revenus perçus en$p=90$ dollars.

71. Le polynôme$C(x)=6x^2+90x$ donne le coût, en dollars, de la production d'un conteneur rectangulaire dont le haut et le bas sont des carrés avec des$x$ pieds latéraux et des$6$ pieds de hauteur. Déterminez le coût de production d'une boîte avec$x=4$ pieds.

Réponse: Le coût est de 456$.

72. Le polynôme$C(x)=6x^2+90x$ donne le coût, en dollars, de la production d'un conteneur rectangulaire dont le haut et le bas sont des carrés avec des$x$ pieds latéraux et des$4$ pieds de hauteur. Déterminez le coût de production d'une boîte avec$x=6$ pieds.

Ajouter et soustraire des fonctions polynomiales

73. $f(x)=2x^2−4x+1$et$g(x)=5x^2+8x+3$

74. $f(x)=4x^2−7x+3$et$g(x)=4x^2+2x−1$

75. $f(x)=3x^3−x^2−2x+3$et$g(x)=3x^3−7x$

76. $f(x)=5x^3−x^2+3x+4$et$g(x)=8x^3−1$

Exercices d'écriture

77. En utilisant vos propres mots, expliquez la différence entre un monôme, un binôme et un trinôme.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

78. À l'aide de vos propres mots, expliquez la différence entre un polynôme de cinq termes et un polynôme d'un degré de$5$.

79. Ariana pense que la somme$6y^2+5y^4$ est$11y^6$. Qu'est-ce qui ne va pas dans son raisonnement ?

Réponse: Les réponses peuvent varier.

80. Est-ce que chaque trinôme est un polynôme du second degré ? Sinon, donnez un exemple.

Auto-vérification

ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$La figure montre un tableau à six lignes et quatre colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. L'en-tête de la première colonne est « Je peux... », le second est « En toute confiance », le troisième est « avec de l'aide », « non moins, je ne comprends pas ! ». Dans la première colonne se trouvent les phrases « identifier les polynômes, les monômes, les binômes et les trinômes », « déterminer le degré des polynômes », « ajouter et soustraire des monômes », « ajouter et soustraire des polynômes » et « évaluer un polynôme pour une valeur donnée ». Sous les deuxième, troisième et quatrième colonnes se trouvent des espaces vides où l'apprenant peut vérifier le niveau de maîtrise qu'il a atteint.$

ⓑ Si la plupart de vos chèques étaient :

... en toute confiance. Félicitations ! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Soyez précis.

... avec de l'aide. Cela doit être abordé rapidement car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de vous assurer d'avoir une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences en matière d'études peuvent-elles être améliorées ?

... non, je ne comprends pas ! Il s'agit d'un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement, sinon vous serez rapidement dépassé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour obtenir l'aide dont vous avez besoin.